大名县第一高级中学校2022-2023学年高一下学期5月第二次月考
数学试题
一、单选题
1．复数的虚部为（ ）
A．1 B． C．2i D．
2．用斜二测法画边长是4的正方形直观图，则所得直观图的面积是（ ）
A． B．8 C． D．16
3．下列结论中，正确的是（ ）
A．零向量只有大小，没有方向 B．若，，则
C．对任一向量，总是成立的 D．
4．在平行四边形中，是边上中点，则（ ）
A． B． C． D．
5．若圆锥的轴截面为等腰直角三角形，则它的底面积与侧面积之比是（ ）
A． B． C． D．
6．已知互不重合的直线m，n，互不重合的平面α，β，下列命题正确的是（ ）
A．若n α，m∥n，则m∥α B．若n α，m⊥n，则m⊥α
C．若α∥β，m∥α，则m∥β D．若m⊥β，m α，则α⊥β
7．在△中，，若三角形有两解，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知直三棱柱存在内切球，若，则该三棱柱外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列抽样方法是简单随机抽样的是（ ）
A．某工厂从老年、中年、青年职工中按2∶5∶3的比例选取职工代表
B．用抽签的方法产生随机数
C．福利彩票用摇奖机摇奖
D．规定凡买到明信片最后四位号码是“6637”的人获三等奖
10．下列命题中正确的是（ ）
A．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱
B．棱柱的面中，至少有两个面互相平行
C．如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能为五棱锥
D．各侧面都是全等的等腰三角形的棱锥为正棱锥
11．在复数范围内关于的实系数一元二次方程的两根为，其中，则（ ）
A． B． C． D．
12．用一个平面截正方体，则截面的形状不可能是（ ）
A．锐角三角形 B．直角梯形
C．正五边形 D．六边形
三、填空题
13．某学校高一、高二、高三三个年级共有学生3500人，其中高三学生数是高一学生数的两倍，高二学生人数比高一学生人数多300，现在按的比例分配分层随机抽样的方法抽取样本，则应抽取高一学生数为________．
14．在三棱锥中，，．若三棱锥的四个顶点都在球的球面上，则球的表面积为______．
15．已知向量，，则在方向上的投影向量是_______________.
16．(原创)已知正方体的棱长为1，点P在该正方体的表面上运动，且则点P的轨迹长度是________．
四、解答题
17．已知，分别求下列条件下与的数量积.
(1)；
(2)；
(3)与的夹角为；
(4)与的夹角为.
18．如图，在直角梯形中，，，，，以边所在的直线为轴，其余三边旋转一周所形成的面围成一个几何体．
(1)求该几何体的表面积；
(2)一只蚂蚁在形成的几何体上从点绕着几何体的侧面爬行一周回到点，求蚂蚁爬行的最短距离．
19．求解下列问题：
(1)在中，若，，，求角B．
(2)在中，若，，，求边c．
20．如图，在直三棱柱中，，，．
(1)求证：；
(2)设与底面ABC所成角的大小为，求三梭雉的体积．
21．如图，在中，内角的对边分别为，，，过点作，交线段于点，且，.
(1)求；
(2)求的面积.
22．在四棱锥中，平面，底面为正方形，，E和F分别为和的中点．
(1)证明：平面；
(2)求二面角的余弦值．参考答案：
1．D 2．A 3．D 4．C 5．A 6．D 7．C 8．D
9．BC 10．BC 11．BD
12．BC
【分析】根据正方体的截面特点，对四个选项一一判断.
【详解】对于A：截面图形如果是三角形，只能是锐角三角形，不可能是直角三角形和钝角三角形.
如图所示的截面三角形.
设，所以，，.
所以由余弦定理得：所以为锐角.
同理可求：为锐角，为锐角.
所以为锐角三角形.故A不选.
对于B：截面图形如果是四边形，可能是正方形，可能是矩形，可能是菱形，可能是一般梯形，也可能是等腰梯形，不可能是直角梯形.
B选
对于C：当截面为五边形时，不可能出现正五边形.
C选.
故选：BC.
13．8 14． 15．（，0） 16.
17．(1) (2) (3) (4)
【详解】（1）当时，或，则
（2）当时，；
（3）；
（4）
18．(1)
(2)
【详解】（1）
如图所示，满足题意的直角梯形，以边所在的直线为轴，其余三边旋转一周，
形成一个上底面半径为，下底面半径，母线长的圆台，
其表面积为.
（2）
将圆台的侧面沿母线展开，得到如图所示的一个扇环，
∵圆台上下底面半径的关系为，∴，∴，
又∵，∴，，
设，则的弧长，∴，
连接，取线段中点，连接，则，
在中，，，∴，
∴蚂蚁从点绕着圆台的侧面爬行一周回到点的最短路径即为线段，
.
∴蚂蚁爬行的最短距离为．
19．(1)
(2)
【详解】（1）由正弦定理得，
由于，所以为锐角，所以.
（2），
由正弦定理得，，解得.
20．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1），，，
，
，
又直三棱柱中，平面，
平面，，
又，平面，
平面，
平面，.
（2）平面，
在平面上的射影为，即为与底面ABC所成角，
，，
.
21．(1)
(2)
【详解】（1）由，
根据正弦定理可得，即，
根据余弦定理可得，
因为，所以；
（2）因为，且，所以，则，
所以，所以.
所以，即，
在三角形中，，，所以，
故.
22．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）取的中点M，连接，
∵M，E分别为的中点，
∴是的中位线，
∴且，
又F为的中点，
∴且，
∴且，
∴四边形是平行四边形，
∴平面平面，
∴平面，
（2）取的中点N，G，连接，
设，
∴为等腰三角形，
∴，
∵，
∴即，
又平面，平面，平面平面，
∴即为二面角的平面角，
∴，
∴二面角的平面角的余弦值为．
