广东省深圳市罗湖区名校2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题（含解析）
文档属性
| 名称 | 广东省深圳市罗湖区名校2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 701.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-05-30 09:38:57 | ||
图片预览
文档简介
深圳市罗湖区名校2022-2023学年高二下学期期中考试
（数学）科试卷
考试时间：120分钟 满分：150分
注意：将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.双曲线的焦点坐标为（ ）
A. B. C. D.
2.经过点，且与直线垂直的直线方程是（ ）
A. B.
C. D.
3.两条平行直线和间的距离为，则分别为（ ）
A. B.
C. D.
4.若平面的一个法向量为，则点到平面的距离为（ ）
A.1 B. C. D.
5.点，点是圆上的一个动点，则线段的中点的轨迹方程是（ ）
A. B.
C. D.
6.椭圆与直线的位置关系是（ ）
A.相离 B.相交 C.相切 D.无法确定
7.已知双曲线的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点，则双曲线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
8.己知椭圆的焦点为，过的直线与交于两点，若，，则的方程为（ ）
A. B.
C. D.
二 多选题：本题共4小题，每小题5分，共计20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对得2分，有错选的得0分.
9.已知双曲线，则下列选项正确的是（ ）
A.渐近线方程 B.顶点坐标
C.离心率 D.焦距为3
10.已知圆的标准方程为，则下列说法正确的是（ ）
A.圆的圆心为 B.点在圆内
C.圆的半径为5 D.点在圆内
11.若方程所表示的曲线为，则下面四个说法中正确的是（ ）
A.若，则为椭圆
B.若为椭圆，且焦点在轴上，则
C.曲线可能是圆
D.若为双曲线，则
12.已知抛物线的焦点为是抛物线上一个动点，点，则下列说法正确的是（ ）
A.若，则
B.过点与抛物线有一个公共点的直线有3条
C.连接并延长与抛物线交于点，若的中点，则
D.点到直线的最短距离为
三 填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.
13.抛物线的焦点到准线的距离为__________.
14.已知空间向量，若，则实数的值为__________.
15.双曲线的一条渐近线方程为，则其离心率是__________.
16.已知分别为椭圆的左 右焦点，直线过点与椭圆交于两点.
（1）的周长为__________.
（2）若，且的内切圆半径为，则椭圆焦距为__________.
四 解答题：本题共4小题，共40分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分10分）
已知双曲线的离心率是双曲线的两个焦点，且
（1）求双曲线的标准方程；
（2）求双曲线渐近线方程.
18.（本小题满分12分）
已知两直线.当为何值时，和.
（1）平行；
（2）垂直.
19.（本小题满分12分）
已知圆.
（1）过点作圆的切线，求的方程；
（2）若直线方程为与圆相交于两点，求.
20.（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，平面，是的中点.
（1）求证：平面；
（2）求与平面所成的角的正弦值.
21.（本小题满分12分）
已知抛物线的焦点为.
（1）求；
（2）过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，若求直线方程.
22.（本小题满分12分）
已知焦点在轴上椭圆，长轴长，离心率.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知，过原点且斜率为的直线与椭圆交于两点，求面积的最大值.
深圳市罗湖区名校2022-2023学年高二下学期期中考试
（数学）答案
一 选择题
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
A C B B A B B D AC ABC BC BC
二 填空题
13.2 14.1 15. 16.40；12
详解：
1.解：由题意得，所以，又焦点在轴上.故选：.
2.解：设与直线垂直的直线方程斜率是，在轴上的截距是1，故选.
3.解：直线与直线平行，，解得，
直线方程化为两平行线间的距离，故选.
4.解：点到平面的距离为.故选.
5.解：设点的坐标为，结合中点坐标公式可得，
点在圆上，则，即.故选：.
6.解：直线过定点在椭圆内，故直线与椭圆相交，故选.
7.解：椭圆的焦点坐标为，则双曲线的焦点坐标为，可得，双曲线
的一条渐近线方程为，可得，即，可得，解得，则，故双曲线的方程为.故选.
8.解：设，则
在中，
在中又椭圆方程为：
故选.
9.解：双曲线，焦点在轴上，其中，
所以渐近线方程故正确离心率为，故正确；
顶点坐标为，故错误；焦距为，故错误，故选.
10.解：圆.圆的圆心为，半径为5，显然选项.正确，
点到圆心的距离为，小于半径，故点在圆内，所以正确，点到圆心的距离为，大于半径，故点在圆外，所以错误，故选.
11.解：方程所表示的曲线为.
，取时，方程为，表示圆，错误；
.若为椭圆，且焦点在y轴上，则，即，所以正确；
时，方程为，表示圆，所以正确；
.若为双曲线，可得，解得或，所以错误.故选.
12.解：由抛物线的方程可得焦点，准线方程中，由抛物线的性质，则，代入抛物线的方程可得，所以不正确；中，将点的坐标代入：，可得点在抛物线的外面，所以过有两条直线与抛物线相切，还有一条平行于轴的直线与抛物线有一个公共点，所以有3条直线与抛物线有一个公共点，正确；中，，所以正确；中，点到直线的距离
，所以的最小值为不正
确；故选：.
13.解：由题意可知
14.解：向量，若，则，解得.
15.解：由题意知，又因为在双曲线中，，所以，故
16.解：（1）过左焦点
周长，
（2），设，
则根据椭圆的定义可得：①，在中，，
所以根据余弦定理可得：②，由①-②得，
所以由三角形面积公式可得：①
又②
由①②可知或（舍）所以焦距为12
17.解：（1）由题意，且，解得，
所以双曲线的标准方程为
（2），焦点在轴上，渐近线方程为
18.解：（1）因为，所以，解得或，
当时，两条直线重合，故时，，
（2）因为，所以，解得或.
所以，当平行时，，当垂直时，或.
19.解：（1）圆方程可化为，则圆心，半径为1，
由，可得点在圆外，
当过点的直线斜率存在时，设1的方程为，即，
则圆心到直线1的距离为，解得，
的方程为，即，
当过点的直线斜率不存在时，的方程为，此时与圆相切，
的方程为或.
（2）直线方程为，
则圆心到直线的距离.
20.【答案】
证明：（1）平面平面平面平面，
平面平面平面平面
平面，
又平面，
，又是的中点，，
又平面平面，
平面；
（2）平面平面，
分别以所在直线为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系，
由已知可得，
平面是平面的一个法向量，
设与平面所成的角为，
则.
与平面所成的角的正弦值为.
21.解：（1）抛物线的焦点为，可得.
（2）抛物线方程为，
直线与抛物线交于两点，所以直线斜率焦点为设直线方程为：
联立，整理得，而，设，
所以直线方程为
22.解：（1），
又椭圆焦点在轴上椭圆方程为.
（2）设.将直线的方程与曲线的方程联立，得，
消去得，
.
又点到直线的距离，
的面积
（当且仅当时等号成立），
面积的最大值为.
（数学）科试卷
考试时间：120分钟 满分：150分
注意：将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.双曲线的焦点坐标为（ ）
A. B. C. D.
2.经过点，且与直线垂直的直线方程是（ ）
A. B.
C. D.
3.两条平行直线和间的距离为，则分别为（ ）
A. B.
C. D.
4.若平面的一个法向量为，则点到平面的距离为（ ）
A.1 B. C. D.
5.点，点是圆上的一个动点，则线段的中点的轨迹方程是（ ）
A. B.
C. D.
6.椭圆与直线的位置关系是（ ）
A.相离 B.相交 C.相切 D.无法确定
7.已知双曲线的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点，则双曲线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
8.己知椭圆的焦点为，过的直线与交于两点，若，，则的方程为（ ）
A. B.
C. D.
二 多选题：本题共4小题，每小题5分，共计20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对得2分，有错选的得0分.
9.已知双曲线，则下列选项正确的是（ ）
A.渐近线方程 B.顶点坐标
C.离心率 D.焦距为3
10.已知圆的标准方程为，则下列说法正确的是（ ）
A.圆的圆心为 B.点在圆内
C.圆的半径为5 D.点在圆内
11.若方程所表示的曲线为，则下面四个说法中正确的是（ ）
A.若，则为椭圆
B.若为椭圆，且焦点在轴上，则
C.曲线可能是圆
D.若为双曲线，则
12.已知抛物线的焦点为是抛物线上一个动点，点，则下列说法正确的是（ ）
A.若，则
B.过点与抛物线有一个公共点的直线有3条
C.连接并延长与抛物线交于点，若的中点，则
D.点到直线的最短距离为
三 填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.
13.抛物线的焦点到准线的距离为__________.
14.已知空间向量，若，则实数的值为__________.
15.双曲线的一条渐近线方程为，则其离心率是__________.
16.已知分别为椭圆的左 右焦点，直线过点与椭圆交于两点.
（1）的周长为__________.
（2）若，且的内切圆半径为，则椭圆焦距为__________.
四 解答题：本题共4小题，共40分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分10分）
已知双曲线的离心率是双曲线的两个焦点，且
（1）求双曲线的标准方程；
（2）求双曲线渐近线方程.
18.（本小题满分12分）
已知两直线.当为何值时，和.
（1）平行；
（2）垂直.
19.（本小题满分12分）
已知圆.
（1）过点作圆的切线，求的方程；
（2）若直线方程为与圆相交于两点，求.
20.（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，平面，是的中点.
（1）求证：平面；
（2）求与平面所成的角的正弦值.
21.（本小题满分12分）
已知抛物线的焦点为.
（1）求；
（2）过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，若求直线方程.
22.（本小题满分12分）
已知焦点在轴上椭圆，长轴长，离心率.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知，过原点且斜率为的直线与椭圆交于两点，求面积的最大值.
深圳市罗湖区名校2022-2023学年高二下学期期中考试
（数学）答案
一 选择题
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
A C B B A B B D AC ABC BC BC
二 填空题
13.2 14.1 15. 16.40；12
详解：
1.解：由题意得，所以，又焦点在轴上.故选：.
2.解：设与直线垂直的直线方程斜率是，在轴上的截距是1，故选.
3.解：直线与直线平行，，解得，
直线方程化为两平行线间的距离，故选.
4.解：点到平面的距离为.故选.
5.解：设点的坐标为，结合中点坐标公式可得，
点在圆上，则，即.故选：.
6.解：直线过定点在椭圆内，故直线与椭圆相交，故选.
7.解：椭圆的焦点坐标为，则双曲线的焦点坐标为，可得，双曲线
的一条渐近线方程为，可得，即，可得，解得，则，故双曲线的方程为.故选.
8.解：设，则
在中，
在中又椭圆方程为：
故选.
9.解：双曲线，焦点在轴上，其中，
所以渐近线方程故正确离心率为，故正确；
顶点坐标为，故错误；焦距为，故错误，故选.
10.解：圆.圆的圆心为，半径为5，显然选项.正确，
点到圆心的距离为，小于半径，故点在圆内，所以正确，点到圆心的距离为，大于半径，故点在圆外，所以错误，故选.
11.解：方程所表示的曲线为.
，取时，方程为，表示圆，错误；
.若为椭圆，且焦点在y轴上，则，即，所以正确；
时，方程为，表示圆，所以正确；
.若为双曲线，可得，解得或，所以错误.故选.
12.解：由抛物线的方程可得焦点，准线方程中，由抛物线的性质，则，代入抛物线的方程可得，所以不正确；中，将点的坐标代入：，可得点在抛物线的外面，所以过有两条直线与抛物线相切，还有一条平行于轴的直线与抛物线有一个公共点，所以有3条直线与抛物线有一个公共点，正确；中，，所以正确；中，点到直线的距离
，所以的最小值为不正
确；故选：.
13.解：由题意可知
14.解：向量，若，则，解得.
15.解：由题意知，又因为在双曲线中，，所以，故
16.解：（1）过左焦点
周长，
（2），设，
则根据椭圆的定义可得：①，在中，，
所以根据余弦定理可得：②，由①-②得，
所以由三角形面积公式可得：①
又②
由①②可知或（舍）所以焦距为12
17.解：（1）由题意，且，解得，
所以双曲线的标准方程为
（2），焦点在轴上，渐近线方程为
18.解：（1）因为，所以，解得或，
当时，两条直线重合，故时，，
（2）因为，所以，解得或.
所以，当平行时，，当垂直时，或.
19.解：（1）圆方程可化为，则圆心，半径为1，
由，可得点在圆外，
当过点的直线斜率存在时，设1的方程为，即，
则圆心到直线1的距离为，解得，
的方程为，即，
当过点的直线斜率不存在时，的方程为，此时与圆相切，
的方程为或.
（2）直线方程为，
则圆心到直线的距离.
20.【答案】
证明：（1）平面平面平面平面，
平面平面平面平面
平面，
又平面，
，又是的中点，，
又平面平面，
平面；
（2）平面平面，
分别以所在直线为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系，
由已知可得，
平面是平面的一个法向量，
设与平面所成的角为，
则.
与平面所成的角的正弦值为.
21.解：（1）抛物线的焦点为，可得.
（2）抛物线方程为，
直线与抛物线交于两点，所以直线斜率焦点为设直线方程为：
联立，整理得，而，设，
所以直线方程为
22.解：（1），
又椭圆焦点在轴上椭圆方程为.
（2）设.将直线的方程与曲线的方程联立，得，
消去得，
.
又点到直线的距离，
的面积
（当且仅当时等号成立），
面积的最大值为.
同课章节目录