2022-2023 学年第二学期三明市四地四校联考期中考试协作卷
高一数学
（全卷满分 100 分，考试时间 120 分钟）
学校_______________ 班级______________ 姓名_____________ 座号___________
第 I 卷
一、选择题：本题共 8小题，每小题 3 分，共 24 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的．
1.工人师傅在检测椅子的四个“脚”是否在同一个平面上时，只需连接对“脚”的两条线段，
看它们是否相交，就知道它们是否合格.工人师傅运用的数学原理是（ ）
A. 两条相交直线确定一个平面
B. 两条平行直线确定一个平面
C. 四点确定一个平面
D. 直线及直线外一点确定一个平面
2.已知向量 =(2,-3), =(3,λ),若 // ,则λ等于( )
2 9 2
A. B. -2 C. - D. -
3 2 3
1 5i
3．已知复数 z ，则复数| z |的为（ ）
1 i
A．2 B． 13 C． 5 D．5
4．如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形是一个边长为 1的正方形，
则原图形的形状是（ ）
A． B． C． D．
5.在 ABC中， A 60 ，AB 1，AC 2，则 ABC的面积的值为( )
1 3
A． 2 B． C． 3 D． 2 32
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6．圆台的上、下底面半径分别是 r 1， R 4，圆台的高为 4，则该圆台的侧面积是（ ）
A．16π B．20π C． 25π D．30π
7.如图，在矩形 ABCD中，M 是CD的中点，若 AC AM AB，则 （ ）
1 3
A． 2 B．1 C． 2 D．2
8. 已知 l,m 是两条不同的直线, α、β为两个不同的平面,则下面四个命题中,正确的命题是( )
A. 若α⊥β, l∥β,则 l⊥α B. 若 l∥α,α∥β,则 l∥β
C. 若 m α, l∥β,l//m,则α∥β, D. 若 m⊥α, l∥β, l//m,则α⊥β
二、选择题：本题共 4小题，每小题 3分，共 12 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求．全部选对的得 3分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0分．
9.以下四种说法正确的是( )
A. i9=i
B. 复数 z=3-2i 的虚部为-2
C. 若 z= 1 + i 2,则复平面内 z对应的点位于第二象限
D. 复平面内,虚轴上的点对应的复数是纯虚数
r
10. 已知向量a 2,1 ，b 3,1 ， e是与b同向的单位向量，则下列结论正确的是（ ）
A． a b与 a 3 10 10共线 B．单位向量 e =（- ， ）
10 10
1 e 5 2 5
C．向量 a在向量b上的投影向量为 D．若 c , ，则a c2 5 5
11．已知 ABC中，角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，则以下四个命题正确的有（ ）
A．当 a 5, b 7, A 60 时，满足条件的三角形共有1个
B．若 sin A : sin B : sinC 3 : 5 : 7则这个三角形的最大角是120
C．若a2 b2 c2，则 ABC为锐角三角形
D．若C = ，a2 c2 bc，则 ABC为等腰直角三角形
4
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12. 如图，在棱长为 1的正方体 ABCD A1B1C1D1中，P为棱 CC1上的动点(点 P不与点 C，C1重合)，
过点 P作平面 分别与棱 BC，CD 交于 M，N两点，若 CP＝CM＝CN，则下列说法正确的是（ ）
A. A1C⊥平面
B. 存在点 P，使得 AC ∥平面 1
5
C. 存在点 P，使得点 A1到平面 的距离为 3
D. 用过点 P，M，D1的平面去截正方体，得到的截面一定是梯形
第 II 卷
三、填空题：本 题共 4小题 ，每小题 3分，共 12 分．
a 5, 2 b 2,6
13. 已知向量 ， ，则a b _______.
14. 在正方体 ABCD A1B1C1D1中，直线CD1与 BC1所成的角是__________.
15.用与球心距离为 1的平面去截球，所得截面圆的面积为π，则球的表面积为__________.
16．圆锥的母线 PA 6，高为PO 4 2，点 M是 PA的中点，一质点自 A点出发，
沿侧面绕行一周到达 M点的最短路程为___________．
四、解答题：本题共 6小题，共 52 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
2 2
17．（本小题满分 8分）已知复数 z m 2m m m 6 i ，m R， i是虚数单位．
(1)若复数 z为虚数，求m的值；
(2)若复数 z为纯虚数，求m的值；
(3)若复数 z在复平面内对应的点在第四象限，求m的取值范围．
18. （本小题满分 8分）已知向量 ＝（1，1）， ＝（2，﹣3）．
（1）若 ＝2 +3 ，求 的坐标；
(2)求 与 夹角的余弦值；
(3)若λ ﹣2 与 垂直，求λ的值．
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1
19．（本小题满分 8分）已知 ABC的三个内角 A,B,C所对的边分别是 a,b,c，且 a 2,b 3,cosC .
4
(1)求 ABC的周长；
(2)求 AB边上的高.
20．（本小题满分 8分）如图，在四棱锥P ABCD中，PD 2AD 4，PD CD， PD AD，
底面 ABCD为正方形，M ,N分别为 AD,PD的中点.
（1）证明：PA//平面MNC；
（2）求三棱锥 P MNC的体积.
21．（本小题满分 8分）△ABC 中， a,b,c分别是角 A，B，C所对的边，
2b sin B (2a c)sin A (2c a)sin C，
（1）求∠B 的大小；
（2）若 a =4， A 45 ，求 c的值．
22.（本小题满分 12 分）如图①：在△ABC 中，AB＝BC＝5，∠ABC＝90°，DE∥BC，DE＝2，将
△ADE 沿 DE 折起到△PDE 的位置（如图②），且∠PEB＝60°.
(1)请作出平面 PBC 与平面 PDE 的交线 l（不需要说明理由）
(2)证明；平面 PBC⊥平面 PBE；
(3)求直线 PE 与平面 PBC 所成角的正弦值.
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（北京）份有限公司2022-2023 学年第二学期三明市四地四校联考期中考试协作卷答案
一.选择题
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
A C B A B C C D AB BD BD ACD
二.填空题
π
13.—2 14.60°或 15. 8π 16.3 7；
3
16．圆锥的母线 PA 6，高为PO 4 2，点M是PA的中点，一质点自 A点出发，沿侧面绕行一周到达M
点的最短路程为___________．
【详解】
（1）如图，将圆锥的侧面展开，连接 AM ，则 AM 的长为质点 A绕行的最短路程，在△PAM 中，PA 6，
APM 4 2
PM 3，弧长 AA 2 2 4 ，则 6 3
AM 2 PA2 PM 2利用余弦定理得： 2PA PM cos APM
1
62 32 2 6 3 63
2 ，即 AM 3 7
所以质点自 A点出发，沿侧面绕行一周到达M点的最短路程为3 7 .
三.解答题
17．（1）∵复数 z为虚数，
∴m2－m－6≠0 1分
∴m≠－2且 m≠3． 2分
（2）∵复数 z为纯虚数，
m2 2m 0,
∴ 2 3分
m m 6 0,
m＝0或 m＝－2 4分
m ≠ －2且 m ≠ 3
解得m 0， 5分
（3）∵复数 z在复平面内对应的点在第四象限，
m2 2m 0, m＜－2或 m＞0
∴ 2 6分 7分
m m 6 0, －2＜m＜3
故m的取值范围为 0,3 ． 8分
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18. 解：（1）∵ ＝（1，1）， ＝（2，﹣3），
∴ ＝2 +3 ＝2（1，1）+3（2，﹣3）＝（8，﹣7）； 2分
（2） cos a,b
a b 1
= 26 5分
a b 2 13 = 26
（3）λ ﹣2 ＝λ（1，1）﹣2（2，﹣3）＝（λ﹣4，λ+6）， 6分
∵λ ﹣2 与 垂直，
∴1×（λ﹣4）+1×（λ+6）＝0， 7分
即λ＝﹣1． 8分
1
19. 【解析】（1）在△ ABC中， a 2,b 3,cosC
4
2 2 2 2
由余弦定理得 cosC a b c 4 9 c 1 ， 2分
2ab 2 2 3 4
解得 c 4， 3分
∴△ ABC的周长为 a b c 2 3 4 9 . 4分
2 cosC
1
sinC 1 cos2 C 15（ ）∵ ，∴ . 5分4 4
1 1
设 AB边上的高为 h absinC ch 1，则 ，即 2 3 15 1 4h， 6分
2 2 2 4 2
解得 h 3 15 . 7分
8
所以 AB 3 15边上的高为 . 8分
8
20.（1）证明： M ,N 分别为 AD,PD中点， 1分
MN //PA， 2分
PA 平面MNC，MN 平面MNC， 3分
PA//平面MNC . 4分
（2） 四边形 ABCD为正方形，
AD CD， 5分
又PD CD， AD,PD 平面 PAD ,AD∩PD=D，又 CD⊥平面 PAD， 6分
S 1 1 1 1 PMN S2 PDM
PD DM 4 1 1， 7分2 2 4
V V 1 S CD 1 1 2 2 P MNC C PMN 3 PMN
. 8分3 3
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21. 解：（1）由正弦定理 a b c ， 又由已知 1分
sin A sin B sin C
2b sin B (2a c)sin A (2c a)sin C 可得
b2 a2 c2 ac，①．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分
2 2 2
由余弦定理得 cosB a c b ，②
2ac
①代入得②
cosB 1 ， ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 3分
2
又0 B 180
所以有∠B=120 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分
（2）由（1）得 B=120 ， 又 A 45 ， C 15 ．．．．．．．．．．． 5分
a c 4 c
由正弦定理得 即 ．．．．6分
sin A sin C sin 45 sin 15
6 2 2 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分
c 4 2 3 2
4 2
22.解： 【解析】（1）因为 BC / /DE，BC 平面 PDE，DE 平面 PDE，
所以 BC / /平面 PDE，且 BC 平面 PBC，平面 PDE 平面 PBC l，
所以 BC / /l，
则过点 P作直线 l，使 l / /BC；
3分
（2）因为DE PE， BC BE，且 DE // BC， 4分
所以 BC PE，且 BE PE E，且 PE 平面 PBE，BE 平面 PBE， 5分
所以 BC 平面 PBE，且 BC 平面 PBC， 6分
所以平面 PBC 平面 PBE； 7分
（3）由（2）可知平面 PBC 平面 PBE，
且平面PBC 平面 PBE PB，
所以直线 PE在平面 PBC内的射影就是 PB，则直线 PE与平面 PBC所成角为 EPB或其补角， 8分
因为 ABC是等腰直角三角形，且 DE // BC，
所以△ADE也是等腰直角三角形， PE AE DE 2 ,BE 3， PEB 60 ， 9分
△PBE种，根据余弦定理，PB2 PE2 BE2 2PE BE cos60 ，
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则PB2 22 32 2 2 3
1
7，所以 PB 7， 10分
2
2
2
PE 2 PB2 BE 2 2 7 32cos EPB 7 , 11分
2PE PB 2 2 7 14
2
则 sin EPB 7 3 21 1 ， 12分
14 14
3 21
所以直线 PE与平面 PBC所成角的正弦值为 .（方法不唯一，其他方法酌情给分）
14
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