万有引力定律及其应用章末小结与检测
【知识要点结构梳理】
知识要点结构梳理参考答案: 7.9 km/s，11.2 km/s， 16.7 km/s，
【专题突破】
一、人造卫星三种速度辨析：
发射速度：是指卫星直接从地面发射后离开地面时的速度。三个宇宙速度均为发射速度，而第一宇宙速度是最小的发射速度。
环绕速度（即第一宇宙速度）：是指近地卫星的线速度,即卫星的最小发射速度、最大运行速度。
第一宇宙速度的两种求法：
①人造卫星在地面附近绕地球做匀速圆周运动时，其轨道半径近似等于地球半径R，其向心力为地球对卫星的万有引力，其向心加速度近似等于地面处的重力加速度，设地球质量为M.根据万有引力定律和匀速圆周运动的规律可得G=m
解得v=m/s=7.9 km/s
②由mg=m
解得v=m/s=7.9 km/s
运行速度：人造卫星在高空沿着圆形轨道运行的线速度。
由G＝m
得v＝.即v∝，
说明卫星的运动轨道半径越大，其运行线 ( http: / / www.21cnjy.com )速度就越小．实际上由于卫星的轨道半径都大于地球半径，所以卫星的实际运行速度一定小于发射速度．所以近地人造地球卫星的速度是最大环绕速度，也是人造卫星的最小发射速度．
【例1】(2011·福州模拟)“嫦娥二 ( http: / / www.21cnjy.com )号”成功发射后，探月成为同学们的热门话题．一位同学为了测算卫星在月球表面附近做匀速圆周运动的环绕速度，提出了如下实验方案：在月球表面以初速度v0竖直上抛一个物体，测出物体上升的最大高度h，已知月球的半径为R，便可测算出绕月卫星的环绕速度．按这位同学的方案，绕月卫星的环绕速度为( )
A．v0 B．v0
C．v0 D．v0
解析：绕月卫星的环绕速度即第一宇宙速度，v＝，对于竖直上抛的物体有v02＝2gh，所以环绕速度为v＝＝＝v0，选项D正确．
答案：D
触类旁通
1．关于地球的第一宇宙速度，下列表述正确的是( )
A．第一宇宙速度又叫环绕速度
B．第一宇宙速度又叫脱离速度
C．第一宇宙速度跟地球的质量无关
D．第一宇宙速度跟地球的半径无关
解析：第一宇宙速度又叫环绕速度，A对，B错；万有引力提供向心力，由G＝m可知第一宇宙速度与地球的质量和半径有关，C、D错．
答案：A
二、卫星运行速度、角速度，运行周期及向心加速度与半径r的关系
1.线速度v：由G＝m得v＝，随着轨道半径的增加，卫星的线速度减小．
2.角速度ω：由G＝mω2r得ω＝，随着轨道半径的增加，做匀速圆周运动的卫星的角速度减小．
3.周期：由G＝mr，得T＝2π，随着轨道半径的增加，卫星的周期增大．
4.加速度：由G＝ma得a＝GM/r2，随着轨道半径的增加，做匀速圆周运动的卫星的加速度减小．
【例2】假如一个做匀速圆周运动的人造地球卫星的轨道半径增大为原来的2倍，仍做匀速圆周运动，则( )
A．根据公式可知，卫星所需要的向心加速度将减小为原来的倍
B．根据公式 可知，地球提供的向心力将减小为原来的倍
C．根据公式可知，卫星的线速度将增大到原来的2倍
D．根据上述A和B中所给出的公式可知，卫星运动的线速度将减小为原来的倍
解析：人造卫星绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力
故
∴
当r增大到原来的2倍时，v减小为原来的倍，ω减小为原来的倍，向心力减小为原来的倍，故选BD
答案：BD
点评：分析这类问题，关键是抓住万有引力提供向心力，分析相关量之间的变化关系，在T、、ω、r四个量中，一个量发生变化时，另外三个量一定同时变化。
触类旁通
2.如图3-4-1所示，a、b、c是在地球大气层外圆形轨道上运行的3颗人造卫星，下列说法正确的是 ( )
A．b、c的线速度大小相 ( http: / / www.21cnjy.com )等，且大于a的速度
B．b、c的向心加速度大小相等，且大于a的向心加速度
C．c加速可以追上同一轨道上的b，b减速可以等候同一轨道上的c
D．a卫星由于某种原因，轨道半径缓慢减小，其线速度将变大
解析：稳定运行的卫星速度变化时，轨 ( http: / / www.21cnjy.com )道半径会相应地变化，这种情况下速度变化是轨道半径变化的原因，速度变大，使轨道半径变大，速度减小，使轨道半径减小。而不同轨道半径上稳定运行卫星的速度与轨道半径不是这样的关系，稳定运行速度随半径的增加而减小。要注意区分两种情况。
答案：D
三、地球同步卫星问题
地球同步卫星即地球同步轨 ( http: / / www.21cnjy.com )道卫星，又称对地静止卫星，是运行在地球同步轨道上的人造卫星，星距离地球的高度约为36000 km，卫星的运行方向与地球自转方向相同、运行轨道为位于地球赤道平面上圆形轨道、运行周期与地球自转一周的时间相等，即23时56分4秒，卫星在轨道上的绕行速度约为3.1公里/秒，其运行角速度等于地球自转的角速度。
地球同步卫星的五个“一定”
1.轨道平面一定：轨道平面与赤道面共面．
2.周期一定：与地球自转周期相同，即T＝24 h.
3.角速度一定：与地球自转的角速度相同．
4.高度一定：离地面的高度h＝－R.
5.速率一定：v＝.
【例3】地球同步卫星到地心的距离r可由求出。已知式中a的单位是m， b的单位是s，c的单位是m／s2，则( )
a是地球半径，b是地球自转的周期，c是地球表面处的重力加速度；
B．a是地球半径，b是同步卫星统地心运动的周期，c是同步卫星的加速度
C．a是赤道周长，b是地球自转周期，c是同步卫星的加速度；
D．a是地球半径，b是同步卫星绕地心运动的周期，c是地球表面处的重力加速度
解析：由，可得： ①
与题目中给出的相比需再做进一步处理。
考虑到c的单位是m／s2，是加速度的单位，于是引入重力加速度： ②
②式中g为同步卫星的加速度，r为同步卫星到地心距离，由①②两式可得，进而得，显然与选项不符。
引入地球表面处的重力加速度g0， ③
由①③可得与相比，形式相同，并且符合选项中的要求。
对于同步卫星，其绕地心运动的周期与地球自转周期相同。
答案：AD
点评：此题不能靠单纯分析量纲来验证结论，各选项都符合量纲，无法求解。要结合同步卫星的知识进行推导，推导的方向是既要符合题目中给出的形式，又要符合选项的要求。在推导的过程中思路要清晰，量纲要相符、形式要相同，表面上看是一件很难的事，其实只要试几次即可。
触类旁通
3、（双选）下面关于同步卫星的说法正确的是 ( )
A．同步卫星和地球自转同步，卫星的高度和速率就被确定
B．同步卫星的角速度虽已被确定，但高度和速率可以选择，高度增加，速率增大；高度降低，速率减小，仍同步
C．我国发射第一颗人造地球卫星的周期是114分钟，比同步卫星的周期短，所以第一颗人造地球卫星离地面的高度比同步卫星低
D．同步卫星的速率比我国发射第一颗人造卫星的速率大
解析：同步卫星和地球自转同步，即它 ( http: / / www.21cnjy.com )们的周期(T)相同，设同步卫星绕地心近似做匀速圆周运动所需向心力由卫星(m)和地球(M)间的万有引力提供；设地球半径为R，同步卫星高度为h，因为F引＝F向，所以G＝m(R＋h)．得h＝－R，可见，h一定．
由＝m得：v＝，
可见v一定．所以，选项A是正确的．
由于同步卫星的周期确定，即角速度确定，则h和v均随之确定，不能改变，否则不同步，所以选项B是错的．
由h＝－R可知，当T变小时，h变小，可见，第一颗人造卫星离地面的高度比同步卫星低，速率比同步卫星大，故选项C正确，D错误．
答案：AC
第三章 万有引力定律及其应用单元测试
（时间50分钟，满分100分）
单项选择题（本题共4小题，每小题4分，共16分。在每一小题给出的四个选项中只有一个选项符合题目要求）
1.发射人造卫星是将卫星以一定的 ( http: / / www.21cnjy.com )速度送入预定轨道．发射场一般选择在尽可能靠近赤道的地方，如图3-4-2所示．这样选址的优点是，在赤道附近( )
A．地球的引力较大
B．地球自转线速度较大
C．重力加速度较大
D．地球自转角速度较大 图3-4-2
解析：为了节省能量，而沿自转方向发射，卫星绕地球自转而具有的动能在赤道附近最大，因而使发射更节能．故选B.
答案：B
2．某同学设想驾驶一辆由火箭作动力的陆地太空两用汽车，沿赤道行驶并且汽车相对
于地球速度可以任意增加，不计空气阻力，当汽车速度增加到某一值时，汽车将离开
地球成为绕地球做圆周运动的“航天汽车”，对此下列说法正确的是(R＝6400 km，取
g＝10 m/s2)( )
A．汽车在地面上速度增加时，它对地面的压力增大
B．当汽车离开地球的瞬间速度达到28 440 km/h
C．此“航天汽车”环绕地球做圆周运动的最小周期为1 h
D．在此“航天汽车”上弹簧测力计无法测量力的大小
解析：汽车受到的万有引力提供向心力 ( http: / / www.21cnjy.com )和重力，在速度增加时，向心力增大，则重力减小，对地面的压力则减小，选项A错误．若要使汽车离开地球，必须使汽车的速度达到第一宇宙速度7.9 km/s＝28 440 km/h，选项B正确．此时汽车的最小周期为T＝2π＝2π＝2π＝5 024 s＝83.7 min，选项C错误．在此“航天汽车”上弹簧产生形变仍然产生弹力，选项D错误．
答案：B
3．关于地球同步卫星下列判断正确的是( )
A．运行速度大于7.9 km/s
B．离地面高度一定，相对地面静止
C．绕地球运行的角速度比月球绕地球运行的角速度小
D．向心加速度与静止在赤道上物体的向心加速度大小相等
解析：由万有引力提供向心力 ( http: / / www.21cnjy.com )得：＝，v＝，即线速度v随轨道半径r的增大而减小，v＝7.9 km/s为第一宇宙速度即环绕地球表面运行的速度；因同步卫星轨道半径比地球半径大很多，因此其线速度应小于7.9 km/h，故A错，因同步卫星与地球自转同步，即T、ω相同，因此其相对地面静止，由公式＝m(R＋h)ω2得：h＝－R，因G、M、ω、R均为定值，因此h一定为定值，故B对；因同步卫星周期T同＝24小时，月球绕地球转动周期T月＝30天，即T同＜T月，由公式ω＝得，ω同＞ω月，故C错；同步卫星与静止在赤道上的物体具有共同的角速度，由公式an＝rω2，可得：＝，因轨道半径不同，故其向心加速度不同，D错误．
答案：B
4．(2011·上海高考)月球 ( http: / / www.21cnjy.com )绕地球做匀速圆周运动的向心加速度大小为a.设月球表面的重力加速度大小为g1，在月球绕地球运行的轨道处由地球引力产生的加速度大小为g2，则
( )
A．g1＝a B．g2＝a
C．g1＋g2＝a D．g2－g1＝a
解析：月球因受地球引力的作用而绕地球做匀速圆周运动．由牛顿第二定律可知地球对月球引力产生的加速度g2就是向心加速度a，故B选项正确．
答案：B
二.双项选择题（本题共5小题，每小题6分，共 ( http: / / www.21cnjy.com )30分。在每小题给出的四个选项中，均有两个选项符合题意。每小题全选对者得6分；只选1个且正确得3分；错选、多选、不选得0分）
5．（11广东）现有两颗绕地球匀速圆 ( http: / / www.21cnjy.com )周运动的人造地球卫星A和B，它们的轨道半径分别为rA和rB。如果rAA．卫星A的运动周期比卫星B的运动周期大
B．卫星A的线速度比卫星B的线速度大
C．卫星A的角速度比卫星B的角速度大
D．卫星A的加速度比卫星B的加速度小
解析：由，得T=∝，知A错；由 ，得=∝，知B对；由，得ω=∝知C对；由 ，得a=∝知D错。
答案：AD
6．有一宇宙飞船到了某行星上(该行星没有自转运动)，以速度v接近行星表面匀速飞行，测出运动的周期为T，已知引力常量为G，则可得( )
A．该行星的半径为
B．该行星的平均密度为
C．无法测出该行星的质量
D．该行星表面的重力加速度为
解析：由T＝可得：R＝，A正确；由＝m可得：M＝，C错误；由M＝πR3·ρ得：ρ＝，B错误；由＝mg得：g＝，D正确．
答案：AD
7．如图3-4-3所示， ( http: / / www.21cnjy.com )a，b是两颗绕地球做匀速圆周运动的人造卫星，它们距地面的高度分别是R和2R(R为地球半径)．下列说法中正确的是( )
A．a、b的线速大小之比是∶1
B．a、b的周期之比是1∶2
C．a、b的角速度大小之比是3∶4
D．a、b的向心加速度大小之比是9∶4 图3-4-3
解析：两卫星均做匀速圆周 ( http: / / www.21cnjy.com )运动，F万＝F向，向心力选不同的表达形式分别分析，由＝m得＝＝＝，A错误；由＝mr()2得＝＝ ，B错误；由＝mrω2得＝＝，C正确；由＝ma得＝＝，D正确．
答案：CD
8．我国未来将建立月球基地，并在绕月 ( http: / / www.21cnjy.com )轨道上建造空间站．如图3-4-4所示，关闭动力的航天飞机在月球引力作用下向月球靠近，并将与空间站在B处对接，已知空间站绕月轨道半径为r，周期为T，万有引力常量为G，下列说法中正确的是( )
A．图中航天飞机正减速飞向B处
B．航天飞机在B处由椭圆轨道进入空间站轨道必须点火减速
C．根据题中条件可以算出月球质量
D．根据题中条件可以算出空间站受到月球引力的大小 图3-4-4
解析：关闭动力的航天飞机在月球引力作用 ( http: / / www.21cnjy.com )下向月球靠近，引力做正功，航天飞机的动能增加，即速度增加，所以A错误；航天飞机在B处进入圆轨道，必须减小速度，所以B正确；由G＝mr可求出月球质量M＝，所以C正确；由于空间站自身的质量未知，因此没法算出空间站受到月球引力的大小，所以D不正确．
答案：BC
9．(2011·东莞模拟)两颗靠得较近的 ( http: / / www.21cnjy.com )天体叫双星，它们以两者重心连线上的某点为圆心做匀速圆周运动，因而不至于因引力作用而吸引在一起，以下关于双星的说法中正确的是
( )
A．它们做圆周运动的角速度与其质量成反比
B．它们做圆周运动的线速度与其质量成反比
C．它们所受向心力与其质量成反比
D．它们做圆周运动的半径与其质量成正比
解析：双星的角速度相同，与质量无关，A ( http: / / www.21cnjy.com )正确．不管双星质量大小关系如何，双星受到相互的吸引力总是大小相等的，分别等于它们做匀速圆周运动的向心力，C不正确．对于双星分别有G＝Mω2R，G＝mω2r，R∶r＝m∶M，D不正确．线速度之比V∶v＝m∶M，B正确．
答案：AB
三．非选择题（本题共3小题，解答应写出必要的 ( http: / / www.21cnjy.com )文字说明、方程式和重要演算步骤，只写出最后答案的不能得分，有数值计算的题，答案中必须明确写出数值和单位。）
10．无人飞船“神州二号”曾在离地高度为H＝3. 4105m的圆轨道上运行了47小时。求在这段时间内它绕行地球多少圈？（地球半径R=6.37106m，重力加速度g＝9.8m/s2）
10.解析：用r表示飞船圆轨道半径r=H+R==6. 71106m 。
M表示地球质量，m表示飞船质量，表示飞船绕地球运行的角速度，G表示万有引力常数。由万有引力定律和牛顿定律得
利用 ＝g得 ＝2由于＝，T表示周期。解得
T＝，又n=代入数值解得绕行圈数为n=31。
11．某物体在地面上受到的重力为160 N，将它置于宇宙飞船中，当宇宙飞船以a= 的加速度加速上升时，在某高度处物体对飞船中支持面的压力为90 N，试求此时宇宙飞船离地面的距离是多少 （已知地球半径R=6.4×103 km，g=10 m/s2）
11.解：物体在地面时重力为160 N，则其质量＝=16 kg.（2分）
物体在地面时有=mg （2分）
在h高处时有 FN－=ma（2分）
由上式得（）2==16 （2分）
所以=4 （2分）
则h=3R=19.2×103 km （2分）
12．宇宙中存在一些离其他恒星 ( http: / / www.21cnjy.com )较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统, 通常可忽略其它星体对它们的引力作用。已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式: 一种是三颗星位于同一直线上, 两颗星围绕中央星在同一半径为 R 的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个项点上, 并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行。设每个星体的质量均为 m。
(1) 试求第一种形式下, 星体运动的线速度和周期。
(2) 假设两种形式星体的运动周期相同, 第二种形式下星体之间的距离应为多少
12.解:⑴由万有引力定律和牛顿第二定律得：
解得： ，
⑵由万有引力定律和牛顿第二定律得：
解得：
点评：解决此类问题的关键：
①确定万有引力公式中的和向心力公式中的轨道半径。
②确定万有引力的来源：不能漏力；不能弄错方向。
万有引力定律
天体的运动
“日心说”与“地心说”内容
开普勒运动定律
开普勒第一定律（轨道定律）
开普勒第二定律（面积定律）
开普勒第三定律（周期定律）
万有引力定律
万有引力定律
引力常量G的测定，卡文迪许扭秤实验
万有引力定律的内容
万有引力定律的应用
宇宙速度
成就
宇宙航行
测量地球的质量
计算天体的质量
人造地球卫星
第二宇宙速度v=
第三宇宙速度v=
第一宇宙速度v=
图3-4-1第三节 飞向太空
课前自主预习
1. 火箭发射的基本原理：火箭是利用自身携带的燃料燃烧后急速喷出的气体产生的 ，推动火箭前进，使火箭发射升空的。
2. 火箭发射的工作过程：在现在技术 ( http: / / www.21cnjy.com )条件下，一级火箭的最终速度还达不到发射人造卫星所需要的速度，发射卫星要用多级火箭，一般用 。火箭起飞时， 火箭的发动机“点火”，推动各级火箭一起前进；当这一级的燃料 后， 火箭开始工作，并自动脱离第一级火箭的外壳；第二级火箭在第一级火箭基础上进一步 ，以此类推，最终达到所需要的速度。
3. 同步卫星发射的两种方式
（1）直线发射：由火箭把卫星发射到3600km的赤道上空，然后做900转折飞行，使卫星进入轨道。
（2）变轨发射：先把卫星发射到高度 ( http: / / www.21cnjy.com )为200—300km的圆形轨道上，这条轨道叫停泊轨道；当卫星穿过赤道平面时，末级火箭点火工作，使卫星进入一条大的椭圆轨道，其远地点恰好在赤道上空3600km处，这条轨道叫转移轨道；当卫星到达远地点时，再开动卫星上的发动机，使之进入同步轨道，也叫静止轨道。
4.人类遨游太空的足迹
发展历程 时间
（ ） 12世纪南宋
近代火箭 19世纪俄国
多级火箭 20世纪前苏联
（ ） 1957年前苏联
载人宇宙飞船 1961年前苏联
（ ） 1969年美国
空间站（空间实验室） 1971年前苏联1973年美国
（ ） 1981年美国
5.人类空间探测的足迹
1962年美国发射：“水手2号”探测器 “金星”
1989年美国发射：“伽利略号”探测器 飞行6年 “ ”
1997年美国发射：“卡西尼号”探测器 飞行7年 “土星” （2004.7.1）
2003年美国发射：“勇气号”和“机遇号” 飞行7个月 “ ” （2004.1.4）和（2004.4.24）
我国的航天成就
1956年10月8日，我国第一个火箭导弹研制机构——国防部第五研究院成立.
1958年4月，开始兴建我国第一个运载火箭发射场。
1964年7月19日，我国第一枚内载小白鼠的生物火箭在安徽广德发射成功，我国的空间科学探测迈出了第一步。
1
1968年4月1日，我国航天医学工程研究所成立
1970年4月24日,第一颗人造地球卫星“东方红”1号在酒泉发射成功
1975年11月26日，首颗返回式卫星发射成功，3天后顺利返回
1979年，远望1号航天测量船建成并投入使用
1985年，我国正式宣布将长征系列运载火箭投入国际商业发射市场。
1990年4月7日，长征三号运载火箭成功发射美国研制的“亚洲一号”卫星。
1990年7月16日，长征2号捆绑式火箭首次在西昌发射成功。
1990年10月，载着两只小白鼠和其 ( http: / / www.21cnjy.com )他生物的卫星升上太空，开始了我国首次携带高等动物的空间轨道飞行试验。
1992年，我国载人飞船正式列入国家计划进行研制，这项工程后来被定名为神舟号飞船载人航天工程。
1999年11月20日、2001年 ( http: / / www.21cnjy.com )1月10日、2002年3月25日、2002年12月30日，我国先后4次成功发射神舟一号至四号无人飞船，载人飞行已为时不远。
2003年10月15日， ( http: / / www.21cnjy.com )我国成功发射第一艘载人飞船神舟五号，将航天员杨利伟送入太空。这次的成功发射标志着中国成为继前苏联（现由俄罗斯承继）和美国之后，第三个有能力独自将人送上太空的国家。
2005年10月12日，我 ( http: / / www.21cnjy.com )国成功发射第二艘载人飞船神舟六号，宇航员费俊龙和聂海胜。中国第一艘执行“多人多天”任务的载人飞船并首次进行多人多天飞行试验。
2008年9月25日，神舟七号载人飞船顺利升空，航天员翟志刚、刘伯明、景海鹏。神七实现了出舱，为后面月球登陆，和建立空间站，做准备工作。
2011年9月29日中国第一个目标飞行器“天宫一号”发射成功。它的发射标志着中国迈入中国航天“三步走”战略的第二步第二阶段。
2011年11月1日神舟八号无人飞船升空，。升空后2天，“神八”与此前发射的“天宫一号”目标飞行器进行了空间交会对接。
2012年6月16日18时37分 ( http: / / www.21cnjy.com )，神舟九号飞船在酒泉卫星发射中心发射升空。2012年6月18日约11时左右转入自主控制飞行，14时左右与天宫一号实施自动交会对接，这是中国实施的首次载人空间交会对接。
课前自主预习答案:
1.反作用力.2.三级、第一级、燃尽、第二级、加速.4.古代火箭、人造地球卫星、人类登月、航天飞机.5.木星、火星
课堂互动探究
知识点1：飞向太空的桥梁——火箭
新知探究
探索宇宙的奥秘，奔向广阔的太空，是人类自古以来的梦想，人类是借助于 完成飞向太空的壮举的。
答案：火箭
重点归纳
一、火箭
1．人造卫星的发射
(1)要成为地球的人造卫星，发射速度必须达到7.9km/s，要成为太阳的人造卫星，发射速度必须达到11.2km/s.
(2)发射人造卫星需借助速度推进工具——火箭．
2．发射卫星的火箭
(1)原理：利用燃料燃烧向后急速喷出气体产生的反作用力，使火箭向前射出．
(2)组成：主要由壳体和燃料两部分组成，壳体内能运载弹头、人造卫星、空中探测器等物体，燃料部分有氧化剂和燃烧剂．
3．多级火箭的发射过程
(1)在现代技术条件下，一级火箭的最终速度还达不到发射人造卫星所需要的速度，发射卫星要用多级火箭．
(2)多级火箭发射过程
图3－3－2
①火箭起飞时，第一级火箭的发动机“点火”，推动各级火箭一起前进．
②当第一级的燃料燃尽后，第二级火箭开始工作，并自动脱掉第一级火箭的外壳．
③第二级火箭在第一级火箭基础上进一步加速，以此类推，最终达到所需要的速度．
知识点2：梦想成真——遨游太空
新知探究
我国首个空间实验室“天宫一号”于2 ( http: / / www.21cnjy.com )011年9月29日发射升空．按计划与“神舟八号”、“神舟九号”和“神舟十号”进行无人和有人对接，实现我国航天器空间对接技术．“神舟八号”于2011年11月1日凌晨发射，这次发射的主要任务是与“天宫一号”对接……
图3－3－3
1．1957年10月4日，苏联发射了第一颗人造地球卫星．
2．2003年10月15日，我国 ( http: / / www.21cnjy.com ) 宇宙飞船在酒泉卫星发射中心成功发射，把我国第一位航天员 送入太空，成为继苏联、美国后，第三个依靠自己的力量将宇航员送上太空的国家．
答案：“神舟五号”， 杨利伟
知识点3：探索宇宙奥秘的先锋——空间探测器
新知探究
1．1962年美国发射了 探测器，第一次对金星进行了近距离的考察．
2．1989年美国宇航局发射的 探测器飞行6年到达木星．
3．2003年美国 与 探测器分别发射成功，于2004年登陆火星．
答案：1．水手2号；2．伽利略号；3．勇气号、机遇号
【例1】2011年11月1日我国成 ( http: / / www.21cnjy.com )功发射“神舟八号”飞船，飞船随火箭一起离开发射塔飞向天空，并与此前发射的“天宫一号”实现交会对接，下列表述中错误的是( )
A．飞船在升空过程中受到平衡力的作用
B．火箭推力对飞船做了功
C．飞船的动能和势能不断增加
D．燃料的化学能最终会转化成为火箭的机械能
解析：火箭发射分三个阶段，即加速飞行段 ( http: / / www.21cnjy.com )、惯性飞行段和最后加速段，故A选项是错误的；根据初中所学的知识，推力做了功，并且在这个过程中速度和高度都增加，所以动能和势能都增大，在这个过程中，机械能来自于燃料的化学能，所以B、C、D选项都正确．
答案：A
触类旁通
1．2010年10月1日巨型运载火箭将“嫦娥二号”卫星平地托起，送入天空．火箭在加速上升过程中，机械能( A )
A．增大 B．减小
C．不变 D．不确定
解析：火箭在加速上升过程中，动能和势能都增加，机械能增大
答案：A
方法技巧\易错易混\实验透视
方法技巧
卫星的在轨运行和变轨问题
1．卫星的轨道
(1)赤道轨道：卫星的轨道在赤道平面内．同步卫星就是其中的一种．
(2)极地轨道：卫星的轨道过南北两极，即在垂直于赤道的平面内．如定位卫星系统中的卫星轨道．
(3)其他轨道：除以上两种轨道外的卫星轨道．
2．卫星的稳定运行与变轨运行分析
(1)圆轨道上的稳定运行
G＝m＝mrω2＝mr()2
(2)变轨运行分析
①当v增大时，所需向心力m增大，即万有引力不足以提供向心力，卫星将做离心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变大，但卫星一旦进入新的轨道运行，由v＝知其运行速度要减小，但重力势能、机械能均增加．
②当卫星的速度突然减小时 ( http: / / www.21cnjy.com )，向心力减小，即万有引力大于卫星所需的向心力，因此卫星将做向心运动，同样会脱离原来的圆轨道，轨道半径变小，进入新轨道运行时由v＝ 知运行速度将增大，但重力势能、机械能均减少．(卫星的发射和回收就是利用了这一原理)．
[关键一点]
(1)一切卫星的轨道的圆心都与地心重合．
(2)地球同步卫星的五个“一定”
①轨道平面一定：轨道平面与赤道面共面．
②周期一定：与地球自转周期相同，即T＝24 h.
③角速度一定：与地球自转的角速度相同．
④高度一定：离地面的高度h＝－R.
⑤速率一定：v＝.
【例2】(双选)我国发射的“嫦娥二号”探 ( http: / / www.21cnjy.com )月卫星简化后的路线示意图如图3－3－4所示，卫星由地面发射后经过发射轨道进入停泊轨道，然后在停泊轨道经过调速后进入地月转移轨道，经过几次制动后进入工作轨道，卫星开始对月球进行探测．已知地球与月球的质量之比为a，卫星的停泊轨道与工作轨道的半径之比为b，卫星在停泊轨道和工作轨道上均可视为做匀速圆周运动，则卫星 ( )
A．在停泊轨道和工作轨道运行的速度之比为
B．在停泊轨道和工作轨道运行的周期之比为
C．在停泊轨道运行的速度大于地球的第一宇宙速度
D．从停泊轨道进入地月转移轨道时，卫星必须加速
[解析] 由G＝m，得v＝ ，
所以＝ ＝ ，选项A正确．
由G＝mr得＝ ＝ ，选项B错误．由v＝ 可知，轨道半径越大，运行速度越小，所以选项C错误．要使卫星从停泊轨道进入地月转移轨道，必须使卫星做离心运动，即应增加卫星的动能，选项D正确．
[答案] AD
触类旁通
2．(双选)发射地球同步卫星时， ( http: / / www.21cnjy.com )先将卫星发射至近地圆形轨道1，然后经点火使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火将卫星送入同步轨道3.轨道1、2相切于Q点，轨道2、3相切于P点，如图3－3－5所示，则当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，以下说法正确的是( BD )
图3－3－5
A．卫星在轨道3上的运行速率大于在轨道1上的速率
B．卫星在轨道3上的角速度小于在轨道1上的角速度
C．卫星在轨道1上经过Q点时的加速度大于它在轨道2上经过Q点时的加速度
D．卫星在轨道2上经过P点时的加速度等于它在轨道3上经过P点时的加速度
解析：由于万有引力提供卫 ( http: / / www.21cnjy.com )星做圆周运动的向心力，则有＝＝mω2r，所以v＝、ω＝.由图可得轨道半径r1v3、ω1>ω3，A错B对；Q点是圆周轨道1与椭圆轨道2的相切点，由于万有引力提供向心力，则有＝ma向，所以a向＝.显然，卫星在经过圆周轨道1上的Q点和在经过椭圆轨道2上的Q点时具有的向心加速度均为a向＝，C错；同理可得D对．
随堂练习
一、单项选择题
1．在绕地球做匀速圆周运动的宇宙飞船内，下列仪器可以正常使用的有( D )
A．天平 B．弹簧测力计
C．杆秤 D．酒精温度计
解析：绕地球做匀速圆周运动的宇宙飞船内处于完全失重状态，故选项D对．
2．人造地球卫星进入轨道做匀速圆周运动，下面的说法中正确的是( C )
A．卫星内的物体处于完全失重状态，卫星本身没有失重
B．卫星内的物体不再受重力作用
C．卫星内的物体仍受重力作用
D．卫星内的物体不受重力的作用而只受向心力的作用
解析：人造地球卫星进入轨道运行处于完全失重状态，仍受重力作用，这时，重力全部用于提供向心力，故选项C对．
3．绕地球做匀速圆周运动的人造卫星内有一质量为2 kg的物体挂在弹簧测力计上，这个弹簧测力计的示数( A )
A．等于零 B．等于20 N
C．大于20 N D．小于20 N
解析：人造地球卫星在轨道内只受地球对它的万有引力作用，且用于提供它做圆周运动的向心力，选项A对．
4．通信卫星绕地球赤道运转，其 ( http: / / www.21cnjy.com )周期与地球周期相同，这种卫星称为同步卫星，由地面看，此卫星像是悬在高空中静止不动，有关同步卫星的叙述正确的是( D )
A．它的位置太高，不会受地球引力的作用，所以能悬在高空静止
B．它受到太阳的引力恰好等于地球对它的引力
C．它受到月亮的引力恰好等于地球对它的引力
D．它受到地球的引力恰好等于它绕地球做匀速圆周运动的向心力
解析：同步卫星在轨道内只受地球对它的万有引力作用，且用于提供它做圆周运动的向心力，选项D对．
5．关于绕地球做匀速圆周运动的人造地球卫星( D )
A．卫星的轨道半径越大，其线速度越小，因此发射越容易
B．卫星的轨道半径越大，其线速度越大，因此发射越困难
C．由于第一宇宙速度为7.9 km/s是恒定的，因此，发射任何卫星难易程度是相同的
D．由于最小发射速度是刚好能使物体绕地球表面做匀速圆周运动的速度，因此轨道半径越大，发射越困难
解析：当沿地球自转的切线方向发 ( http: / / www.21cnjy.com )射人造地球卫星时，速度达到7.9 km/s，刚好能绕地球表面做匀速圆周运动，若轨道半径增大时，根据运动的分解，必须要有竖直方向的分速度，因而发射速度将变大，因此，轨道半径越大发射越困难．
二、双项选择题
6．航天技术的不断发展，为人类探索 ( http: / / www.21cnjy.com )宇宙创造了条件，1988年发射的“月球勘探者号”空间探测器，运用最新科技手段对月球进行近距离勘探，在月球重力分布、磁场分布及元素测定等方面取得最新成果，探测器在一些环形山中央发现了质量密集区，当飞越这些重力异常区域时( AC )
A．探测器受到的月球对它的万有引力将变大
B．探测器运行的轨道半径将变大
C．探测器飞行的速度将变大
D．探测器飞行的速度将变小
解析：由于在质量密集区域，由F＝G，可知月球对它的万有引力变大，此时F>而做近心运动，半径减小，由v＝可知v增大，故选项A、C正确．
课后巩固提升
一、单项选择题
1．人造地球卫星在运行中，火箭沿线速度反向喷火，喷火后在新的轨道上仍能做匀速圆周运动，则( C )
A．a减小，T增大，r减小
B．a减小，T减小，r减小
C．a减小，T增大，r增大
D．a增大，T减小，r增大
解析：当火箭沿线速度反向喷火，人造卫星由 ( http: / / www.21cnjy.com )于反冲作用，线速度增大，将做离心运动进入新轨道，故r增大，由G＝ma和G＝mr，知a减小，T增大，选项C对．
2．可发射这样一颗人造卫星，其圆形轨道满足下列条件( C )
A．与地球表面上某一纬度线(非赤道)是共面的同心圆
B．与地球表面上某一经度线是共面的同心圆
C．与地球表面上的赤道线是共面的同心圆
D．以上说法都不正确
解析：人造地球卫星飞行时,地球对 ( http: / / www.21cnjy.com )卫星的万有引力提供向心力,且指向地心,若卫星的轨道与地球上某纬度线共面,则向心力便不指向地心了,所以A是错误的.地球自转时,地球上的经度线随之转动,而卫星轨道平面并不随之转动，所以B是错误的.
3．绕地球做匀速圆周运动的人造卫星内有一质量为1 kg的物体，下列说法正确的是( A )
A．将物体挂在弹簧测力计上，示数等于零
B．将物体挂在弹簧测力计上，示数小于9.8 N
C．将物体挂在弹簧测力计上，示数一定等于9.8 N
D．将物体挂在弹簧测力计上，示数可能为9.8 N
解析：绕地球做匀速圆周运动的人造卫星内部的物体均处于完全失重状态，弹簧测力计示数为零，选项A对．
4．1989年10月18日，人类发射的 ( http: / / www.21cnjy.com )“伽利略号”木星探测器进入太空，于1995年12月7日到达木星附近，然后绕木星运转并不断发回拍摄到的照片，于2002年耗尽所有备用燃料坠入木星大气层而销毁，人类发射该探测器的发射速度应为( C )
A．等于7.9 km/s
B．大于7.9 km/s而小于11.2 km/s
C．大于11.2 km/s而小于16.7 km/s
D．大于16.7 km/s
解析：因为脱离地球进入太阳系，所以大于第二宇宙速度小于第三宇宙速度．
5．卫星在到达预定的圆周轨道之前，运输火 ( http: / / www.21cnjy.com )箭的最后一节火箭仍和卫星连接在一起(卫星在前，火箭在后)，先在大气层外某一轨道a上绕地球做匀速圆周运动，然后启动脱离装置，使卫星加速并实现星箭脱离，最后卫星到达预定轨道b，关于星箭脱离后的正确说法是( C )
A．预定轨道b比某一轨道a离地面更高，卫星速度比脱离前大
B．预定轨道b比某一轨道a离地面更低，卫星速度和运行周期变小
C．预定轨道b比某一轨道a离地面更高，卫星的向心加速度变小
D．卫星和火箭仍在同一轨道上运动，卫星的速度比火箭大
解析：在某一轨道a加速将做离心运动，到预定轨道b做圆周运动．
6．在研究宇宙发展演变的理论 ( http: / / www.21cnjy.com )中，有一种学说叫“宇宙膨胀说”，这种学说认为万有引力常量G在缓慢地变小，根据这一理论，在很久很久以前，太阳系中地球的公转情况与现在相比( C )
A．公转半径R较大
B．公转周期T较大
C．公转速率v较大
D．公转角速度ω较小
解析：原来G值大一些，由v＝知v比现在大．同理，T比现在小，ω比现在大，G减小后，万有引力不足以提供向心力，故现在的R较大．
7．某人造地球卫星因受高 ( http: / / www.21cnjy.com )空稀薄气体的阻力作用，绕地球运转的轨道会慢慢改变．某次测量中卫星的轨道半径为r1，后来变为r2，且r1>r2.以v1、v2分别表示卫星在这两个轨道的速度，T1、T2分别表示卫星在这两个轨道绕地球运动的周期，则有( A )
A．v1T2 B．v1C．v1>v2，T1>T2 D．v1>v2，T1解析：由于万有引力提供向心力，则由＝得v＝，显然，随着卫星轨道半径r的变小，其速度v必然增大，故v18．宇宙飞船和空间站在同一轨道上运动，若飞船想与前面的空间站对接，飞船为了追上空间站，可以采取的方法是( B )
A．飞船加速直到追上空间站，完成对接
B．飞船从原轨道减速至一个较低轨道，再加速追上空间站完成对接
C．飞船加速至一个较高轨道再减速追上空间站完成对接
D．无论飞船采取何种措施，均不能与空间站对接
解析：宇宙飞船做圆周运动的向心力由地球 ( http: / / www.21cnjy.com )对其施加的万有引力提供，由牛顿第二定律有G＝m，想追上同轨道上的空间站，直接加速会导致飞船轨道半径增大，无法对接；飞船若先减速，它的轨道半径减小，但速度增大了，故在低轨道上飞船可接近或超过空间站，当飞船运动到合适的位置后再加速，则其轨道半径增大，同时速度减小，当刚好运动到空间站所在轨道处时停止加速，则飞船的速度刚好等于空间站的速度，可完成对接；若飞船先加速到一个较高轨道，其速度小于空间站速度，此时空间站比飞船运动快，当两者相对运动一周后，使飞船减速，轨道半径减小又使飞船速度增大，仍可追上空间站，但这种方法易造成飞船与空间站碰撞，不是最好办法．综上所述，应选B.
答案：B
9．我国成功发射一颗绕月运行的探月卫星 ( http: / / www.21cnjy.com )“嫦娥一号”，设该卫星的轨道是圆形的，且贴近月球表面，已知月球的质量约为地球质量的，月球的半径约为地球的，地球上的第一宇宙速度约为7.9 km/s.则该探月卫星绕月运行的速度约为( B )
A．0.4 km/s B．1.8 km/s
C．11 km/s D．36 km/s
解析：对于环绕地球或月球的人造卫星，其所受万有引力提供它们做圆周运动所需的向心力，即G＝m，所以v＝.
第一宇宙速度指的是最小发射速度，同时也是近地卫星环绕速度，对于近地卫星来说，其轨道半径近似等于地球半径．
所以＝＝＝，因此，v月＝v地＝×7.9 km/s＝1.8 km/s.
10．某宇宙飞船在月球上空以速度 ( http: / / www.21cnjy.com )v绕月球做圆周运动，如图3－3－6所示，为了使飞船安全地落在月球上的B点，在轨道A处点燃火箭发动器做出短时间的发动，向外喷射高温燃气，喷气的方向为( B )
图3－3－6
A．与v的方向相反 B．与v的方向一致
C．垂直v的方向向右 D．垂直v的方向向左
解析：要使飞船降落，必须使飞船减速，因此喷气方向应该与v同向，故选项B对．
二、双项选择题
11．关于人造地球卫星及其内部的物体的超重、失重现象，下列说法中错误的是( BD )
A．在发射过程中向上加速时产生超重现象
B．在降落过程中向下加速时产生超重现象
C．进入轨道时做匀速圆周运动产生完全失重现象
D．失重是由于地球对卫星内物体的作用力减小而引起的
解析：超重现象实质是受到的 ( http: / / www.21cnjy.com )在竖直方向上，受到的合力（包括重力本身）大于自身重力且方向向下
失重现象恰好相反；地球对卫星内物体的作用力没有变化，大小始终等于万有引力。
12．人造卫星由于受大气阻力作用，在重新达到稳定后，线速度和周期变化情况为( AB )
A．线速度增大 B．周期减小
C．线速度减小 D．周期增大
解析：因受阻力作用，机械能减小，卫星做近心运动．在新的轨道上做匀速圆周运动，由G＝m＝m（2π/T）2r，知选项A、B正确．
13．随着航天技术的飞速发展，我国 ( http: / / www.21cnjy.com )已成功实现了载人航天飞行，当飞船的轨道舱和返回舱一起进入预定圆形轨道绕地球飞行时，下列说法错误的是( AB )
A．因为飞船离地面高度的始终相同，故飞船相对地面是静止的
B．稳定运行时以轨道舱为参照物，返回舱是运动的
C．在大气层外宇航员透过舷窗看星星没有闪烁的感觉
D．通过无线电波，地面技术人员可以对飞船进行控制和与宇航员通话
解析：飞船只有在同步卫星的轨道运行相对地面才是静止的；稳定运行时以轨道舱为参照物，返回舱是静止的。
14．要使卫星从如图3－3－ ( http: / / www.21cnjy.com )7所示的圆形轨道1通过椭圆轨道2转移到同步轨道3，需要两次短时间开动火箭对卫星加速，加速的位置应是图中的( AC )
图3－3－7
P点 B．Q点 C．R点 D．S点
解析：卫星要从圆形轨道1转移到椭圆轨道 ( http: / / www.21cnjy.com )2要在P点加速，做离心运动，否则卫星仍在圆形轨道1运动；卫星要从椭圆轨道2转移到同步轨道3，加速的位置应是图中的R点，若选在Q或S点点火，这样会使卫星进入另一个与Q或S点相切的椭圆或圆轨道，而不会进入预定的与R点相切的同步轨道3，因此要在R点点火.
15．我国研制的“嫦娥一号”卫星于2007 ( http: / / www.21cnjy.com )年10月24日18时由长征三甲运载火箭发射升空，星箭分离后在远地点做了一次变轨，进入到16小时轨道，然后分别在16小时、24小时(停泊轨道)、48小时轨道(调相轨道)近地点，各进行了一次变轨，其中在调相轨道近地点变轨后，“嫦娥一号”卫星进入地月转移轨道正式奔月，如图3－3－8所示，下列说法中正确的是( BC )
图3－3－8
A．“嫦娥一号”由24小时轨道变为48小时轨道时应让其发动机在A点点火向后喷气
B．“嫦娥一号”由24小时轨道变为48小时轨道时应让其发动机在B点点火向后喷气
C．“嫦娥一号”沿24小时轨道在B点的速度大于沿24小时轨道在A点的速度
D．“嫦娥一号”沿48小时轨道在B点的加速度大于沿24小时轨道在B点的加速度
解析：“嫦娥一号”由由2 ( http: / / www.21cnjy.com )4小时轨道变为48小时轨道应做离心运动，此时要增大速度，若选在A点点火，这样会使卫星进入另一个与A点相切的椭圆轨道，而不会进入预定的与B点相切的48小时轨道，因此要在B点点火，A错B对；“嫦娥一号”沿24小时椭圆轨道运动时，B点相当于近地点而A点相当于远地点，根据机械能守恒可知C选项正确。根据公式GMm/R2=ma可知“嫦娥一号”沿48小时轨道在B点的加速度等于沿24小时轨道在B点的加速度，故D错。
答案：BC
16．(双选)启动在某一轨道上运转的地球卫星 ( http: / / www.21cnjy.com )的发动机，使其速度加大，待它运动到距离地面的高度比原来大的位置，再定位使它绕地球做匀速圆周运动成为另一轨道的卫星，该卫星在后一轨道与前一轨道相比( AC )
A．周期变大 B．万有引力增大
C．机械能增大 D．速率增大
解析：由G＝mr得T＝2π，即T∝，说明卫星的运动轨道半径越大，其运行周期越长；由，卫星的运动轨道半径越大，万有引力减小；卫星的运动轨道半径越大，变轨时消耗的能量越多，机械能越大；由G＝m得v＝.即v∝，说明卫星的运动轨道半径越大，其运行线速度就越小．
三、非选择题
17．在某星球上宇航员用弹簧测 ( http: / / www.21cnjy.com )力计提着质量为m的物体以加速度a竖直上升，此时弹簧测力计的示数为F；若宇宙飞船在靠近该星球表面绕星球做匀速圆周运动，而成为该星球的一颗卫星，其环绕周期为T，根据上述数据，试求该星球的质量．
解：由牛顿第二定律有
F－mg＝ma ①
设星球半径为R，在星球表面
有mg＝G ②
设宇宙飞船的质量为m′，环绕星球表面运行时有
G＝m′（2π/T）2R ③
联立①②③式解得M＝.
18．某小组的宇航员乘坐航天飞机，去修理 ( http: / / www.21cnjy.com )位于离地球表面6.0×105 m远的圆形轨道上的哈勃太空望远镜H，机组人员使航天飞机S进入与H相同的轨道时开始关闭推动火箭，而望远镜则在航天飞机前方数公里处，如图3－3－9所示，设G为引力常数，ME为地球质量．已知地球半径为6.4×106 m，地球表面重力加速度为10 m/s2，试求：
(1)在航天飞机内，一质量为70 kg的宇航员的实际重量是多少？
(2)计算轨道上的重力加速度的值．
(3)航天飞机需首先螺旋进入半径较小的轨道，才有较大的角速度以赶上望远镜，航天飞机要进入较低轨道应增加还是减小速度？为什么？
图3－3－9
解：(1)由于航天飞机在轨道上绕地球做匀速圆周运动，地球对宇航员的引力充当向心力，处于完全失重状态，因此宇航员的重量为零．
(2)航天飞机的轨道半径r＝R＋h＝7.0×106 m，质量为m的物体，在轨道上满足mg′＝
而地球表面mg＝
得g′＝g＝×10 m/s2＝8.4 m/s2.
(3)要使航天飞机从较高轨道进入较低轨道，只有减小速度使所需向心力小于地球对它的引力，使之做近心运动，即可进入较低轨道．
19．2008年9月我国成功发射 ( http: / / www.21cnjy.com )“神舟七号”载人航天飞船．如图3－3－10所示为“神舟七号”绕地球飞行时的电视直播画面，图中数据显示，飞船距地面的高度约为地球半径的.已知地球半径为R，地面附近的重力加速度为g，设飞船、大西洋星绕地球均做匀速圆周运动．
图3－3－10
(1)估算“神舟七号”飞船在轨道上运行的加速度大小；
(2)已知大西洋星距地面的高度约为地球半径的6倍，估算大西洋星的速率．
解：(1)设飞船绕地球做匀速圆周运动的加速度为a，飞船质量为m1，由万有引力定律和牛顿第二定律得
＝m1a，h＝①
由物体在地球表面受到的万有引力近似等于物体重力得＝m0g ②
由①②式得a＝g＝0.91g.
(2)设大西洋星绕地球做匀速圆周运动的速度为v、质量为m2，由万有引力定律和牛顿第二定律，得
＝，h′＝6R③
由②③式得v＝.
图3－3－1
图3－3－4第三章 万有引力定律及其应用
第一节 万有引力定律
课前自主预习
1．万有引力定律的表达式 ，其适用条件 .
2．引力常量：表达式中的为引力常量，其大小在数值上等于质量各为1kg的物体相距1m时的万有引力。 是卡文迪许首先利用扭秤实验装置测出的。
3．分析天体运动的基本思路:把天体的运动看做是 ,所需的向心力由 提供,即 = = 。
4．万有引力定律具有普遍性、 、 、 。
5．(单选)发现万有引力定律和测出引力常量的科学家分别是 （ ）
A．牛顿、卡文迪许 B．开普勒、伽俐略
C．开普勒、卡文迪许 D．牛顿、伽俐略
课前自主预习答案:
1.,两个质点间
2.mkg
3.匀速圆周运动,万有引力,,,
4.相互性,宏观性,特殊性
5．A.
课堂互动探究
知识点1：天体的运动
新知探究
面对浩瀚的星空，你知道人们对天体运动的认 ( http: / / www.21cnjy.com )识曾经存在 和 两种相对立的学说， 的学说更先进，最终发现行星运动的科学家是 。
( http: / / www.21cnjy.com )
图3－1－1
答案：地心说和日心说，日心说，开普勒。
重点归纳
1．地心说
托勒密发展了地心说，他认为地球是宇宙的中心且静止不动，太阳、月亮及其他行星都绕其做圆周运动．
2．日心说
哥白尼提出日心说，他通过40多年的观察发现，若假设太阳是宇宙的中心，地球和其他行星都围绕太阳运动，对行星运动的描述就会变得更加清晰．
3．开普勒定律
① 开普勒第一定律(轨道定律)：所有行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上．
② 开普勒第二定律(面积定律)：太阳和行星之间的连线在相等的时间内扫过相同的面积．
③ 开普勒第三定律(周期定律)：所有行星绕太阳公转周期的平方和轨道半长轴的立方成正
4．开普勒三定律透析：
①开普勒三定律不仅适用于行星围绕太阳的运动，也适用于卫星绕地球的运动，还适用于其它天体绕某一中心天体的运动。
②比例系数k是一个与行星质量无关的常量，但 ( http: / / www.21cnjy.com )不是恒量。只有围绕同一天体运行的行星或卫星，他们半长轴的立方与公转周期的平方之比才是同一常数。在不同的星体系中，k值不同，常数k只与中心天体有关。
【例1】我国发射的第一颗人造卫星，其近地点 ( http: / / www.21cnjy.com )高度是h1＝439 km，远地点高度h2＝2 384 km，求近地点与远地点卫星运动的速率之比v1∶v2.(已知R地＝6 400 km，用h1、h2、R地表示，不计算结果)
解：卫星近地点和远地点在Δt内扫过的面积分别为Rθ1和Rθ2，根据开普勒第二定律有：
Rθ1＝Rθ2
即Rω1Δt＝Rω2Δt
又v1＝ω1R1，v2＝ω2R2，故v1R1＝v2R2
所以＝＝.
触类旁通
1：某行星沿椭圆轨道运行，远日点离太阳的距离为a，近日点离太阳的距离为b，过远日点时行星的速率为va，则过近日点时的速率vb为( C )
A．vb＝va B．vb＝va
C．vb＝va D．vb＝va
解析：由开普勒第二定律知， ( http: / / www.21cnjy.com )某行星与太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等，取Δt足够短，所扫过的面积近似看做三角形面积，则有Δt·a＝Δt·b，解得vb＝va.
【例2】人造地球卫星运行时，其轨道半径为月球轨道半径的，已知月球绕地球运动的周期是30天，则此卫星运行的周期大约是( C )
A．1～3天 B．3～5天
C．5～7天 D．以上都不对
解析：根据开普勒第三定律有＝＝k，得T卫＝＝×30×＝5.8天．
答案：C
触类旁通
2.设有两颗人造地球卫星的质量之比为m1∶m2＝1∶2，其运行轨道半径之比为R1∶R2＝3∶1，则两颗卫星运行的周期之比为( D )
A．4∶1 B．9∶1 C．1∶3 D．3 ∶1
解析：根据开普勒第三定律有＝＝k得到＝ ＝3 .
知识点2：万有引力定律的理解
新知探究
开普勒定律回答了行星如何绕太阳运动的问 ( http: / / www.21cnjy.com )题，但没有说明行星为什么这样运动，科学家 最终回答了这个问题，他发现的规律叫 。
答案：牛顿，万有引力定律。
重点归纳
1．公式的适用条件
(1)质点间的相互作用．
(2)质量分布均匀的球体，r为球心间距离（非均匀物体时，r为两物体重心的距离）．
2．对万有引力定律的理解
(1)普遍性：引力存在于宇宙间任何有质量的物体之间，是自然界中的一种基本相互作用．
(2)相互性：两个物体间的引力是一对作用力与反作用力．
(3)宏观性：微观粒子质量很小，它 ( http: / / www.21cnjy.com )们之间的引力很小，可忽略不计；一般的两个物体间的引力也很小(例如人与人之间)，也可忽略不计；只有在天体与天体之间、天体与一般物体之间的引力较大或很大时，引力才有宏观上的意义．
(4)特殊性：两物体间的万有引力只与它们的质量、距离有关，而与其所在的空间性质无关，与周围有无其他物体无关．
【例3】(双选)对于质量分别为m1和m2的两个物体间的万有引力的表达式F＝G，下列说法中正确的是( AC )
A．公式中G是引力常量，它是由实验得出的，而不是人为规定的
B．当两物体间的距离r趋于零时，万有引力趋于无穷大
C．m1和m2所受引力大小总是相等的
D．两个物体间的引力总是大小相等、方向相反的，是一对平衡力
解析：引力常量G的值是英国物理学家 ( http: / / www.21cnjy.com )卡文迪许运用构思巧妙的“精密扭秤”实验测定出来的，所以选项A正确；两个物体之间的万有引力是一对作用力与反作用力，它们总是大小相等、方向相反、分别作用在两个物体上，所以选项C正确，D错误．当r趋于零时，这两个物体不能看成质点，万有引力公式不再适用，B项错．
答案：AC
触类旁通
3.地球质量大约是月球质量的81倍，一飞行器 ( http: / / www.21cnjy.com )在地球和月球之间，当地球对它的引力和月球对它的引力相等时，飞行器距地心的距离与距月心的距离之比为( D )
A．1∶1 B．3∶1
C．6∶1 D．9∶1
解析：设月球中心离飞行器的 ( http: / / www.21cnjy.com )距离为r1，月球的质量为m1；地球中心离飞行器的距离为r2，地球的质量为m2，飞行器的质量为m，则飞行器受到月球、地球的万有引力分别为 F月＝G、F地＝G.由于F月＝F地，得到＝＝，即＝，选项D正确．
答案：D
【例4】 两个相同的实 ( http: / / www.21cnjy.com )心小铁球紧靠在一起，它们之间的万有引力为F，若两个半径是小铁球2倍的实心大铁球紧靠在一起，则它们之间的万有引力为 （ D ）
A．2F B．4F C．8F D．16F
解析：小铁球之间的万有引力，
由V= 及m= 可知大铁球质量M=8m
故两个大铁球间的万有引力
答案：D
点评：本题考查了对万有引力定律的理解，引力大小与质量的乘积成正比，与距离的二次方成反比
触类旁通
4．甲、乙两个质点间的万有引力大小F，若甲物体的质量不变，乙物体的质量增加到原来的2倍，同时，它们之间的距离减小为原来的，则甲、乙两物体的万有引力大小变为（ C ）
A．F B． C．8F D．4F
解析：由知C正确。
答案：C
方法技巧\易错易混\实验透视
易错易混
1．半长轴的理解
公式＝k中，半长轴a是AB间距的一半(如图3－1－2所示)，不要认为a等于太阳到B点的距离；T是公转周期，不要误认为是自转周期．
图3－1－2
2．万有引力和重力的区别
① 地球对物体的引力是物体具有重力的根 ( http: / / www.21cnjy.com )本原因，但重力又不完全等于引力．这是因为地球在不停地自转，地球上的一切物体都随着地球自转而绕地轴做匀速圆周运动，这就需要向心力．这个向心力的方向是垂直指向地轴的，它的大小是F向＝mω2r(r是物体与地轴的距离，ω是地球自转的角速度)．这个向心力是地球对物体的引力F的一个分力，如图3－1－3，引力F的另一个分力才是物体的重力mg.
图3－1－3
②重力和万有引力无论在大小还是在方向上 ( http: / / www.21cnjy.com )都略有差别，但这种差别很小．所以一般情况下，可不考虑地球自转的影响，认为物体在地球表面所受重力的大小等于地球对它的万有引力，即mg＝G.地球表面的重力加速度为g＝，其中M和R分别是地球的质量和半径．
【例6】哈雷彗星的环绕周期是76年 ( http: / / www.21cnjy.com )，离太阳最近距离是8.9×1010 m，离太阳最远的距离尚未得知．试根据开普勒定律估算这个最远距离．(k＝3.354×1018 m3/s2)
错因：未能正确理解最近、最远距离与轨道半长轴间的几何关系．
正解：设最近距离是l1，最远距离是l2，则由数学知识知半长轴a＝
又由开普勒第三定律知＝k
两式联立得l2＝2a－l1＝2－l1
代入数据得
l2＝[2×－8.9×1010] m＝5.272×1012 m.
触类旁通
6. 关于重力和万有引力的关系，下列说法错误的是( A )
A．地面附近物体所受到的重力就是万有引力
B．重力是由于地面附近的物体受到地球吸引而产生的
C．在不太精确的计算中，可以认为重力等于万有引力
D．严格来说重力并不等于万有引力，除两极处物体的重力等于万有引力外，在地球其他各处的重力都略小于万有引力
解析：重力是万有引力的一个分力，除两极处 ( http: / / www.21cnjy.com )物体的重力等于万有引力外，在地球其他各处的重力都略小于万有引力，一般情况下，可不考虑地球自转的影响，认为物体在地球表面所受重力的大小等于地球对它的万有引力，故A错，BCD对。
答案：A
随堂练习
一、单项选择题
1．下列说法错误的是( C )
A．希腊科学家托勒密认为地球是宇宙的中心，是静止不动的，太阳、月亮以及其他行星都绕地球运动
B．波兰天文学家哥白尼提出了“日心说”，认为太阳是宇宙的中心
C．“日心说”是德国天文学家开普勒提出的
D．开普勒定律描述了行星运动的规律，推动了对天体动力学的研究
解析：“地心说”的代表人物是托勒密， ( http: / / www.21cnjy.com )认为地球是宇宙的中心，选项A对；哥白尼经过近四十年对天体的观察，提出了“日心说”，选项B对；在“日心说” 的指导下，开普勒进行了长期观察及大量的数据分析总结出了天体运动的规律，推动了对天体运动的研究，选项D正确．
2．对万有引力定律的公式F＝G的正确理解是( A )
A．m1与m2之间的相互作用力大小相等，方向相反，是一对作用力和反作用力
B．由F＝G可知，当r→0时，F→∞
C．公式中r是两物体之间的距离
D．万有引力常量G是普适恒量，因此G是没有单位的
解析：万有引力定律是任何两个物体都具有 ( http: / / www.21cnjy.com )的一种性质力，它遵循牛顿运动定律，万有引力定律的适用条件是只对质点适用；式中的r表示的是两物体质心间的间距；G是引力常数，由卡文迪许实验测得的一个普遍适用的恒量，其单位为N·m2/kg2，故仅选项A正确．
3．关于天体的运动，以下说法正确的是( D )
A．天体的运动与地面上物体的运动遵循不同的规律
B．天体的运动是最完美的匀速圆周运动
C．太阳从东边升起，从西边落下，所以太阳绕地球运动
D．太阳系中所有行星都绕太阳运动
解析：天体运动与地面上物体的运动均遵循牛顿运动定律，选项A错；由开普勒定律可知选项B、C均错，选项D对．
4．行星之所以绕太阳运行，是因为( C )
A．行星运动时的惯性作用
B．太阳是宇宙的控制中心，所有星体都绕太阳旋转
C．太阳对行星有引力作用
D．行星对太阳有排斥力作用，所以不会落向太阳
解析：行星绕太阳做曲线运动，轨 ( http: / / www.21cnjy.com )迹向太阳方向弯曲，是因为太阳对行星有引力作用，选项C对；行星之所以没有落向太阳，是因为引力提供了向心力，并非是对太阳有排斥力，D错；惯性应使行星沿直线运动，A错；太阳不是宇宙中心，并非所有星体都绕太阳运动，B错．
二、双项选择题
5．火星有两颗卫星，分别是火卫一和火卫 ( http: / / www.21cnjy.com )二，他们的轨道近似为圆．已知火卫一的周期为7小时39分，火卫二的周期为30小时18分，则两颗卫星相比( AC )
A．火卫一距火星表面较近
B．火卫二的角速度较大
C．火卫一的运动速度较大
D．火卫二的加向心速度较大
解析：显然火卫一的周期更短，因此它的轨道半 ( http: / / www.21cnjy.com )径更短，角速度更大，线速度更大，所受火星的引力也更大，向心加速度也更大，因此A、C选项正确，B、D选项错误．
6．对开普勒第三定律的表达式＝k的理解正确的是( CD )
A．k与a3成正比 B．k与T2成反比
C．k值与a和T无关 D．k值只与中心天体有关
解析：开普勒第三定律＝k中的常数k只与中心天体有关，与其他天体或是a和T无关，故A、B错误，C、D正确．
课后巩固提升
一、单项选择题
1．发现万有引力定律的物理学家是( C )
A．库仑 B．伽利略
C．牛顿 D．爱因斯坦
解析：牛顿在前人研究的基础上，经过一系列想象、假设、理想实验、类比等归纳总结出万有引力定律．
2．根据开普勒定律，下列说法错误的是( D )
A．若人造地球卫星的轨道是椭圆，则地球在椭圆的一个焦点上
B．卫星离地球越远，速率越小
C．卫星离地球越远，周期越大
D．同一卫星绕不同的行星运行，的值都相同
解析：由开普勒第一定律A对； ( http: / / www.21cnjy.com )由开普勒第二定律B对；由开普勒第三定律C对；开普勒第三定律＝k中的常数k与中心天体有关，同一卫星绕不同的行星运行，k值不相同，故D错。
3．两个物体间的万有引力大小为F，若它们间的距离增大为原来的2倍，则它们间的万有引力的大小变为( D )
A．2F B.F
C．4F D.F
解析：由万有引力公式，D对。
4．对于万有引力，下列说法正确的是( C )
A．苹果总是落到地面上，说明地球对苹果有引力，而苹果对地球没有引力
B．两个物体间的引力总是大小相等，方向相反，是一对平衡力
C．万有引力定律是牛顿在前人研究的基础上进行总结、归纳发现的
D．G是一个比例常数，没有单位
解析：两个物体间的引力总是大小相等，方 ( http: / / www.21cnjy.com )向相反，是一对相互作用力；万有引力定律是牛顿在开普勒等前人研究的基础上进行总结、归纳发现的；G的单位为N·m2/kg2，故C对、ABD错。
5．已知地面的重力加速度为g，距地面高度等于地球半径2倍处的重力加速度为( D )
A．g B.g C.g D.g
解析：由g＝G，g′＝＝g.
6．设想把质量为m的物体放到地球的中心，地球质量为M，半径为R，则物体与地球间的万有引力是( A )
A．零 B．无穷大
C．G D．无法确定
解析：当两个物体的距离趋近于0时，两个 ( http: / / www.21cnjy.com )物体就不能视为质点了，万有引力公式不再适用；设地球的质量分布是均匀的，则放在地球中心的物体受到地球各部分质点的引力各向均等，合力为0，故选项A正确．
7．下列说法正确的是( D )
A．苹果落向地球，而不是地球向上碰到苹果，是因为地球质量大，对苹果的引力大于苹果对地球的引力造成的
B．人造卫星绕地球运动，但没有掉落地面，是因为地球对人造卫星没有引力作用
C．人造卫星绕地球运动没有掉落地面，是因为地球对人造卫星的引力大小和人造卫星对地球的引力大小相等，方向相反，合力为零
D．以上说法均不对
解析：两个物体之间的万有引力是一对作用力 ( http: / / www.21cnjy.com )与反作用力；虽然苹果和地球之间的相互吸引作用大小相等、方向相反，但是由于二者的质量差别太大，由F=ma知这个作用的效果不一样；人造卫星绕地球运动没有掉落地面，是因为地球对人造卫星的引力刚好提供向心力，故D正确。
8．某行星绕太阳运行的椭圆轨道如图3－1－4所示，O1、O2是椭圆的两个焦点，行星在A点的速率比在B点的大，则太阳位于( A )
图3－1－4
A．O1点
B．O2点
C．A与O1之间的某点
D．在AB间的中点
解析：由开普勒第一定律知太阳位于O1或O2点 ( http: / / www.21cnjy.com )，CD错；再由开普勒第二定律知，某行星与太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等，取Δt足够短，所扫过的面积近似看做三角形面积，则有Δt·a＝Δt·b，解得vb＝va.知A对，B错。
答案：A
9．已知地球的质量为M，月球的质量为 ( http: / / www.21cnjy.com )m，它们之间的万有引力为F，假设人们为了对月球进行开发利用，将一部分物质搬到月球上去后，它们之间的万有引力为F′，则对F与F′的关系判断正确的是(M>m)( C )
A．F＝F′ B．F>F′
C．F解析：由可知，M＋m＝恒量，当M＝m时，M·m有最大值，故选项C正确．
10．两颗人造卫星A、B绕地球运动，其轨道可近似看做圆周，已知周期之比为TA∶TB＝8∶1，则轨道半径之比( A )
A.＝4∶1 B.＝1∶4
C.＝2∶1 D.＝1∶2
解析：由＝C，即＝，＝＝＝4∶1.
二、双项选择题
11．下列说法正确的是( CD )
A．地球是宇宙的中心，是静止不动的
B．太阳是宇宙的中心，是静止不动的
C．宇宙每时每刻都是运动的，静止是相对的
D．日心说认为太阳是静止不动的，地球和其他行星都绕太阳运转
解析：“地心说”认为地球是宇宙的中心， ( http: / / www.21cnjy.com )是静止的；“日心说”认为太阳是宇宙的中心，是静止的．其实宇宙的天体每时每刻都在运动，静止是相对的，故选项C、D正确．
12．关于引力常数，下列说法正确的是( CD )
A．引力常数的物理意义是两个质量为1kg的物体相距1m时的相互吸引力
B．牛顿发现万有引力定律时，给出了引力常数的值
C．引力常数的测出，证明了万有引力的存在
D．引力常数的测出，使万有引力定律具有了实用价值，人们可利用它去预测未知天体
解析：引力常数的测出，不仅用实验证明了万有引力的存在，更使万有引力定律具有了实用价值；引力常数后来由卡文迪许测出，故CD正确。
13．对于万有引力公式，下列说法正确的是( AB )
A．对于相距很远，可看成质点的两个物体，式中r为两质点间的距离
B．对于质量分布均匀的球体，式中的r为两球心间的距离
C．由公式可知，两个相互靠在一起的物体，r可近似看做为零，故这两个物体间的万有引力趋于无穷大
D．对于任意两个物体间的万有引力，r表示两物体重心间的距离
解析：当r趋于零时，这两个物体不能看成质点，万有引力公式不再适用，故AB正确。
14．月球表面的重力加速度为地球表面重力加速度的，一个质量为600 kg的飞行器到达月球后(g取10 N/kg)( AB )
A．在月球上的质量仍为600 kg
B．在月球表面上的重量为1 000 N
C．在月球表面上的万有引力小于1 000 N
D．在月球上的质量小于600 kg
解析：质量是反映物质的多少，不随位置的变化而变化，选项A正确；由G＝mg可知B也正确，C、D错．
15．要使两物体间万有引力减小到原来的，可行的方法是( AB )
A．把两物体的质量都减为原来的一半
B．把两物体的距离增加为原来的两倍
C．使一个物体的质量减半，两物体距离加倍
D．使两个物体质量都加倍，同时使两物体间距离增为原来的两倍
解析：由万有引力公式，AB对。
非选择题
16．设卫星做圆周运动的轨道半径为r,运动周期为T，试证明：是一个常数，即对于同一天体的所有卫星来说，均相等。
证明：由G= mr(2π/T)2得=，即对于同一天体的所有卫星来说，均相等。
17．一个质量均匀分布的球体，半径为2r ( http: / / www.21cnjy.com )，在其内部挖去一个半径为r的球形空穴，使其表面与球面相切，如图3－1－5所示．已知挖去小球的质量为m，在球心和空穴中心连线上，距球心d＝6r处有一质量为m2的质点，求剩余部分对m2的万有引力．
图3－1－5
解：将挖去的小球填入空穴中，由V＝πR3可知，大球的质量为8m，大球对m2的引力为
F1＝G＝G
被挖去的小球对m2的引力为F2＝G＝G
剩余部分对m2的引力为F＝F1－F2＝G.万有引力定律的应用
课前自主预习
1．万有引力定律的表达式 ，其适用条件
2．引力常量：表达式中的为引力常量，其大小在数值上等于质量各为1kg的物体相距1m时的万有引力。 是卡文迪许首先利用扭秤实验装置测出的。
3．分析天体运动的基本思路:把天体的运动看做是 ,所需的向心力由 提供,即 = = 。
4．万有引力定律具有普遍性、 、 、 。
5．(单选)对于万有引力定律的表达式，下列说法中正确的是( )
A．公式中G为引力常量，它是由实验测得的，而不是人为规定的
B．当r趋于零时，万有引力趋于无限大
C．m1、m2相等时，两物体受到的引力大小才相等
D．两物体受到的引力总是大小相等、方向相反，是一对平衡力
课前自主预习答案:
1.,两个质点间
2.mkg
3.匀速圆周运动,万有引力,,,
4.相互性,宏观性,特殊性
5.A
课堂互动探究
知识点1：天体质量和密度的计算
新知探究
卡文迪许把他自己的实验说成是“称地球的质量 ( http: / / www.21cnjy.com )”，他是根据 “称”地球的质量的。天体质量不可能直接称量，但可以间接测量．天体卫星做圆周运动所需的向心力由万有引力提供，即＝m＝mr，因此可得M＝ ，测出天体卫星的环绕周期和环绕半径即可计算天体质量．
( http: / / www.21cnjy.com )
图3－2－1
答案：万有引力定律，
重点归纳
1．基本方法：把天体(或人造卫星)的运动看成匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供．
2．解决天体圆周运动问题的两条思路
(1)在地面附近万有引力近似等于物体的重力，F引＝mg，即G＝mg，整理得GM＝gR2.
(2)天体运动都可以近似地看成匀速圆周运动，其向心力由万有引力提供，即F引＝F向
一般有以下几种表达形式：
①G＝m ②G＝mω2r ③G＝mr
天体质量和密度的计算
(1)“g、R”计算法：利用天体表面的物体所受重力约等于万有引力．得：M＝；ρ＝.
(2)“T、r”计算法：利用绕天体运动的卫星所需向心力由万有引力提供，再结合匀速圆周运动知识．得：M＝；ρ＝(R表示天体半径).
【例1】为了研究太阳演化进程，需知道目前太阳 ( http: / / www.21cnjy.com )的质量M.已知地球半径R＝6.4×106 m，地球质量m＝6×1024 kg，日地中心的距离r＝1.5×1011 m，地球表面的重力加速度g＝10 m/s2,1年约为3.2×107 s，试估算目前太阳的质量M.(保留一位有效数字，引力常数未知)
解：设T为地球绕太阳运动的周期，则由万有引力定律和动力学知识得
G＝m(2π/T)2r①
对地球表面物体m′，有m′g＝G②
①②两式联立，得M＝，代入数据得
M＝2×1030 kg.
触类旁通
1．已知太阳光射到地面约需时间497S，试估算太阳的质量。
解析：应用万有引力定律可以“称重”天体的质量，本题要求我们“称量”太阳的质量，注意由光的传播速度得出日地间距。
地球绕太阳运行的轨道半径就是太阳和地球之间的距离，这个距离是
m
地球绕太阳运行的周期为1年，即SS
设太阳和地球的质量分别为M和m，由于
故kg
点评：求解天体质量的两个主要数据，一是 ( http: / / www.21cnjy.com )绕天体运行的行星或卫星的轨道半径（r），二是运行周期（T）。注意本题中运行周期为隐含条件（地球公转周期为1年）。
【例2】假设在半径为R的 ( http: / / www.21cnjy.com )某天体上发射一颗该天体的卫星，若它贴近该天体的表面做匀速圆周运动的周期为T1，已知引力常数为G，则该天体的密度为多少？若这颗卫星距该天体表面的高度为h，测得在该处做匀速圆周运动的周期为T2，则该天体的密度又可表示为什么？
解：设卫星的质量为m，天体的质量为M.卫星贴近天体表面运动时有G＝mR，则M＝
天体的体积为V＝πR3
故该天体的密度ρ＝＝＝
当卫星距天体表面距离为h时有
G＝m(R＋h)，M＝
ρ＝＝＝.
触类旁通
2．“神舟六号”飞船在预定圆轨道上飞行 ( http: / / www.21cnjy.com )，每绕地球一圈需要时间为90 min，每圈飞行路程为L＝4.2×104 km.试根据以上数据估算地球的质量和密度．(地球半径R约为6.37×103 km，引力常量G取6.67×10－11 N·m2/kg2，结果保留两位有效数字)
解：由L＝2πr得r＝＝6.69×103 km
由G＝mr，得M＝＝＝6.2×1024 kg
又由ρ＝，V＝πR3
得ρ＝＝＝5.6×103 kg/m3.
知识点2：人造地球卫星和宇宙速度
新知探究
美国有部电影叫《光速侠》，是说一个叫Daniel Light的家伙在一次事故后，发现自己拥有了能以光速奔跑的能力．
图3－2－2
根据所学物理知识分析，如果光速侠要以光速从纽约跑到洛杉矶救人， 能实现吗？
答案：不可能实现．因为当人或物体以大于第一宇宙速度的速度在地表运动时，会脱离地表，到达外太空，即在地表运动的速度不能超过7.9 km/s.
重点归纳
1．人造地球卫星的轨道
卫星绕地球做匀速圆周运动时， ( http: / / www.21cnjy.com )由地球对它的万有引力充当向心力，地球对卫星的万有引力指向地心．而做匀速圆周运动的物体的向心力时刻指向它所做圆周运动的圆心．因此卫星绕地球做匀速圆周运动的圆心必与地心重合．这样就存在三类人造地球卫星轨道(如图3－2－3所示)：
(1)赤道轨道，卫星轨道在赤道平面，卫星始终处于赤道上方；
(2)极地轨道，卫星轨道平面与赤道平面垂直，卫星通过两极上空；
(3)一般轨道，卫星轨道和赤道成一定角度．
图3－2－3
2．人造卫星的线速度、角速度、周期、加速度与半径的关系
(1)由G＝m得v＝.即v∝，说明卫星的运动轨道半径越大，其运行线速度就越小．
(2)由G＝mω2r得ω＝，即ω∝，说明卫星的运动轨道半径越大，其角速度越小．
(3)由G＝mr得T＝2π，即T∝，说明卫星的运动轨道半径越大，其运行周期越长．
(4)由G＝ma得a＝，即a∝，说明卫星的运动轨道半径越大，其加速度越小．
3．地球同步卫星
(1)周期、角速度与地球自转周期、角速度相同，T＝24 h.
(2)轨道是确定的，地球同步卫星的运行轨道在赤道平面内．
(3)在赤道上空距地面高度有确定的值．
由万有引力提供向心力得
G＝m(2π/T)2(R＋h)，
解得h＝－R＝3.6×107 m.
4．三种宇宙速度
(1)第一宇宙速度(环绕速度)：v1＝7.9 km/s，是人造地球卫星的最小发射速度，也是人造地球卫星绕地球做圆周运动的最大速度．
(2)第二宇宙速度(脱离速度)：v2＝11.2 km/s，是使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度．
(3)第三宇宙速度(逃逸速度)：v3＝16.7km/s，是使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度．
(4)特别提醒：
①三种宇宙速度均指发射速度，不要误认为是环绕速度．
②任何星体都有对应的宇宙速度．以上三种宇宙速度是对地球而言的．
【例3】地球的半径为R0，地球表面的重力加速度为g，一个质量为m的人造卫星，在离地面高度为h＝R0的圆形轨道上绕地球运行，则( )
A．人造卫星的角速度ω＝
B．人造卫星的周期T＝2π
C．人造卫星受到地球的引力F＝mg
D．人造卫星的线速度v＝
解析：离地面的高度为R0 ( http: / / www.21cnjy.com )时，离地心的高度为r＝2R0，由ω＝和代换公式GM＝gR知ω＝，选项A正确；同理，由T2＝可得T＝2π＝4π，B错误；由万有引力公式F＝G得F＝mg，C错误；由v＝得v＝＝，D错误．
答案：A
触类旁通
3．(双选，汕头质检)如 ( http: / / www.21cnjy.com )图3－2－4所示，T代表“天宫一号”飞行器，S代表“神舟八号”飞船，它们都绕地球做匀速圆周运动，其轨道如图中所示，则( AD )
图3－2－4
A.T的周期大于S的周期
B.T的线速度大于S的线速度
C.T的向心加速度大于S的向心加速度
D.S和T的速度都小于环绕速度7.9 km/s
解析：由G＝mr得T＝2π，即T∝，说明卫星的运动轨道半径越大，其运行周期越长，故T的周期大于S的周期，A对。由G＝m得v＝.即v∝，说明卫星的运动轨道半径越大，其运行线速度就越小，故B错，D对。由G＝ma得a＝，即a∝，说明卫星的运动轨道半径越大，其加速度越小，故C错。
答案：AD
方法技巧\易错易混\实验透视
方法技巧
双星问题：天文学家将相距较近、仅在彼此 ( http: / / www.21cnjy.com )的引力作用下运行的两颗恒星称为双星，双星系统在银河系中很普遍．利用双星系统中两颗恒星的运动特征可推算出它们的总质量．双星运动有以下几个特点：
(1)角速度相同；
(2)圆心相同，轨道半径之和等于两者间距r；
(3)彼此之间的万有引力提供向心力．
【例4】已知某双星系统中两颗恒星围绕它们连线 ( http: / / www.21cnjy.com )上的某一固定点分别做匀速圆周运动，周期均为T，两颗恒星之间的距离为r，试计算这个双星系统的总质量．(引力常量为G)
解：设两颗恒星的质量分别为m1、m2，做圆周运动的半径分别为r1、r2，角速度分别是
ω1、ω2.根据题意有
ω1＝ω2①
r1＋r2＝r②
根据万有引力定律和牛顿运动定律，有
G＝m1ωr1③
G＝m2ωr2④
联立以上各式解得r1＝⑤
根据角速度与周期的关系知ω1＝ω2＝⑥
联立③⑤⑥式解得m1＋m2＝.
触类旁通
4．土星周围有许多大小不等 ( http: / / www.21cnjy.com )的岩石颗粒，其绕土星的运动可视为圆周运动．其中有两个岩石颗粒A和B与土星中心的距离分别为rA＝8.0×104 km和rB＝1.2×105 km.忽略所有岩石颗粒间的相互作用．求：(结果可用根式表示)
(1)岩石颗粒A和B的线速度之比；
(2)岩石颗粒A和B的周期之比．
解：(1)设土星质量为M0，岩石颗粒质量为m，岩石颗粒距土星中心距离为r，线速度为v，根据牛顿第二定律和万有引力定律有＝
解得v＝
对于A、B两岩石颗粒分别有
vA＝，vB＝
得＝＝
(2)设岩石颗粒绕土星做圆周运动的周期为T
则T＝
对于A、B两岩石颗粒分别有
TA＝，TB＝
则＝×＝.
随堂练习
一、单项选择题
1．假设地球的质量不变，而地球的半径增大到原来的2倍，则地球表面的重力加速度为原来的( D )
A．2倍 B．4倍 C.倍 D.倍
解析：由G＝mg，＝＝.
2．下列说法正确的是( D )
A．在某行星表面上的物体质量越大，加速度越大
B．对于同一行星来说，不计行星的自转，在行星某一高度处的重力加速度与距行星表面高度成正比
C．对于同一行星来说，不考虑自转影响，在行星某一高度处的重力加速度与距行星表面高度的平方成反比
D．以上说法均不对
解析：由G＝mg，g＝，可知选项A、B、C均错．
3．某宇宙飞船绕一个不知名的行星表面飞行，要测定该行星的平均密度，只需测定( A )
A．运动周期 B．环绕半径
C．行星的体积 D．运行速度
解析：由ρ＝，可知选项A对．
4．关于地球的第一宇宙速度，下列表述正确的是( )
A．第一宇宙速度又叫环绕速度
B．第一宇宙速度又叫脱离速度
C．第一宇宙速度跟地球的质量无关
D．第一宇宙速度跟地球的半径无关
解析：第一宇宙速度又叫环绕速度，A对，B错；万有引力提供向心力，由G＝m可知第一宇宙速度与地球的质量和半径有关，C、D错．
5．下列关于地球同步卫星的说法正确的是( B )
A．它的周期与地球自转周期相同，但高度和速度可以选择，高度越高，速度越小
B．它的周期、高度、速度都是一定的
C．我国发射的同步卫星定点在北京上空
D．我国发射的同步卫星周期不一定相同
解析：地球同步卫星相对地球是静止的，因此周期等于地球自转周期，等于24h；由G＝m(2π/T)2r和v＝可知选项B对．
二、双项选择题
6．卫星绕行星做匀速圆周运动，若已知引力常量为G，由以下物理量能求出行星质量的是( BC )
A．卫星的质量和轨道半径
B．卫星的线速度和轨道半径
C．卫星的运转周期和轨道半径
D．卫星的密度和轨道半径
解析：由G＝＝mr，可知选项B、C正确．
课后巩固提升
一、单项选择题
1．人造卫星绕地球做匀速圆周运动，卫星所受万有引力与轨道半径的关系( D )
A．F∝r B．F∝ C．F∝r2 D．F∝
解析：卫星所受的万有引力F＝G，故选项D对．
2．火星的质量和半径分别约为地球的和，地球的表面重力加速度为g，则火星表面的重力加速度约为( B )
A．0.2g B．0.4g C．2.5g D．5g
解析：由G＝mg，则＝·，得g火＝0.4g.
3．天文学家发现某恒星有一颗行星在圆形轨道上绕其运动，并列出了行星的轨道半径和运动周期，由此可推算出( C )
A．行星的质量 B．行星的半径
C．恒星的质量 D．恒星的半径
解析：设行星轨道半径为R，周期为T，恒星的质量为M，行星质量为m，由G＝mR得M＝，选项C对．
4．在绕地球做匀速圆周运动的飞船上，宇航员可以自由“漂浮”，其原因是宇航员( B )
A．不受地球重力作用
B．受到的地球重力提供向心力
C．受到地球的重力和浮力相抵消
D．受到的地球重力和月球引力相抵消
解析：在绕地球做匀速圆周运动的飞船上，宇航员受到的地球重力（万有引力）恰好提供向心力，飞船对他无力的作用，B对。
5．某质量分布均匀的球状行 ( http: / / www.21cnjy.com )星的密度为ρ，若在赤道随行星一起转动的物体对行星表面的压力恰好为零，已知引力常数为G，则该行星自转周期为( C )
A. B.
C. D.
解析：由G＝m(2π/T)2R和M＝ρ·πR3得T＝.
6．由于地球的自转，使得静止在地面的物体绕地轴做匀速圆周运动．对于这些做匀速圆周运动的物体，以下说法正确的是( D )
A．向心力都指向地心
B．速度等于第一宇宙速度
C．加速度等于重力加速度
D．周期与地球自转的周期相等
解析：静止在地面上的物体饶地轴做匀速圆周运动 ( http: / / www.21cnjy.com )，故向心力指向地轴，速度不等于第一宇宙速度，加速度也不等于重力加速度，但是周期与地球自转周期相等，选项D正确。
答案：D
双项选择题
7．已知万有引力常量G、月球中心到地球中心的距离R和月球绕地球运行的周期T，仅利用这三个数据，可估算出的物理量有( BD )
A．月球的质量
B．地球的质量
C．地球的半径
D．月球绕地球运行的速率
解析：由M＝，v＝，知选项B、D对．
8．下列关于地球同步卫星的说法中正确的是( BD )
A．为避免同步卫星在轨道上相撞，应使它们运行在不同的轨道上
B．同步卫星定点在地球赤道上空某处，所有同步卫星的周期都是24 h
C．不同国家发射同步卫星的地点不同，这些卫星的轨道不一定在同一平面上
D．不同同步卫星运行的线速度大小是相同的，加速度的大小也是相同的
解析：同步卫星的周期与地球自转周期相同，T ( http: / / www.21cnjy.com )＝24 h，通信卫星的运行轨道一定，离地面的高度也一定，地球对卫星的引力提供卫星做圆周运动的向心力，因此同步卫星只能以地心为圆心做圆周运动，且轨道一定在赤道平面上方，故选项B对，C错；不同的通信卫星轨道半径相同，速度大小相等，无相对运动，不会相撞，选项A错；由v＝和a＝ω2r，知选项D对．
9．把火星和地球绕太阳运行的轨道视为圆周，若已知火星和地球绕太阳运动的周期之比，则可以求得( BD )
A．火星和地球的质量之比
B．火星和地球到太阳的距离之比
C．火星和太阳的质量之比
D．火星和地球绕太阳运行速度大小之比
解：我们研究火星和地球绕太阳做圆周运动，火 ( http: / / www.21cnjy.com )星和地球作为环绕体，无法求得火星和地球的质量之比，故A错误；根据题目已知条件，不能求得火星和太阳的质量之比，故B错误；研究火星和地球绕太阳做圆周运动，根据万有引力提供向心力，列出等式：G＝mr得T＝2π，所以能求得火星和地球到太阳的距离之比，故C正确；由G＝m得v＝.即v∝，所以能求得火星和地球绕太阳运行速度大小之比，故D正确．
故选CD．
点评：求一个物理量之比，我们应该把这个物理 ( http: / / www.21cnjy.com )量先用已知的物理量表示出来，再根据表达式进行比较．向心力的公式选取要根据题目提供的已知物理量或所求解的物理量选取应用
10．宇宙飞船绕地球做匀速圆周运动的 ( http: / / www.21cnjy.com )周期为T，离地面高度为H，地球半径为R，则根据T、H、R和万有引力恒量G，能计算出的物理量是( AD )
A．地球的质量 B．宇宙飞船的质量
C．飞船所需的向心力 D．飞船线速度的大小
解析：选AD.根据飞船绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，
由（GMm）/(R＋H)2＝m(R＋H)(2π/T)2，
得到：M＝4π2(R＋H)3/(GT2)
由v＝2π(R＋H)/T，可以计算出线速度大小．
答案：AD
11．(双选)我国发射的“嫦娥二号” ( http: / / www.21cnjy.com )探月卫星简化后的路线示意图如图3－2－5所示，卫星由地面发射后经过发射轨道进入停泊轨道，然后在停泊轨道经过调速后进入地月转移图3－2－5轨道，经过几次制动后进入工作轨道，卫星开始对月球进行探测．已知地球与月球的质量之比为a，卫星的停泊轨道与工作轨道的半径之比为b，卫星在停泊轨道和工作轨道上均可视为做匀速圆周运动，则卫星 ( )
A．在停泊轨道和工作轨道运行的速度之比为
B．在停泊轨道和工作轨道运行的周期之比为
C．在停泊轨道运行的速度大于地球的第一宇宙速度
D．从停泊轨道进入地月转移轨道时，卫星必须加速
解析：由万有引力提供向心力可以判断不同轨道的速度、周期之间的关系．卫星轨道变大时，周期变大，速度(动能)减小，但机械能增大，即需要加速．
由G＝m，得v＝ ，
所以＝ ＝ ，选项A正确．
由G＝mr得＝ ＝ ，选项B错误．由v＝ 可知，轨道半径越大，运行速度越小，所以选项C错误．要使卫星从停泊轨道进入地月转移轨道，必须使卫星做离心运动，即应增加卫星的动能，选项D正确．
答案：AD
12．(双选)在某行星表面以不太大的初 ( http: / / www.21cnjy.com )速度v0竖直上抛一物体，测得物体由抛出到返回到抛出点所用的时间为t，该行星的半径为R，万有引力恒量为G，则下列叙述正确的( BD )
A．该行星表面的重力加速度g＝
B．该行星的质量为M＝
C．该行星的密度ρ＝
D．该行星的第一宇宙速度v＝
解析：该行星表面的重力加速度为g＝＝，故选项A错；由G＝mg，得M＝＝，选项B对；由ρ＝＝，选项C错；由G＝mg，又G＝m得v＝，选项D对．
13．某国试图发射一颗人造地球卫星，下列设想中可以实现的是(已知地球半径R＝6.4×106 m，g取9.8 m/s2)( BD )
A．环绕速度为9.7 km/s
B．环绕速度为7.8 km/s
C．周期为1 h
D．周期为90 min
解析：由G＝m得v＝.即v∝，说明卫星的运动轨道半径越大，其运行线速度就越小，第一宇宙速度是人造地球卫星环绕地球运动的最大速度为7.9 km/s，故A错，B对。由G＝mr得T＝2π，即T∝，说明卫星的运动轨道半径越大，其运行周期越长，而人造地球卫星的最小周期为85min，故C错，D对。
14．已知引力常数为G，地球半径为R， ( http: / / www.21cnjy.com )月球和地球之间的距离为r，同步卫星距地面高度为h，月球绕地球运转的周期为T1，地球自转周期为T2，地球表面的重力加速度为g，则地球的质量表达式正确的是( AC )
A. B. C. D.
解析: 本题主要考查怎样利用万有引 ( http: / / www.21cnjy.com )力定律来估算天体的质量。解决本题的关键在于对天体或卫星的运动进行正确的分析。解决天体运动问题的一条主线就是利用万有引力等于向心力，向心力公式可根据需要采用不同的表达式。再以黄金代换作为辅助。
方法一：对月球绕地球做圆周运动，由，得，故A对。
方法二：在地面重力近似等于万有引力，由，得，故C对。
15．假如做圆周运动的人造卫星的轨道半径增大到原来的2倍，仍做圆周运动，则( CD )
A．根据v＝ωr，可知卫星的线速度将增大到原来的2倍
B．根据公式F＝m，可知卫星所需的向心力将减小到原来的
C．根据公式F＝G，可知地球提供的向心力将减小到原来的
D．根据F＝m和F＝G，可知卫星运动的线速度将减小到原来的
解析：根据F＝m和F＝G，得v＝.即v∝，A错、D对。根据公式F向=F万＝G，B错、C对。
三、非选择题
16．宇航员站在某一星球表面上高H处，其 ( http: / / www.21cnjy.com )中H R，沿水平方向以某一初速度水平抛出一个小球，经过时间t，小球落到星球表面，已知该星球的半径为R，万有引力常量为G，求该星球的质量和密度．
解：小球在星球上做平抛运动，则
H＝gt2，g＝
由G＝mg，得M＝＝
又ρ＝＝＝.
17．已知某行星半径为R， ( http: / / www.21cnjy.com )以其第一宇宙速度运行的卫星绕行星的周期为T，该行星上发射的同步卫星的运行速度为v，则同步卫星距行星表面高度为多高？求该行星的自转周期．
解：对近地卫星有G＝m1(2π/T)2R ①
对同步卫星有G＝m2②
联立①②式求得h＝－R
同步卫星周期与自转周期相等，即
T自＝T同＝＝.
18．宇宙中存在一些离其他恒星 ( http: / / www.21cnjy.com )较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用．已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行．另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆轨道运行．设每个星体的质量均为m.
(1)试求第一种形式下，星体运动的线速度和周期．
(2)假设两种形式的星体的运动周期相同，第二种形式下星体之间的距离应为多少？
解：(1)对于第一种运动情况，以某个运动星体为研究对象，根据牛顿第二定律和万有引力定律有：
F1＝，F2＝，F合＝F1＋F2＝
运动星体的线速度v＝①
设周期为T，则有T＝②
T＝4π③
答图3－2－1
(2)设第二种形式星体之间的距离为r ，则三个星体做圆周运动的半径为
R′＝④
由于星体做圆周运动所需要的向心力靠其他两个星体的万有引力的合力提供，由力的合成和牛顿运动定律有：
F合＝2cos 30°⑤
F合＝mR′⑥
结合③～⑥得：r＝R.
图3－2－5
