第二章 圆周运动
第一节 匀速圆周运动
课前自主预习
1．匀速圆周运动：质点沿圆周运动，如果在相等的时间内通过的 相等，这种运动就叫匀速圆周运动。
2．线速度：
（1）定义：质点做圆周运动通过的 和所用 的比值叫做线速度。
（2）大小：v = 。单位：m/s
（3）方向：在圆周各点的 上
（4）“匀速圆周运动”中的“匀速”指的速度的大小不变，即速率不变；而“匀速直线运动”的“匀速”指的速度不变是大小方向都不变，二者并不相同。
3．角速度：
（1）定义：在匀速圆周运动中，连接运动质点和圆心的半径转过 跟所用 的比值，就是质点运动的角速度；
（2）定义式：ω=
（3）角速度的单位：
4．线速度、角速度与周期的关系：v = = 。
5．(双选)甲、乙两物体分别放在广州和北京，它们随地球一起转动时，下列说法正确的是（ ）
A．甲的线速度大，乙的角速度小 B．甲的线速度大于乙的线速度
C．甲和乙的线速度相等 D．甲和乙的角速度相等
自主学习答案：
圆弧长.2（1）弧长， 时间.（2）.（3）切线方向.3（1）角度，时间.（2）.（3）rad/s(4)ωr,.5．BD
课堂互动探究
知识点1：认识圆周运动
新知探究
在生产、生活中，经常见到一种特殊的曲线运 ( http: / / www.21cnjy.com )动，像图2-1-1电风扇的叶片、钟表的指针、旋转的芭蕾舞演员等，物体转动时他们上面每一点轨迹的特点是 ，这样的运动叫 。
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
图2-1-1
答案：均为圆；圆周运动。
重点归纳
1．圆周运动的定义：如果质点的运动轨迹是圆，那么这一质点的运动叫做圆周运动．
2．匀速圆周运动的定义：质点沿圆周运动，如果在相等的时间内通过的圆弧长度相等，那么，这种运动叫做匀速圆周运动．
【例1】(单选)对于匀速圆周运动的物体，下列说法不正确的是( )
A．匀速圆周运动是变速运动
B．匀速圆周运动线速率恒定
C．在任意相等的时间内通过的位移相等
D．在任意相等的时间内通过的路程相等
解析：做匀速圆周运动的物体在相等的时间内通 ( http: / / www.21cnjy.com )过的圆弧长度相等即路程相等，D对，C错；由线速度的定义知，速度的大小不变，也就是速率不变，但速度的方向时刻改变，故AB对。
答案：C
触类旁通
1．(双选)某质点做匀速圆周运动，下列说法正确的是( )
A．因为该质点在相等的时间内通过的圆弧长度相等，所以是匀速运动．
B．该质点的速度方向时刻改变，所以是变速运动．
C．该质点的加速度为零，处于平衡状态
D．该质点做的是变速运动，具有加速度，故它受到的合外力不等于零
解析：做匀速圆周运动的物体在相等的时间内通 ( http: / / www.21cnjy.com )过的圆弧长度虽然相等但速度的方向时刻改变，因而是变速运动，而非匀速运动，故B对，A错。因为匀速圆周运动是变速运动，具有加速度，故做匀速圆周运动的物体受到的合外力肯定不等于零，故D对，C错。
答案：BD
知识点2：如何描述匀速圆周运动的快慢
新知探究
在质点作直线运动时，我们曾用速度表示质点运动的快慢。质点作匀速圆周运动时，我们又如何描述物体运动的快慢呢？
猜想1：比较物体在一段时间内通过的圆弧长短
猜想2：比较物体在一段 时间内半径转过的角度大小
猜想3：比较物体转过一圈所用时间的多少
猜想4：比较物体在一段时间内转过的圈数
探究1：如果物体在一段时间 ( http: / / www.21cnjy.com )t内通过的弧长s越长，那么就表示运动得越 ，s与t的比值越 ，质点做圆周运动通过的弧长s和所用时间t的比值叫做线速度v。
v＝
探究2：如果物体在一段时间t内半径转过 ( http: / / www.21cnjy.com )的角度θ越大，那么就表示运动得越 ，θ与t的比值越 ，在匀速圆周运动中，连接运动质点和圆心的半径转过的角度θ跟所用时间t的比值，就是质点运动的角速度ω。
ω=θ/t
探究3：做匀速圆周运动的物体，如果 ( http: / / www.21cnjy.com )转过一周所用的时间越 ，那么就表示运动得越 ，做匀速圆周运动的物体运动一周所用的时间叫周期T。
探究4：做匀速圆周运动的物体，如果 ( http: / / www.21cnjy.com )在单位时间内转过的圈数越 ，那么就表示运动得越 ，做匀速圆周运动的物体在单位时间内转过的圈数叫转速n，在1秒钟内转过的圈数叫频率f。
答案：1.快、大．2.快、大．3.短、快．4.多、快．
重点归纳
v、T、r的关系：
物体在转动一周的过程中，通过的弧长Δs＝2πr，用时为T，则v＝＝.
ω、T的关系：
物体在转动一周的过程中，转过的角度Δθ＝2π，用时为T，则ω＝＝.
ω、n、f的关系：
物体在1 s内转过n圈，1圈转过的角度为2π，则1s内转过的角度Δθ＝2πn，即ω＝2πn＝2πf.
4．v、ω、r的关系：v＝ωr.
【例2】已知某一机械秒表的分针和秒针长(指转动轴到针尖的距离)分别为1 cm和1.3 cm，它正常转动时可视为匀速转动，试求：
(1)分针和秒针的周期和转速；
(2)分针和秒针的针尖线速度大小；
(3)分针和秒针的角速度大小．
解：已知：秒针转一圈所用时间为60 s，分针转一圈所用的时间为1 h.
(1)T分＝1 h＝60×60 s＝3 600 s
f分＝＝ Hz，n分＝f分＝ r/s
T秒＝60 s，f秒＝＝ Hz，n秒＝f秒＝ r/s.
(2)由v＝得
v分＝＝ m/s ＝1.74×10－5 m/s
v秒＝＝ m/s＝1.36×10－3 m/s.
(3)由ω＝得
ω分＝＝ rad/s＝ rad/s
ω秒＝＝ rad/s＝ rad/s.
触类旁通
2．2010年温哥华冬季奥运会双人滑比赛中， ( http: / / www.21cnjy.com )申雪、赵宏博拿到中国花样滑冰史上首枚冬季奥运会金牌，如图2－1－2所示．赵宏博(男)以自己为转轴拉着申雪(女)做匀速圆周运动，转速为30 r/min.申雪的脚到转轴的距离为1.6 m．求：
(1)申雪做匀速圆周运动的角速度；
(2)申雪的脚运动速度的大小．
图2－1－2
解：(1)转动转速n＝30r/min＝0.5r/s
角速度ω＝2πn＝2π×0.5 rad/s＝πrad/s
(2)申雪的脚做圆周运动的半径r＝1.6 m，所以她的脚的运动速度v＝ωr＝π×1.6 m/s＝5.0m/s.
答案：(1)πrad/s，(2)5.0m/s.
方法技巧\易错易混\实验透视
易错易混： 传动装置中各物理量间的关系
传动类型 图示 结论
共轴传动 ①运动特点：转动方向相同， 即都逆时针转动，或都顺时针转动②定量关系：A点和B点转动的周期相同、角速度相同，进而可知两者线速度与其半径成正比
皮带(链条)传动 ①运动特点：两轮的转动方向与皮带的绕行方式有关，可同向转动，也可反向转动②定量关系：由于A、B两点相当于皮带上的不同位置的点， 所以它们的线速度必然相同，两者角速度与其半径成反比、周期与其半径成正比
齿轮传动 ①运动特点：当A顺时针转动时，B逆时针转动；当A逆时针转动时，B顺时针转动②定量关系：va＝vb(线速度)；＝＝；＝＝(n1、n2分别表示两齿轮的齿数)
【例3】如图2－1－3所示 ( http: / / www.21cnjy.com )的传动装置中，B、C两轮固定在一起绕同一转轴转动，A、B两轮用皮带传动，三轮半径关系为rA＝rC＝2rB.若皮带不打滑，求A、B、C轮边缘上的a、b、c三点的角速度之比和线速度之比．
图2－1－3
解：A、B两轮通过皮带传动，皮带不打滑，A、B两轮边缘上各点的线速度大小相等，即va＝vb，故va∶vb＝1∶1.
B、C两个轮子固定在一起，属于同轴传动，它们上面的任何一点具有相同的角速度，即ωb∶ωc＝1∶1.
因为ω＝，va＝vb，rA＝2rB
所以ωa∶ωb＝rB∶rA＝1∶2
又因为v＝ωr，ωb＝ωc，rC＝2rB
所以vb∶vc＝rB∶rC＝1∶2
综合可知：ωa∶ωb∶ωc＝1∶2∶2
va∶vb∶vc＝1∶1∶2.
触类旁通
3．(双选)如图2-1- ( http: / / www.21cnjy.com )4所示，有一皮带传动装置（皮带不打滑），a、b、c三点距圆心的距离分别为Ra、Rb、Rc,已知Rb=Rc=Ra/2,设三点的线速度和角速度各为Va、Vb、Vc和ωa、ωb、ωc ，则下列关系式中，正确的是（ ）
A．Va>Vb>Vc
B．Va=Vc>Vb
C．ωa=ωb<ωc
D． ωa<ωb=ωc
解析：由于皮带不打滑，传送带上各处的线 ( http: / / www.21cnjy.com )速度大小相等，因此两个轮的轮缘上各点的线速度大小也相等，则有Va=VC,同一圆上各处的转速相同，因此同一圆上各处的角速度也相同，则有ωa=ωb.由上面关系式可以推得：Va=Vc Raωa=Rcωc, Ra=2Rc, 2ωa=ωc,则有ωa=ωb<ωc因为Va=ωaRa, Vb=ωbRb ,所以Va>Vb.
答案：BC
点评：解此类题要抓住传动装置的特点，同轴传动是角速度相等，皮带传动是两轮边缘线速度大小相等，在注意运用v=ωr联系式。
随堂练习
一、单项选择题
1．对于匀速圆周运动的物体，下列说法不正确的是( A )
A．线速度不变 B．线速度的大小不变
C．角速度不变 D．周期不变
解析：做匀速圆周运动的物体，其角速度、周期、线速度的大小均不变，线速度的方向时刻在变化，所以线速度也时刻在变化，故选A.
2．关于做匀速圆周运动的物体的线速度、角速度、周期的关系，下列说法中正确的是( D )
A．线速度大的角速度一定大
B．线速度大的周期一定小
C．角速度大的半径一定小
D．角速度大的周期一定小
解析：根据v＝ωr可知，只有当r一定时 ( http: / / www.21cnjy.com )，v∝ω，所以选项A错；在v一定时，ω∝，所以C错；由v＝得，r一定时，v∝，故B错；由ω＝得，ω∝，与r无关，故D对．
3．电脑中的CD—ROM(光驱)是 ( http: / / www.21cnjy.com )通过极细的激光束照射到高速转动的光盘上来读取信息的，目前广泛采用的是一种始终保持恒定的角速度来旋转光盘的CAV技术，用这种方法读取数据时( A )
A．在光盘外圈读取数据时的速度快
B．读取数据的快慢与在光盘外圈还是内圈无关
C．在光盘内圈读取数据的速度快
D．在光盘内圈和外圈读取数据的速度一样快
解析：角速度一定，半径越大，线速度越大．
4．物体以1 rad/s的角速度沿半径为 ( http: / / www.21cnjy.com )1m的圆周做匀速圆周运动，A、B是一条直径的两端，如图2－1－5所示，物体从A点到B点过程中的平均速度大小为( B )
图2－1－5
A. 1 m/s
B. m/s
C. m/s
D. 0.5 m/s
解析：本题主要考查平均速度的定义，即＝，其中x为t时间内的位移，所以从A→B过程中＝＝＝ m/s.
二、双项选择题
5．关于匀速圆周运动，下列说法正确的是( AC )
A．任意相等的时间里通过的路程相等
B．任意相等的时间里通过的位移相等
C．任意相等的时间里半径转过的角度相等
D．匀速圆周运动是一种匀速运动
解析：匀速圆周运动的角速度和线速度大小不变，故选项A、C正确；由于匀速圆周运动线速度的方向不断变化，故是一种变速运动，则选项B、D错误．
6．自行车的链轮、飞轮和后轮的结构示意图如图2－1－6所示，当自行车正常行驶时，下列说法正确的是( BC )
图2－1－6
A．链轮与飞轮的角速度相等
B．链轮边缘与飞轮边缘的线速度相等
C．飞轮与后轮的角速度相等
D．飞轮与后轮的线速度相等
解析：飞轮与链轮属于皮带传动装置，在不打滑的情况下，线速度相等；飞轮和后轮属于同轴转动装置，角速度相等．
课后巩固提升
一、单项选择题
1．关于匀速圆周运动的线速度和角速度，下列说法正确的是（ B ）
A．半径一定，角速度与线速度成反比
B．半径一定，角速度与线速度成正比
C．线速度一定，角速度与半径成正比
D．角速度一定，线速度与半径成反比
解析：物体做匀速圆周运动的线速度与角 ( http: / / www.21cnjy.com )速度的关系：v= rω,半径一定时，线速度与角速度成正比，A正确，线速度一定时，角速度与半径成反比，角速度一定时，线速度与半径成正比，C、D错误，
答案：B
2．甲、乙、丙三个物体，甲放在广州，乙放在上海，丙放在北京．当它们随地球一起转动时，则( D )
A．甲的角速度最大，乙的线速度最小
B．丙的角速度最小，甲的线速度最大
C．三个物体的角速度、周期和线速度都相等
D．三个物体的角速度、周期一样，丙的线速度最小
解析：我国地处北半球，广州、上海、北京的北纬角越来越大，因角速度相同，做圆周运动的半径越来越小，由v＝ωr可知选项D对．
答案：D
3．如图2－1－7所示是一个玩具陀螺． ( http: / / www.21cnjy.com )a、b和c是陀螺上的三个点．当陀螺绕垂直于地面的轴线以角速度ω稳定旋转时，下列表述正确的是 ( B )
A．a、b和c三点的线速度大小相等
B．a、b和c三点的角速度相等
C．a、b的角速度比c的大
D．c的线速度比a、b的大
解析：由于a、b、c三点是陀螺 ( http: / / www.21cnjy.com )上的三个点，所以当陀螺转动时，三个点的角速度相同，选项B正确，C错误；根据v＝ωr，由于a、b、c三点的半径不同，ra＝rb＞rc，所以有va＝vb＞vc，选项A、D均错误．
答案：B
4．甲沿着半径为R的圆周跑道匀速跑步， ( http: / / www.21cnjy.com )乙沿半径为2R的圆周跑道匀速跑步，在相同时间里，甲、乙各自跑了一圈，他们的角速度和线速度的大小分别为ω1、ω2和v1、v2，则( C )
A．ω1>ω2，v1>v2 B．ω1<ω2，v1
C．ω1＝ω2，v1解析：甲、乙跑步的周期相同，由ω＝可知角速度相同；又因v＝ωr，所以线速度之比v1∶v2＝r1∶r2＝1∶2，即v15．半径为R的大圆盘以角速度 ( http: / / www.21cnjy.com )ω旋转，如图2－1－8所示．有人站在盘边P点上随盘转动，他想用枪击中在圆盘中心的目标O.若子弹速度为v0，则( D )
图2－1－8
A．枪应瞄准目标O射去
B．枪应向PO的右方偏过θ角射去，而cos θ＝
C．枪应向PO的左方偏过θ角射去，而tan θ＝
D．枪应向PO的左方偏过θ角射去，而sin θ＝
解析：子弹有沿切线方向的速度vp＝ωR，则sin θ＝，故选项D正确．
6．如图2－1－9所示的皮带传动装置中 ( http: / / www.21cnjy.com )，轮A和B同轴，A、B、C分别是三个轮边缘的质点，且RA＝RC＝2RB，则三质点的角速度之比ωA∶ωB∶ωC等于( A )
图2－1－9
A．2∶2∶1 B．2∶1∶2
C．1∶2∶2 D．1∶1∶4
解析：皮带传动时，两轮边缘与皮带接触点 ( http: / / www.21cnjy.com )的线速度相同，而同一轮上点的角速度相同，即ωA＝ωB，vB＝vC；＝＝＝2，所以ωA∶ωB∶ωC＝2∶2∶1.
7．石英钟表中的分针可视为匀速转动，分针与秒针从第一次重合至第二次重合，中间经历的时间为( C )
A．1 min B. min C. min D. min
解析：分针与秒钟的角速度分别为ω1、ω2 ( http: / / www.21cnjy.com )，两针由第一次重合到第二次重合，所用时间为t，则ω2t－ω1t＝2π，所以t＝＝＝＝ min＝ min.
二、双项选择题
8．对于做匀速圆周运动的物体，下列说法中正确的是( AC )
A．在相等的时间内通过的路程相等
B．在相等的时间内通过的位移相同
C．在相等的时间内通过的圆心角相等
D．在相同的时间内速度变化量相同
解析：做匀速圆周运动的物体，线速度大小相等， ( http: / / www.21cnjy.com )由v＝知，在任意相等的时间内通过的弧长相等，所以路程相等；位移变化量是矢量，选项B错；由角速度大小相等和θ＝ωt可知，在相等的时间内转过的圆心角相等；由于速度变化量是矢量，故选项D错．
9．一个物体以角速度ω做匀速圆周运动时，下列说法中正确的是( AD )
A．轨道半径越大，线速度越大
B．轨道半径越大，线速度越小
C．轨道半径越大，周期越大
D．物体的转速与轨道半径无关
解析：由v＝ωr，T＝，n＝可知，对于角速度一定时，r越大，线速度越大，周期、转速与半径的大小无关．
10．甲、乙两个做匀速圆周运动的质点，它们的角速度之比为3∶1，线速度之比为2∶3，那么下列说法中正确的是( AC )
A．它们的半径之比为2∶9
B．它们的周期之比为2∶3
C．它们的转速之比为3∶1
D．它们的周期之比为3∶1
解析：由v＝ωr有，＝·＝×＝2∶9；由T＝得，＝＝1∶3；由n＝得，＝＝3∶1.
11．关于线速度和角速度，下列说法中正确的是( AC )
A．半径一定，线速度与角速度成正比
B．半径一定，线速度与角速度成反比
C．线速度一定，角速度与半径成反比
D．角速度一定，线速度与半径成反比
解析：线速度与角速度的关系是v＝ωr ( http: / / www.21cnjy.com )，当r一定时，v与ω成正比，选项A对，B错；线速度一定时，ω与r成反比，C对；角速度一定时，v与r成正比，D错．
12．如图2－1－10所示，皮带转动装置传动时不打滑，大轮半径为小轮半径的2倍，则两轮边缘上的A、B点及轮上C点的运动情况是( AC )
图2－1－10
A．vA＝vB，vB>vC
B．ωA＝ωB，vB>vC
C．vA＝vB，ωA＝ωC
D．ωA＝ωB，vB＝vC
解析：皮带不打滑，A、B点与皮带上的点 ( http: / / www.21cnjy.com )的速度相同，即vA＝vB.A、C在同一轮子上，其角速度相同，即ωA＝ωC，而v＝ωr，即v与r成正比，则vA>vC，从而vB>vC；因vA＝vB，故A、B的角速度与半径成反比，即ωA<ωB.
13．(双选，2011年汕头质检)如图2 ( http: / / www.21cnjy.com )－1－11所示为某一皮带传动装置．主动轮的半径为r1，从动轮的半径为r2.已知主动轮做顺时针转动，转速为n，转动过程中皮带不打滑．下列说法正确的是( BC )
图2－1－11
A．从动轮做顺时针转动
B．从动轮做逆时针转动
C．从动轮的转速为n
D．从动轮的转速为n
解析：因为主动轮顺时针转动，从动轮 ( http: / / www.21cnjy.com )通过皮带的摩擦力带动转动，所以从动轮逆时针转动，选项A错误B正确；由于通过皮带传动，皮带与轮边缘接触处的速度相等，所以由2πnr1＝2πn2r2，得从动轮的转速为n2＝n，选项C正确D错误．
14．地球可近似看做球体，它绕着地轴自转可近似看做匀速圆周运动，下列说法正确的是( BC )
A．地球自转的周期为30天
B．地球表面赤道上的某一位置与地球表面北纬60°上的某一位置的角速度相等
C．地球南、北极上的点的线速度为零
D．地球表面赤道上的某一位置与地球表面北纬60°上的某一位置的线速度相等
解析：地球自转的周期为24h，选项A ( http: / / www.21cnjy.com )错；地球绕地轴自转，地球上各点(除极点外)的角速度相等，选项B对；南、北极对地轴的半径为0，由v＝ωr可知选项C对；因赤道上的某一位置对地轴的半径为地球半径R，北纬60°上的某一位置对地轴的半径r＝Rcos60°，由v＝ωr可知选项D错．
三、非选择题
15．如图2－1－12所示，半径为R的 ( http: / / www.21cnjy.com )圆轮在竖直平面内绕O轴匀速转动，轮上a、b两点与O点的连线相互垂直，a、b两点均粘有一小物体，当a点转到最低位置时，a、b两位置处的小物体同时脱落，经过相同时间落到水平地面上，求圆轮转动的角速度大小．
图2－1－12
解：由题意可知轮缘上va＝vb＝ωR
当两小物体脱离时，a做平抛运动，b做竖直下抛运动．
对小物体a，在竖直方向上有：R＝gt2 ①
对小物体b在竖直方向上有：2R＝ωRt＋gt2 ②
联立①②式解得ω＝.
16．如图2-1-13所示， ( http: / / www.21cnjy.com )两个摩擦传动的轮子，A为主动轮，转动的角速度为ω，已知A、B轮的半径分别是R1和R2，C点离圆心的距离为R2／2，求C点处的角速度和线速度。
解析：由于A、B两轮不打滑，两轮缘的线速度相等，即，
，，
所以，
o
a
b
c
图2—1—4
图2－1－7
图2-1-13第二章 圆周运动章末小结与检测
【知识要点结构梳理】
知识要点结构梳理参考答案:
，， ， ，
， ，
突然消失或不足
【专题突破】
专题一 竖直平面内的圆周运动的临界问题
1．轻绳模型
图2－4－1甲、乙所示的是没有物体支撑的小球在竖直平面做圆周运动过最高点的情况．
(1)能过最高点的临界条件：绳子或轨道对小球没有力的作用．
由mg＝m得v临界＝.
(2)能过最高点的条件：v≥.当v＞时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力．
(3)不能过最高点的条件：v＜v临界(实际上球还没到最高点时就脱离了轨道)．
图2－4－1
2．轻杆模型
如图2－4－1丙所示情形，小球与轻质杆相连．杆与绳不同，它既能产生拉力，也能产生压力．
(1)能过最高点的临界条件：v临界＝0，此时支持力N＝mg.
(2)当0＜v＜时，N为支持力，有0＜N＜mg，且N随v的增大而减小．
(3)当v＝时，N＝0.
(4)当v＞，N为拉力，有N＞0，N随v的增大而增大．
【例1】一细杆与水桶相连，水桶中 ( http: / / www.21cnjy.com )装有水，水桶与细杆一起在竖直平面内做圆周运动，如图2－4－2所示．水的质量m＝0.5 kg，水的重心到转轴的距离l＝50 cm.(取g＝10 m/s2，不计空气阻力)
图2－4－2
(1)若在最高点水不流出来，求桶的最小速率；
(2)若在最高点水桶的速率v＝3 m/s，求水对桶底的压力．
解：(1)以水桶中的水为研究对象，在最高点恰好不流出来，说明水的重力恰好提供其做圆周运动所需的向心力，此时桶的速率最小．此时有
mg＝m
则所求的最小速率为
v0＝＝ m/s＝2.24 m/s.
(2)在最高点，水具有向下的向心加速度，处于失重状态，其向心加速度的大小由桶底对水的压力和水的重力决定．
由向心力公式F＝m可知，当半径不变v增大时，物体做圆周运动所需的向心力也随之增大，由于v＝3 m/s>v0＝2.24 m/s，因此，当水桶在最高点时，水所受重力已不足以提供水做圆周运动所需的向心力，此时桶底对水有向下的压力，设为F1，则由牛顿第二定律得
F1＋mg＝m
所以F1＝m－mg
代入数据可得F1＝4 N.
触类旁通
1．如图2－4－3所示，长度L ( http: / / www.21cnjy.com )＝0.50 m的轻质杆OA，A端固定一个质量为m＝3.0 kg的小球，小球以O为圆心在竖直平面内做圆周运动．通过最高点时小球的速率是2.0 m/s，g取10 m/s2，则此时轻杆OA ( )
A．受到6.0 N的拉力
B．受到6.0 N的压力
C．受到24 N的拉力
D．受到54 N的压力
解析：设杆转到最高点球恰好对杆 ( http: / / www.21cnjy.com )的作用力为零时，球的速度为v，则有mg＝m，其中R＝0.5 m，则v＝＝ m/s，因为 m/s＞2 m/s，所以杆受到压力作用，对小球有mg－FN＝m，所以FN＝mg－m＝3.0×10 N－3.0× N＝6 N，故B正确．
答案：B
专题二 水平面内的圆周运动问题
物体在水平面内做的圆周运动一般是匀 ( http: / / www.21cnjy.com )速圆周运动。这样的物体在竖直方向上受力平衡，在水平方向上受的合外力提供它做圆周运动所做圆周运动所需的向心力，常见的类型如下：
1.与弹力有关的水平面内的圆周运动，如图2－4－4
2.与摩擦力有关的水平面内的圆周运动，如图2－4－5
3.汽车转弯的水平面内的圆周运动，如图2－4－6
【例2】如图2－4－7所示，在双人花样滑 ( http: / / www.21cnjy.com )冰运动中，有时会看到被男运动员拉着的女运动员离开地面在空中做圆锥摆运动的精彩场面，目测体重为G的女运动员做圆锥摆运动时和水平冰面的夹角约为30°，重力加速度为g，估算该女运动员( )
受到的拉力为G
B．受到的拉力为2G
C．向心加速度为g
D．向心加速度为2g
解析：女运动员离开地面在空中做圆 ( http: / / www.21cnjy.com )锥摆运动时受到重力G和拉力FT的作用，合力沿水平方向指向圆心，拉力FT＝＝2G，由＝ma得向心加速度为a＝g，故本题正确选项为B、C.
答案：BC
触类旁通
2.如图2－4－8所示，物块在水平圆盘 ( http: / / www.21cnjy.com )上，与圆盘一起绕固定轴匀速运动，下列说法中正确的是 ( )
A．物块处于平衡状态
B．物块受三个力作用 图2－4－8
C．在角速度一定时，物块到转轴的距离越远，物块越容易脱离圆盘
D．在物块到转轴距离一定时，物块运动周期越小，越不容易脱离圆盘
解析：对物块受力分析可知，物 ( http: / / www.21cnjy.com )块受竖直向下的重力、垂直圆盘向上的支持力及指向圆心的摩擦力共三个力作用，合力提供向心力，A错，B正确．根据向心力公式F＝mrω2可知，当ω一定时，半径越大，所需的向心力越大，越容易脱离圆盘；根据向心力公式F＝mr()2可知，当物块到转轴距离一定时，周期越小，所需向心力越大，越容易脱离圆盘，C正确、D错误．
答案：BC
第二章 圆周运动章末检测
一.单项选择题(本题共4小题，每小题4分，共16分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确，选对的得4分，有选错或不答的得0分)
1．在一棵大树将要被伐倒 ( http: / / www.21cnjy.com )的时候，有经验的伐木工人就会双眼紧盯着树梢，根据树梢的运动情形就能判断大树正在朝着哪个方向倒下，从而避免被倒下的大树砸伤．从物理知识的角度来解释，以下说法正确的是( )
A．树木开始倒下时，树梢的角速度较大，易于判断
B．树木开始倒下时，树梢的线速度最大，易于判断
C．树木开始倒下时，树梢的向心加速度较大，易于判断
D．伐木工人的经验缺乏科学依据
解析：树木倒下时树干上各部分的角速度相同，半径越大其线速度越大，B项正确．
答案：B
2．游客乘坐过山车，在圆弧轨道最低点处获 ( http: / / www.21cnjy.com )得的向心加速度达到 20 m/s2，g取 10 m/s2，那么此位置座椅对游客的作用力相当于游客重力的( )
A．1倍 B．2倍
C．3倍 D．4倍
解析：以游客为研究对象，游客受重力mg和支持力FN，由牛顿第二定律得：FN－mg＝ma，所以FN＝mg＋ma＝3mg.
答案：C
3.如图2－4－9所示是一个玩具陀螺． ( http: / / www.21cnjy.com )a、b和c是陀螺上的三个点．当陀螺绕垂直于地面的轴线以角速度ω稳定旋转时，下列表述正确的是
( )
A．a、b和c三点的线速度大小相等
B．a、b和c三点的角速度相等
C．a、b的角速度比c的大
D．c的线速度比a、b的大
解析：由于a、b、c三点是陀螺上的三个 ( http: / / www.21cnjy.com )点，所以当陀螺转动时，三个点的角速度相同，选项B正确，C错误；根据v＝ωr，由于a、b、c三点的半径不同，ra＝rb＞rc，所以有va＝vb＞vc，选项A、D均错误．
答案：B
4．如图2－4－10是自行车传动 ( http: / / www.21cnjy.com )结构的示意图，其中Ⅰ是半径为r1的大齿轮，Ⅱ是半径为r2的小齿轮，Ⅲ是半径为r3的后轮，假设脚踏板的转速为n r/s，则自行车前进的速度为( )
图2－4－10
A. B.
C. D.
解析：前进速度即为Ⅲ轮的线 ( http: / / www.21cnjy.com )速度，由同一个轮上的角速度相等，同一条线上的线速度相等可得：ω1r1＝ω2r2，ω3＝ω2，再有ω1＝2πn，v＝ω3r3，所以v＝.
答案：C
二．双项选择题（本题共5小题，每 ( http: / / www.21cnjy.com )小题6分，共30分，在每小题给出的四个选项中，均有两个选项正确，全部选对的得6分，选不全的得3分，有选错或不答的得0分）
5．如图2－4－11所示，小物块放在水平转盘上，随盘同步做匀速圆周运动，则下列关于物块受力情况的叙述正确的是( BD )
A．受重力、支持力、静摩擦力和向心力的作用
B．摩擦力的方向始终指向圆心O
C．摩擦力的方向始终与线速度的方向相同
D．静摩擦力提供使物块做匀速圆周运动的向心力
解析：物块在转盘上随盘做匀速圆周运动，由静摩擦力提供向心力，且方向指向圆心，选项BD正确．
6．如图2－4－12所示，一 ( http: / / www.21cnjy.com )个内壁光滑的圆锥筒的轴线垂直于水平面，圆锥筒固定不动，有两个质量相同的小球A和B紧贴着内壁分别在图中所示的水平面内做匀速圆周运动，则下列说法正确的是( )
A．球A的线速度必定大于球B的线速度
B．球A的角速度必定小于球B的角速度
C．球A的运动周期必定小于球B的运动周期
D．球A的筒壁的压力必定大于球B对筒壁的压力
解析：球A受重力mg和支持力FN，如答 ( http: / / www.21cnjy.com )图2－4－1所示．由图可知，FN＝， 合力F＝，因两球质量相同、夹角θ相同，所以球A对筒壁的压力必定等于球B对筒壁的压力，两球所需向心力大小相等，选项D错．由F＝m可知，r大，v一定大，选项A对．由F＝mω2r可知，r大，ω一定小，选项B正确．由F＝mr可知，r大，T一定大，选项C错．
答案：AB
7．(2011·潍坊模拟)在高速公路的拐弯 ( http: / / www.21cnjy.com )处，通常路面都是外高内低．如图图2－4－13所示，在某路段汽车向左拐弯，司机左侧的路面比右侧的路面低一些．汽车的运动可看做是做半径为R的圆周运动．设内外路面高度差为h，路基的水平宽度为d，路面的宽度为L.已知重力加速度为g.要使车轮与路面之间的横向摩擦力(即垂直于前进方向)等于零，则汽车转弯时的车速应等于 ( )
A. B.
C. D.
解析：由牛顿第二定律可知 ( http: / / www.21cnjy.com )：FNsinθ＝m，FNcosθ－mg＝0，mgtanθ＝，由几何关系知：tanθ＝，解得v＝ ，选项B正确．
答案：B
8．如图2－4－6所示，为一皮带传动装置，右 ( http: / / www.21cnjy.com )轮的半径为r，a是它的边缘上的一点，左侧是一轮轴，大轮的半径为4r，小轮的半径为2r，b点在小轮上，到小轮中心距离为r，c点和d点分别位于小轮和大轮的边缘上，若在传动过程中，皮带不打滑，则（ CD ）
A．a点与b点线速度大小相等
B．a点与c点角速度大小相等
C．a点与d点向心加速度大小相等
D．a、b、c、d四点，加速度最小的是b点
解析：vc＝2rω，vb＝rω ( http: / / www.21cnjy.com )，所以vc＝2vb，又va＝vc，所以va＝2vb，故A错；va＝rωa，vb＝rωb，由va＝2vb，得ωa＝2ωb，故B错； a、c是皮带连接的两轮边缘上的点，线速度大小相等，故C对；设a点线速度为v，c点线速度也为v，对c点，v＝2rω，对d点vd＝4rω＝2v，ana＝，and＝＝，故a点与d点的向心加速度大小相等，故D对．
答案：CD
9．(2011·长沙模拟)如图2－4－1 ( http: / / www.21cnjy.com )4所示，螺旋形光滑轨道竖直放置，P、Q为对应的轨道最高点，一个小球以一定速度沿轨道切线方向进入轨道，且能过轨道最高点P，则下列说法中正确的是( )
A．轨道对小球做正功，小球的线速度vP＞vQ
B．轨道对小球不做功，小球的角速度ωP＜ωQ
C．小球的向心加速度aP＞aQ
D．轨道对小球的压力FP＜FQ
解析：轨道对小球的支持力始终与小 ( http: / / www.21cnjy.com )球运动方向垂直，轨道对小球不做功；小球从P运动到Q的过程中，重力做正功，动能增大，可判断vP＜vQ；根据v＝ωr，rP＞rQ可知，ωP＜ωQ，A错误B正确；再利用向心加速度a＝v2/r，vP＜vQ，rP＞rQ，可知aP＜aQ，C错误；在最高点mg＋FN＝ma，即FN＝ma－mg，因aP＜aQ，所以FQ＞FP，D
正确．
答案：BD
第Ⅱ卷 非选择题
三．本题共四小题，满分54 ( http: / / www.21cnjy.com )分，解答题应写出必要的文字说明、方程式和重要演算步骤，只写出最后答案的不能得分，有数值计算的题，答案中必须明确写出数值和单位。
10．（1）．地球自转周期为24小时 ( http: / / www.21cnjy.com )，角速度为 rad/s。已知地球半径为6400km，赤道上一点和北纬300上一点随地球自转的线速度分别是 m/s和 m/s。赤道上的物体随地球自转的向心加速度 m/s2。
（2）．质量为3×103kg ( http: / / www.21cnjy.com )的汽车以10m/s的速率通过一半径为20m的凸形桥，汽车通过桥顶时对桥的压力大小是_________N，若要汽车通过桥顶时对桥顶压力为零，那么它的速率是_________m/s。（g取10m/s2）
答案：（1）．7.3×10-5；465；403；0.034 （2）．1.5×104，14.1
如图2－4－15所示，半径为R，内径很小的 ( http: / / www.21cnjy.com )光滑半圆细管竖直放置，两个质量均为m的小球A、B，以不同的速率进入管内，若A球通过圆周最高点C，对管壁上部的压力为3mg，B球通过最高点C时，对管壁内侧下部的压力为0.75mg ，求A、B球落地点间的距离．
11、解析：在最高点：
对A，= 解得：
对B，= 解得：
离开最高点，做平抛运动。
竖直方向自由落体，下落时间：t==
水平方向匀速运动：==3R
12．小球被绳子牵引在光滑水 ( http: / / www.21cnjy.com )平的板上做匀速圆周运动，如图2－4－16所示，其半径R=30cm，速率v=1.0m/s，现牵引的绳子迅速放长20cm，使小球在更大半径的新轨道上做匀速圆周运动。
求：（1）实现这一过渡所经历的时间
（2）新轨道上小球的角速度是多少？
12．解析：绳子放长的过程，小球的
匀速运动，位移为
故实现这一过渡需要时间为
如答图2－4－2
又,
描述匀速圆周运动的物理量
线速度：
角速度：
周期：
转速：
圆周运动
关系：
匀速圆周运动
向心加速度： =
向心力： =
特点： 、a和F的大小不变，方向时刻改变
离心现象：合外力 以提供向心力时物体就做远离圆心的运动
图2－4－3
图2－4－4
A
ω
图2－4－5
图2－4－6
图2－4－7
图2－4－9
图2－4－11
图2－4－12
答图2－4－1
2－4－13
图2－4－14
2－4－15
图2－4－16
·
V
V
V1
V2
答图2－4－2第二节 向心力
课前自主预习
1．向心力：
（1）做匀速圆周运动的物体，会受到指向 的合外力作用 ，这个合力叫做向心力。
（2）向心力总是指向 ，始终与线速度垂直，只改变速度的方向而不改变 。
（3）向心力是根据力的 命名，可以是各种性质的力，也可以是它们的 ，还可以是某个力的分力。
（4）如果物体做匀速圆周运动 ( http: / / www.21cnjy.com )，向心力就是物体受到的 ；如果物体做非匀速圆周运动（线速度大小时刻改变），向心力并非是物体受到的合外力。
（5）向心力的公式 或 。
2．向心加速度：
（1）定义: 做匀速圆周运动的物体,在向心力作用下必然产生一个 ,这个加速度的方向与向心力的方向相同,我们称之为向心加速度。
（2）向心加速度的大小：a = 或= 。
（3）方向：指向 ，匀速圆周运动是向心加速方向不断改变的 。
3．（单选）关于向心力的说法中正确的是（ ）
A．物体由于做圆周运动而产生向心力
B．向心力不改变圆周运动物体的速度的大小
C．做匀速圆周运动的物体其向心力是不变的
D．做圆周运动的物体所受到的合外力一定是向心力
4．（单选）关于向心加速度的意义，下列说法正确的是( )
A．它描述的是线速度大小变化的快慢
B．它描述的是线速度方向变化的快慢
C．它描述的是向心力变化的快慢
D．它描述的是角速度变化的快慢
课前自主预习答案：
1.（1）圆心.（2）圆心，大小.（3）效果，合力.（4）合外力.（5），.
2.（1）加速度.（2），.（3）圆心，变加速曲线运动.
3．B．4．B
课堂互动探究
知识点1：向心力的理解
新知探究
在图2－2－1的圆周运动中，感受……
(1)小球做圆周运动时，你牵绳的手感觉到 。
(2)如果突然松手，将会发生的现象是 。
(3)在小球质量m和旋转半径r不变的条件下，角速度ω越大，手的拉力 ；
(4在小球质量m和角速度ω不变的条件下，旋转半径r越大，手的拉力 ；
(5)在旋转半径r和角速度ω不变的条件下，小球质量m越大，手的拉力 ；
答案：(1)受到绳的拉力；(2)球沿切线飞出去；(3)越大；(4)越大；(5)越大。
重点归纳
1. 向心力公式：F＝ma＝m＝mω2r＝mr
2．向心力的性质
(1)向心力是效果力．
向心力因其方向时刻指向圆 ( http: / / www.21cnjy.com )心而得名，故它为效果力．向心力的作用效果是只改变速度的方向而不改变速度的大小．它不是具有特定性质的某种力，任何性质的力都可以作为向心力，受力分析时不分析向心力．
(2)向心力是变力．
向心力的方向指向圆心，与线速度方向垂直，方向时刻在改变，故向心力是变力．
3. 向心力的来源
(1)在匀速圆周运动中，合外力一定是向心力；非匀速圆周运动中，合外力沿半径方向的分力提供向心力．
(2)向心力是按力的作用效果来命名的，充当向心力的力可以是重力、弹力和摩擦力等各种力，也可以是各力的合力或某力的分力．
4．向心力与质量、角速度、线速度和半径的关系
(1)当质量和角速度一定时，向心力与半径成正比．
(2)当质量和线速度一定时，向心力与半径成反比．
(3)当质量和半径一定时，向心力与角速度(或线速度)的二次方成正比．
(4)当角速度(或线速度)和半径一定时，向心力与质量成正比．
【例1】两个质量分别是m ( http: / / www.21cnjy.com )1和m2的光滑小球套在光滑水平杆上，用长为L的细线连接，水平杆随框架以角速度ω做匀速转动，两球在杆上相对静止，如图2－2－2所示．求两球离转动中心的距离R1和R2及细线的拉力．
图2－2－2
解：绳对m1和m2的拉力是它们做圆周运动的向心力，根据题意得
R1＋R2＝L，R2＝L－R1
对m1有F＝m1ω2R1
对m2有F＝m2ω2R2＝m2ω2(L－R1)
所以m1ω2R1＝m2ω2(L－R1)
解得R1＝，R2＝
F＝.
触类旁通
1．图2－2－3甲为游乐场的悬空旋转椅，我们 ( http: / / www.21cnjy.com )把这种情况抽象为图2－2－4乙的模型：一质量m＝40 kg的球通过长L＝12.5 m的轻绳悬于竖直面内的直角杆上，水平杆长L′＝7.5 m．整个装置绕竖直杆转动，绳子与竖直方向成θ角．当θ＝37°时，(g＝9.8 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)求：
(1)绳子的拉力大小；
(2)该装置转动的角速度．
图2－2－3
解：(1)对球受力分析如答图2－2－1所示，则
答图2－2－1
F拉＝
代入数据得F拉＝490 N
(2)小球做圆周运动的向心力由绳拉力和重力的合力提供，有
mgtan 37°＝mω2(Lsin 37°＋L′)
解得ω＝
代入数据得ω＝0.7 rad/s.
知识点2： 向心加速度的理解
新知探究
问题1：什么是匀速圆周运动 “匀速”的含义是什么？
问题2：物体所受的外力有何特点？加速度又怎样呢？
探究1：变速曲线运动 → 运动状态改变 → 一定受到外力 → 一定存在加速度
探究2：由牛顿第二定律知F=ma，a与 ( http: / / www.21cnjy.com )F方向一致，物体做匀速圆周运动时，有指向圆心的向心力，所以匀速圆周运动物体的加速度方向指向 ；又由F＝ma＝mω2r这个加速度的大小是
答案：圆心、ω2r
重点归纳
1．向心加速度的定义：做匀速圆周运动的物体具有沿半径指向圆心的加速度，叫做向心加速度．
2．向心加速度的方向：时刻与物体的速度方向垂直且指向圆心．
3．向心加速度的大小：a＝＝ω2r＝r＝4π2f2r＝ωv.
4．向心加速度与角速度、线速度和半径的关系
(1)当线速度大小一定时，向心加速度与轨道半径成反比．
(2)当角速度一定时，向心加速度与轨道半径成正比．
(3)当半径一定时，向心加速度与角速度的平方成正比，也与线速度的平方成正比．
5．向心加速度的实质：向心加速度是描述线速度 ( http: / / www.21cnjy.com )方向改变快慢的物理量，其方向时刻发生变化，且总是沿着轨迹半径指向圆心的方向，所以匀速圆周运动是变加速运动．
【例2】如图2－2－4所示 ( http: / / www.21cnjy.com )为一皮带传动装置，传动时不打滑，O1轮的半径为O2轮半径的两倍，O1轮缘和O2轮缘上分别有B点和C点，在O1轮上有一点A，且O1A＝O1B，在匀速传动过程中A、B、C三点的向心加速度分别为aA、aB、aC，则( B )
图2－2－4
A．aA∶aB∶aC＝1∶2∶1 B．aA∶aB∶aC＝1∶2∶4
C．aA∶aB∶aC＝2∶1∶2 D．aA∶aB∶aC＝1∶2∶2
解析：设A、B、C三点的线速度、角速度和半径分别为vA、vB、vC，ωA、ωB、ωC，rA、rB、rC.
则ωA＝ωB，vB＝vC，rA＝rC＝
由a＝＝ω2r得
当ω一定时，有a∝r，即aA∶aB＝1∶2
当v一定时，有a∝，即aB∶aC＝1∶2
故aA∶aB∶aC＝1∶2∶4.
答案：B
触类旁通
2．关于质点的匀速圆周运动，下列说法正确的是（ ）
A．由可知，a与r成反比
B．由可知，a与r成正比
C．由可知，ω与r成反比，v与r成正比
D．由可知，ω与T成反比
解析：由 ，当v一定时， a与r成反比，当ω一定时，v与r成正比，所以A、B错误。对于v=ωr,当v一定时，ω与r成反比，ω一定时，v与r成正比。
答案：D
点评：本题考察学生对匀速圆周运动向心加速度表达式的全面理解应用。
知识点3：生活中的向心力
新知探究
探究1：汽车转弯
图2－2－5
(1)汽车在水平路面上转弯:向心力的来源是
(2)汽车在倾斜路面上转弯:向心力的来源是
探究2：火车转弯
火车在水平轨道上转弯：向心力的来源是
(2)火车在倾斜轨道上转弯：向心力的来源是
图2－2－6
探究3：汽车过弧形桥
图2－2－7
汽车通过桥的最高点时，向心力的来源是 。
答案：1.(1)地面对车产 ( http: / / www.21cnjy.com )生指向内侧的静摩擦力；(2)重力与支持力的合力。2.(1)外轨作用在火车轮缘上的力F；(2)重力与支持力的合力。3.重力与支持力的合力。
重点归纳
向心力的来源：向心力可以是某一个力（重力、弹 ( http: / / www.21cnjy.com )力、摩擦力）或几个力的合力，也可以是某个力的分力。向心力是按力的作用效果来命名的，受力分析时,不能多出一个向心力。
【例3】有一辆质量为1.2t的小汽车驶上半径为50m的圆弧形拱桥，如图2－2－8所示．求：
(1)汽车到达桥顶的速度为10 m/s时对桥的压力有多大？
(2)汽车以多大的速度经过桥顶时恰好对桥没有压力作用而腾空？
(3)设想拱桥的半径增大到与地球半径一样， ( http: / / www.21cnjy.com )那么汽车要在这样的桥面上腾空，速度要多大？(重力加速度g取10 m/s2，地球半径R取6.4×106 m)
图2－2－8
解：(1)设汽车受到的支持力为FN，根据牛顿第二定律有
mg－FN＝m
代入数据解得FN＝mg－m＝9.6×103 N
根据牛顿第三定律，可得汽车对桥的压力
F′N＝FN＝9.6×103 N.
(2)对桥没有压力，即FN＝FN′＝0时，根据牛顿第二定律有
mg＝m
代入数据解得v2＝＝10 m/s(或22.4 m/s)．
(3)当r＝R时，根据牛顿第二定律有
mg＝m
代入数据解得v3＝＝8×103 m/s.
触类旁通
3．在用高级沥青铺设的高速公路上，汽车的设 ( http: / / www.21cnjy.com )计时速是108 km/h.汽车在这种路面上行驶时，它的轮胎与地面的最大静摩擦力等于车重的0.6倍．如果汽车在这种高速路的水平弯道上拐弯，假设弯道的路面是水平的，其弯道的最小半径是多少？如果高速路上设计了圆弧拱桥做立交桥，要使汽车能够安全通过圆弧拱桥，这个圆弧拱桥的半径至少是多少？(取g＝10 m/s2)
解：(1)v＝108 km/h＝30 m/s
由静摩擦力提供向心力得
f＝μN＝μmg＝m
解得R＝＝ m＝150 m
即弯道的最小半径为150 m.
(2)当仅由重力提供向心力时
mg＝m
解得R′＝＝ m＝90 m
即这个圆弧拱桥的半径至少是90 m.
方法技巧\易错易混\实验透视
方法技巧
解决圆周运动问题的主要步骤：
(1)审清题意，确定研究对象；
(2)分析物体的运动情况，即物体的线速度、角速度、周期、轨道平面、圆心、半径等．
(3)分析物体的受力情况，画出受力示意图，确定向心力的来源；
(4)据牛顿运动定律及向心力公式列方程；
(5)求解、讨论．
【例4】高速公路转弯处，其弯道半径R为10 ( http: / / www.21cnjy.com )0 m，若路面向着圆心处是倾斜的，要求汽车在该处转弯时沿倾斜路面没有上、下滑动的趋势，在车速v＝15 m/s的情况下，路面的倾角应多大？(g取10 N/kg)
解：由于汽车在转弯时沿倾斜路面没有上、下滑动的趋势．所以路面的支持力和重力的合力提供向心力，受力分析如答图2－2－2所示，
答图2－2－2
由牛顿第二定律：
mgtan θ＝m
即tan θ＝
将R＝100 m，v＝15 m/s，g＝10 m/s2代入，求得θ＝13°.
触类旁通
4．长度为L＝1.0 m的绳，系一个 ( http: / / www.21cnjy.com )小球在竖直面内做圆周运动，小球的质量为m＝5 kg，小球半径不计，小球在通过最低点时的速度大小为v＝20 m/s，试求：
(1)小球在最低点时所受到绳的拉力；
(2)小球在最低点时的向心加速度．(g取9.8 m/s2)
解：(1)根据题意，在最低点时有T－mg＝m
推导可得T＝mg＋m＝2049N
(2)根据向心加速度公式得a＝＝400m/s2.
随堂练习
一、单项选择题
1．关于向心加速度，以下说法正确的是( C )
A．它描述了角速度变化的快慢
B．它描述了线速度大小变化的快慢
C．它描述了线速度方向变化的快慢
D．公式a＝只适用于匀速圆周运动
解析：由于向心加速度只改变速度的方向 ( http: / / www.21cnjy.com )，不改变速度的大小，所以向心加速度是描述线速度方向变化快慢的物理量，选项C正确；公式a＝不仅适用于匀速圆周运动，也适用于变速圆周运动，选项D错误．
2．关于向心力的公式F＝mω2r和F＝，下列说法正确的是( C )
A．对于一个做匀速圆周运动的物体，线速度越大，向心力越大
B．向心力公式只适用于匀速圆周运动
C．由F＝mω2·r，可知当m、r一定时，ω越大，向心力越大
D．由于向心力是物体所受到的合外力，因此F与m、ω、r均无关
解析：由F＝mω2r＝m，可知选项C对，A错；不管做匀速圆周运动还是变速圆周运动，F＝mω2r＝m均可适用，选项B错；向心力由物体所受的合外力提供，物体做匀速圆周运动时，合外力就是向心力，物体做变速圆周运动时，向心力为所受合外力指向圆心方向的分力，且向心力F与m、ω、r均有关，选项D错．
3．如图2－2－9所示，小篮中放一小物 ( http: / / www.21cnjy.com )块，用细绳挂于O点，现让物块随小篮一起绕O点在竖直平面内做圆周运动，设线的拉力为F，物块对篮底的压力为FN，小篮行至最高点时，物块恰好不掉落，则下列说法正确的是( C )
图2－2－9
A．此时F≠0，FN＝0
B．此时F＝0，FN≠0
C．此时F＝0，FN＝0
D．此时F≠0，FN≠0
解析：由题意可知物块恰好不掉下来，v＝，由FN′＋mg＝，F＋Mg＝M，可知 FN′＝0，F＝0，由牛顿第三定律可知选项C对．
二、双项选择题
4．关于做匀速圆周运动的物体所受的合外力，下列说法正确的是( AD )
A．合外力的大小不变，方向一定指向圆心
B．合外力的大小和方向时刻改变
C．合外力的作用效果既改变速度的大小，又改变速度的方向
D．合外力的作用效果只改变速度的方向，不改变速度的大小
解析：做匀速圆周运动的物体所受的合外力提供向心力，因此大小不变，方向总是指向圆心，且只改变速度的方向，不改变速度大小，故选项A、D正确．
5．小球的质量为m，绕半径为R的圆周轨道做匀速圆周运动，向心加速度为a，则下列的说法正确的是( AC )
A．小球受到的合外力大小为ma
B．小球的角速度为ω＝
C．小球的线速度大小为v＝
D．小球运动的周期为T＝2π
解析：匀速圆周运动的加速度大小为向心加速度，故F合＝ma，选项A对；由a＝，a＝ω2R及a＝（2π/T）2R，可得选项C对，B、D错．
6．在光滑的水平面上，长为L的细线拴一质量为m的小球，以线速度v做匀速圆周运动，下列说法正确的是( AC )
A．当L、v不变时，m越大，线越容易拉断
B．当m、v不变时，L越长，线越容易拉断
C．当m、L不变时，v越大，线越容易拉断
D．当m不变时，v增大1倍，L减半，线的拉力不变
解析：由F＝，可知选项A、C正确．
课后巩固提升
一、单项选择题
1．如图2-2-10所示，小物体m与圆盘保持相对静止，随盘一起做匀速圆周运动，则物体的受力情况是（C ）
A．受重力、支持力
B．受重力、支持力、静摩擦力和向心力的作用
C．受重力、支持力、指向圆心的摩擦力
D．以上均不正确
解析：物体m在平台上，其受到的重力竖直向下 ( http: / / www.21cnjy.com )，支持力竖直向上，且两力是一对平衡力。物体m是否受摩擦力，方向如何，由运动状态分析才知道。由于物体m随圆盘一起做匀速圆周运动，其必受到向心力作用，重力和支持力不提供向心力，所以m必受到指向圆心的静摩擦力作用，才能做匀速圆周运动。故c正确。
答案：C
点评：本题考察学生对匀速圆周运动产生的条件的理解，掌握匀速圆周运动的向心力是来源于物体所受到的合外力。
2．关于向心加速度的物理意义，下列说法正确的是( B )
A．它描述线速度大小变化的快慢
B．它描述线速度方向变化的快慢
C．它描述角速度变化的快慢
D．它描述物体受力变化的快慢
解析：向心加速度与速度方向垂直只改变线速度的方向
3．由于地球的自转，地球上的物体都有向心加速度，关于地球表面上各处向心加速度的说法中，正确的是( D )
A．都指向地心 B．都指向南极
C．都指向北极 D．都垂直指向地轴
解析：地球绕地轴转动，则地球上各点都绕地轴做匀速圆周运动，半径垂直地轴．
4．如图2－2－11所示，两轮用皮带传 ( http: / / www.21cnjy.com )动，没有打滑，A、B、C三点位置如图，若r1>r2，O1C＝r2，则这三点的向心加速度的关系是( A )
图2－2－11
A．aCB．aC>aA>aB
C．aA＝aB＝aC
D．aB＝aC>aA
解析：因ωA＝ωC，vB＝vA，r1>r2
由a＝＝ω2r得
当ω一定时，有a∝r，即aC当v一定时，有a∝，即aA故aC答案：A
5．一圆筒绕其中心轴OO1匀速转动，筒内壁上紧挨着一个物体与筒一起运动，相对筒无滑动，如图2－2－12所示，物体所受的向心力是( C )
图2－2－12
A．物体的重力
B．筒壁对物体的静摩擦力
C．筒壁对物体的弹力
D．物体所受重力与弹力的合力
6．一辆卡车在丘陵地区匀速行驶，地形如图2－2－13所示，由于轮胎太旧，途中爆胎，爆胎可能性最大的地段应是( D )
图2－2－13
A．a处
B．b处
C．c处
D．d处
解析：在a、c两处有mg－N＝，在b、d两处有N′－mg＝，因v一定，在d处r最小N′最大，故选项D正确．
7．如图2－2－14所示，水平放置 ( http: / / www.21cnjy.com )的圆盘转轴MN匀速转动，圆盘上放置质量分别为mA、mB的小物块A、B，且mA∶mB＝2∶1，A、B到圆心O的距离rA∶rB＝1∶2，A、B随圆盘一起运动，设A、B两物块的向心加速度分别为aA、aB，静摩擦力分别为fA、fB，则下列说法正确的是( B )
图2－2－14
A．aA∶aB＝1∶2，fA∶fB＝1∶2
B．aA∶aB＝1∶2，fA∶fB＝1∶1
C．aA∶aB＝1∶1，fA∶fB＝2∶1
D．aA∶aB＝2∶1，fA∶fB＝2∶1
解析：由题意知ωA＝ωB，由a＝ω2r， ( http: / / www.21cnjy.com )F＝mω2r，可知aA∶aB＝1∶2，FA∶FB＝1∶1，又因为物块是由静摩擦力提供向心力，故选项B正确．
二、双项选择题
8．以下关于匀速圆周运动的理解中正确的是( CD )
A．匀速圆周运动是一种匀速运动
B．匀速圆周运动是一种匀变速运动
C．匀速圆周运动是一种变加速运动
D．由于向心力与速度的方向垂直，故它只改变速度的方向
解析：匀速圆周运动的速度方 ( http: / / www.21cnjy.com )向时刻改变，故它是一种变速运动，A错；它的加速度方向时刻指向圆心，故它是一种变加速运动，B错、C对；由于向心力与速度的方向垂直，故它不改变速度的大小，只改变速度的方向，D对。
9．关于向心力，下列说法正确的是( CD )
A．向心力是物体做圆周运动时产生的一种新力
B．向心力就是物体做圆周运动时所受的合外力
C．向心力的方向始终垂直于速度方向
D．向心力是使线速度方向改变的原因
解析：向心力是一种效果力，是物 ( http: / / www.21cnjy.com )体做圆周运动时，所受合外力在指向圆心方向的分力；向心力只改变线速度的方向，不改变线速度的大小，且向心力方向始终垂直于速度方向，因此，选项A、B错，C、D对．
10．如图2－2－15所示，质量为m的玻璃球从半径为R的光滑固定的半圆形轨道的a点滑到b点，下列说法正确的是( BD )
图2－2－15
A．玻璃球所受外力总是指向圆心O
B．玻璃球受到的向心力大小逐渐增大
C．玻璃球受到的向心力大小逐渐减小
D．玻璃球受到圆轨道的弹力逐渐增大
解析：对玻璃球进行受力分 ( http: / / www.21cnjy.com )析可知，它受到重力mg和轨道对它的支持力N作用．由于所受合外力不指向圆心，玻璃球做变速圆周运动，且由a到b，速度越来越大，由牛顿第二定律，F向＝N－mgcos θ＝.随它下落时θ角越来越小，v越来越大，则N逐渐增大，向心力逐渐增大．(θ角是支持力N与竖直方向的夹角)
11．在旱冰场上，一位同学沿着圆周做造型表演，若把他的运动近似看成匀速圆周运动，下列说法中正确的是( BC )
A．在研究他的造型表演时，可以将他看做质点
B．他的速度是变化的
C．他运行一周所用的时间是恒定的
D．他运行时有加速度，且加速度是恒定的
解析：在研究他的造型表演时，他的大小不能忽略 ( http: / / www.21cnjy.com )，故不可以将他看做质点，A错；他的速度方向时刻改变，故他的速度是变化的，B对；匀速圆周运动的周期是恒定的，故他运行一周所用的时间是恒定的，C对；他的加速度为向心加速度，方向时刻变，D错。
12．如图2－2－16所示，细杆 ( http: / / www.21cnjy.com )的一端与一小球相连，可绕过O点的水平轴自由转动，现给小球一初速度，使它做圆周运动．图中a、b分别表示小球轨道的最低点和最高点．则杆对球的作用力可能是( AB )
图2－2－16
A．a处为拉力，b处为拉力
B．a处为拉力，b处为推力
C．a处为推力，b处为拉力
D．a处为推力，b处为推力
解析：由题意“给小球一初速度，使小球做 ( http: / / www.21cnjy.com )圆周运动”，则小球上升到b处的速度大小未知，当vb>时，b处为拉力；当0≤vb<时，b处杆对小球作用力为推力，而在a处一定为拉力．
13．如图2－2－17所示为A、B两物体做匀速圆周运动的向心加速度随半径变化的图象，其中A为双曲线的一分支，由图可知( AD )
图2－2－17
A．A物体运动的线速度不变
B．A物体运动的角速度不变
C．B物体运动的线速度不变
D．B物体运动的角速度不变
解析：由图可知A物体a∝，B物体的a∝r，由a＝＝ω2r，可知选项A、D正确．
14．如图2－2－18所示，轻绳 ( http: / / www.21cnjy.com )一端固定在O点，绳长为L，另一端悬挂一质量为m的小球，在水平面上做圆锥摆运动，圆锥角为θ，角速度为ω，绳的张力为F，则下列表达式正确的是(g为重力加速度)( BC )
图2－2－18
A．F＝mgcos θ
B．F＝
C．F＝mω2L
D．F＝mω2Lsin
解析：对小球受分析可知小球受重力和 ( http: / / www.21cnjy.com )张力作用，在竖直方向合外力为0，则有Fcos＝mg，即F＝；在水平方向有Fsin ＝mω2Lsin，则F＝mω2L.
三、非选择题
15．儿童乐园中，一个质量为20 kg ( http: / / www.21cnjy.com )的小孩骑在木马上随木马一起在水平面内匀速转动．已知转轴距木马5 m远，每10 s转1圈，把小孩的转动看做匀速圆周运动，求：
(1)小孩转动的角速度；
(2)小孩转动的线速度；
(3)小孩转动的向心力．
解：(1)小孩转动的角速度ω＝＝ rad/s＝0.628 rad/s
(2)小孩转动的线速度v＝ωr＝0.628×5 m/s＝3.14 m/s
(3)小孩转动的向心力F＝m＝20× N＝39.4 N.
16．质量相等的小球A、B分别固定在 ( http: / / www.21cnjy.com )轻杆的中点及端点，当棒在光滑的水平面上绕O点匀速转动，如图2－2－19所示，求A、B两球所受的拉力之比．
图2－2－19
解：对B有FB＝mBωrB，对A有FA＝mAωrA
因为mA＝mB，rB＝2rA，ωA＝ωB
所以FA∶FB＝1∶2.
17．如图2－2－20所示，长 ( http: / / www.21cnjy.com )度为L＝1.0 m的绳子，拴着一质量m＝1 kg的小球在竖直面内做圆周运动，小球半径不计，已知绳子能够承受的最大张力为74 N，圆心离地面高度H＝6 m，运动过程中绳子始终处于绷紧状态．(g＝10 m/s2)求：
(1)分析绳子在何处最易断，求出绳子断时小球的线速度；
(2)绳子断后，小球做平抛运动的时间及落地点与抛出点的水平距离．
图2－2－20
解：(1)在最低点时绳子上的拉力最大，绳子最易断．根据牛顿第二定律得F－mg＝m解得v＝8 m/s
(2)小球从最低点开始平抛，v0＝v＝8 m/s.根据平抛运动的规律有
水平方向x＝v0t
竖直方向H－L＝gt2
联立上述两式解得落地点与抛出点的水平距离x＝8 m.
图2－2－1
ω
m
图2-2-10
O第三节 离心现象及其应用
课前自主预习
1．圆心运动
（1）定义：做圆周运动的 ( http: / / www.21cnjy.com )物体，在所受 突然消失或不足以提供圆周运动所需 的情况下，就做逐渐远离 的运动，这种运动现象就叫离心现象。
（2）本质：离心现象是物体 的表现。
2．离心运动的条件
（1）物体做离心运动的条件是：做圆周运动的物体所受的 消失或不足以提供圆周运动所需的向心力。
（2）做离心运动的物体，其运动轨迹 ( http: / / www.21cnjy.com )有两种可能：一是由于合外力不足以提供物体做圆周运动所需的 ，物体的运动轨迹是逐渐 圆心的渐开线；另一种是合外力突然消失，物体由于惯性沿外力消失瞬间速度方向做 运动。
3．离心现象的应用和防止
（1）利用：在实际生活中，利用离心现象工作的机械叫 ，生活中常见的有离心分离器、洗衣机的脱水筒等。
（2）危害：离心现象有时也是 ，应设法防止，如：
①汽车在转弯（尤其在下雨天）时冲出车道而发生事故，因此在转弯处安装限速的警示牌。
②高速转动的砂轮或飞轮在高速转动时容易飞出而伤人，因此在砂轮的外侧加一个保护罩。
4．(单选)物体做离心运动时，运动轨迹( )
A．一定是直线
B．一定是曲线
C．可能是直线，也可能是曲线
D．可能是圆
5．(双选)在下列哪几种情况下，原来做圆周运动的物体将产生离心运动( )
A．物体所受的合外力突然消失
B．物体所受的合外力突然增强
C．物体所受的合外力小于所需的向心力
D．物体所受的合外力大于所需的向心力
课前自主预习答案：
1.（1）合外力， 向心力 ，圆心 ，（2）惯性
2．（1）合外力 （2）向心力，远离，匀速直线
3．（１）离心机械（2）有害的
4．C.5．AC
课堂互动探究
知识点1：离心现象
新知探究
在北京时间8月11日凌晨结束的2 ( http: / / www.21cnjy.com )012年伦敦奥运会女子链球决赛中，中国选手张文秀以76米34的成绩获得铜牌。张文秀连续两届奥运会获得铜牌，成为中国第一位连续两届奥运会获得奖牌的田径运动员。图2－3－1所示为链球运动员张文秀投掷链球时情景。请思考下列问题．
(1)运动员未松手前链球做 运动.
(2)运动员松手后链球做 运动.
图2－3－1
答案：(1)圆周运动 (2)离心运动
重点归纳
1．离心现象：做圆周运动的物体，在 ( http: / / www.21cnjy.com )所受合外力突然消失或不足以提供圆周运动所需的向心力的情况下，就会做逐渐远离圆心的运动，这种现象称为离心现象．
2．离心运动的实质——物体惯性的表现
做匀速圆周运动的物体，由于 ( http: / / www.21cnjy.com )本身有惯性，总是想沿着圆周切线方向运动，只是由于向心力作用，使它不能沿切线方向飞出，而被限制着沿圆周运动．如果提供向心力的合外力突然消失，物体由于本身的惯性，将沿着切线方向运动，这也是牛顿第一定律的必然结果．如果提供向心力的合外力减小，使它不足以将物体限制在圆周上，物体将做半径变大的圆周运动．此时，物体逐渐远离圆心，但“远离”不能理解为“背离”．做离心运动的物体并非沿半径方向飞出，而是运动半径越来越大 .
3．离心运动的受力特点
物体做离心运动并不是受到“离心力”作用(“离心力”实际上是不存在的)，而是提供的向心力太小或突然消失的缘故．
4．理解离心运动的条件
(1)向心力的作用效果是改变物 ( http: / / www.21cnjy.com )体的运动方向，如果向心力突然消失，则物体的速度方向不再变化，由于惯性，物体将沿切线方向飞出去，它不是沿半径方向飞出．
(2)如果提供的向心力太小，虽然物体的速度方 ( http: / / www.21cnjy.com )向仍在变化，但变化较慢，因此物体会偏离原来的圆周而做离心运动，其轨迹为圆周和切线间的某一条曲线．
5.离心运动轨迹的理解：
分析物体是做圆周运动、离心运动还是向心运动，要看外界提供的向心力与物体做圆周运动所需要的向心力的关系．
(1)当F＝mω2r时，物体做匀速圆周运动；
(2)当F＝0时，物体沿切线方向飞出；
(3)当F＜mω2r时，物体逐渐远离圆心；
(4)当F＞mω2r时，物体逐渐靠近圆心．
图2－3－2
【例1】(双选)一个粗糙的水平转台以 ( http: / / www.21cnjy.com )角速度ω匀速转动，转台上有一质量为m的物块恰能随转台一起转动而做匀速圆周运动，则下列说法正确的是( )
A．若增大角速度ω，物块将沿切线方向飞出
B．若增大角速度ω，物块将沿曲线逐渐远离圆心
C．若减小角速度ω，物块将沿曲线逐渐靠近圆心
D．若减小角速度ω，物块仍做匀速圆周运动
解析：物体恰能随转台一起 ( http: / / www.21cnjy.com )转动，说明此时充当向心力的摩擦力恰好能够保证物体做圆周运动．如果增大角速度ω，则需要的向心力要增大，而摩擦力不能再增大了，因此，物体就会逐渐远离圆心，B答案正确；若减小角速度ω，则需要的向心力减小，而摩擦力也可以减小，因此，物体仍做匀速圆周运动，D答案正确．
答案：BD
触类旁通
1．下列关于离心现象的说法正确的是( )
A．当物体所受的离心力大于向心力时产生离心现象
B．做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切力都消失时，它将做背离圆心的圆周运动
C．做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切力都消失时，它将沿切线方向做直线运动
D．做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切力都消失时，它将沿切线方向做曲线运动
解析：当F＜mω2r时，物体逐渐远离圆心，产生离心现象，离心力不存在，故A错；当F＝0时，物体沿切线方向飞出，做直线运动，故C对、BD错。
答案:C
知识点2：离心现象的应用与防止
新知探究
任何事物都有两面性，离心运动也不例外，也存在利与弊，我们应该如何对待离心运动？
( http: / / www.21cnjy.com )
图2－3－3
探究1：如图2－3－3左 ( http: / / www.21cnjy.com )为洗衣机的脱水桶，当脱水桶转得比较慢时，水滴与衣服的附着力F足以提供所需的向心力，水滴做圆周运动；当脱水桶转得比较快时，附着力F不足以提供所需的向心力，于是水滴做离心运动，穿过脱水桶孔，飞到桶外．洗衣机的脱水是 离心运动。
探究2：如图2－3－3右是砂轮防护罩 ( http: / / www.21cnjy.com )，砂轮防护罩的功能是在不影响加工作业情况下，将人员与运动砂轮隔离，并当砂轮破坏时，有效地罩住砂轮碎片，保障人员安全。砂轮防护罩等是 离心运动的危害
答案:利用，防止。
重点归纳
1．离心现象应用：利用离心运动制成的离心机械，如离心干燥器、洗衣机的脱水筒等.
2．离心现象防止：在汽车和火车转弯处， ( http: / / www.21cnjy.com )为防止离心运动造成的危害，一是限定汽车和火车的转弯速度不能太大；二是把路面筑成外高内低的斜坡以增大向心力．在水平公路上行驶的汽车，转弯时所需的向心力是由车轮与路面的静摩擦力提供的，如果转弯时速度过大，所需向心力F大于最大静摩擦力Fmax，汽车将做离心运动而造成交通事故．因此，在公路弯道处，车辆行驶不允许超过规定的速度．
【例2】(双选)洗衣机的甩干桶在转动时有一衣物附着在桶壁上，此时( )
A．衣服受到重力、桶壁的弹力和摩擦力
B．衣服随桶壁做圆周运动的向心力是摩擦力
C．桶壁的弹力随桶的转速的增大而增大
D．桶壁对衣物的摩擦力随转速的增大而增大
解析：衣服受到重力、桶壁的弹力和摩擦力， ( http: / / www.21cnjy.com )选项A正确．衣服在弹力充当的向心力作用下做圆周运动，B错误．转速增大，向心力增大，即弹力增大，C正确．摩擦力与重力是一对平衡力，因此D错误．
答案：AC
触类旁通
2．(双选)为了防止汽车在水平路面上转弯时出现“打滑”的现象，可以( BC )
A．增大汽车转弯时的速度
B．减小汽车转弯时的速度
C．增大汽车与路面间的摩擦
D．减小汽车与路面间的摩擦
解析：汽车在水平路面上转弯时出现“打滑 ( http: / / www.21cnjy.com )”的现象是一种离心运动，当F＜mω2r＝m时，物体做离心运动；防止汽车在水平路面上转弯时出现“打滑”就要减小汽车转弯时的速度或增大汽车与路面间的摩擦，使F＝mω2r＝m，故BC对、AD错。
方法技巧\易错易混\实验透视
易错易混
1.离心运动本质：
离心现象的本质是物体惯性的表现
离心运动是物体逐渐远离圆心的一种物理现象
2.离心运动的特点 ：
（1）做圆周运动的质点，当合外力消失时，它就以这一时刻的线速度沿切线方向飞去．
（2）做离心运动的质点是做半径越来越大的运动或沿切线方向飞出的运动，它不是沿半径方向飞出．
（3）做离心运动的质点不存在所谓的“离心力”作用，因为没有任何物体提供这种力 ．
【例3】下列关于离心现象的说法中，正确的是( D )
A．当物体所受到的离心力大于向心力时，产生离心现象
B．做圆周运动的物体，当它所受的一切力突然消失后，物体才做离心运动
C．离心运动就是物体背离圆心方向的运动
D．离心运动是当物体做圆周运动时，所受到向心力不足以提供所需要的向心力而远离圆周轨道的运动
解析：当物体实际向心力消失或小于所需向心力时，物体做远离原圆周轨道的运动．
答案:D
触类旁通
3．关于离心运动，下列说法中正确的是( D )
A．物体突然受到向心力的作用，将做离心运动
B．物体突然受到离心力的作用，将做离心运动
C．做匀速圆周运动的物体，只要向心力的数值发生变化就做离心运动
D．做匀速圆周运动的物体，当外界提供的向心力突然消失或变小时将做离心运动
解析：当物体做圆周运动时，其所受合外力突然消失或不足以提供所需的向心力时，物体将做离心运动．
答案:D
随堂练习
一、单项选择题
1．做离心运动的物体，关于速度变化正确的是( B )
A．速度大小可能不变，方向一定变化
B．速度的大小和方向可能均不变
C．速度的大小一定变化，方向可能不变
D．速度的大小和方向一定变化
解析：当物体所受的合外力突然消失时，物体将保持原有的运动状态沿圆周切线方向飞出．
2．小李为使雨伞上的雨滴甩掉，他让雨伞在水平方向上匀速旋转，下列说法正确的是( B )
A．当转速一定时，越靠近伞柄中央的雨滴越容易甩掉
B．当转速一定时，越靠近雨伞边缘的雨滴越容易甩掉
C．当转速一定时，不论是在雨伞边缘还是在伞中央的雨滴同样容易甩掉
D．以上情况均有可能
解析：由Fn＝m(2πn)2·r及伞对雨滴的吸附力一定时，当r越大，所需向心力越大，而吸附力F一定，可知选项B对．
3．物体做离心运动时，它的加速度( B )
A．一定变为零
B．可能变为零
C．一定不变
D．可能保持不变
解析：物体做离心运动的条件是：合外力突然消失或所受合外力不足以提供做圆周运动所需的向心力，故可能有加速度，也可能无加速度，选项B正确．
二、双项选择题
4．对下列运动情况描述正确的是( AC )
A．若物体做匀速圆周运动时向心力突然消失，物体将沿切线方向直线飞出
B．若物体做匀速圆周运动，物体的实际向心力FC．若物体做匀速圆周运动，物体的实际向心力F>mω2r时，物体将向圆心方向靠近，做近心运动
D．以上说法均不正确
解析：当做匀速圆周运动的物体向心力突然消失时 ( http: / / www.21cnjy.com )将沿切线方向飞出做直线运动；当物体所受的实际向心力小于所需的向心力时，物体将远离原轨道做曲线运动；当物体所受的实际向心力大于所需的向心力时，物体将向圆心方向靠近，做近心运动．
5．为了防止物体做离心运动而造成损失，下列哪些做法是正确的( AC )
A．汽车转弯时要限定速度
B．洗衣机转动给衣服脱水
C．转速较高的砂轮半径不宜太大
D．将砂糖熔化，在有孔的盒子中旋转制成“棉花糖”
解析：汽车在水平路面上转弯时速 ( http: / / www.21cnjy.com )度过大，路面对汽车的摩擦力不足以提供汽车转弯所需的向心力，汽车出现“打滑”的现象，为了防止汽车在水平路面上转弯时出现“打滑”的现象，转弯时要限制速度，故A对；洗衣机转动给衣服脱水和将砂糖熔化，在有孔的盒子中旋转制成“棉花糖”是离心运动的利用，故B、D错；砂轮、飞轮等超过允许的最大转速时F＜mω2r，他们将做离心运动，发生事故，故C对；
6．下列关于离心现象的说法中，正确的是( D )
A．当物体所受到的离心力大于向心力时，产生离心现象
B．做圆周运动的物体，当它所受的一切力突然消失后，物体才做离心运动
C．离心运动就是物体背离圆心方向的运动
D．离心运动是当物体做圆周运动时，所受到向心力不足以提供所需要的向心力而远离圆周轨道的运动
解析：当物体实际向心力消失或小于所需向心力时，物体做远离原圆周轨道的运动．
课后巩固提升
一、单项选择题
1．(2011年佛山一中月考)如图2－3－4所示，洗衣机脱水桶在转动时，衣服贴靠在匀速转动的圆筒内壁上而不掉下来，则衣服( B )
图2－3－4
A．受到四个力的作用
B．所需的向心力由弹力提供
C．所需的向心力由重力提供
D．所需的向心力由静摩擦力提供
解析：衣服受到向下的重力、向上的静摩擦力和圆筒内壁对它的指向圆心的支持力共三个力，所需的向心力由圆筒内壁对它的支持力提供，故B对。
2．物体做离心运动时，运动轨迹( C )
A．一定是直线
B．一定是曲线
C．可能是直线，也可能是曲线
D．可能是一个圆
解析：做圆周运动的物体，在所受合外 ( http: / / www.21cnjy.com )力突然消失或不足以提供圆周运动所需的向心力的情况下，就会做逐渐远离圆心的运动，即当F＝0时，物体沿切线方向飞出，物体做直线运动；当F＜mω2r时，物体逐渐远离圆心，做曲线运动，故C对。
3．长短不同的绳子能承受的最大拉力相等，各拴着一个质量相同的小球在光滑的平面上做匀速圆周运动，那么( C )
A．当它们的线速度相同时，长绳易断
B．当它们的角速度相同时，短绳易断
C．当它们的角速度相同时，长绳易断
D．无论怎样，都是短绳易断
解析：由向心力公式F向＝mω ( http: / / www.21cnjy.com )2r＝m知，当m、v一定时，F向∝，即短绳易断；当m、ω一定时，F向∝r，即长绳易断，故选项A、B、D错，C对．
4．盛有质量为m的水的水桶以手臂为半径使之在竖直平面内做圆周运动，水随桶转到最高点需要的向心力为mω2R，则( B )
A．当mω2R>mg时，水就洒出来
B．当mω2RC．当mω2R＝mg时，水就洒出来
D．以上结论都不对
解析：当重力刚好等于所需的向心力时，水则刚好不洒出；当重力大于所需的向心力时，水就洒出来，故选项B正确．
5．坐在行驶的公共汽车内的乘客发生与离心运动有关的现象是( D )
A．乘客突然向前倾倒
B．乘客突然向后倾倒
C．乘客上下振动
D．乘客因为汽车向左转弯而向右侧倾倒
解析：由于惯性，当车突然转弯时，乘客仍保持原来运动状态，故选项D对．
6．物体m用线通过光滑的水平板上的小孔与砝码 ( http: / / www.21cnjy.com )M相连，并且正在做匀速圆周运动，如图2－3－5所示，如果减小M的质量，则物体的轨道半径r、角速度ω变化情况是( B )
图2－3－5
A．r不变，ω变小 B．r增大，ω减小
C．r减小，ω增大 D．r减小，ω不变
解析：做匀速圆周运动时，Mg＝mω2r，当Mg减小时，Mg7．当汽车驶过凸形拱桥时，为使通过桥顶时汽车对桥的压力尽量小，司机应( B )
A．以较小的速度过桥
B．以较大的速度过桥，但不能太大
C．以任何速度过桥
D．使通过桥顶的向心加速度尽量小
解析：汽车在拱桥顶时，有mg－N＝m，N＝mg－，可知v越大，N越小，当v＝时，N＝0，这时汽车将脱离路面，将会有发生交通事故的危险．
8．如图2－3－6所示，小球从“离心轨道”上滑下，若小球经过A点时开始脱离圆环，则小球将做( C )
图2－3－6
A．自由落体运动
B．平抛运动
C．斜抛运动
D．螺旋状的运动
解析：小球脱离轨道时速度沿轨道切线方向，即斜向上，且小球脱离轨道后，仅受重力作用，因此做斜抛运动．
二、双项选择题
9．下列现象是为了防止物体产生离心运动的有( AB )
A．汽车转弯时要限制速度
B．在修筑铁路时，转弯处的外轨高于内轨
C．离心水泵工作时
D．投掷链球时
解析：汽车在水平路面上转弯时速度过大，路面对 ( http: / / www.21cnjy.com )汽车的摩擦力不足以提供汽车转弯所需的向心力，汽车出现“打滑”的现象，为了防止汽车在水平路面上转弯时出现“打滑”的现象，转弯时要限制速度，故A对；在修筑铁路时，转弯处的外轨高于内轨是利用火车的重力和铁轨对火车的支持力的合力提供向心力，以免磨损铁轨，故B对；离心水泵工作、投掷链球都是利用他们失去向心力而做离心运动，故BD错。
10．假定雨伞面完全水平，旋转时，其上一部分水滴被甩出来，下列关于伞面上水滴的受力和运动情况的说法中正确的是( AC )
A．越靠近转轴的水滴，越难被甩出来
B．水滴离开雨伞时是沿半径方向离心而去
C．水滴离开雨伞后，对地的运动为平抛运动
D．雨伞转得越快，水滴落地的时间就越长
解析：在转动雨伞时，伞上的水滴 ( http: / / www.21cnjy.com )均是同轴转动，向心力由黏附力提供，Fn＝mω2r，越靠近轴，Fn越小，故选项A对；当所需的向心力大于黏附力时，水滴做离心运动，脱离伞后做平抛运动，故B、D错，C对．
11．如图2－3－7，以相同的材料做成的A、 ( http: / / www.21cnjy.com )B、C三物体放在匀速转动的平台上，若都相对于平台静止，且mA∶mB∶mC＝2∶1∶1，rB＝rC＝2rA，则( AD )
图2－3－7
A．物体A的向心加速度最小
B．物体C受到的摩擦力最小
C．转速增大时，物体C比物体B先滑动
D．转速增大时，物体B比物体A先滑动
解析：A、B、C三物体同轴 ( http: / / www.21cnjy.com )转动，由a＝ω2r，可知aB＝aC＝2aA，选项A正确；A、B、C三物体都是由静摩擦力提供向心力，由F＝mω2r，可知FA＝FB＝FC，选项B错；物体的最大静摩擦力与正压力成正比，故转速增大时，B、C两物体最大静摩擦力相同，A物体最大静摩擦力最大，则B、C先同时滑动，A最后滑动，选项C错，D正确．
12．小球以水平速度v进入一个水平旋转的光滑的螺旋形轨道，轨道半径逐渐减小，则( AB )
A．球的向心加速度不断增大
B．球的角速度不断增大
C．球对轨道的压力不断减小
D．小球运动的周期不断增大
解析：由于小球在光滑的水平 ( http: / / www.21cnjy.com )螺旋形轨道上运动，速度大小v不变，由于轨道半径逐渐减小，由a＝，ω＝，Fn＝及T＝，可知选项A、B正确，C、D错误．
13．一个粗糙的水平转台以角速度ω匀速转动，转台上有一质量为m的物块恰能随转台一起转动而做匀速圆周运动，则下列说法正确的是( BD )
A．若增大角速度ω，物块将沿切线方向飞出
B．若增大角速度ω，物块将沿曲线逐渐远离圆心
C．若减小角速度ω，物块将沿曲线逐渐靠近圆心
D．若减小角速度ω，物块仍做匀速圆周运动
解析：若增大角速度ω，转台对物块的静 ( http: / / www.21cnjy.com )摩擦力也增大，当静摩擦力达到最大值后，F＜mω2r，物体逐渐远离圆心；若减小角速度ω，转台对物块的静摩擦力减小，F＝mω2r，物体做匀速圆周运动；故BD对。
14．如图2－3－8所示，质量为m的木块 ( http: / / www.21cnjy.com )，从位于竖直平面内的圆弧形曲面上下滑，由于摩擦的作用，木块从a到b的运动速率增大，b到c的速率恰好保持不变，c到d的速率减小，则( BD )
图2－3－8
A．木块在ab段加速度不为零，在bc段加速度为零
B．木块在abc段过程中加速度均不为零
C．木块在整个过程中所受的合外力一定指向圆心
D．木块只有在bc段所受的合外力方向总是指向圆心的
解析：物体在整个过程中速度均变化，因而加速度不为零，而木块在bc段做匀速圆周运动，所受合外力一定指向圆心．
三、非选择题
15．如果汽车的质量为m，水平弯道 ( http: / / www.21cnjy.com )是一个半径为50 m的圆弧，汽车与地面间的最大静摩擦力为车重的0.2倍，欲使汽车转弯时不打滑，汽车在弯道处行驶的最大速度是多少？(g取10 m/s2)
解：当汽车刚好不打滑时，最大静摩擦力等于向心力，则有kmg＝m，所以v＝＝ m/s＝10 m/s.
16．如图2－3－9所示，细绳一端 ( http: / / www.21cnjy.com )系着质量为M＝0.6 kg的物体，静止在水平面，另一端通过光滑小孔吊着质量m＝0.3 kg的物体，物体M的中点与孔的距离为0.2 m，并知物体M和水平面的最大静摩擦力为2 N，现使此平面绕中心轴线转动，问角速度ω在什么范围内物体m会处于静止状态？(g取10 m/s2)
图2－3－9
解：要使物体m处于静止状态， ( http: / / www.21cnjy.com )物体M应相对水平面静止，当ω具有最小值时，M有向圆心运动的趋势，所以M受到的静摩擦力方向沿半径向外，大小等于最大静摩擦力．
T－fm＝Mωr
而T＝mg
代入数据解得ωmin＝2.9 rad/s
当ω具有最大值时，M有远离圆心的运动趋势，M受到的静摩擦方向指向圆心，且大小也等于最大静摩擦力2 N.
对于M有：T＋fm＝Mωr
且T＝mg
代入数据解得ωmax＝6.5 rad/s
故ω的取值范围为2.9 rad/s≤ω≤6.5 rad/s.
17．一根长60 cm的细绳，最多能承受100 N的拉力．用它吊起一质量为4 kg的物体，当物体摆动起来经过最低点时，绳子恰被拉断．问：
(1)此时物体的速度多大？
(2)若绳断时物体距地面0.8 m，则物体落地时的速度大小是多少？(g取10 m/s2)
解：(1)绳子恰被拉断，物体受到绳子的最大拉力为100 N，有
T－mg＝m
则有v1＝
＝＝3 m/s.
(2)绳断后，物体以速度v1做平抛运动，设物体落地时的速度为v2，则有
h＝gt2，vx＝v1，vy＝gt，v2＝
解得v2＝5 m/s.
18．一圆盘可以绕其竖直轴在水平 ( http: / / www.21cnjy.com )面内转动，圆盘的半径为R，甲、乙物体质量分别为M和m(M>m)，它们与圆盘之间的最大静摩擦力均为正压力的μ倍，两物体用一根长为l(l图2－3－10
解：乙物体做匀速圆周运动，受力分析如答图2－3－1所示．
答图2－3－1 答图2－3－2
由牛顿第二定律：T＋fm＝mω2l
甲物体处于平衡状态，受力分析如答图2－3－2所示．
由平衡条件知fM－T′＝0
根据题意有T＝T′，N＝mg，N′＝Mg
要使ω有最大值，
fm＝μN，fM＝μN′，
联立得μ(M＋m)g＝mωl，则ωmax＝.