北京课改版初中数学八年级上册 12.11 勾股定理的应用——立体图形中最短路径路径问题 教学设计

《勾股定理的应用——立体图形中最短路径问题》教学设计
教学目标：
【知识与技能】
1.掌握勾股定理的简单应用，探究立体图形中的最短路径问题；
2.能够借助勾股定理解决有一定难度的实际问题.
【过程与方法】
经历运用勾股定理解决实际问题的过程，掌握立体图形转化为平面图形求最短路径的方法，学会分类讨论的思想，并在数学活动中发展学生的探究意识和合作交流的习惯.
【情感、态度与价值观】
培养学生运用所学知识解决实际问题的意识，增强学生的数学应用能力.通过与同伴交流，培养协作与交流的意识.
教学重点：
1.能熟练运用勾股定理解决实际问题，掌握最短路径问题；
2.探索立体图形如何转化为平面图形.
教学难点：
熟练运用勾股定理解决最短路径的实际问题
课前准备：
圆柱、正方体、长方体等教具
教学方法：
互动式教学、合作探究学习
教学过程：
一 、以题点知
在长为4米，宽为3米的长方形绿地上，蚂蚁想从A点爬到C点吃食，则蚂蚁爬行的最短路程为 米.
[设计意图]：本题不仅是考察勾股定理，而且复习了“两点之间，线段最短”.
二、合作交流，探究学习
问题引入：有一个圆柱，它的高为8厘米，底面半径为2厘米。一只蚂蚁从A点出发，沿着圆柱体的表面爬行。
（1）A点到C点，最短距离为多少？
（2）A点到B点，试求出爬行的最短路径。（π的值取3 ）
学生活动（一）：
（1） 蚂蚁可行的路线可能不止一条，你能找出几种出来？
（2） 自己做一个圆柱，尝试从A点到B点沿圆柱表面画出几条路线，你觉得那 条路最短呢？
（3） 从你寻找的路线中，如何找到最短路径，怎么判断是否最短？
[设计意图]：蚂蚁爬行问题，融知识性和趣味性于一体，问题引入设置两个问题，第一问，从A到C点在同一平面内，所以线段AC最短.第二问，是否可以还通过“两点之间，线段最短”的知识解决呢？如果不行，又该怎么办？充分发挥同学们的空间想象能力，培养同学们的探究意识和创新精神.

变式1：刚才问题的条件都不变,把问题改成:点B在上底面上且在点A的正上方,蚂蚁从点A出发绕圆柱侧面一周到达点B,此时它需要爬行的最短路程又是多少
[设计意图]：学生通过问题引入学会展开立体图形求最短路径，通过设立此题让学生学会展开图中找到起点和终点.问题引入学会在圆柱中求最短路径的方法，变式1让学生学会应对蚂蚁到达终点不同的情形.
变式2：刚才问题的条件都不变,把问题改成:点B在上底面上且在点A的正上方,蚂蚁从点A出发绕圆柱侧面两周到达点B,此时它需要爬行的最短路程又是多少
[设计意图]：蚂蚁绕着圆柱体爬行一周的问题，已由前面两个问题解决，通过变式2，让学生体会到蚂蚁爬行两圈、三圈……又该如何转化为平面图形中的最短问题？充分体现数学当中从特殊到一般的思想.
[[设计意图]：把立体图形求最短路径问题的思路小结呈现给学生，掌握一个问题的模式去解决其他同类型的问题.并严谨地呈现为什么需要把立体图形转化为平面图形.
三、小试牛刀
1、如果圆柱换成如图的棱长为10cm的正方体盒子，蚂蚁沿着表面从A点爬行到B点的最短路程又是多少呢？
同学们展开自己的空间想象能力，把正方体沿棱展开，把点A与点B所在的两个面放在同一个平面内，显然，从A到B的最短路线一定是从A出发，经过正方体两个面到达B. 根据“两点之间，线段最短”，以便发现最短路线，因展法不同，路线有多种，但因为这是一个正方体，任意两个面是一样的，所以构造直角三角形，得到爬行的最短路径都为 .
2、如果盒子换成如图长为3cm，宽为2cm，高为1cm的长方体，蚂蚁沿着表面从A点爬行到B点的最短路程又是多少呢？
[设计意图]：从不同情况的分析，学生可以感受到数学的学习需要全面的考虑问题，反过来，数学的学习又能帮助我们全面的考虑问题.通过以上练习，让学生掌握数学分类思想.为何问题2需要分类？因为跟正方体的性质不一样，长方体有可能三个面都不相等.那么让学生共同努力，学好数学，从而更全面的去考虑、看待生活中的问题.
四、归纳梳理
我们刚才在解决问题的过程中，有没有什么相同的地方，可以归纳一下吗？
1、 展 （立体图形——平面图形）
2、 找 （起点、终点）
3、 连 （两点之间线段最短）
4、 算 （利用勾股定理）
5、 答
[设计意图]：归纳出问题解决的一般模式，让学生有章可循，并明白每一步骤的依据是什么？为什么要这么做？
五、意犹未尽，乘胜追击
1、如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物。请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短路径长是多少？
2、如图，蚂蚁从地面上A点爬到墙上B点的最短路程是___________cm,其中CD=30cm,AC=23cm,BD=17cm。
3、如图，长方体的长为15 cm，宽为 10 cm，高为20 cm，点B离点C 为5 cm,一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点 A爬到点B，需要爬行的最短距离的平方是多少？
4. 如图，长方体的底面边长分别为2cm和4cm，高为5cm．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为 cm．
5. 如图将一根25厘米长的细木棒放入长、宽、高分别为8厘米、6厘米和10厘米的长方体无盖盒子中，则细木棒露在盒外面的最短长度是多少厘米．
第1题 第2题 第3题 第4题 第5题
[设计意图]：利用勾股定理进一步计算出最短路程的值，把本节课的知识点学以致用，数学题是千变万化的，但如果理解其中的由来，理清思路，立体图形的最短路径问题便可迎刃而解.体会数学学习的系统性、整体性和联系.

六、课堂小结 与作业
1.今天在解决数学问题时，我们用到了哪几个定理？分别是怎么应用的？
2.通过今天的学习，你有什么收获？ 还有那些疑惑？
B
A
4