秘密★启用前
7.在四边形ABCD中，AB∥CD,AB=4CD,点E在线段CB上，且CE=3EB,设AB=a,AD=b,则AE
会泽实验高级中学校2023年春季学期高一年级月考试卷（四）
C.
数学
8.已知圆柱的轴截面为矩形，其底边长是侧边长的2倍，若轴截面的面积为S,则圆柱的表面积为
A.√2πS
B.2T.S
本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第I卷第1页至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4
C.2.2TS
D.4TS
页，考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求
第I卷（选择题，共60分）
的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)
注意事项：
9.下列四个正方体图形中，A,B为正方体的两个顶点，M,N,P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面
1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.
MNP的图形是
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应題目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦千净后，再
选涂其他答案标号.在试題卷上作答无效
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求）
1+i
1.已知复数z=
1-)2,则e的值为
A司
R号
c
11
D.2-2
2.如图1，直角三角形ABC绕直角边AC旋转360°，所得的旋转体为
10.从某年级的500名学生中抽取60名学生进行体重的统计分析，下列说法正确的是
A.圆锥
B.圆柱
A.500名学生是总体
B.每名学生的体重是个体
C.圆台
D.球
C.学生的体重是变量
D.抽取的60名学生的体重是样本容量
3.下列选项中，能够确定直线a与平面α平行的是
图
11.已知直三棱柱ABC-A,B,C,的体积为V,若点P在AM,上，且AP=3M,点Q是棱CC,上的动点，则下
A.bCa,cCa,a∥b,a∥c
B.b￠a,b∥a,ab
C.ata,bCa,a∥b
D.A,B∈a,C,D∈b,AC∥BD,且bC
列说法正确的是
4.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为S=a2+b2-c2,则tanC的值为
A.当Q为CC,的中点时，Ve-woe=2
5
A
C.2
D.4
B.当Q为CC,的中点时，Voe=18
5.某校有男生3000人，女生2000人，学校将通过分层随机抽样的方法抽取100人的身高数据，若按男女比
例进行分层随机抽样，抽取到的学生平均身高为165cm,其中被抽取的男生平均身高为172cm,则被抽取的
C当Q为cC,的三等分点，且靠近点C,时，m=y
女生平均身高为
A.154.5cm
B.158cm
C.160.5cm
D.159cm
D.当Q为C,的三等分点，且靠近点C,时，mc= y
6.用斜二测画法画水平放置的△ABC的直观图，得到如图2所示的等腰直角三角
12.在△ABC中，AB=c,BC=a,Ci=b,则下列推导正确的是
形△A'B'C'.已知点O'是斜边B'C'的中点，且A'O'=1,则△ABC的边BC边上
A.若a·b<0,则△ABC是钝角三角形
的高为
B.若a·b=0,则△ABC是直角三角形
A.1
B.2
C.2
D.22
C.若a·b=b·c,则△ABC是等腰三角形
D.若a=|b-c1,则△ABC是直角三角形
数学H忆·第1页（共4页）
数学H忆·第2页（共4页）会泽实验高级中学校2023年春季学期高一年级月考试卷（四）
数学参考答案
第Ⅰ卷（选择题，共 60 分）
一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的选项中，只有一
项是符合题目要求的）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B A C D A D C B
【解析】
1 z 1 i 1 i i i
2 1 1 1 2 1 2
i | z | 2．∵
(1 i)2
，∴ ，故选 B.
2i 2i2 2 2 2 2 2
2．由圆锥的定义可得直角三角形 ABC绕直角边 AC旋转 360°，所
得的旋转体为圆锥，如图 1，故选 A．
b
3 ．根据线面平行的判定定理知 a∥b a∥ ，故选 C.
a
图 1
4 1 a
2 b2 c2
．∵△ABC的面积为 S a2 b 2 c2 ，∴ absinC a2 b2 c2 ，又∵cosC ，
2 2ab
∴2abcosC 1 absinC，则 tanC 4 ，故选D.
2
5． 由题意知男生抽取 60 人，女生抽取 40 人，则抽取的 100 人总体平均身高为165 100 16500，
抽取的男生总体身高为172 60 10320，所以抽取的女生总体身高为16500 10320 6180，
所以抽取的女生平均身高为 6180 40 154.5cm ，故选 A．
6．∵直观图是等腰直角三角形 A B C ， B A C 90 ，A O 1，∴A C 2 ，根据直观图中
平行于 y轴的长度变为原来的一半，∴△ABC的边 BC上的高 AC 2A C 2 2 ，故选 D．
7．因为CE 3EB，AB a，AD b，所以 AE AB BE AB 1 BC AB 1 (BA AD
4 4
3 1 1 3 1 1
DC) AB 13 1 13 1 AD DC AB AD AB AB AD a b，故选 C．
4 4 4 4 4 16 16 4 16 4
8 2S．由题意，假设轴截面的侧边长为 a，则底边长为 2a，由已知可得 2a2 S，则 a ，
2
数学 HZ 参考答案·第 1 页（共 7 页）
2
2S 2S
因此底面半径为 ，底面周长为 π 2S ，所以底面面积为 2 π
2 2
πS ，侧面积
为 π 2S 2S πS ，故圆柱的表面积为 2πS，故选B.
2
二、多项选择题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项
是符合题目要求的．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分）
题号 9 10 11 12
答案 AB BC BD BCD
【解析】
9．对于 A，如图 2，连接 AC，则 AC∥MN，由正方体性质得到平面 MNP∥平面 ABC，∴AB∥
平面MNP，故 A 正确；对于 B，如图 3，连接 CD，则 AB∥CD，NP∥CD，则 AB∥PN，∴
AB∥平面 MNP，故 B 正确；对于 C，如图 4，过 M作 ME∥AB，则 E是中点，则 ME与
平面 PMN相交，则 AB与平面 MNP相交，∴AB与平面 MNP不平行，故 C 错误；对于 D，
如图 5，若下底面中心为 O，则 NO∥AB，NO∩平面 MNP=N，∴AB与平面MNP不平行，
故 D 错误，故选 AB．
10．由题意可知在简单随机抽样概念中，500名学生的体重是总体，每名学生的体重是个体，
学生的体重是变量，样本容量为60，所以B，C正确，A，D错误，故选BC．
11 6 CQ．如图 ，设 t， 0≤t≤1，点 B到平面 ACC1A1的距离为 h，则CC1
V 1B APQC h S
1 1
APQC h (AP CQ) AC 3 3 2
1
h 1 1 1 AA1 tCC1 AC h t AA1 AC 6 3 6 3
1
1
t
1 h AC AA
1 1 t 1 S AA 3 3 2 3 3 △ABC 1 图 6
数学 HZ 参考答案·第 2 页（共 7 页）
1 1 1 1 1 4 t V 0 ≤t≤1 ≤ t ≤
3 3 ，因为 ，所以 ， 9 3 3 9
1
所以 V V
4 2 2 1 1
≤
9 B APQC
≤ V ，当CQ CC1 时， t ，即V9 3 3 B APQC
V ；当CQ CC 时，
3 2 1
t 1 V 5 ，即 V ，故选 BD.
2 B APQC 18
12．在△ABC中，AB c，BC a，CA b，对于 A：若 a b 0 ，即 | a | | b | cos(π BCA) 0，
则 BCA 为锐角，则△ABC不一定为钝角三角形，故 A 错误；对于 B：若 a b 0，即
| a | | b | cos(π BCA) 0，则 BCA是直角，△ABC是直角三角形，故 B 正确；对于 C：
若 a b b c，则 a b b c b (a c) 0，即
CA (BC AB) 0 ，CA (BC BA) 0 ，如图 7，
取 AC的中点D，连接 BD，则 BC BA 2BD，所
以CA BD 0 ，即CA BD，所以 BA BC，即
图 7
ABC
△ 为等腰三角形，故 C 正确；对于 D：若 | a | | b c |，即 a2 (b c)2 ，即
a2 b 2 c
2 2b c
，即 | b |2 | c |2 | a |2 2 | b | | c | ( cos A)，即 cos A cos A，
π
∴cos A 0，∴A ，∴△ABC为直角三角形，故 D 正确，故选 BCD．
2
第Ⅱ卷（非选择题，共 90 分）
三、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
题号 13 14 15 16
2π
答案 750 3 130
3 2
【解析】
13．样本量指样本中包含的个体数，所以本次抽样的样本量是 25 30 750.
14．设 a b与 a b的夹角为 θ， [0，π]，∵ a⊥b，∴ a b 0 ，∴ | a b | | a b | 2 ，
2 2 2
∵ | a b | 2 ，∴ a b 4，∵ | a | 1，∴b 3，∴cos (a b ) (a b) 1 3 1 ，
| a b | | a b | 2 2 2
2π 2π
解得 ，故 a b与 a b的夹角为 ．
3 3
数学 HZ 参考答案·第 3 页（共 7 页）
15．作出该圆柱内接于球 O的轴截面如图 8 所示，则OA R，
OB h R ， AB r，在△OAB中，
2 2
2
AB OA2 OB2 R2 R 3 R r，
2 2
图 8
r 3
所以 ．
R 2
16．由题意得： (R h)2 2502 R2 ，则 2Rh h2 2502 ，则 2πRh πh2 2502 π 250000，所
h2 250000 250
2 π
以 2502 4 4 1
，所以 h 250 1 250 0.52 130 ． π π π
四、解答题（共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）
解：（Ⅰ）设 z1 x yi(x，y R) ，则 z2 x yi，
∵z1(1 i) z2 (1 i) ， | z1 | 2 ，
(x yi)(1 i) (x yi)(1 i)， x 1， x 1，
∴ 2 2 解得 或
x y
2， y 1 y 1，
即 z1 1 i或 z1 1 i . ……………………………………………（5分）
（Ⅱ）∵z1的虚部大于零，∴z1 1 i ，则 z1 1 i，
m
∴ 1 i n i ，
1 i
m
1 n， 2
即 解得m 4，n 1 . …………………………………………（10分）
m 1 1，
2
18．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）OP OA tOB (2，1) t(4，3) (4t 2，3t 1)，
4t 2 0， 1
由题意得 解得 t . ……………………………………………（6分）
3t 1 0， 3
（Ⅱ）若四边形OABP要是平行四边形，只需要OP AB，
而 AB (2，2)，OP (4t 2，3t 1)，
数学 HZ 参考答案·第 4 页（共 7 页）
因此 4t 2 3t 1，
解得 t 1，
故四边形OABP能成为平行四边形. …………………………………………（12分）
19．（本小题满分 12 分）
解：（Ⅰ）由题意得该几何体由两个半球和一个圆柱筒组成，
所以体积为一个球体体积和一个圆柱体积之和，
V 4 πR3 256由球体的体积为： π cm31 ， ………………………………………（2 分） 3 3
圆柱体积为：V 22 πR h 48π cm
3 ， ……………………………………………（4 分）
所以浮球的体积为：V V V 400 31 2 π cm ． …………………………………（6 分） 3
（Ⅱ）上下半球的表面积： S 4πR2 64π cm21 ， ……………………………（7 分）
圆柱侧面积： S2 2πRh 24π cm
2 ， ……………………………………………（8 分）
所以 1 个浮球的表面积为 S 64π 24π 88π cm2 ， ………………………………（9 分）
3000 个浮球的表面积为：3000 88π 264000π cm2 ， ……………………………（10 分）
因此每平方厘米需要涂胶 0.1 克，
共需胶 264000π 0.1 26400π 克． ……………………………………………（12 分）
20．（本小题满分 12 分）
（Ⅰ）证明：在△PAC中， AC 2 ， PA 1， PC 5 PC 2 AC 2 PA2 ，
故 PA AC，又 PA AD， AC AD A，
所以 PA⊥平面 ABCD． ………………………………………………（6 分）
（Ⅱ）解：∵ AD∥BC， BAD 150 ，∴ ABC 30 ，
又因为 AB AC 2，∴ ACB 30 ，
进而可知在△BAC中， BAC 180 ABC ACB 120 ，
1 1 3
所以 S△ABC AB AC sin BAC 2 2 3 ， 2 2 2
S 1 PA AC 1△APC 1 2 1， 2 2
设点 B到平面 PAC的距离为 h，
则VB PAC V
1
P ABC S△PAC h
1
S
3 3 △BAC
PA h 3 ，
所以点 B到平面 PAC的距离为 3 . ………………………………………………（12 分）
数学 HZ 参考答案·第 5 页（共 7 页）
21．（本小题满分12分）
（Ⅰ）证明：取CE的中点G，连接 BG， FG．
∵F，G分别是CD，CE的中点，
∴FG DE FG 1∥ ， DE，
2
∵AB 平面ACD，DE 平面 ACD，
∴AB∥DE，
∵AB⊥平面 ACD， AC AD 2， BC BE 5 ，
∴AB BC 2 AC 2 1，
由已知可得四边形 ABED为直角梯形，可得DE 2 .
1
∴AB DE，
2
∴FG∥AB， FG AB，
∴四边形 ABGF是平行四边形，
∴AF∥BG，又 BG 平面 BCE， AF 平面 BCE，
∴AF∥平面 BCE． ……………………………………………（6 分）
（Ⅱ）解：∵△ACD是边长为2的正三角形， F 是CD的中点，
1 1 3 3
∴S△ACF S2 △ACD
2 2 ，
4 2 2
1 3
∴VE ACF S△ACF DE . …………………………………………（12分） 3 3
22．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）因为 a
π
8，A ，
3
b c a 16
所以 sin B sinC sin A ， 3
数学 HZ 参考答案·第 6 页（共 7 页）
b 16 sin B c 16 sinC 16所以 ， sin(A
8
B) 8cosB sin B，
3 3 3 3
16cosB 16 sin B 16 sin B
2c b
则 3 3 16 …………………………………（6 分） ．
cosB cosB
（Ⅱ）由 a2 b2 c2 2bccos A b2 c2 bc，
得 b2 c2 64 bc，
因为b2 c2≥2bc，所以 b2 c2 64 bc≥2bc，
所以bc≤64，当且仅当b c 8时，取等号，
2 2
| AB AC | (AB AC)2 AB AC 2AB AC b2 c2 bc 64 2bc，
AB AC 1 bc，
2
1
令 t 64 2bc，8 t≤8 3，则bc t 2 32，
2
则 | AB AC | AB AC t
1 1
t2 16 (t 2)2 17 ，
4 4
1
因为8 t≤8 3 ，所以8 3 32≤ (t 2)2 17 8 ， 4
所以 | AB AC | AB AC的最小值为8 3 32．……………………………………（12 分）
数学 HZ 参考答案·第 7 页（共 7 页）
