湖北省2023年高考冲刺模拟试卷
数学试题（八）参考答案
一、单项选择题，二、多项选择题：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C C D A B D B A ABC ABD AB CD
三、填空题
13． 14． 15． 16．
1．C
2．C
3．D 【解析】由题意得解得所以随机抽取2个格点，则至少有1个格点
在三角形内部的概率为，故选D．
4．【答案】A
【解析】因为，所以，设向量与向量的夹角为，
因为，所以，
又因为，可得，所以，故选A．
5．B 【解析】因为
，
可得，因为在区间上没有零点，
所以，解得，又因为，
所以，根据题意可得，则有，
综上可得的取值范围为，即的最大值为，故选B．
6．D
【解析】因为，所以是偶函数，且当时，
是减函数，因为对恒成立，当且仅当时等号成立，取，
所以，所以，即．令，，
则，令，得，令，得，
得在上单调递增，在上单调递减，故，
故对恒成立，当且仅当时等号成立，取，
所以，因为，所以．综上，，故选D．
7．B
【解析】设点到各边的距离为，则，
即，由椭圆定义知，，则有
，所以椭圆的离心率，故选B．
8．A
【解析】如图，取的中点，连接，，可得，又，所以
为正三角形，取的中点，取的中点，连接，，，可得平面
平面，因为平面，所以平面，所以
在三棱锥表面上，满足的点的轨迹是，所以
点轨迹的长度．分别在，取点，，使得，
，再过点，分别作平面，平面的垂线，两垂线
交于点，则点即为外接球的球心，连接，，则，所以三棱锥
的外接球的表面积，所以，故选A．
9．ABC
10．ABD
【解析】因为函数的定义域为R，且，所以函数
是奇函数，故A正确；因为，
所以函数的图象关于直线对称，故B正确；
因为，
所以，因此不是函数
的周期，故C错误； 因为函数在上
的零点就是函数与在
上图象交点的横坐标，所以作函数与
在上图象，由图象知函数与在上有、、、
、、、共7个交点，其中，，，，，
因此，所以函数在上所有零点之和为，
故D正确．故选ABD．
11．AB
【解析】连接，则过点，且平面，设垂足为，则平面
，所以的最小值为，故A正确；因为，且
平面，所以点的轨迹是圆，故B正确；因为，，
可得，点的轨迹围成图形的面积为，故C错误；
异面直线与所成的角即为与所成的角，而与平面
所成的角为，且，故D
错误，故选AB.
12．CD
【解析】因为是定义在R上的单调函数，对于任意，满足，
所以为常数，令，则且，
即，即，令，因为，
故，因为为偶函数，方程有且
仅有4个不相等的实数根，当且仅当方程在上有且仅有两个不相等
的实数根，即在上有且仅有两个不相等的实数根，方程根
的个数可看成与图象交点个数，令，则
，当时，函数单调递减，当，函数单
调递增，且，故，即，当时，
不满足要求；当时，此时，故有两个交点，满足题意．故选CD．
13． 【解析】
，所以的展开式中常数项为．
14．0.8
【解析】以水位未涨前的水面的中点为原点，建立平面直角坐标系，如图所示，
设圆拱所在圆的方程为，因为圆经过点，，
所以解得所以圆的方程是
，
令，得，故当水位暴涨m后，船身至少应降低(m)，
船才能安全通过桥洞．
15． 【解析】为奇函数，，则
，即，可得
，两边求导得，又的图像关于对称，
的图象关于轴对称，即，两边求导得，则
，，可得和都是以为周期的
周期函数，，由，取，
可得，即，得，
．曲线在处的切线方程为
，即．
16．
【解析】由题意可知直线的斜率存在，设直线：，，
联立方程，整理得，，
，所以或，
解得或（舍），故直线的方程为，恒过定点，又因
为，所以点在以为直径的圆上，设的中点为，则的最
大值为．
17．解：（1），由正余弦定理可得
，（2分）
整理可得，解得．（4分）
（2），，，，
，，．（5分）
，即，，可得，
，（6分）
，（8分）
又，在中，
由正弦定理可知，，
．（10分）
18．解：（1）由题意得，当，，（1分）
当时，，两式相减得，（3分）
所以，又不满足上式，所以．（5分）
（2）因为，所以当时，，（6分）
当时，，（9分）
所以令
，又，所以．（12分）
19．解：（1）零假设为：疗法与疗效独立，即两种疗法效果没有差异，根据列联表中数据，
经过计算得到，
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
因此可以认为成立，即认为两种疗法效果没有差异. （4分）
（2）设组中采用甲方案康复的人数为，则，
所以，设组的积分为，则，
所以，（7分）
设组中采用乙方案康复的人数为，则的可能取值为：0，1，2，3，
，，
，，
故的分布列为：
0 1 2 3
所以，（10分）
设组的积分为，则，所以.（11分）
因为，所以甲种联合治疗方案更好. （12分）
20．解：（1）取中点，连结，交于点，连结，因为，，
所以四边形是平行四边形，所以，，
因为，所以，（2分）
因为，所以，因为，所以，
因为，所以平面，
因为平面，所以，（4分）
因为，所以平面，
因为平面，所以平面平面．（5分）
（2）取中点，以为坐标原点，，，为，，轴，建立如图所
示的空间坐标系，设，则，，所以，，
，，，，所以，
．设平面的一个法向量，则有即
令，则，，
所以平面的一个法向量．（8分）
因为平面的一个法向量，（9分）
所以，设二面角的大小为，
则，所以二面角的正弦值为．（12分）
21．解：（1）当轴时，，所以①，
②，（2分）
又③，联立①②③，解得，，，
所以双曲线的方程．（4分）
（2）证明：显然直线不与轴垂直，设的方程为，则，
，联立方程消去得，
设，，因为，所以，
，．因为，所以方程为，
令，得，同理，（6分）
所以
．（9分）
因为，所以，
解得，（11分）即直线方程为，所以直线经过点，
所以，，三点共线．（12分）
22．解：（1）设，因为在上递增，，，
所以存在唯一，使得（2分）
当时，由，，
所以，，曲线在点处的切线为
，
因为切线经过原点，所以，解得．（5分）
（2）由（1）知，当时，；
当时，，其中，即，
当时，，所以在上是减函数．
当时，，设，，
则在上是减函数．（7分）
① 当时，因为，，
在上是减函数，所以在上不存在最小值，不合题意；
② 当时，，，所以在上是增函数，
所以当时，取得极小值，也是最小值，所以适合；（9分）
③ 当时，因为，，所以存在，使得．
当时，，，递增；
当时，，，递减，所以当时，
取得极小值，要使在上存在最小值，则，
因为，所以，，
所以．综上，实数的取值范围是．（12分）秘密★启用前
湖北省2023年高考冲刺模拟试卷
数学试题（八）
本试卷共4页，22题。全卷满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，函数，且有4个子集，则实数的取值
范围是
A． B． C． D．
2．设为虚数单位，，“复数是纯虚数”是“”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为格点，顶点都是格点的多边形叫做格
点多边形．奥地利数学家皮克在研究格点多边形时，发现一个计算其面积的公式：
，其中表示多边形内部的格点数，表示多边形边界上的格点数．已知一
个格点三角形的边界上和内部的格点数的和为12，面积为9，若从这12个格点中随机抽取
2个格点，则至少有1个格点在三角形内部的概率为
A． B． C． D．
4．已知平面向量，，，，若向量在向量方向上
投影向量的坐标为，则
A． B．6 C． D．
5．已知函数，将的图象上所有点的横坐标变为原
来的2倍（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位长度，得到的图象，
若在区间上没有零点，则的最大值为
A． B． C． D．
6．已知函数，则，，的大小
关系是
A． B． C． D．
7．已知点，分别是椭圆：的左、右焦点，点是椭圆上的
一点，若的内心是，且，则椭圆的离心率为
A． B． C． D．
8．在三棱锥中，，，是的中点，为
三棱锥表面上的动点，且总满足，设点的轨迹的长度为，三棱锥
的外接球的表面积为，则
A． B． C． D．
二、多项选择题：本大题共4小题， 每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．下列命题正确的有
A．已知角的终边经过点，且，则
B．8个样本数据4，5，6，6，7，7，8，9的第75百分位数为
C．若随机变量服从正态分布，若，则
D．等比数列中，，，则数列的前9项和为21
10．已知函数，下列说法正确的有
A．为奇函数 B．的图象关于直线对称
C．的最小正周期为 D．在上所有零点之和为
11．如图，在棱长为2的正方体中，是的
中点，是平面上一点，则下列说法正确的是
A．的最小值为
B．若，则点的轨迹是圆
C．若，则点的轨迹围成图形的面积为
D．存在点，使得异面直线与所成的角为
12．已知是定义在R上的单调函数，对于任意，满足，方程
有且仅有4个不相等的实数根，则正整数的取值可以是
A．4 B．5 C．6 D．7
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知，则的展开式中
常数项为________．
14．某圆弧形拱桥的水面跨度是m，拱高为m．现有一船宽m，在水面以上部分高
m，通行无阻．近日水位暴涨了m，为此，必须加重船载，降低船身，当船身至少
降低________m时，船才能安全通过桥洞．
15．函数的定义域为R，是奇函数，且的图象关于对称．若曲
线在处的切线斜率为2，则曲线在处的切线方程为_______．
16．过抛物线：的顶点作两条互相垂直的直线交抛物线于，两点，点
为点在直线上的射影，是圆：上的动点，则的最
大值为__________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）在中，内角，，的对边长分别为，，，已知
．
（1）求边；
（2）若，，求的面积．
18．（12分）已知数列的前项和．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，证明：．
19．（12分）某医院用，两种疗法治疗某种疾病，采用有放回简单随机抽样的方法对治
疗情况进行检查，得到了如下数据：
未治愈 治愈 合计
疗法 15 52 67
疗法 6 63 69
合计 21 115 136
（1）根据小概率值的独立性检验，分析种疗法的效果是否比种疗法效果好；
（2）为提高临床医疗安全性，提高疾病的治愈率及好转率，同时降低医疗费用，降低患者
医疗负担．该医院对于，两种疗法进行联合改进，研究了甲、乙两种联合治疗方
案，现有6位症状相同的确诊患者，平均分成，两组，组用甲方案，组用
乙方案．一个疗程后，组中每人康复的概率都为，组3人康复的概率分别为
，，．若一个疗程后，每康复1人积2分，假设认定：积分期望值越高疗
法越好，请问甲、乙哪种联合治疗方案更好？
参考公式及数据：
0.05 0025 0.010 0.005 0.001
3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
，，．
20．（12分）在四棱锥中，底面是梯形，，，，
侧棱．
（1）证明：平面平面；
（2）若，是的中点，求二面角的
正弦值．
21．（12分）已知，分别为双曲线的右顶点和右焦点，，
在双曲线的右支上且位于轴两侧的两点，当轴时，直线的斜率为，
且的面积为．
（1）求双曲线的方程；
（2）直线，分别与直线交于点，，若，
求证：，，三点共线．
22．（12分）已知函数．
（1）若曲线在点处的切线经过原点，求的值；
（2）若在上存在最小值，求的取值范围．
