中考数学二轮复习 按图形特征找数字规律 教案

课题：按图形特征找数字规律
【教学目标】1．通过观察、猜想、推理等活动，发现图形的排列规律，从而得到相应数字的变化规律．初步掌握按图形特征从特殊到一般归纳数字规律的方法．
2．从具体的按图形特征找数字规律的简单例子入手，再逐步把例子复杂化，让学生经历从特殊到一般地归纳数字规律的过程．以呈一定规律变化的图形为载体，根据图形的结构特征猜想数量上的变化规律，再将这种规律用代数式表达出来．
3．通过按图形特征找数字规律的教学，体会数学与生活的联系，激发学生学习数学的兴趣，提升学生的探究能力，养育学生的数学美和数学抽象素养．
【教学重点】发现图形排列的数字规律，并能用代数式表达出来．
【教学难点】把图形排列的数字规律准确地用代数式表示出来．
【教学方式】教师引领下的探究式．
【教学手段】多媒体电脑、实物投影仪
【教学过程】
一、创设情境、提出问题
实例1：在前面的学习中，我们研究过下面的问题：如图，以点O为端点引n条射线，图中共有多少个角(小于的角)？怎样表示？
我们是如何研究的？（先从简单的情况入手，从特殊到一般地进行研究．）
（1）以点O为端点引2条射线时，图中共有多少个角？怎样表示？
角的个数为1个．
（2）以点O为端点引3条射线时，图中共有多少个角？怎样表示？
角的个数为1+2=3个．
（3）以点O为端点引4条射线时，图中共有多少个角？怎样表示？
角的个数为1+2+3=6个．
(4)以点O为端点引5条射线时，图中共有多少个角？怎样表示？
角的个数为1+2+3+4=10个．
（5）以点O为端点引n条射线时，图中共有多少个角？ 怎样表示？
角的个数为．
我们通过射线条数增加的规律，得到了角的个数的变化规律，建立了角的个数与射线条数间的对应关系，并用含正整数n的代数式表示相应角的个数．
实例2：在生活中，为了寻求美，有时把物品按照某种规律进行摆放．
比如：在国庆节期间的亢山广场上，按如下图形摆放鲜花：
相应地，在数学中，这些摆放的物品对应的数字，可以用含正整数n的代数式来表示，这也有利于物品总数量的计算．
问题1：我们如何通过图形的变化规律得到相应数量的变化规律呢？
这就是本节课我们研究的课题：按图形特征找数字规律．
【设计意图】从旧知识入手、从日常生活入手提出新问题：如何通过图形的变化规律得到相应数量的变化规律？学生初步体会按图形找规律的方法：观察特征、猜想结论．
二、从特殊到一般地探究由图形的排列规律发现数量的变化规律
例1 在国庆节期间的亢山广场上，按如下图形摆放鲜花，则第5堆需要摆放鲜花 盆 ； 第n 堆需要摆放鲜花盆 盆．
答案：17，3n+2．
【学生活动】学生思考、交流．
预设1：数出每堆花盆的个数，由数字找规律．
预设2：观察每个图形的特点和相邻两个图形的变化规律，得到相应数字上的变化规律（递推）．
【教师活动】恰当点拨，引导学生提炼出按图形特征找数字规律的方法．
提炼方法：1．找规律：第1堆花盆数和正整数1的关系；第2堆花盆数和正整数2的关系；……；第n堆花盆数和正整数n的关系．问题的实质就是建立每堆的花盆数和对应序号之间的关系，即用序号刻画每堆花盆的数量．
2．用含正整数n的代数式表示猜想（猜想可能不正确）．
3．验证：增加归纳（猜想）的准确性．（如第4堆花盆的数量．先数出得14盆，再将代入3n+2中，得14盆．）
例1变式：在广场上，若按如下图形把鲜花摆放成小屋子的形状，则第10个图形需要摆放鲜花 盆 ； 第n 个图形需要摆鲜花 盆，第20个图形需要摆放鲜花 盆．
答案：59，，119．
【学生活动】思考、解决问题．
【教师活动】适时引导．
【设计意图】从多角度考虑问题，提升学生思维的灵活性．
例2 将正方形ABCD（如图1）作如下划分：第1次划分：分别连接正方形ABCD对边的中点（如图2），得线段HF和EG，它们交于点M，此时图2中共有5个正方形；第2次划分：将图2左上角正方形AEMH按上述方法再划分，得图3；如此继续下去，……，根据以上操作方法，若每次都把左上角的正方形依次划分下去，则第100次划分后，图中共有_______个正方形；第n次划分后，图中共有_______个正方形；继续划分下去，能否将正方形ABCD划分成有2017个正方形的图形？请说明理由．
答案：401；；能，第504次划分后，能将正方形ABCD划分成有2017个正方形的图形．
【学生活动】思考、交流、解决问题，进行验证．
【教师活动】适时引导．
【设计意图】提高学生运用从特殊到一般归纳的方法分析、解决问题的能力，体会方程思想．
例3 化简
问题2：在前面的研究中，我们把图形表示的数字归纳成用n表示的代数式，在例3中，我们能否把式子中的数字表示成图形，再由图形的变化特征归纳出式子的结果呢？
【学生活动】思考、实践．
【教师活动】（1）教师提示用1个单位正方形表示数字1，构造下列图形，通过图形变换，计算出式子结果的巧妙算法，并用电脑演示拼图算法．
……
（2）请学生思考，怎样用黑点来设计上述运算．
设计1：
设计2：
【设计意图】通过数转形、形转数体会数形结合思想，寓教于乐，寓学于乐，激发学生的学习兴趣．
三、课堂练习、巩固方法
练习1：将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，请仔细观察，第n个图形 有 个小圆. （用含n的代数式表示）
答案： （或）
练习2：将一张长方形的纸对折，如图所示可得到一条折痕（图中虚线）．继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折三次后，可以得到7条折痕，那么对折四次可以得到 条折痕．如果对折n次，可以得到 条折痕．
答案：15，．
【学生活动】学生练习．
【教师活动】适时指导．
【设计意图】巩固从特殊到一般地探究由图形的排列规律发现对应数量变化规律的方法．
四、课堂小结、凝练提升
本节课、你有哪些收获？
知识角度：按图形特征找数字规律．
方法角度：从特殊到一般的归纳．
数学思想：数形结合思想、方程思想．
五、布置作业、巩固提高
全品练习册： P 81 1—9题．
O
A
B
O
A
B
C
O
A
B
C
D
O
A
B
C
E
D
O
A
B
．
．
．
第1堆
第2堆
第3堆
…
第1堆
第2堆
第3堆
…
第1个图形
第2个图形
第3个图形
第4个图形
M
F
G
E
M
F
G
H
E
A
B
A
B
A
B
D
C
C
D
C
D
H
图1
图2
图3
2n-1
+
+
…
+
5
+
3
n列
n
行
2n-1
…
5
3
1
1
第2个图形表示数字3
第1个图形表示数字1
第3个图形表示数字5
第n个图形表示数字2n-1
+
+
…
+
+
…
…
2n-1
…
…
2n-1
第1个图形
第 2 个图形
第3个图形
第 4 个图形
仔细
观察
发现
特征
从特殊到一般
从简单到复杂
用n表示
归纳规律
进行验证
猜想
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