高考考前“状态保持”强化训练-2023届高三数学三轮冲刺（含解析）

高考考前“状态保持”强化训练
考前常态化！
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（3）排除法、代入法、特殊值（图形）法、数形结合法、二级结论秒杀，找规律，甚至可以量长度......
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（7）大小题的压轴训练，一定要保持！但不宜做难度太大的题了！------让思维保持最佳状态！！！！！
一、多项选择题
1、已知函数,的定义域均为R,且满足，
,,则( )
A. B.
C.的图象关于点对称 D.
2、已知函数，则下列结论正确的是( )
A.当时，若有三个零点，则b的取值范围为
B.若满足，则
C.若过点可作出曲线的三条切线，则
D.若存在极值点，且，其中，则
3、在平面直角坐标系Oxy中，为等腰三角形，顶角，点为AB的中点，记的面积，则( )
A. B.S的最大值为6
C.的最大值为6 D.点B的轨迹方程是
二、选择题
4、已知双曲线的离心率为3,斜率为的直线分别交F的左,右两支于A,B两点,直线分别交F的左,右两支于C,D两点,,AC交BD于点E,点E恒在直线l上,若直线l的斜率存在,则直线l的方程为( )
A. B. C. D.
5、已知，，曲线上存在点，使得，则a的范围是( )
A. B. C. D.
6、如图，在梯形ABCD中，，，，将沿AC边折起，使得点D翻折到点P，若三棱锥的外接球表面积为，则( )
A.8 B.4 C. D.2
三、填空题
7、已知函数在处取得极大值,则实数a的取值范围是________.
8、已知点在抛物线上，过点A作圆的两条切线分别交抛物线于B，C两点，则直线BC的方程为____________．
9、已知双曲线，，分别为双曲线的左 右焦点，P为双曲线上的第一象限内的点，点I为△的内心，点I在x轴上的投影H的横坐标为___________， 的面积的取值范围为___________.
四、解答题
10、一企业生产某种产品，通过加大技术创新投入降低了每件产品成本，为了调查年技术创新投入x (单位：千万元)对每件产品成本y (单位：元)的影响，对近10年的年技术创新投入和每件产品成本的数据进行分析，得到如下散点图，并计算得：，，，，.
(1)根据散点图可知，可用函数模型拟合y与x的关系，
试建立y关于x的回归方程；
(2)已知该产品的年销售额m (单位：千万元)与每件产品成本y的关系
为.该企业的年投入成本除了年技术创新投入，还要投入其他成本千万元，根据(1)的结果回答：当年技术创新投入x为何值时，年利润的预报值最大？
(注：年利润=年销售额一年投入成本)
参考公式：对于一组数据、、……、，其回归直线的斜率和截距的最小乘估计分别为：，.
11、如图，在平面五边形中，为正三角形，，且.将沿翻折成如图所示的四棱锥，使得.F，Q分别为，的中点.
(1)求证：平面；(2)若，求平面与平面夹角的余弦值.
12、如图，椭圆的焦点分别为，，A为椭圆C上一点，的面积最大值为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若B、D分别为椭圆C的上、下顶点，不垂直坐标轴的直线l交椭圆C于P、Q(P在上方，Q在下方，且均不与B，D点重合)两点，直线，的斜率分别为，，且，求面积的最大值.
13、已知椭圆的离心率为，椭圆的右焦点
（1）求椭圆C的方程；
（2）A、B是椭圆的左 右顶点，过点F且斜率不为0的直线交椭圆C于点M N，直线AM与直线交于点P.记PA、PF、BN的斜率分别为、、，是否存在实数，使得？
14、已知函数，.
（1）求函数的极值点；
（2）若恒成立，求实数m的取值范围.
15、已知函数，.
(1)当时，，求实数a的取值范围；
(2)已知，证明：.
16、已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）若函数有两个零点，，证明：
答案解析
一、多项选择题
1、已知函数,的定义域均为R,且满足,,,则( )
A. B.
C.的图象关于点对称 D.
【答案】
1、答案：AD
解析:因为,所以的图象关于点对称,所以,因为,所以,即,因为,所以,代入得,即,A正确;因为定义域为R的函数的图象关于点对称,所以,B错误;由,得,即,.因为,所以,又因为,相减得,所以的图象关于点中心对称,C错误;因为函数的定义域为R,所以,所以.记,,则数列是以3为首项,为公差的等差数列,数列是以2为首项,为公差的等差数列,故,,所以,D正确,故选AD.
2、已知函数，则下列结论正确的是( )
A.当时，若有三个零点，则b的取值范围为
B.若满足，则
C.若过点可作出曲线的三条切线，则
D.若存在极值点，且，其中，则
【答案】
2、答案： 答案：ACD
解析：对于A ，，当时，，，
令，解得或，
在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
当时取得极大值，当时取得极小值，
有三个零点，，解得，故选项A正确；
对于B ，满足，根据函数的对称可知的对称点为，将其代入，得，
解得，故选项B错误；
对于C ，，
设切点为，则切线的斜率
化简，
得
由条件可知该方程有三个实根，有三个实根，
记，
令，解得或，
当时取得极大值，当时，取得极小值，
因为过点可作出曲线的三条切线，
所以，解得，故选项C正确；
对于D ，，，
当，在上单调递增；
当，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
存在极值点，
由得
令，
，于是，
所以
，
化简得：，
，，于是，
.故选项D正确；
故选：ACD.
3、在平面直角坐标系Oxy中，为等腰三角形，顶角，点为AB的中点，记的面积，则( )
A.
B.S的最大值为6
C.的最大值为6
D.点B的轨迹方程是
【答案】
3、答案： ABD
解析：由，，为AB的中点，
若且，则，
故，
整理得：，则A轨迹是圆心为，半径为2的圆（去掉与x轴交点），
如下图，由圆的对称性，不妨令A在轨迹圆的上半部分，即，
令，则，
所以，则，
所以，A正确；
由，
则S的最大值为6，B正确；
由下图知：，所以无最大值，C错误；
令，则.代入A轨迹得，
即，
所以B轨迹为且，D正确；
故选：ABD.
二、选择题
4、已知双曲线的离心率为3,斜率为的直线分别交F的左,右两支于A,B两点,直线分别交F的左,右两支于C,D两点,,AC交BD于点E,点E恒在直线l上,若直线l的斜率存在,则直线l的方程为( )
A. B. C. D.
【答案】
4、答案：A
解析:由题得,设,,,,,AB的中点,CD的中点,则,相减得,所以.,所以①,同理得②,因为,则E,M,N三点共线,所以,将①②代入得,即,所以,即点E在直线上,故选A.
5、已知，，曲线上存在点，使得，则a的范围是( )
A. B. C. D.
【答案】
5、答案： B
解析：因为，所以，
由题意上存在一点使得，
即，只需证明，显然为增函数，
假设，则不满足，
同理不满足，
所以，那么函数即函数在有解，
即，可得，
从而，令，
则，
令，即，解得（舍去），
时， 时，
所以在单调递增，所以，
，，
所以的取值范围为，
即a的取值范围为.
故选：B.
6、如图，在梯形ABCD中，，，，将沿AC边折起，使得点D翻折到点P，若三棱锥的外接球表面积为，则( )
A.8 B.4 C. D.2
【答案】
6、答案：C
解析：如图，设M为AC的中点，为AB的中点，
为的外心，O为三棱锥的外接球球心，
则面ABC，面APC.
由题意得， 为的外心，
设外接球半径为R，
则，即，而， ，
在中，易得，即，由得，四边形为平行四边形，而面ABC，即，四边形为矩形，即面APC，面APC，
，，
故选C.
三、填空题
7、已知函数在处取得极大值,则实数a的取值范围是________.
【答案】
7、答案：
解析:,可得,令,则.①当时,,在R上单调递增,当时,,所以,在上单调递减;当时,,所以,在上单调递增,所以在处取得极小值,不合题意;②当时,,令,解得,在上单调递增,可得当时,,从而,在上单调递减;当时,,从而,在上单调递增,所以在处取得极小值,不合题意;③当时,,令,解得,令,解得,所以在上单调递增,在上单调递减,所以在处取得极大值,也是最大值,所以,从而,所以在R上单调递减,不合题意;④当时,,同理可知在上单调递减,故当时,,从而,在上单调递增,当时,,从而,在上单调递减.所以在处取得极大值,符合题意.综上,实数a的取值范围为.
8、已知点在抛物线上，过点A作圆的两条切线分别交抛物线于B，C两点，则直线BC的方程为____________．
【答案】
8、答案：
解析：因为点在抛物线上，则，解得，即抛物线方程为，
显然过点A作圆的两条切线斜率存在，设此切线方程为，即，
于是，解得，设点，
不妨令直线的斜率分别为，于是，，
同理，直线的斜率，而点，
直线BC的方程为，即.
故答案为：
9、已知双曲线，，分别为双曲线的左 右焦点，P为双曲线上的第一象限内的点，点I为△的内心，点I在x轴上的投影H的横坐标为___________， 的面积的取值范围为___________.
【答案】
9、答案：①3②
解析：由题意得：，故，
设点，且I在上垂足为H，
根据双曲线定义及切线长定理得：，
又，解得：，
所以点H坐标为，即横坐标为3；
渐近线的倾斜角为，则，
记，则，
所以，即，
又，解得：(负值舍)，
所以，则，
所以.
故答案为：3，
四、解答题
10、一企业生产某种产品，通过加大技术创新投入降低了每件产品成本，为了调查年技术创新投入x (单位：千万元)对每件产品成本y (单位：元)的影响，对近10年的年技术创新投入和每件产品成本的数据进行分析，得到如下散点图，并计算得：，，，，.
(1)根据散点图可知，可用函数模型拟合y与x的关系，试建立y关于x的回归方程；
(2)已知该产品的年销售额m (单位：千万元)与每件产品成本y的关系为.该企业的年投入成本除了年技术创新投入，还要投入其他成本千万元，根据(1)的结果回答：当年技术创新投入x为何值时，年利润的预报值最大？
(注：年利润=年销售额一年投入成本)
参考公式：对于一组数据、、……、，其回归直线的斜率和截距的最小乘估计分别为：，.
【答案】
10、答案：(1)
(2)当年技术创新投入为千万元时，年利润的预报值取最大值
解析：（1）令，则y关于u的线性回归方程为，
由题意可得，
，则，
所以，y关于x的回归方程为.
（2）解：由可得，
年利润
，
当时，年利润M取得最大值，此时，
所以，当年技术创新投入为20千万元时，年利润的预报值取最大值.
11、如图，在平面五边形中，为正三角形，，且.将沿翻折成如图所示的四棱锥，使得.F，Q分别为，的中点.
(1)求证：平面；
(2)若，求平面与平面夹角的余弦值.
【答案】
11、答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)证明：取的中点M，连接，.
则，.
因为面，面，
所以，面，面，
因为，
所以，面面，
因为面，所以面.
(2)取的中点O，连接，，
因为为正三角形，，所以且，
在直角梯形中，，，，
所以，且，
又因为，
所以在中，，即，
所以，以O为坐标原点，分别以，，的方向为x，y，z轴的正向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，.
因为，即，，
所以，，
所以，.
设为平面的一个法向量，
则，即，取.
又平面的一个法向量，
设平面与平面夹角为，
.
12、如图，椭圆的焦点分别为，，A为椭圆C上一点，的面积最大值为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若B、D分别为椭圆C的上、下顶点，不垂直坐标轴的直线l交椭圆C于P、Q(P在上方，Q在下方，且均不与B，D点重合)两点，直线，的斜率分别为，，且，求面积的最大值.
【答案】
12、答案：(1)
(2)面积的最大值为
解析：(1)，，，
故椭圆C的方程为；
(2)依题意设直线的方程为，，，
联立方程组，消元得：，
，，
，
由得：，
两边同乘，，
即；
将，代入上式得：
，
整理得：，所以或(舍)，
，
当时等号成立，满足条件，所以面积的最大值为.
13、已知椭圆的离心率为，椭圆的右焦点
（1）求椭圆C的方程；
（2）A、B是椭圆的左 右顶点，过点F且斜率不为0的直线交椭圆C于点M N，直线AM与直线交于点P.记PA、PF、BN的斜率分别为、、，是否存在实数，使得？
【答案】
13、答案：(1)
(2)见解析
解析：（1）因为椭圆的离心率为，椭圆的右焦点，
所以，，，则，故，
因此，椭圆C的方程为.
（2）证明：设、，设直线MN的方程为，其中，
联立，得，，
由韦达定理可得，，
所以，
易知点、，，
所以，直线AM的方程为，
将代入直线AM的方程可得，即点，
，，
所以，，
所以，.
14、已知函数，.
（1）求函数的极值点；
（2）若恒成立，求实数m的取值范围.
【答案】
（1）答案：是的极大值点，无极小值点
解析：由已知可得，函数的定义域为，且，
当时，；当时，，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为，
所以是的极大值点，无极小值点.
（2）答案：当时，恒成立
解析：设，，
则，
令，，
则对任意恒成立，
所以在上单调递减.
又，，
所以，使得，即，则，
即.
因此，当时，，即，则单调递增；
当时，，即，则单调递减，
故，解得，
所以当时，恒成立.
14、已知函数，.
(1)当时，，求实数a的取值范围；
(2)已知，证明：.
【答案】
14、答案：(1)
(2)证明见解析
解析：（1）解：令，则，
当时，，则函数在上单调递增，
当时，，则函数在上单调递减，
所以，，即，
所以，当时，，即，
当时，取，
由于，而，得，
故，不合乎题意.
综上所述，.
（2）证明：当时，由(1)可得，则，
可得，即，即，
令，所以，，所以，，即，
所以，，，
令，则，且不恒为零，
所以，函数上单调递增，故，则，
所以，，，
所以，
.
15、已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）若函数有两个零点，，证明：
【答案】
15、答案：（1）见解析
（2）见解析
解析：（1），令，解得，
令，解得，
所以的单调减区间为
单调增区间为
（2）证明不妨设，由（1）知.
要证，即证，即证，
又，即证.
令，，
则
令，则在上恒成立，
所以在上单调递减，即在上单调递减，
所以
所以在上单调递增，所以，所以
令，，又，即，所以
要证，即证，有，两边取对数，
即证，即证
即证
令，，，
可得函数单调递增，可得，即，
所以
综上，
证明的另一种方法：
不妨设，由（1）可知，必有
可得
若，由函数的单调性可得，
又由，有
.
令，有可得函数单调递减，
有
又由，可得，
故有不等式成立.