2022-2023 学年第二学期三明市四地四校联考期中考试联考协作卷
高二数学
（满分 150 分，完卷时间 120 分钟）
学校 班级 姓名 座号
第 I卷（选择题）
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的。
1．已知集合 A x | x(3 x) 0 ， B x |1 x 4 ，则 A B （ ）
A． x | 3 x 4 B． x | 0 x 1
C． x |1 x 4 D． x |1 x 3
2．函数 y ex cos x的导数为（ ）
A． ex cos x B．-ex cos x
C． ex (sin x +cos x) D． ex (cos x sin x)
2
3．已知随机变量 X 服从正态分布N 1, ，若 P X 0 0.2，则P 1 X 2 （ ）
A． 0.2 B． 0.3 C．0.6 D．0.8
4．现给定两个命题：命题 p :对任意的 x R，sin x 1；命题 q :存在 x R，使 x2+x 1 0 .则（ ）
A．命题 p,q都是真命题 B．命题 p,q都是假命题
C．命题 p是真命题，命题q是假命题 D．命题 p是假命题，命题q是真命题
1 n
5．若 3x n N 的展开式中各项系数和为64，则其展开式中的常数项为（ ）
x
A． 540 B．540 C． 135 D．135
6．具有线性相关关系的两变量 x,y 满足的一组数据如下表,若 y与 x的回归直线方程为 y 3x 1，
则 m的值为（ ）
x 0 1 2 3
y 1 1 m 8
9
A．6 B．5 C． D．4
2
7．永沙高级中学学生会有 8位学生春游，其中高一学生 2名 高二学生 3名 高三学生 3名.现将
他们排成一列，要求 2名高一学生相邻 3 名高二学生相邻，3名高三学生中任意两名都不相邻，
则不同的排法种数有（ ）
A．288 种 B．144 种 C．72 种 D．36 种
8．从标有 1，2，3，4，5，6，7的 7张卡片中每次取出 1张卡片，抽出的卡片不放回，事件 A：
“第一次抽出的卡片上的数是质数”，事件 B：“第二次抽出的卡片上的数是偶数”，则P B∣A 等
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于（ ）
3 11 4 1
A． B． 24 C． D．7 9 2
二、选择题：本题共 4小题，每小题 5 分，共 20 分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求。全部选对的得 5分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0分。
9．若 a b 0， c R则下列结论正确的有（ ）
A．a b 0 B． a2 b2 C． ac bc D． 1 1a b
10．如图是函数 y f (x)的导函数 f (x)的图象，则下面判断正确的是（ ）
A． f (x)在 ( 3,1)上是增函数 B． f (x)在 (3, 4)上是减函数
C．当 x 3时， f (x)取得极小值． D．当 x 2时， f (x)取得极大值
11．甲罐中有 5 个红球，2个白球和 3个黑球，乙罐中有 4个红球，3个白球和 3个黑球，先从
甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以事件 A1，A2和 A3表示从甲罐取出的球是红球，白球和黑球；
再从乙罐中随机取出一球，以事件 B表示从乙罐取出的球是红球，则下列结论中正确的是（ ）
A． A1， A2， A3是两两互斥的事件 B．事件 B与事件 A1相互独立
P(B | A ) 5 9C． 1 D． P B 11 22
9 2 3 9
12．对于任意实数 x，有 2x 3 a0 a1 x 1 a2 x 1 a3 x 1 L a9 x 1 ，则下列结论
成立的是（ ）
A． a1 18 B． a2 144
C． a1+a2 L a9=2 D．a0 a1 a2 a3 L a8 a9 3
9
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分。
13．随机变量 的分布如下表，则E 2 1 _______.
0 2 4
P 0.4 a 0.3
14．曲线 y (1 x) ln x在点 x 1处的切线方程为________.
4x y
15．已知实数 x 0， y 0，则 x y x的最小值是______.
16．若函数 f (x) ex ax有两个零点，则实数 a的取值范围是_______.
高二数学试卷（共 4页，第 2页）
四、解答题：本题共 6小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2
17．已知集合 A x a 1 x 2a 1 ，集合 B x x 4x 3 0 .
（1）当 a 3时，求 A B；
（2）若 A B R ，求实数 a的取值范围．
18．已知m,n,a R，函数 f (x)
1
x3 x2 -3x+2的单调递减区间为 A=[m,n]，区间 B [2a 3,a 3]．
3
（1）求函数 f (x)的单调递减区间 A=[m,n]；
（2）“ x A”是“ x B”的充分条件，求 a的取值范围．
19．为回馈广大消费者对商场的支持与关心，商场决定开展抽奖活动。已知一抽奖箱中放有 8
只除颜色外其它完全相同的彩球，其中仅有 5只彩球是红色．现从抽奖箱中一个一个地取出彩球，
共取三次，取到三个都是红球获得一等奖，恰好取到两个红色球获得二等奖，恰好取到一个红色
球获得三等奖.
（1）若取球过程是无放回的，求“获得三等奖”和“获得二等奖以上”的概率；
（2）若取球过程是有放回的，取到红色球的个数记为 X ，求 X 的概率分布列及数学期望E X .
20．《中共中央国务院关于全面推进乡村振兴加快农业农村现代化的意见》，这是 21 世纪以来第
18 个指导“三农”工作的中央一号文件.文件指出，民族要复兴，乡村必振兴.为助力乡村振兴，
某电商平台为某地的农副特色产品开设直播带货专场.为了对该产品进行合理定价，用不同的单
价在平台试销，得到如下数据：
单价 x（元/件） 8 8.2 8.4 8.6 8.8 9
销量 y（万件） 90 84 83 80 75 68
(1)根据以上数据，求 y关于 x的线性回归方程；
(2)若该产品成本是 7元/件，假设该产品全部卖出，预测把单价定为多少时，工厂获得最大利润，
最大利润是多少.
n n
xi x yi y xi yi nxy
附：参考公式：回归方程$y $bx $a，其中b i 1 n
i 1 ，$2 n a y
$bx .
2 x 2i x xi nx
i 1 i 1
6 6
2
参考数据： xi yi 4066， xi 434.2.
i 1 i 1
高二数学试卷（共 4页，第 3页）
21．下表是某省的 A市的某种传染病与饮用水卫生程度的调查表：
传染病
饮用水 合计
得病 未得病
干净水 50 450 500
不干净 90 210 300
水
合计 140 660 800
（1）依据 =0.001的独立性检验，能否认为某省 A市得这种传染病与饮用不干净水有关；
（2）已知某省 A市、B市和其它县市人口占比分别是 20%、15%、65%，以调查表数据的频率估计
A市得某种传染病的概率，经过深入调查发现 B市和其它县市得某种传染病的概率分别为 12%、
15%，从该省中任意抽取一人，试估计这个人得某传染病的概率.
2
附表及公式： 2
n ad bc
，其中 n a b c d .a b c d a c b d
临界值表：
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
x 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
22．已知函数 f (x) x2 a ln x．
（Ⅰ）当a 2时，求函数 f (x)的极值；
（Ⅱ）若 g(x) f (x)
2
在 1, 上是单调增函数，求实数 a的取值范围．
x
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高二数学参考答案
一、选择题
1-8．DDBCA ABB
二、选择题
9.ABD 10.BD 11. ACD 12.ABC
三、填空题
13. 4.6 14. y 2x 2 15. 3 16. （e,+ )
四、解答题
17．解：
（1）∵当 a 3时， A x 2 x 7 ， ..................1 分
B x | x 1或 x 3 ..................3 分
所以 A B x 3 x 7 . ..................5分
2
（2）B x x 4x 3 0 x | x 1或 x 3 ， A x a 1 x 2a 1 ，
因为， A B R，
a 1 1 a 2
所以 2a 1 3 ， a 1 解得1 a 2. ..................9分
a 1 2a 1
a 2
所以满足， A B R的实数a的取值范围是 a 1 a 2 . ............10分
18．解：（1） f (x) x2 2x 3， ..................2分
由 f (x) 0，有 x2 2x 3 0，得 -1 x 3，
所以 f (x) x3 3x2的单调递减区间为 A [-1,3]． ..................6 分
（2） B [2a 3,a 3]， 有2a 3 a 3得a 6． ..................7 分
又 x A是 x B的充分条件，可知 A B， ..................8分
高二数学试卷（共 4 页，第 1 页）
a 6
有 a 3 3 ，得0 a 1，故实数a的取值范围为 0,1 . ..................12 分
2a 3 -1
19.
解：（1）取到红色球的个数记为 X ，获得一、二、三等奖分别对应于 X =3、 X =2、 X =1
.......... ........................1 分
C1C25 3 15
根据超几何分布可知： P X 1 3 ； .......... ............3 分 C8 56
C0 35 C3 1
法一： P X 0
C3
8 56
15 1 5
P X 2 1 P X 0 P X 1 1 .......... ............6 分
56 56 7
C2C1 C3C0 30 10 5
法二： P X 2 P X 2 +P X =3 5 3 + 5 3 3 3 ...........6分 C8 C8 56 56 7
5
（2）随机变量 X 的可能取值为：0,1,2,3；且 X B 3, ... ...........7分
8
k 3 k
5 3
P X k C k ， k 0,1,2,33
8 8
分布列如下：
X 0 1 2 3
27 135 225 125
P
512 512 512 512
.....................................................10分
5 15
E X 3 .....................................................12分
8 8
20. 解：
8 8.2 8.4 8.6 8.8 9
（1） x 8.5， .....................................1分
6
90 84 83 80 75 68
y 80， .....................................2 分
6
高二数学试卷（共 4 页，第 2 页）
6
xi yi 6xy
∴b 6 1
4066 6 8.5 80 14
20
6 2 . .....................................5 分
2 2 434.2 6 8.5 0.7 xi nx
i 1
∴a y bx 80 20 8.5 250， .....................................7分
∴回归直线方程为 y 20x 250. .....................................8 分
（2）工厂获得的利润为 L万元，则L (x 7)( 20x 250) 20(x 9.75)2 151.25，..........10分
∴该产品的单价定为 9.75元时，工厂获得利润最大，最大利润为 151.25 万元...........12分
21.
解（1）零假设H0 :得这种传染病与饮用水独立，既得这种传染病与饮用不干净水没有关系.
2
800 50 210 90 450
由表中数据可得 2 51.948，
140 660 300 500
根据小概率值 =0.001的独立性检验，我们推断H0 不成立，既认为得这种传染病与饮用不干净水有关
系，此推断犯错误的概率不大于0.001 .....................................6分
（1）设C=“任意抽取一人,此人得某种传染病”，记 A1= “任意抽取一人来自 A市”， A2 =“任意抽取一人来
自 B市”， A3 = “任意抽取一人来自其他县市”，则 A1 A2 A2，且 A1， A2 ， A3两两互斥.根据题意得
P(A1)=0.2，P(A2)=0.15，P(A3)=0.65
140 7
P(C | A )= ，P(C | A2)=0.12， P(C | A3)=0.151
800 40
由全概率公式得P(C)=P(A1)P(C | A1)+P(A2)P(C | A2)+P(A3)P(C | A3)
7
=0.2 +0.15 0.12 0.65 0.15 0.1505
40
所以从该省中任意抽取一人，这个人得某传染病的概率为0.1505. .......................12 分
22．(1)函数 f (x)的定义域为 (0, )．
2 2(x 1)(x 1)
当a 2时， f
(x) 2x ．.......................1分
x x
高二数学试卷（共 4 页，第 3 页）
当 x变化时， f (x)和 f (x)的值的变化情况如下表：
x （0,1） 1 （1，+∞）
f (x) － 0 ＋
f (x) 递减 极小值 递增
由上表可知，函数 f (x)的单调递减区间是（0,1），单调递增区间是（1，+∞）...........4分
极小值是 f (1) 1，无极大值. .........................................5分
2 a 2
(2）由题知 g(x) x
2 a ln x ，得 g (x) 2x 2 ． ......................6 分 x x x
若函数 g(x)为 1, 上的单调增函数，
2 a
则 g (x) 0在 1, 上恒成立，即不等式2x 02 在 1, 上恒成立． .............7分 x x
2
也即a 2x
2
在 1, 上恒成立． ..............................8分
x
2 2 2
令 (x) 2x ，则 (x) 4x2 ． x x
2
当 x 1, 时， (x) 4x 0
x2
，
2
(x) 2x2在 1, 上为减函数，
x
(x) max (1) 0, 所以a 0．
∴ a的取值范围为 0, ． ................... ..........................12 分
高二数学试卷（共 4 页，第 4 页）
