2.1锐角三角函数（1）教学设计2022—2023学年鲁教版（五四制）数学九年级上册
文档属性
| 名称 | 2.1锐角三角函数（1）教学设计2022—2023学年鲁教版（五四制）数学九年级上册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 950.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-05-31 16:43:49 | ||
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文档简介
鲁教版数学九上第二章第1节锐角三角函数（1）教学设计
一、背景分析
1.教材分析
本节课是鲁教版数学九年级上册第二章《直角三角形的边角关系》的起始内容，既是“图形的相似”在数学内部的一个应用，又是后面学习解直角三角形的一个基础，地位十分重要.本节课的主要内容是学习并理解正切的概念，这对于学生今后认识和理解正弦、余弦以及锐角三角函数等都具有正向迁移的作用.
2.学情分析
从学生的数学基础来看，在此之前学生已有了相似三角形、函数等相关知识，同时也已具备了数形结合的方法理念.从学生的生活背景上看，学生对于梯子的倾斜程度、山坡的倾斜程度等有一定的直观感受，所以教材在此安排正切的学习是合理的.学生通过感悟锐角的对边与邻边的比值和角度之间的一一对应关系，为下节课理解锐角三角函数作了一个很好的铺垫.
二、教学目标分析
依据课程标准（2022年版）、教学内容的特点及学生的认知水平，确定本节课的教学目标是：
1.理解正切、坡度等概念，能运用正切的定义求解与正切有关的简单问题.
2.经历探索如何表示梯子倾斜程度的过程，使学生感受数形结合的数学思想方法，培养学生理性思维的习惯，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力.
3.激发学生学习的积极性和主动性，引导学生自主探索、合作交流，感悟现代科学技术对数学研究的帮助，培养学生的创新意识.
三、教法学法分析
1.教法分析
鉴于本节课的特点和九年级学生的认知水平，确定本节课以教师为主导、学生为主体，引导学生自主探索、合作交流.本着问题让学生提、困难让学生议、结论让学生得的原则开展教学活动，教师为学生的自主探索、合作交流提供空间和平台.同时，本节课采用多媒体和实体教具相结合的方式进行教学.
2.学法分析
九年级的学生已经具有相似三角形、勾股定理、函数等数学知识，分析、解决问题的能力也己达到了一定的水平，并且他们在生活中积累了较为丰富的经验.因此，本节课的学习，鼓励学生以自主探索与合作交流的学习方式，遵循“从特殊到一般”的认知规律，沿着“观察、猜想、推理、归纳、应用”的主线进行学习.
四.课前准备
教师准备：梯子模型、直角三角板、多媒体课件.
学生准备：课本、导学案、练习本等.
五、教学过程设计
1.创设情境，引入新课
师（手拿梯子模型）：生活中我们有很多情况下需要用到梯子，在爬梯子的时候你希望梯子陡一点还是缓一点？
生：缓一点.
师：对，因为缓一点要安全一些.我们先来看一个小视频.
（视频播放：小狗越城墙）
师： 视频中，小狗为什么一开始爬上去又爬下来了？
生：因为梯子很陡.
师：它是怎么觉出来梯子很陡的？
生：爬上去就能感觉出来.
师：如果不爬上去，我们能知道哪个梯子比较陡吗？
生：（犹豫）
师：如图1所示，梯子本身和墙以及地面组成了一个什么图形？
生：直角三角形！
师：那我们是不是可以在这个直角三角形里面进行比较？
生：是！
师：本节课，我们将利用直角三角形的知识来比较梯子的倾斜程度.
设计意图：以爬梯子的动画视频引入新课，引导学生对于梯子的倾斜程度有一个初步的理解.
2.自主学习，探究方法
师：如何比较下列三组梯子（AB与EF）的倾斜程度呢？
师生活动：借助导学案，学生四人一组，讨论比较方法，时间2分钟左右.教师在此期间巡视学生的讨论结果.
生：第1组中，梯子AB的倾斜程度要大一些.
师：由此你可以得到什么结论？
生：倾斜角越大，梯子越陡.
师：你说的倾斜角分别指的哪个角？
生：∠BAC和∠FED.
师：如果倾斜角相等，梯子的倾斜程度一样吗？
生：一样！
师：说的特别好，这位同学用了比较倾斜角的方法.其余两组呢？
生：第2组梯子顶端到地面的垂直高度都一样，但是AB的底端到墙角的距离更短，所以梯子AB更陡一些；第3组的两个梯子底端到墙角的距离一样，但是EF的顶端到地面的距离更高一些，所以梯子EF更陡一些.
师：答得很好，这位同学运用了分类比较的方法，通过“两两”比较，可以知道哪一个梯子更陡一些.由此我们又可以得到什么结论呢？
生：竖直高度相同，水平宽度不同，则水平宽度小的梯子更陡.
生：水平宽度相同，竖直高度不同，则竖直高度高的梯子更陡.
师：图2中的两个梯子，你认为哪个梯子更陡？你有什么发现？
学生活动：学生以同桌为单位，讨论梯子的倾斜程度，时间1分钟左右.教师在此期间巡视学生的讨论结果以及解题思路.
生：一样陡！
师：你能说明理由吗？
生：这两个梯子所在的直角三角形的两条直角边分别对应成比例，且夹角都是直角，所以可判定这两个直角三角形相似，从而得到它们的“倾斜角”相等，因此两个梯子一样陡！
师：有道理！虽然没法直接比较这两个梯子的倾斜角，但这位同学采用了证相似的方法，证明了两个梯子的“倾斜角”相等.由此我们又可以得到什么结论？
生：倾斜角相同，则梯子的倾斜程度相同.
师：我们一开始没法测量倾斜角，所以能不能换一种说法？
生：竖直高度与水平宽度的比值相同，倾斜角相同，则梯子的倾斜程度相同.
设计意图：鼓励学生自己探索比较梯子倾斜程度的方法，让学生尝试多种数学形式来表示“倾斜程度”，辨析数学表示的合理性，为引入正切的概念做好准备.
3.合作探究，感受概念
师：若两个梯子的“倾斜角”相同，那么它们的竖直高度与水平宽度的比值相等吗？
生：相等！
师：借助图3你能说明理由吗？
学生活动：学生四人一组，合作探究证明过程，时间1分钟左右.教师在此期间巡视学生的讨论效率以及解题思路.
生：由图易知△ABC∽△AB1C1，所以，根据比例的性质，可得，即对于相同的倾斜角，其对边和邻边的比值是相等的.
师：讲解的非常好！我们可以借助几何画板来验证这位同学的结论是否正确.
师生活动：教师操作几何画板，改变B1在AB上的位置，学生观察与的值是否发生变化.
师生活动：教师操作几何画板改变∠A的大小，学生观察与的值是否发生变化.
师：通过观察你发现了什么？
生:当∠A的值固定时，∠A的对边与邻边的比值是固定的.当∠A的值发生变化时，∠A的对边与邻边的比值也会发生变化.
师：也就是说∠A的对边与邻边之比只和谁有关？
生：∠A的大小！
师：这个比值就是我们今天要学习的“正切”.
设计意图：通过问题反问，让学生自己探索并证明直角三角形中锐角固定，其对边与邻边的比值也随之固定.再辅助以几何画板操作，让学生能直观地观察到这种“一一对应”的关系，之后再引入正切就十分自然了.
4.精讲点拨，概念强化
师生共总结正切的概念：在Rt△ABC中,如果锐角A确定,那么∠A的对边与邻边的比随之确定.这个比叫做∠A的正切（tangent)，记作:tanA.即：.
师生活动：教师板书概念，学生跟着板书口述概念并加以理解.
师：结合图4，你能说一说∠B的正切等于什么吗？
生：.
师：关于正切有一些需要我们注意的地方：
tanA不表示“tan”乘以“A ”，表示一个比值，没有单位.
tanA是一个完整的符号，它表示∠A的正切，表示的时候习惯省去角的
符号“∠”.∠α的正切可表示为tanα.但∠BAC的正切表示为tan∠BAC,∠1的正切表示为tan∠1.
tanA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长无关.
初中阶段，正切是在直角三角形中定义的，故∠A是一个锐角.
设计意图：通过概念精讲，让学生对正切的概念有进一步的理解.
5.尝试练习，巩固应用
练习1：判断真假
如图5， （ ）
如图6， （ ）
如图6， （ ）
如图6， （ ）
设计意图：基础练习，考查学生对于正切概念的理解.
练习2：求下列各图中∠A的正切.
师生活动：请4位同学上黑板板书，其余学生完成所有题目，教师作点评.
设计意图：考查学生对于正切概念的理解.同时，通过板书和教师点评，规范求正切的基本方法和格式.
练习3：梯子的倾斜程度与tanA有怎样的关系呢
师生活动：学生讨论梯子的倾斜程度与tanA的关系.教师作总结并借助实物教具演示梯子的倾斜程度与tanA的关系.之后讲解正切在生活的应用之坡度.
设计意图：学生在掌握了正切的概念之后，结合自己的生活体验，能很容易得出“tanA越大梯子越倾斜”的结论.此题意在让学生体会学习正切的意义.
练习4：下图表示两个自动扶梯,哪一个自动扶梯比较陡
学生黑板板书，教师作点评.
设计意图：此题考查了“tanA越大梯子越倾斜”结论的应用，能让学生对于用正切表示梯子倾斜程度的优势有一个清晰的认识.
6.提高练习，拓展应用
练习1：如图7，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，AB=5.若CD是AB边上的高，求∠ACD、∠BCD的正切值.
师：要求∠ACD和∠BCD的正切值的方法有哪些？
生：利用勾股定理求出BC的长，再利用等面积法求出CD的长，之后分别利用勾股定理求出BD和AD的长，最后利用正切的定义求出∠ACD和∠BCD的正切.
师：还有别的方法吗？
生:也可以利用△ACD∽△ABC，分别求出AD和CD的长，再用“AB-AD”求出BD的长，最后利用正切的定义求出∠ACD和∠BCD的正切.
师：两种方法都挺好.都注意到了要求一个锐角的正切值就要把这个锐角放在直角三角形中.但是，还有更简单的方法吗？
（学生思考）
师：我们知道，如果两个锐角相等，则它们的正切值也相等.图中有没有和∠ACD和∠BCD相等的角呢？
生:有！∠ACD=∠B，∠BCD=∠A.
师：所以它们的正切值能转化吗？
生：∠ACD的正切可以转化成∠B的正切，∠BCD的正切可以转化成∠A的正切.
（学生完成本题的解答）
师：在这道题中，我们用到了什么方法？
生：转化.
师：原理是什么
生：等角的正切值相等.
设计意图：进一步深化正切的定义，让学生充分发表自己的看法，一题多解，启迪学生的思维，培养学生有条理表达的能力，渗透转化的思想.
7.课堂小结，归纳整理
师：通过这节课，你学到了什么新知识？
（学生交流，教师归纳，最后以顺口溜的形式总结本节课所学知识.）
小结顺口溜：
梯子倾斜怎么量，正切概念来帮忙
构造直角三角形，对边邻边比一比
角度一定正切定，正切越大梯越直
边数不齐心莫急，勾股定理来救急
坡度正切同意义，做题时候要心细
设计意图：通过小结，让学生充分发言，进而系统地回顾本节课所学知识.以顺口溜的形式，既提高了学习趣味，也能强化记忆.
8.课后练习，巩固知识
1.在Rt△ABC中，如果各边长度都扩大2倍，那么tanA的大小（ ）
A.没有变化
B.扩大2倍
C.缩小2倍
D.不能确定
2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，tanA=2.求BC的值.
3.如图，△ABC是等腰三角形，你能根据图中数据求出tanC吗？
4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，tanA=2.求AB的值.
5.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，tanA=.求AC,BC和tanB.
9.板书设计
2.1 锐角三角函数（1）-正切
一、概念：
∠A的正切表示为tanA
tanA==
二、应用：
1.正切表示梯子的倾斜程度
tanA越大，梯子的倾斜程度越大
2.坡度
坡度就是坡角的正切，通常用字母i表示.
即坡度i=tanA=
一、背景分析
1.教材分析
本节课是鲁教版数学九年级上册第二章《直角三角形的边角关系》的起始内容，既是“图形的相似”在数学内部的一个应用，又是后面学习解直角三角形的一个基础，地位十分重要.本节课的主要内容是学习并理解正切的概念，这对于学生今后认识和理解正弦、余弦以及锐角三角函数等都具有正向迁移的作用.
2.学情分析
从学生的数学基础来看，在此之前学生已有了相似三角形、函数等相关知识，同时也已具备了数形结合的方法理念.从学生的生活背景上看，学生对于梯子的倾斜程度、山坡的倾斜程度等有一定的直观感受，所以教材在此安排正切的学习是合理的.学生通过感悟锐角的对边与邻边的比值和角度之间的一一对应关系，为下节课理解锐角三角函数作了一个很好的铺垫.
二、教学目标分析
依据课程标准（2022年版）、教学内容的特点及学生的认知水平，确定本节课的教学目标是：
1.理解正切、坡度等概念，能运用正切的定义求解与正切有关的简单问题.
2.经历探索如何表示梯子倾斜程度的过程，使学生感受数形结合的数学思想方法，培养学生理性思维的习惯，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力.
3.激发学生学习的积极性和主动性，引导学生自主探索、合作交流，感悟现代科学技术对数学研究的帮助，培养学生的创新意识.
三、教法学法分析
1.教法分析
鉴于本节课的特点和九年级学生的认知水平，确定本节课以教师为主导、学生为主体，引导学生自主探索、合作交流.本着问题让学生提、困难让学生议、结论让学生得的原则开展教学活动，教师为学生的自主探索、合作交流提供空间和平台.同时，本节课采用多媒体和实体教具相结合的方式进行教学.
2.学法分析
九年级的学生已经具有相似三角形、勾股定理、函数等数学知识，分析、解决问题的能力也己达到了一定的水平，并且他们在生活中积累了较为丰富的经验.因此，本节课的学习，鼓励学生以自主探索与合作交流的学习方式，遵循“从特殊到一般”的认知规律，沿着“观察、猜想、推理、归纳、应用”的主线进行学习.
四.课前准备
教师准备：梯子模型、直角三角板、多媒体课件.
学生准备：课本、导学案、练习本等.
五、教学过程设计
1.创设情境，引入新课
师（手拿梯子模型）：生活中我们有很多情况下需要用到梯子，在爬梯子的时候你希望梯子陡一点还是缓一点？
生：缓一点.
师：对，因为缓一点要安全一些.我们先来看一个小视频.
（视频播放：小狗越城墙）
师： 视频中，小狗为什么一开始爬上去又爬下来了？
生：因为梯子很陡.
师：它是怎么觉出来梯子很陡的？
生：爬上去就能感觉出来.
师：如果不爬上去，我们能知道哪个梯子比较陡吗？
生：（犹豫）
师：如图1所示，梯子本身和墙以及地面组成了一个什么图形？
生：直角三角形！
师：那我们是不是可以在这个直角三角形里面进行比较？
生：是！
师：本节课，我们将利用直角三角形的知识来比较梯子的倾斜程度.
设计意图：以爬梯子的动画视频引入新课，引导学生对于梯子的倾斜程度有一个初步的理解.
2.自主学习，探究方法
师：如何比较下列三组梯子（AB与EF）的倾斜程度呢？
师生活动：借助导学案，学生四人一组，讨论比较方法，时间2分钟左右.教师在此期间巡视学生的讨论结果.
生：第1组中，梯子AB的倾斜程度要大一些.
师：由此你可以得到什么结论？
生：倾斜角越大，梯子越陡.
师：你说的倾斜角分别指的哪个角？
生：∠BAC和∠FED.
师：如果倾斜角相等，梯子的倾斜程度一样吗？
生：一样！
师：说的特别好，这位同学用了比较倾斜角的方法.其余两组呢？
生：第2组梯子顶端到地面的垂直高度都一样，但是AB的底端到墙角的距离更短，所以梯子AB更陡一些；第3组的两个梯子底端到墙角的距离一样，但是EF的顶端到地面的距离更高一些，所以梯子EF更陡一些.
师：答得很好，这位同学运用了分类比较的方法，通过“两两”比较，可以知道哪一个梯子更陡一些.由此我们又可以得到什么结论呢？
生：竖直高度相同，水平宽度不同，则水平宽度小的梯子更陡.
生：水平宽度相同，竖直高度不同，则竖直高度高的梯子更陡.
师：图2中的两个梯子，你认为哪个梯子更陡？你有什么发现？
学生活动：学生以同桌为单位，讨论梯子的倾斜程度，时间1分钟左右.教师在此期间巡视学生的讨论结果以及解题思路.
生：一样陡！
师：你能说明理由吗？
生：这两个梯子所在的直角三角形的两条直角边分别对应成比例，且夹角都是直角，所以可判定这两个直角三角形相似，从而得到它们的“倾斜角”相等，因此两个梯子一样陡！
师：有道理！虽然没法直接比较这两个梯子的倾斜角，但这位同学采用了证相似的方法，证明了两个梯子的“倾斜角”相等.由此我们又可以得到什么结论？
生：倾斜角相同，则梯子的倾斜程度相同.
师：我们一开始没法测量倾斜角，所以能不能换一种说法？
生：竖直高度与水平宽度的比值相同，倾斜角相同，则梯子的倾斜程度相同.
设计意图：鼓励学生自己探索比较梯子倾斜程度的方法，让学生尝试多种数学形式来表示“倾斜程度”，辨析数学表示的合理性，为引入正切的概念做好准备.
3.合作探究，感受概念
师：若两个梯子的“倾斜角”相同，那么它们的竖直高度与水平宽度的比值相等吗？
生：相等！
师：借助图3你能说明理由吗？
学生活动：学生四人一组，合作探究证明过程，时间1分钟左右.教师在此期间巡视学生的讨论效率以及解题思路.
生：由图易知△ABC∽△AB1C1，所以，根据比例的性质，可得，即对于相同的倾斜角，其对边和邻边的比值是相等的.
师：讲解的非常好！我们可以借助几何画板来验证这位同学的结论是否正确.
师生活动：教师操作几何画板，改变B1在AB上的位置，学生观察与的值是否发生变化.
师生活动：教师操作几何画板改变∠A的大小，学生观察与的值是否发生变化.
师：通过观察你发现了什么？
生:当∠A的值固定时，∠A的对边与邻边的比值是固定的.当∠A的值发生变化时，∠A的对边与邻边的比值也会发生变化.
师：也就是说∠A的对边与邻边之比只和谁有关？
生：∠A的大小！
师：这个比值就是我们今天要学习的“正切”.
设计意图：通过问题反问，让学生自己探索并证明直角三角形中锐角固定，其对边与邻边的比值也随之固定.再辅助以几何画板操作，让学生能直观地观察到这种“一一对应”的关系，之后再引入正切就十分自然了.
4.精讲点拨，概念强化
师生共总结正切的概念：在Rt△ABC中,如果锐角A确定,那么∠A的对边与邻边的比随之确定.这个比叫做∠A的正切（tangent)，记作:tanA.即：.
师生活动：教师板书概念，学生跟着板书口述概念并加以理解.
师：结合图4，你能说一说∠B的正切等于什么吗？
生：.
师：关于正切有一些需要我们注意的地方：
tanA不表示“tan”乘以“A ”，表示一个比值，没有单位.
tanA是一个完整的符号，它表示∠A的正切，表示的时候习惯省去角的
符号“∠”.∠α的正切可表示为tanα.但∠BAC的正切表示为tan∠BAC,∠1的正切表示为tan∠1.
tanA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长无关.
初中阶段，正切是在直角三角形中定义的，故∠A是一个锐角.
设计意图：通过概念精讲，让学生对正切的概念有进一步的理解.
5.尝试练习，巩固应用
练习1：判断真假
如图5， （ ）
如图6， （ ）
如图6， （ ）
如图6， （ ）
设计意图：基础练习，考查学生对于正切概念的理解.
练习2：求下列各图中∠A的正切.
师生活动：请4位同学上黑板板书，其余学生完成所有题目，教师作点评.
设计意图：考查学生对于正切概念的理解.同时，通过板书和教师点评，规范求正切的基本方法和格式.
练习3：梯子的倾斜程度与tanA有怎样的关系呢
师生活动：学生讨论梯子的倾斜程度与tanA的关系.教师作总结并借助实物教具演示梯子的倾斜程度与tanA的关系.之后讲解正切在生活的应用之坡度.
设计意图：学生在掌握了正切的概念之后，结合自己的生活体验，能很容易得出“tanA越大梯子越倾斜”的结论.此题意在让学生体会学习正切的意义.
练习4：下图表示两个自动扶梯,哪一个自动扶梯比较陡
学生黑板板书，教师作点评.
设计意图：此题考查了“tanA越大梯子越倾斜”结论的应用，能让学生对于用正切表示梯子倾斜程度的优势有一个清晰的认识.
6.提高练习，拓展应用
练习1：如图7，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，AB=5.若CD是AB边上的高，求∠ACD、∠BCD的正切值.
师：要求∠ACD和∠BCD的正切值的方法有哪些？
生：利用勾股定理求出BC的长，再利用等面积法求出CD的长，之后分别利用勾股定理求出BD和AD的长，最后利用正切的定义求出∠ACD和∠BCD的正切.
师：还有别的方法吗？
生:也可以利用△ACD∽△ABC，分别求出AD和CD的长，再用“AB-AD”求出BD的长，最后利用正切的定义求出∠ACD和∠BCD的正切.
师：两种方法都挺好.都注意到了要求一个锐角的正切值就要把这个锐角放在直角三角形中.但是，还有更简单的方法吗？
（学生思考）
师：我们知道，如果两个锐角相等，则它们的正切值也相等.图中有没有和∠ACD和∠BCD相等的角呢？
生:有！∠ACD=∠B，∠BCD=∠A.
师：所以它们的正切值能转化吗？
生：∠ACD的正切可以转化成∠B的正切，∠BCD的正切可以转化成∠A的正切.
（学生完成本题的解答）
师：在这道题中，我们用到了什么方法？
生：转化.
师：原理是什么
生：等角的正切值相等.
设计意图：进一步深化正切的定义，让学生充分发表自己的看法，一题多解，启迪学生的思维，培养学生有条理表达的能力，渗透转化的思想.
7.课堂小结，归纳整理
师：通过这节课，你学到了什么新知识？
（学生交流，教师归纳，最后以顺口溜的形式总结本节课所学知识.）
小结顺口溜：
梯子倾斜怎么量，正切概念来帮忙
构造直角三角形，对边邻边比一比
角度一定正切定，正切越大梯越直
边数不齐心莫急，勾股定理来救急
坡度正切同意义，做题时候要心细
设计意图：通过小结，让学生充分发言，进而系统地回顾本节课所学知识.以顺口溜的形式，既提高了学习趣味，也能强化记忆.
8.课后练习，巩固知识
1.在Rt△ABC中，如果各边长度都扩大2倍，那么tanA的大小（ ）
A.没有变化
B.扩大2倍
C.缩小2倍
D.不能确定
2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，tanA=2.求BC的值.
3.如图，△ABC是等腰三角形，你能根据图中数据求出tanC吗？
4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，tanA=2.求AB的值.
5.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，tanA=.求AC,BC和tanB.
9.板书设计
2.1 锐角三角函数（1）-正切
一、概念：
∠A的正切表示为tanA
tanA==
二、应用：
1.正切表示梯子的倾斜程度
tanA越大，梯子的倾斜程度越大
2.坡度
坡度就是坡角的正切，通常用字母i表示.
即坡度i=tanA=