关于导数与函数中“指对同构”的一点思考讲义-2023届高三数学三轮冲刺（无答案）

关于导数与函数中“指对同构”的一点思考
一、导数同构中的六大基础函数
另外，以下几个函数也要让学生熟悉：
、、、、、
同构的三重境界
第一重境界：
双变量问题，、地位完全相同，也称为轮换式，只需把同一变量移到不等式的同一边即可。举几个常见的例子，一目了了。
可以设
构造新函数，求导证明为增函数即可
可以设 造新函数，求导证明为增函数即可
处理方法同上。
第二重境界：
指对跨阶时使用，何谓指对跨阶？比如在中，指数增长最快属于第一阶，其次属于第二阶，对数增长最慢属于第三阶。题目中如果同时出现，暂时称为“指对跨阶”。
常见模型及其处理方法：
（1）积型：
（2）商型：
（3）和差型：
3、第三重境界：
有些同构式没有明显的指对跨阶，需要配凑常数或是自变量，难度较大。
举例说明：
4、总结：
常见的指对变换有：、、、
、、
三、实际操作部分
（一）2023年高三第一次联合诊断测试
22、已知函数
①讨论的零点个数②若对，不等式恒成立，求的范围。
第二小问即为：，接下来如何处理成为关键！
步骤：
................观察特点，适当配凑！
现在可以简化不等式，整体换元：设 求出的范围：
原不等式化为：，即：在时恒成立，求新函数在的最小值。
至此已经很简单了！！
（二）2023年南开高三第六次质量检测（2月份月考）
22、现定义：为函数在区间上的立方变化率。已知，
（2）若对任意区间，的立方变化率均大于的立方变化率，求实数的取值范围。
在上单调递增
在上恒成立
讨论：①当时显然成立（略）
②当时，先把复杂项转化：
上述不等式化为：在上恒成立
关键步骤“同构”转化
..................................观察两边的特点，适当配凑！
.........还是比较容易想到！
注意：
.................完成“同构”，下面构造函数！
设 ，显然在递增
所以有：
下面的处理就简单了，构造新函数求最值，解出参数a的范围即可！
（三）
安徽省晥优联盟2022-2023年高三联考试题压轴
已知函数
若，讨论的单调性（略）
若，求实数的取值范围。
方法1、（朗博同构+切线放缩）
由已知得：，即：
令 ，即：
，设，则
在单减，在单增，
故：，解得：，
方法2、（同构+换元）
由已知得：，即：
化简得：
令 ，则不等式化为：，即：
设，则
在单减，在单增，
故：，解得：，
方法3、（求导+隐零点）
由已知得：，设
则
令，即：，设，则
在单增，
存在唯一零点，使得：，得：
在单减，在单增，
故：，解得：，
四、函数同构思想的应用
1、设实数，若对任意的，不等式恒成立，则的取值范围是
2、设实数，若对任意的，不等式恒成立，则的取值范围是
对任意，不等式恒成立，则实数的最小值是
4、已知实数满足，则=
5、（2022年八省联考第8题）
设，若，则下面结论正确的是（ ）
6、(2023届高三潍坊市一模21题第2小问)
已知函数，， 证明：当时，
7、（2020年山东高考22题第2问）
已知函数，若恒成立，求实数的范围？
8、（2021年云贵川桂四省联考22题第2问）
（改编）已知函数，若方程在有两个不同的解，求实数的取值范围？
9、（长沙市一中2023届高三月考（六）22题第2问）
已知函数，若的最小值为，求实数的最大值。