北师大版数学必修第2册第6章 立体几何初步 综合检测题（原卷版+解析版）

第六章 立体几何初步
综合检测题(原卷版)
考试时间120分钟，满分150分．
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．给出下列命题：
①在圆台的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；
②有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥；
③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．
其中真命题的个数是(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
2．以长为8 cm，宽为6 cm的矩形的一边为旋转轴旋转而成的圆柱的底面面积为(　　)
A．64π cm2 B．36π cm2
C．64π cm2或36π cm2 D．48π cm2
3．梯形ABCD中，AB∥CD，AB 平面α，CD平面α，则直线CD与平面α内的直线的位置关系只能是(　　)
A．平行 B．平行或异面
C．平行或相交 D．异面或相交
4.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列说法错误的是(　　)
A．MN与CC1垂直
B．MN与AC垂直
C．MN与BD平行
D．MN与A1B1平行
5．如图所示，正方形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，将此正方形沿EF折成直二面角后，异面直线AF与BE所成角的余弦值为(　　)
A． B．
C． D．
6.E，F，G分别是空间四边形ABCD的棱BC，CD，DA的中点，则此四面体中与过E，F，G的截面平行的棱的条数是(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
7．正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为(　　)
A． B．16π
C．9π D．
8.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D为A1B1的中点，AB＝BC＝BB1＝2，AC＝2，则异面直线BD与AC所成的角为(　　)
A．30° B．45°
C．60° D．90°
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分)
9．下列命题为真命题的是(　　)
A．若两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合
B．若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直
C．垂直于同一条直线的两条直线相互平行
D．若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面不垂直
10.如图，在平行六面体ABCD　－A1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则下列说法正确的是(　　)
A．A1M∥D1P B．A1M∥B1Q
C．A1M∥平面DCC1D1 D．A1M∥平面D1PQB1
11．如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，则在下列命题中，一定正确的为(　　)
A．AC⊥BD
B．AC∥截面PQMN
C．AC＝BD
D．异面直线PM与BD所成的角为45°
12.正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点．则(　　)
A．直线D1D与直线AF垂直
B．直线A1G与平面AEF平行
C．平面AEF截正方体所得的截面面积为
D．点C与点G到平面AEF的距离相等
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．一个圆柱的侧面展开图是一个边长为1的正方形，则该圆柱的体积是 .
14．一个直径为32厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球，球全部没入水中后，水面升高9厘米，则此球的半径为 厘米．
15．已知a，b表示直线，α，β，γ表示平面．
①若α∩β＝a，b α，a⊥b，则α⊥β；②若a α，a垂直于β内任意一条直线，则α⊥β；③若α⊥β，α∩β＝a，α∩γ＝b，则a⊥b；④若a⊥α，b⊥β，a∥b，则α∥β.
上述命题中，正确命题的序号是 .
16．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，PC⊥平面ABCD，PC＝2，E，F是PA和AB的中点，则PA＝ 2 ，PA与平面PBC所成角的正弦值为 .
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)如图所示，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化了，会溢出杯子吗？请用你的计算数据说明理由．
18．(本小题满分12分)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA⊥PD，底面ABCD是直角梯形，其中BC∥AD，∠BAD＝90°，AD＝3BC，O是AD上一点．
(1)若CD∥平面PBO，试指出点O的位置；
(2)求证：平面PAB⊥平面PCD．
19．(本小题满分12分)在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，B1C⊥平面ABC，E，F分别是AC，B1C的中点．
(1)求证：EF∥平面AB1C1；
(2)求证：平面AB1C⊥平面ABB1．
20．(本小题满分12分)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，CD⊥PA，DB平分∠ADC，E为PC的中点，∠DAC＝45°，AC＝.
(1)求证：PA∥平面BDE；
(2)若PD＝2，BD＝2，求四棱锥E－ABCD的体积．
21．(本小题满分12分)在三棱锥S－ABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分SC且分别交AC，SC于D，E，又SA＝AB，SB＝BC．
(1)求证：BD⊥平面SAC；
(2)求二面角E－BD－C的大小．
22．(本小题满分12分)已知梯形BFEC如图1所示，其中BF∥EC，EC＝3，BF＝2，四边形ABCD是边长为1的正方形，沿AD将四边形EDAF折起，使得平面EDAF⊥平面ABCD，得到如图2所示的几何体．
(1)求证：平面AEC⊥平面BDE；
(2)求点F到平面ABE的距离．
第六章 立体几何初步
综合检测题(解析版)
考试时间120分钟，满分150分．
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．给出下列命题：
①在圆台的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；
②有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥；
③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．
其中真命题的个数是(　A　)
A．0 B．1
C．2 D．3
[解析]　
①不一定，只有当这两点的连线与圆台的轴共面时，才是母线；②不一定，因为“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面都是有一个公共顶点的三角形”，如图所示；③错误，棱台的上、下底面相似且是对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等．
2．以长为8 cm，宽为6 cm的矩形的一边为旋转轴旋转而成的圆柱的底面面积为(　C　)
A．64π cm2 B．36π cm2
C．64π cm2或36π cm2 D．48π cm2
[解析]　分别以长为8 cm，宽为6 cm的边所在的直线为旋转轴，即可得到两种不同大小的圆柱，显然C选项正确．
3．梯形ABCD中，AB∥CD，AB 平面α，CD平面α，则直线CD与平面α内的直线的位置关系只能是(　B　)
A．平行 B．平行或异面
C．平行或相交 D．异面或相交
[解析]　由直线与平面平行的判定定理，可知CD∥α，所以CD与平面α内的直线没有公共点．
4.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列说法错误的是(　D　)
A．MN与CC1垂直
B．MN与AC垂直
C．MN与BD平行
D．MN与A1B1平行
[解析]　连接DC1，可知MN是△C1DB的中位线，所以MN∥BD，BD与A1B1不平行，所以MN不可能与A1B1平行．
5．如图所示，正方形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，将此正方形沿EF折成直二面角后，异面直线AF与BE所成角的余弦值为(　C　)
A． B．
C． D．
[解析]　过点F作FH∥DC，交BC于H，过点A作AG⊥EF，交EF于G，连接GH，AH，则∠AFH(或其补角)为异面直线AF与BE所成的角．设正方形ABCD的边长为2，在△AGH中，AH＝＝，在△AFH中，AF＝1，FH＝2，AH＝，∴cos ∠AFH＝.
6.E，F，G分别是空间四边形ABCD的棱BC，CD，DA的中点，则此四面体中与过E，F，G的截面平行的棱的条数是(　C　)
A．0 B．1
C．2 D．3
[解析]　在△ACD中，∵G，F分别为AD与CD的中点，∴GF∥AC．而GF 平面EFG，AC平面EFG，∴AC∥平面EFG.同理，BD∥平面EFG.故选C．
7．正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为(　A　)
A． B．16π
C．9π D．
[解析]　如图所示，设球的半径为R，球心为O，正四棱锥的底面中心为O′.∵正四棱锥P－ABCD中AB＝2，
∴AO′＝.∵PO′＝4，
∴在Rt△AOO′中，AO2＝AO′2＋OO′2，∴R2＝()2＋(4－R)2，解得R＝，∴该球的表面积为4πR2＝4π×2＝，故选A．
8.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D为A1B1的中点，AB＝BC＝BB1＝2，AC＝2，则异面直线BD与AC所成的角为(　C　)
A．30° B．45°
C．60° D．90°
[解析]　如图，取B1C1的中点E，连接BE，DE，则AC∥A1C1∥DE，则∠BDE即为异面直线BD与AC所成的角．由条件可知BD＝DE＝EB＝，所以∠BDE＝60°，故选C．
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分)
9．下列命题为真命题的是(　BD　)
A．若两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合
B．若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直
C．垂直于同一条直线的两条直线相互平行
D．若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面不垂直
[解析]　A错，两个平面相交时，也有无数个公共点；C错，比如a⊥α，b α，c α，显然有a⊥b，a⊥c，但b与c也可能相交．故选BD．
10.如图，在平行六面体ABCD　－A1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则下列说法正确的是(　ACD　)
A．A1M∥D1P B．A1M∥B1Q
C．A1M∥平面DCC1D1 D．A1M∥平面D1PQB1
[解析]　连接PM，因为M、P为AB、CD的中点，故PM平行且等于AD．由题意知AD平行且等于A1D1，故PM平行且等于A1D1，所以四边形PMA1D1为平行四边形，所以A1M∥D1P.故A正确；显然A1M与B1Q为异面直线，故B错误；由A知A1M∥D1P，由于D1P既在平面DCC1D1内，又在平面D1PQB1内，且A1M即不在平面DCC1D1内，又不在平面D1PQB1内，故C、D正确．故选ACD．
11．如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，则在下列命题中，一定正确的为(　ABD　)
A．AC⊥BD
B．AC∥截面PQMN
C．AC＝BD
D．异面直线PM与BD所成的角为45°
[解析]　∵QM∥PN，∴QM∥平面ABD，∴QM∥BD，同理可得AC∥MN，∵QM∥BD，AC∥MN，MN⊥QM，∴AC⊥BD，A正确；∵AC∥MN，∴AC∥截面PQMN，B正确；∵QM∥BD，AC∥MN，∴＋＝1，C不一定正确；∵QM∥BD，∴异面直线PM与BD所成的角为∠PMQ＝45°，D正确．故选ABD．
12.正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点．则(　BC　)
A．直线D1D与直线AF垂直
B．直线A1G与平面AEF平行
C．平面AEF截正方体所得的截面面积为
D．点C与点G到平面AEF的距离相等
[解析]　取DD1中点M，则AM为AF在平面AA1D1D上的射影，∵AM与DD1不垂直，∴AF与DD1不垂直，故A选项错误；∵A1G∥D1F，A1G平面AEFD1，∴A1G∥平面AEFD1，故B选项正确；平面AEF截正方体所得截面为等腰梯形AEFD1，易知梯形面积为，故C选项正确；
假设C与G到平面AEF的距离相等，即平面AEF将CG平分，则平面AEF必过CG中点，连接CG交EF于H，而H不是CG中点，则假设不成立．故D选项错误．故选BC．
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．一个圆柱的侧面展开图是一个边长为1的正方形，则该圆柱的体积是 .
[解析]　∵圆柱的侧面展开图是边长为1的正方形，
∴该圆柱的高h＝1，底面周长2πr＝1，∴底面半径r＝，
∴该圆柱的体积V＝π××1＝.
14．一个直径为32厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球，球全部没入水中后，水面升高9厘米，则此球的半径为 12 厘米．
[解析]　V＝Sh＝πr2h＝πR3，
R＝＝12(厘米)．
15．已知a，b表示直线，α，β，γ表示平面．
①若α∩β＝a，b α，a⊥b，则α⊥β；②若a α，a垂直于β内任意一条直线，则α⊥β；③若α⊥β，α∩β＝a，α∩γ＝b，则a⊥b；④若a⊥α，b⊥β，a∥b，则α∥β.
上述命题中，正确命题的序号是 ②④ .
[解析]　对①可举反例，如图，需b⊥β才能推出α⊥β；对③可举反例说明，当γ不与α，β的交线垂直时，即可知a，b不垂直；根据面面、线面垂直的定义与判定知②④正确．
16．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，PC⊥平面ABCD，PC＝2，E，F是PA和AB的中点，则PA＝ 2 ，PA与平面PBC所成角的正弦值为 .
[解析]　如图所示，连接AC，过A作AH⊥BC于H，连接PH，
∵PC⊥平面ABCD，AH 平面ABCD，
∴PC⊥AH，
又PC∩BC＝C，
∴AH⊥平面PBC，
∴∠APH为PA与平面PBC所成的角，在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，
∴△ABC为正三角形，
又AH⊥BC，∴H为BC中点，AH＝，
∵PC＝AC＝2，∴PA＝2，
∴sin∠APH＝＝.故PA与平面PBC所成角的正弦值为.
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)如图所示，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化了，会溢出杯子吗？请用你的计算数据说明理由．
[解析]　不会溢出杯子．理由如下：由题图可知半球的半径为4 cm，所以V半球＝×πR3＝×π×43＝π(cm3)，V圆锥＝πr2h＝π×42×12＝64π(cm3)．
因为V半球18．(本小题满分12分)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA⊥PD，底面ABCD是直角梯形，其中BC∥AD，∠BAD＝90°，AD＝3BC，O是AD上一点．
(1)若CD∥平面PBO，试指出点O的位置；
(2)求证：平面PAB⊥平面PCD．
[解析]　(1)∵CD∥平面PBO，CD 平面ABCD，
且平面ABCD∩平面PBO＝BO，
∴BO∥CD．
又BC∥AD，∴四边形BCDO为平行四边形，
则BC＝DO，而AD＝3BC，
∴AD＝3OD，即点O是靠近点D的线段AD的一个三等分点．
(2)证明：∵侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB 底面ABCD，且AB⊥AD，
∴AB⊥平面PAD．
又PD 平面PAD，∴AB⊥PD．又PA⊥PD，
AB∩PA＝A，AB，PA 平面PAB，∴PD⊥平面PAB．
又PD 平面PCD，∴平面PAB⊥平面PCD．
19．(本小题满分12分)在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，B1C⊥平面ABC，E，F分别是AC，B1C的中点．
(1)求证：EF∥平面AB1C1；
(2)求证：平面AB1C⊥平面ABB1．
[解析]　(1)因为E，F分别是AC，B1C的中点，所以EF∥AB1．
又EF平面AB1C1，AB1 平面AB1C1，
所以EF∥平面AB1C1．
(2)因为B1C⊥平面ABC，AB 平面ABC，
所以B1C⊥AB．
又AB⊥AC，B1C 平面AB1C，AC 平面AB1C，B1C∩AC＝C，
所以AB⊥平面AB1C．
又因为AB 平面ABB1，所以平面AB1C⊥平面ABB1．
20．(本小题满分12分)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，CD⊥PA，DB平分∠ADC，E为PC的中点，∠DAC＝45°，AC＝.
(1)求证：PA∥平面BDE；
(2)若PD＝2，BD＝2，求四棱锥E－ABCD的体积．
[解析]　(1)设AC∩BD＝F，连接EF.
∵PD⊥平面ABCD，CD 平面ABCD，∴PD⊥CD．
∵CD⊥PA，PA∩PD＝P，∴CD⊥平面PAD．
∵AD 平面PAD，∴CD⊥AD．
∵∠DAC＝45°，∴DA＝DC．
∵DB平分∠ADC，∴F为AC的中点．
∵E为PC的中点，∴EF为△CPA的中位线，∴EF∥PA．
又EF 平面BDE，PA平面BDE，∴PA∥平面BDE.
(2)由(1)知DB⊥AC，将底面四边形ABCD的面积记为S，则S＝S△ADC＋S△ABC＝××＋××＝2.
∵点E为线段PC的中点，
∴V四棱锥E－ABCD＝S×PD＝×2××2＝.
21．(本小题满分12分)在三棱锥S－ABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分SC且分别交AC，SC于D，E，又SA＝AB，SB＝BC．
(1)求证：BD⊥平面SAC；
(2)求二面角E－BD－C的大小．
[解析]　
(1)证明：如图，
∵DE⊥SC，且E为SC的中点，又SB＝BC，
∴BE⊥SC．
又DE∩BE＝E，
根据直线与平面垂直的判定定理知SC⊥平面BDE，
∵BD 平面BDE，∴SC⊥BD．
又SA⊥平面ABC，BD 平面ABC，∴SA⊥BD．
又SA∩SC＝S，∴BD⊥平面SAC．
(2)由(1)知∠EDC为二面角E－BD－C的平面角，又△SAC∽△DEC，∴∠EDC＝∠ASC．
在Rt△SAB中，∠SAB＝90°，
设SA＝AB＝1，则SB＝.
由SA⊥BC，AB⊥BC，AB∩SA＝A，
∴BC⊥平面SAB，SB 平面SAB，∴BC⊥SB．
在Rt△SBC中，SB＝BC＝，∠SBC＝90°，则SC＝2.
在Rt△SAC中，∠SAC＝90°，SA＝1，SC＝2.
∴cos ∠ASC＝＝，
∴∠ASC＝60°，即二面角E－BD－C的大小为60°.
22．(本小题满分12分)已知梯形BFEC如图1所示，其中BF∥EC，EC＝3，BF＝2，四边形ABCD是边长为1的正方形，沿AD将四边形EDAF折起，使得平面EDAF⊥平面ABCD，得到如图2所示的几何体．
(1)求证：平面AEC⊥平面BDE；
(2)求点F到平面ABE的距离．
[解析]　(1)∵平面EDAF⊥平面ABCD，DE 平面EDAF.
平面EDAF∩平面ABCD＝AD，DE⊥AD，∴DE⊥平面ABCD，
∵AC 平面ABCD，∴DE⊥AC，
∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD
∵DE、BD 平面BDE，DE∩BD＝D，∴AC⊥平面BDE，
∵AC 平面ACE，∴平面AEC⊥平面BDE.
(2)过点F作FG⊥AE于点G，
因为平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD＝AD，
AB 平面ABCD，AB⊥AD，
所以AB⊥平面ADEF，又FG 平面ADEF，所以AB⊥FG，
又AB∩AE＝A，AB，AE 平面ABE，所以FG⊥平面ABE，
所以线段FG的长即为点F到平面ABE的距离，
AF＝1，AE＝，
S△AEF＝×1×1＝，S△ABE＝×1×＝，
由VB－AEF＝VF－ABE，得S△ABE·FG＝S△AEF·AB，即FG＝，
所以FG＝，
即点F到平面ABE的距离为.