2022-2023 学年黄石十四中教育集团学九年级五月份月考数学试卷 21. (1)144°； 1 ；补图（没计算过程不扣分）（3 分）
(2)180人；（5 分）
【答案】
1
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. (3)图见解析；6 （8 分）
9. 10. 22. 解：(1)1，3；（2 分）
11. 1． (2) = 1 + 2；（5 分）
12. ( 1)( 3) (3) ∵方程 2 1 = 0的两根为 1+ 5 1 51 = ，2 2 = ，2
13. 1.076 × 107
∴原式= 8，
14. 9 3 3 ∵ 5 = 3 + 4 = 11，
15. ≤ 2
6 = 4 + 5 = 18，
16. (4 3 + 6) 7 = 4 + 5 = 29，
17. = 3 3 8 = 7 + 6 = 47，
18. 3 5 3 ∴原式= 47． （8 分）
2
19. 解：原式= ( +1)( 1) ( 2) ( +1)
( +1)
2 1 23. 解：卖出 雪糕所获利润为 = 2 2十 110 1200（2 分）
= 2 1 ( +1)
2 卖出 雪糕所获利润为 = 30 450（3 分）
( +1) 2 1
(2)由题意可得：
+1 = 2
2 + 110 1200十 30 450，
= ，（4 分）
整理得 = 2 2 + 140 1650(20 ≤≤ 40且 为整数)，
当 = 3 = 3+1 3时，原式 = 1 + ． （7 分）3 3 = 140则 是 的二次函数，其对称轴为直线 2×( 2) = 35，
20. 解：(1) ∵ ∠ = 90°， ⊥ ，
∵ 2 < 0，
∴ ∠ + ∠ = 90°，∠ + ∠ = 90°，
∴该函数图象的开口向下，
∴ ∠ = ∠ ，
∵ 20 ≤ ≤ 40且 为整数，
∵ ⊥ ， ⊥ ，
∴当 = 35时， 有最大值，最大值为 = 2 × 352 + 140 × 35 1650 = 800，
∴ ∠ = ∠ = 90°，
即当 = 35 时， 有最大值，最大值为 800 元；（6 分）
∵ = ，
(3)设捐款后的实际利润为 元
∴△ ≌△ ；（4 分）
则 = 2 2 + 140 1650 (2 30)
(2) ∵△ ≌△ ，
整理得 = 2 2 + (140 2 ) 1650 + 30 (20 ≤ ≤ 40且 为整数)，
∴ = ， = ，
则 140 2 1是 的二次函数，其对称轴为直线 = 2×( 2) = 35 2 ，
∵ = 12， = 7，
∵ 0 < < 10，
∴ = = = 12 7 = 5． （8 分）
∴ 30 < 35 12 < 35，
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∵ 2 < 0， ∴ ∠ = 90°，
∴该函数图象的开口向下， ∴ ∠ + ∠ = 90°，
∵ 20 ≤ ≤ 40且 为整数， ∵ ∠ + ∠ = 90°，∠ = ∠ ，
∴当 = 35 12 时， 有最大值，
∴ ∠ = ∠ ，
∵ ∠ = ∠ ，
即 2(35 1 )22 + (140 2 )(35
1
2 ) 1650 + 30 = 722， ∴△ ∽△ ，
解得： 1 = 2， 2 = 78，
∴ 2 1 = = 4 = 2． （10 分）∵ 0 < < 10，
25. 解：(1)在 = 2 + + 3 中，令 = 0 得 = 3，
∴ = 2．（9 分）
∴ (0,3)，
24. (1)证明：如图 1，连接 ，
∴ = 3，
又∵ = 4， (4,0)，
∵ = ，
∴ = 2 + 2 = 5，∴ ∠ = ∠ ，
∵ = = 5，
∵ 平分∠ ，
∴ = = 5 4 = 1，
∴ ∠ = ∠ ，
∴ ( 1,0)，
∴ ∠ = ∠ ，
把 ( 1,0)， (4,0)代入 = 2 + + 3得：
∴ // ，
+ 3 = 0
∵ ⊥ ， 16 + 4 + 3 = 0，
∴ ⊥ ， = 3
解得 49 ，
∵ 是⊙ 的半径， = 4
∴ 是⊙ 的切线；（3 分） ∴抛物线的解析式为 = 3 24 +
9
4 + 3；（3 分）
(2)解：∵ = 4 ， = ，
设 = ，则 = 3 ，
(2)过 作 // 交抛物线于 ，如图：
∴ = = 1.5 ，
∵ // ，
∴ ∠ = ∠ ，
∴ cos∠ = cos∠ = 1.5 3 = 2.5 = 5；（6 分）
(3)解：由(2)知： = 2.5 ， = 1.5 ，
∴ = 2 2 = (2.5 )2 (1.5 )2 = 2 ，
由 (4,0)， (0,3)得直线 解析式为 = 34 + 3，∵ ⊥ ，
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设 ( , 3 2 9 1 3 9 34 + 4 + 3)， ∴ 2 ≤ 2 + 4 < 2，
在 = 3 + 3 3中，令 = 2 9 1 74 4 + 4 + 3得： 解得2 < ≤ 6，
3 2 + 94 4 + 3 =
3
4 + 3， ∵ ≤
5
6，
解得 = 2 3 ， ∴ 1 5的取值范围是2 < ≤ 6． （12 分）
∴ ( 2 3 , 3 2 94 + 4 + 3)， 【解析】
∴ = ( 2 3 ) = 2 + 4 ， 1. 解：实数 2023的相反数是 2023，
∵ // ， 故选： ．
∴△ ∽△ ， 根据相反数的定义，即可解答．
2∴ = = +4 = 1 ( 2)2 + 4， 本题考查了相反数的代数意义，熟练掌握相反数的意义是解题的关键． 5 5 5
2. 解： .该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
∵ 15 < 0， B.该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
∴ = 2 4当 时， 取最大值，最大值为5， C.该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
∴ 4的最大值为 ；（7 分） D.该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意． 5
故选： ．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转 180°，如果旋转后的图形
(3) ∵ = 3 2 + 94 4 + 3 =
3 3 2 75
4 ( 2 ) + 16，
能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部
∴ = 3 2 + 9抛物线 4 4 + 3
3
的对称轴为直线 = 2， 分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
∴ ≤ 3当 时， = 3 2 + 9 + 3 中， 随 的增大而增大， 本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，常见的中心对称图形有平行四边形、圆形、正方形、长方2 4 4
形等等．常见的轴对称图形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
∵ ≤ 56， 3. 解： . 2 6 ≠ 4，故选项错误，不符合题意；
∴ + 1 42 ≤ 3 <
3
2， B.( 2 4)3 = 8 12，故选项正确，符合题意；
1 1 5 C. 6 ÷ 2 4∴在 ≤ ≤ + (其中 ≤ )范围内， = ，故选项错误，不符合题意；2 2 6
D.
1 )2 ( 2)
2 = 2，故选项错误，不符合题意；
当 = + 2时， 取最大值，即 =
3
4 ( +
1 + 9 1 （9 分）2 4 ( + 2 ) + 3, 故选： ．
1 )2
当 = 2时， 取最小值．即 =
3
4 (
1 + 9 1 （10 分）2 4 ( 2 ) + 3, 根据合并同类项、积的乘方和幂的乘方、同底数幂除法、二次根式的化简分别进行判断即可．
3 1)2 9 1 3 1)2 9 1 3 9
∴ = [ 4 ( + 2 + 4 ( + 2 ) + 3] [ 4 ( 2 + 4 ( 2 ) + 3] = + ,
本题考查了合并同类项、积的乘方和幂的乘方、同底数幂除法、二次根式的化简等知识，掌握相应的运算法
2 4
则是解题的关键．
∵ 12 ≤ <
3
2，
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4. 解：从上面可看，可得如下图形， 过点 ′作 ′ ⊥ 于 ，根据旋转的性质可得 = ′，根据同角的余角相等求出∠ = ∠ ′，再
利用“角角边”证明△ 和△ ′ 全等，根据全等三角形对应边相等可得 ′ = ， = ，再求出
，然后写出点 ′的坐标即可．
【解答】
故选： ．
解：如图，过点 ′作 ′ ⊥ 于 ，
找到从上面看所得到的图形即可．
本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
5. 【分析】
本题考查了函数自变量的取值范围问题，掌握二次根式有意义的条件：被开方数大于等于 0以及分式有意义
的条件：分母不为 0是解题的关键．
根据二次根式有意义的条件：被开方数大于等于 0以及分式有意义的条件：分母不为 0进行解答即可．
【解答】
解：依题意有 < 3
∵ 绕 点逆时针旋转90 得到线段 ′，
故选 D．
∴ = ′，6. 【分析】
∵旋转角为90 ，
本题考查了众数和中位数，属于基础题．
∴ ∠ ′ = 90 ，
利用众数和中位数的定义直接求解即可．
∴ ∠ ′ + ∠ = 90 ，
【解答】
又∵ ∠ + ∠ = 90 ，
解：这组数据中，众数为 24.5，中位数为 24.5．
∴ ∠ = ∠ ′，
故选 A．
在△ 和△ ′ 中，
∠ = ∠ ′
7. 解：选项 C 中，点 是 的中点， {∠ = ∠ ′
∴线段 ′是中线． =
∴△ ≌△ ′ ( )，
故选： ．
∴ ′ = = 1，
根据线段垂直平分线的作法判断即可．
∵ (5,0)， = ，
本题考查作图 基本作图，三角形的角平分线，中线，线段的垂直平分线等知识，解题的关键是读懂图象信
∵ = = 5，∠ = 90 ，
息．
∴ ∠ = 45 ，
8. 【分析】
∵ ′ ⊥
本题考查了坐标与图形变化与旋转，数记旋转变换前后重合的线段相等是解题的关键，难点在于作辅助线构
∴ ∠ ′ = 90 ，
造出全等三角形．
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∴ = ′ = 1， ∴如图：
∴ = = 5 1 = 4．
∴点 ′的坐标为(1,4)．
故选 A．
9. 见答案2 21
3
10. 解： 抛物线经过点 (3,0)，
∴ 9 6 + = 0，
由图得： 3 < < < 1，
∴ 3 + = 0，
故此项正确，
当 = 1时， + 2 + = 0，
故答案为： ．
∴ 3 + = 0，
①根据函数图象经过点的意义，只要得到 3 + = 0即可；
∴该抛物线一定经过 ( 1,0)，
②由①得 2 + = ，结合 > 0 判断出 的正负即可；
故此项正确；
③特值法，取 = 2021时也符合题意，从而可得到结论；
②由①得： = 3 ，
④将两个根转化为交点的横坐标，画出图象即可判断．
∵ > 0，
本题考查了二次函数的性质及数形结合思想，掌握二次函数的基本性质并会灵活应用是解题的关键．
∴ 3 > 0，
11. 先化简各式，然后再进行计算即可解答．
∴ < 0，
本题考查了实数的运算，零指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
∵ 3 + = 0，
12. 【分析】
∴ 2 + = ，
此题考查了因式分解 提公因式法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
∴ 2 + > 0，
原式变形后，提取公因式即可．
故此项正确；
【解答】
③抛物线的对称轴为直线 = 2 2 = 1，
解：原式= ( 3) ( 3) = ( 1)( 3)，
当 = 2021时， 1(1, 1)， 2(2, 2)，
故答案为( 1)( 3)．
∵ < 0，
13. 解：10760000 = 1.076 × 107．
∴ 1 > 2，
故答案为：1.076 × 107．
∴ = 2021也符合题意与 > 2021矛盾，
根据科学记数法：把一个大于 10的数记成 × 10 的形式，其中 是整数数位只有一位的数， 是正整数，这
故此项错误．
种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式： × 10 ，其中 1 ≤ < 10， 为正整数．】计算即可得出答
④ ∵ ， ( < )是方程 2 + 2 + = 的两个根，
案．
∴ ， 是抛物线 1 = 2 2 + 与直线 2 = 交点的横坐标，
本题主要考查了科学记数法—表示较大的数，熟练掌握科学记数法—表示较大的数的方法进行求解是解决本
∴ > 0，
题的关键．
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14. 【分析】 16. 解：过点 作 ⊥ ，垂足为 ，过点 作 ⊥ ，垂足为 ，
本题考查扇形的面积，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考
题型．连接 .首先证明 = = 6 = 1，根据 阴 2 △ 扇形 ，计算即可．
【解答】
解：如图，连接 ．
则 = ， = ，
∵斜坡 的坡比为 = 1：3，
∴ 1 = 3，
∵ ∠ = 90°，∠ = 30°， = 6，
∴设 = 米， = 3 米，
∴ ∠ = 60°， = 6 3，
在 △ 中， = 2 + 2 = 2 + (3 )2 = 10 (米)，
∵ = ，
∵ = 2 10米，
∴△ 是等边三角形
∴ 10 = 2 10，
∴ ∠ = 60°，∠ = 30°，
∴ = 2，
∵ = 2 = 12， = ，
∴ = = 2 米， = 3 = 6(米)，
∴ = = 6，
设 = 米，
2
∴ = 1 = 1 × 1阴 2 △ 扇形 2 2 × 6 × 6 3
30 6
360 = 9 3 3 ． ∴ = = + = ( + 6)米，
故答案为 9 3 3 ． 在 △ 中，∠ = 45°，
15. 【分析】 ∴ = 45° = (米)，
本题主要考查的是一元一次不等式组的解法，不等式的解集有关知识． ∴ = = ( 2)米，
先分别求出每个不等式的解集，然后根据不等式组的解集为 < 2 进行求解即可． 在 △ 中，∠ = 30°，
【解答】 ∴ 30° = = 2 = 3， +6 3
4+ > +2①
解： 3 2 , ∴ = 4 3 + 6， +
2 < 0② 经检验： = 4 3 + 6是原方程的根，
由①得： < 2，
∴ = (4 3 + 6)米，
由②得： < ，
故答案为：(4 3 + 6)．
∵不等式组的解集为 < 2，
过点 作 ⊥ ，垂足为 ，过点 作 ⊥ ，垂足为 ，则 = ， = ，根据斜坡 的坡比为 = 1：
∴ ≤ 2，
3，设 = 米， = 3 米，然后在 △ 中，利用勾股定理求出 ， 的长，再设 = 米，在 △
故答案为 ≤ 2．
中，利用锐角三角函数定义求出 的长，从而求出 ， 的长，最后在 △ 中，利用锐角三角函数的
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定义列出关于 的方程，进行计算即可解答． ∵ 点 恰好落在双曲线 = ，
本题考查了解直角三角形的应用 仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当
∴ = 3 3．
的辅助线是解题的关键．
18. 解：如图所示，以 为斜边作等腰直角三角形 ，则∠ = 90°，连接 ， ， ．
17. 【分析】
本题主要考查了翻折的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质和判定、勾股定理、待定系数法求反比
例函数的解析式，理解翻折的性质，求点 的坐标是解答此题的关键；直线 = 3 + 2与 轴交于点 ，与 3
轴交于点 ，可求 ， 的长度，可得∠ = 30°，由翻折可得△ 为等边三角形，作 ⊥ ，根据等
∵⊙ 的直径为 ， 为 的中点，
腰三角形的性质和勾股定理可得 ， ，即可求 的值．
∴ ∠ = 45°，
【解答】
又∵ ⊥ ，
解：如图，作 ⊥ 垂足为 ，连接 ，
∴ ∠ = 90°，
∴ ∠ = 45°，∠ = 135°，
∴点 的运动轨迹为以 为圆心， 为半径的 ，
又∵ = 6， 为 的中点，
∴△ 是等腰直角三角形，
∴ = 3 2，
∵直线 = 3 + 2与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，3 ∴△ 中， = 3，
∴ 2 3, 0 ， (0,2)，
∴ = 32 + 62 = 3 5，
由勾股定理可得， 2 = 2 3 + 22 = 4， ∵ ≥ ，
∴ ∠ = 30°， ∴ 的最小值为 3 5 3．
∵△ 沿直线 翻折， 故答案为 3 5 3．
∴ = ，∠ = ∠ = 30°， 以 为斜边作等腰直角三角形 ，则∠ = 90°，依据∠ = 135°，可得点 的运动轨迹为以 为圆心，
∴ ∠ = 60°， 为半径的 ，依据△ 中， = 3，即可解决问题．
∴△ 为等边三角形， 本题考查了轨迹，等腰直角三角形的性质，圆周角定理以及弧长的计算，正确寻找点 的运动轨迹是解决问
∴ = = = 2 3，∠ = 60°， 题的关键．
∵ ⊥ ， = ， 19. 原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，
∴ = = 3， 把 的值代入计算即可求出值．
∴在 △ 中， 此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
= 12 3 = 3， 20. 本题考查了全等三角形的性质和判定，垂线的定义等知识点的应用，解此题的关键是推出证明△ 和
∴ ( 3, 3)， △ 全等的三个条件．
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(1)根据垂直定义求出∠ = ∠ = ∠ ，根据等式性质求出∠ = ∠ ，根据 证明 22. 【分析】
△ ≌△ ； 本题考查了一元二次方程 2 + + = 0( ≠ 0)的根与系数的关系：
(2)根据全等三角形的对应边相等得到 = ， = ，再根据 = 12， = 7，即可解答． 若方程两个为 1， 2，则 1 + 2 = = ， 1 2 ．
21. 解：(1)360° × (1 15% 45%) = 360° × 40% = 144°；
(1)根据韦达定理得到 + = 1， = 1，即可得到 1 = 1，然后利用完全平方公式、立方和公式分别计
“经常参加”的人数为：40 × 40% = 16人，
算出 2， 3， 4；
喜欢足的学生人数为：16 6 4 3 2 = 1 人；
(2)观察(1)的计算结果可得到 = 1 + 2；
补全统计图如图所示：
(3)由于方程 2 1 = 0 的两根为 1 =
1+ 5， 2 =
1 5，则原式= 8，然后利用(2)中的规律可计算出 =
144° 1 2 2
5
故答案为： ， ；
11， 6 = 18， 7 = 29， 8 = 47，从而得到原式的值．
【解答】
(2)全校学生中经常参加课外体育锻炼并喜欢的项目是乒乓球的人
解：(1) ∵ + = 1， = 1，
1200 × 6数约为： 40 = 180人； ∴ 1 = 1，
2 = ( + )2 2 = 12 2 × ( 1) = 3，
(3)设 代表“乒乓球”、 代表“篮球”、 代表“足球”、 代表“羽毛球”，画树状图如下：
3 = ( + )( 2 + 2) = 1 × (3 + 1) = 4，
2 2 2 2 2 2 24 = ( + ) 2 = 3 2 × ( 1) = 7；
故答案为 1，3，4，7；
(2)(3)见答案．
23. 解：(1)① 雪糕销售单价为 元，当 = 20 时，其销量为 40盒，且 每增加 1元，销量就会减少 2盒，
∴ 雪糕的实际销量为 40 2( 20) = ( 2 + 80)盒，
共有 12种等可能的结果数，其中选中的两个项目恰好是“乒乓球”、“篮球”的情况占 2种，
雪糕的实际销量为 50 (2 十 80) = (2 30)盒，
2 1
所以选中“乒乓球”、“篮球”这两个项目的概率是12 = 6．
故答案为： 2 十 80；2 30；
(1)用“经常参加”所占的百分比乘以 360°计算得到“经常参加”所对应的圆心角的度数；先求出“经常参
②由题意，可得 = ( 15)( 2 + 80) = 2 2 + 110 1200，
加”的人数，然后减去其它各组人数得出喜欢足球的人数；进而补全条形图；
≥ 20
(2)用总人数乘以喜欢篮球的学生所占的百分比计算即可得解； ∵ 0 ≤ 2 + 80 ≤ 40，
0 ≤ 2 30 ≤ 50
(3)先利用树状图展示所有 12种等可能的结果数，找出选中的两个项目恰好是“乒乓球”、“篮球”所占结
∴ 20 ≤ ≤ 40且 为整数，
果数，然后根据概率公式求解．
即卖出 雪糕所获利润为 = 2 2十 110 1200(20 ≤ ≤ 40且 为整数)，
本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有可能的结果求出 ，再从中选出符合事件
故答案为： 2 2十 110 1200(20 ≤ ≤ 40且 为整数)；
或 的结果数目 ，然后利用概率公式求事件 或 的概率．也考查了样本估计总体、扇形统计图和条形统计
③由题意，可得 = (30 15)(2 30) = 30 450，
图．
即卖出 雪糕所获利润为 = 30 450(20 ≤ ≤ 40且 为整数)，
故答案为：30 450(20 ≤ ≤ 40且 为整数)；
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(2)由题意可得： = 2 2 + 110 1200十 30 450， 本题考查了二次函数、一次函数和一元二次方程的应用，解题的关键是根据各数量之间的关系，列出函数解
整理得 = 2 2 + 140 1650(20 ≤≤ 40且 为整数)， 析式．
则 是 140的二次函数，其对称轴为直线 = = 35， 24. (1)如图 1，连接 ，根据等腰三角形的性质得到∠ = ∠ ，由角平分线的定义得到∠ = ∠ ，2×( 2)
等量代换得到∠ = ∠ ，根据平行线的判定定理得到 // ，由平行线的性质即可得到结论；
∵ 2 < 0，
(2)设 = ，则 = 3 ，根据平行线的性质得∠ = ∠ ，由三角函数定义可得结论；
∴该函数图象的开口向下，
(3)证明△ ∽△ ，列比例式可解答．
∵ 20 ≤ ≤ 40且 为整数，
2 此题考查了和圆有关的综合性题目，用到的知识点有：平行线的判定和性质，三角形相似的性质和判定，切∴当 = 35 时， 有最大值，最大值为 = 2 × 35 + 140 × 35 1650 = 800，
线的判定，三角函数定义以及等腰三角形的判定与性质等知识．掌握切线的判定和相似三角形的性质和判定
即当 = 35时， 有最大值，最大值为 800元；
是解本题的关键，此题难度适中，是一道不错的中考题目．
(3)设捐款后的实际利润为 元
25. (1)在 = 2 + + 3 中，可得 (0,3)， = 3， = 2 + 2 = 5，故 A( 1,0)，再用待定系数
则
3 2 9
= 2 2 + 140 1650 (2 30) 法得抛物线的解析式为 = 4 + 4 + 3；
整理得 = 2 2 + (140 2 ) 1650 + 30 (20 ≤ ≤ 40且 为整数)， (2) // (4,0) (0,3) = 3 + 3 ( , 3 2 + 9过 作 交抛物线于 ，由 ， 得直线 解析式为 4 ，设 4 4 + 3)，
140 2 1
则 是 的二次函数，其对称轴为直线 = 2×( 2) = 35 2 ， 可得 = ( 2 3 ) = 2 + 4 ，根据△ ∽△ ，有 = =
2+4 1 2 4，
5 = 5 ( 2) + 5
∵ 0 < < 10，
4
由二次函数性质即得 的最大值为5；
∴ 30 < 35 12 < 35， )2
(3) = 3 2 + 9求出抛物线 4 4 + 3
3 5 1 4 3
的对称轴为直线 = 3 1
∵ 2 < 0 2
，由 ≤ 6，知 + 2 ≤ 3 < 2，故 = 4 ( + 2 +，
9 1 3 1)2 9 1 3 1)2 )2
∴该函数图象的开口向下， 4 ( + 2 ) + 3, = ，可得4 ( 2 + 4 ( 2 ) + 3 = [ 4 ( + 2 +
9 1
4 ( + 2 ) + 3] [
3
4 (
1
2 +
∵ 20 ≤ ≤ 40且 为整数， 9 ( 1 ) + 3] = 3 + 9 1 ≤ < 3 1 ≤ 3 9 34 2 2 4，根据2 2，得2 2 + 4 < 2，即可解得答案．
∴ 1当 = 35 2 时， 有最大值， 本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数等知识，解题的
即 2(35 1 )2 + (140 2 )(35 1 关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度．2 2 ) 1650 + 30 = 722，
解得： 1 = 2， 2 = 78，
∵ 0 < < 10，
∴ = 2．
(1)①根据 雪糕销售单价为 元，当 = 20 时，其销量为 40盒，且 每增加 1元，销量就会减少 2盒，写出
雪糕的销量，再根据 ， 雪糕共 50盒，写出 雪糕的销量；②根据每盒雪糕的利润×销量= 雪糕利润理出
函数解析式并根据题意写出 的取值范围；③根据每盒雪糕的利润×销量= 雪糕利润写出函数解析式即可；
(2)根据雪糕店所获总利润= ， 两种雪糕利润之和列出函数关系式，根据函数的性质求函数最值即可；
(3)根据题意列出函数解析式，再根据总利润的最大值 722列出方程，求出 的值．
第 9页，共 9页2022-2023 学年黄石十四中教育集团学九年级五月份月考数学试卷 ∵ = 12， = 7，
∴ = = = 12 7 = 5．
【答案】
(1)144°； 1 ；
1. 2. 3. 4. 5. 6. 21. 7. 8.
(2)180人；
9. 10.
1
11. 解：( 2023)0 4 45° + | 8| (3)图见解析；6
= 1 4 × 2 + 2 2 22. 解：(1)1，3，4，7；2
(2) = 1 + ；= 1 2 2 + 2 2 2
= 1． (3) ∵方程
2 1 = 0的两根为 = 1+ 5， = 1 51 ，2 2 2
12. ( 1)( 3) ∴原式= 8，
13. 1.076 × 107 ∵ 5 = 3 + 4 = 11，
14. 9 3 3 6 = 4 + 5 = 18，
15. ≤ 2 7 = 4 + 5 = 29，
16. (4 3 + 6) 8 = 7 + 6 = 47，
17. = 3 3 ∴原式= 47．
18. 3 5 3 23. 2 2十 110 1200(20 ≤ ≤ 40且 为整数) 30 450(20 ≤ ≤ 40且 为整数)
2
19. = ( +1)( 1) ( 2) ( +1)解：原式 24. (1)证明：如图 1，连接 ， ( +1) 2 1
= 2 1 ( +1)
2
( +1) 2 1
= +1 ，
= 3 = 3+1 3当 时，原式 = 1 + ．3 3
20. 解：(1) ∵ ∠ = 90°， ⊥ ，
∴ ∠ + ∠ = 90°，∠ + ∠ = 90°，
∵ = ，
∴ ∠ = ∠ ，
∴ ∠ = ∠ ，
∵ ⊥ ， ⊥ ，
∵ 平分∠ ，
∴ ∠ = ∠ = 90°，
∴ ∠ = ∠ ，
∵ = ，
∴ ∠ = ∠ ，
∴△ ≌△ ；
∴ // ，
(2) ∵△ ≌△ ，
∵ ⊥ ，
∴ = ， = ，
第 1页，共 9页
∴ ⊥ ， = 3
解得 49 ，
∵ 是⊙ 的半径， = 4
∴ 是⊙ 的切线； ∴ 3 9抛物线的解析式为 = 24 + 4 + 3；
(2)解：∵ = 4 ， = ，
设 = ，则 = 3 ，
(2)过 作 // 交抛物线于 ，如图：
∴ = = 1.5 ，
∵ // ，
∴ ∠ = ∠ ，
∴ cos∠ = cos∠ = 1.5 3 = 2.5 = 5；
(3)解：由(2)知： = 2.5 ， = 1.5 ，
∴ = 2 2 = (2.5 )2 (1.5 )2 = 2 ，
由 (4,0)， (0,3) 3得直线 解析式为 =
∵ ⊥ 4
+ 3，
，
( , 3 2 9∴ ∠ = 90°， 设 4 + 4 + 3)，
∴ ∠ + ∠ = 90°， = 3 + 3 = 3 2 + 9在 4 中，令 4 4 + 3 得：
∵ ∠ + ∠ = 90°，∠ = ∠ ，
3 2 9 3
∴ ∠ = ∠ 4
+ 4 + 3 = 4 + 3，
，
解得 = 2 3 ，
∵ ∠ = ∠ ，
∴△ ∽△ ， ∴ (
2 3 , 3 24 +
9
4 + 3)，
∴ = 2 1 ∴ = (
2 3 ) = 2 + 4 ，
= 4 = 2．
∵ // ，
25. 解：(1)在 = 2 + + 3 中，令 = 0 得 = 3，
∴△ ∽△ ，
∴ (0,3)，
2+4 1 4
∴ = 3， ∴ = = = ( 2)2 + ， 5 5 5
又∵ = 4， (4,0)， ∵ 15 < 0，
∴ = 2 + 2 = 5，
∴ = 2 4当 时， 取最大值，最大值为∵ = = 5 5
，
，
4
∴ = = 5 4 = 1， ∴ 的最大值为5；
∴ ( 1,0)，
把 ( 1,0)， (4,0)代入 = 2 + + 3 得： (3) ∵ = 3 2 + 9 + 3 = 3 ( 3 2 754 4 4 2 ) + 16，
+ 3 = 0
16 + 4 + 3 = 0，
第 2页，共 9页
∴ 3抛物线 = 2 + 9 + 3 3的对称轴为直线 = ， 分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．4 4 2
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，常见的中心对称图形有平行四边形、圆形、正方形、长方
∴ ≤ 3 3当 2时， =
2
4 +
9
4 + 3 中， 随 的增大而增大，
形等等．常见的轴对称图形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
∵ ≤ 56， 3. 解： . 2 6 ≠ 4，故选项错误，不符合题意；
1 4 3 B.( 2 4)3 = 8 12∴ + ≤ < ， ，故选项正确，符合题意；2 3 2
C. 6 ÷ 2 = 4，故选项错误，不符合题意；
∴ 1 1 5在 2 ≤ ≤ + 2 (其中 ≤ 6 )范围内， D. ( 2)2 = 2，故选项错误，不符合题意；
当 = + 1时， 取最大值，即 = 3 ( + 1
)2
+ 9 ( + 12 4 2 4 2 ) + 3, 故选： ．
)2
当 = 12时， 取最小值．即 =
3
4 (
1 + 92 4 (
1
2 ) + 3,
根据合并同类项、积的乘方和幂的乘方、同底数幂除法、二次根式的化简分别进行判断即可．
3 1)2 9 1 3 1)2 9 1 3 9 本题考查了合并同类项、积的乘方和幂的乘方、同底数幂除法、二次根式的化简等知识，掌握相应的运算法
∴ = [ 4 ( + 2 + 4 ( + 2 ) + 3] [ 4 ( 2 + 4 ( 2 ) + 3] = 2 + 4 , 则是解题的关键．
∵ 1 ≤ < 32 2， 4. 解：从上面可看，可得如下图形，
∴ 12 ≤
3 + 9 < 32 4 2，
1 7
解得2 < ≤ 6，
∵ ≤ 5， 故选： ．6
找到从上面看所得到的图形即可．
∴ 1 5的取值范围是2 < ≤ 6．
本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
【解析】
5. 【分析】
1. 解：实数 2023的相反数是 2023，
本题考查了函数自变量的取值范围问题，掌握二次根式有意义的条件：被开方数大于等于 0以及分式有意义
故选： ．
的条件：分母不为 0是解题的关键．
根据相反数的定义，即可解答．
根据二次根式有意义的条件：被开方数大于等于 0以及分式有意义的条件：分母不为 0进行解答即可．
本题考查了相反数的代数意义，熟练掌握相反数的意义是解题的关键．
【解答】
2. 解： .该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
解：依题意有 < 3
B.该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选 D．
C.该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
6. 【分析】
D.该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意．
本题考查了众数和中位数，属于基础题．
故选： ．
利用众数和中位数的定义直接求解即可．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转 180°，如果旋转后的图形
【解答】
能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部
第 3页，共 9页
解：这组数据中，众数为 24.5，中位数为 24.5． 又∵ ∠ + ∠ = 90 ，
故选 A． ∴ ∠ = ∠ ′，
在△ 和△ ′ 中，
7. 解：选项 C 中，点 是 的中点， ∠ = ∠ ′
{∠ = ∠ ′
∴线段 是中线． = ′
故选： ． ∴△ ≌△ ′ ( )，
根据线段垂直平分线的作法判断即可． ∴ ′ = = 1，
本题考查作图 基本作图，三角形的角平分线，中线，线段的垂直平分线等知识，解题的关键是读懂图象信 ∵ (5,0)， = ，
息． ∵ = = 5，∠ = 90 ，
8. 【分析】 ∴ ∠ = 45 ，
本题考查了坐标与图形变化与旋转，数记旋转变换前后重合的线段相等是解题的关键，难点在于作辅助线构 ∵ ′ ⊥
造出全等三角形． ∴ ∠ ′ = 90 ，
过点 ′作 ′ ⊥ 于 ，根据旋转的性质可得 = ′，根据同角的余角相等求出∠ = ∠ ′，再 ∴ = ′ = 1，
利用“角角边”证明△ 和△ ′ 全等，根据全等三角形对应边相等可得 ′ = ， = ，再求出 ∴ = = 5 1 = 4．
，然后写出点 ′的坐标即可． ∴点 ′的坐标为(1,4)．
【解答】 故选 A．
解：如图，过点 ′作 ′ ⊥ 于 ， 9. 见答案2 21
3
10. 解： 抛物线经过点 (3,0)，
∴ 9 6 + = 0，
∴ 3 + = 0，
当 = 1时， + 2 + = 0，
∴ 3 + = 0，
∴该抛物线一定经过 ( 1,0)，
故此项正确；
∵ 绕 点逆时针旋转90 得到线段 ′， ②由①得： = 3 ，
∴ = ′， ∵ > 0，
∵旋转角为90 ， ∴ 3 > 0，
∴ ∠ ′ = 90 ， ∴ < 0，
∴ ∠ ′ + ∠ = 90 ， ∵ 3 + = 0，
第 4页，共 9页
∴ 2 + = ， 12. 【分析】
∴ 2 + > 0， 此题考查了因式分解 提公因式法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
故此项正确； 原式变形后，提取公因式即可．
= 2 ③抛物线的对称轴为直线 【解答】2 = 1，
解：原式= ( 3) ( 3) = ( 1)( 3)，
当 = 2021时， 1(1, 1)， 2(2, 2)，
故答案为( 1)( 3)．
∵ < 0，
13. 解：10760000 = 1.076 × 107．
∴ 1 > 2，
故答案为：1.076 × 107．
∴ = 2021也符合题意与 > 2021矛盾，
根据科学记数法：把一个大于 10的数记成 × 10 的形式，其中 是整数数位只有一位的数， 是正整数，这
故此项错误．
种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式： × 10 ，其中 1 ≤ < 10， 为正整数．】计算即可得出答
④ ∵ ， ( < )是方程 2 + 2 + = 的两个根，
案．
∴ ， 是抛物线 21 = 2 + 与直线 2 = 交点的横坐标，
本题主要考查了科学记数法—表示较大的数，熟练掌握科学记数法—表示较大的数的方法进行求解是解决本
∴ > 0，
题的关键．
∴如图：
14. 【分析】
本题考查扇形的面积，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考
题型．连接 .首先证明 = = 6，根据 阴 =
1
2 △ 扇形 ，计算即可．
【解答】
解：如图，连接 ．
由图得： 3 < < < 1，
故此项正确，
故答案为： ．
①根据函数图象经过点的意义，只要得到 3 + = 0 即可； ∵ ∠ = 90°，∠ = 30°， = 6，
②由①得 2 + = ，结合 > 0 判断出 的正负即可； ∴ ∠ = 60°， = 6 3，
③特值法，取 = 2021时也符合题意，从而可得到结论； ∵ = ，
④将两个根转化为交点的横坐标，画出图象即可判断． ∴△ 是等边三角形
本题考查了二次函数的性质及数形结合思想，掌握二次函数的基本性质并会灵活应用是解题的关键． ∴ ∠ = 60°，∠ = 30°，
11. 先化简各式，然后再进行计算即可解答． ∵ = 2 = 12， = ，
本题考查了实数的运算，零指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键． ∴ = = 6，
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∴ = 1 = 1 × 1
2
阴 2 △ 扇形 2 2 × 6 × 6 3
30 6
． ∴ = = + = ( + 6)米，
360 = 9 3 3
在 △ 中，∠ = 45°，
故答案为 9 3 3 ．
∴ = 45° = (米)，
15. 【分析】
∴ = = ( 2)米，
本题主要考查的是一元一次不等式组的解法，不等式的解集有关知识．
在 △ 中，∠ = 30°，
先分别求出每个不等式的解集，然后根据不等式组的解集为 < 2 进行求解即可．
∴ 30° = = 2 = 3【解答】 ， +6 3
4+ > +2 ∴ = 4 3 + 6，
解： 3 2
①
+ ,
2 < 0② 经检验： = 4 3 + 6是原方程的根，
由①得： < 2， ∴ = (4 3 + 6)米，
由②得： < ， 故答案为：(4 3 + 6)．
∵不等式组的解集为 < 2， 过点 作 ⊥ ，垂足为 ，过点 作 ⊥ ，垂足为 ，则 = ， = ，根据斜坡 的坡比为 = 1：
∴ ≤ 2， 3，设 = 米， = 3 米，然后在 △ 中，利用勾股定理求出 ， 的长，再设 = 米，在 △
故答案为 ≤ 2． 中，利用锐角三角函数定义求出 的长，从而求出 ， 的长，最后在 △ 中，利用锐角三角函数的
16. 解：过点 作 ⊥ ，垂足为 ，过点 作 ⊥ ，垂足为 ， 定义列出关于 的方程，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用 仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当
的辅助线是解题的关键．
17. 【分析】
本题主要考查了翻折的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质和判定、勾股定理、待定系数法求反比
例函数的解析式，理解翻折的性质，求点 的坐标是解答此题的关键；直线 = 3 + 2 与 轴交于点 ，与 3
则 = ， = ， 轴交于点 ，可求 ， 的长度，可得∠ = 30°，由翻折可得△ 为等边三角形，作 ⊥ ，根据等
∵斜坡 的坡比为 = 1：3， 腰三角形的性质和勾股定理可得 ， ，即可求 的值．
∴ 1 【解答】 = 3，
解：如图，作 ⊥ 垂足为 ，连接 ，
∴设 = 米， = 3 米，
在 △ 中， = 2 + 2 = 2 + (3 )2 = 10 (米)，
∵ = 2 10米，
∴ 10 = 2 10，
∴ = 2，
∴ = = 2 米， = 3 = 6(米)，
∵直线 = 3 + 2 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，
设 = 3米，
第 6页，共 9页
∴ 2 3, 0 ， (0,2)， ∴ = 32 + 62 = 3 5，
由勾股定理可得， 2 = 2 3 + 22 = 4， ∵ ≥ ，
∴ 的最小值为 ．
∴ ∠ = 30° 3 5 3，
故答案为 ．
∵△ 沿直线 3 5 3翻折，
以 为斜边作等腰直角三角形 ，则∠ = 90°，依据∠ = 135°，可得点 的运动轨迹为以 为圆心，
∴ = ，∠ = ∠ = 30°，
为半径的 ，依据△ 中， = 3，即可解决问题．∴ ∠ = 60°，
本题考查了轨迹，等腰直角三角形的性质，圆周角定理以及弧长的计算，正确寻找点 的运动轨迹是解决问
∴△ 为等边三角形，
题的关键．
∴ = = = 2 3，∠ = 60°，
19. 原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，
∵ ⊥ ， = ，
把 的值代入计算即可求出值．
∴ = = 3，
此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
∴在 △ 中，
20. 本题考查了全等三角形的性质和判定，垂线的定义等知识点的应用，解此题的关键是推出证明△ 和
= 12 3 = 3，
△ 全等的三个条件．
∴ ( 3, 3)，
(1)根据垂直定义求出∠ = ∠ = ∠ ，根据等式性质求出∠ = ∠ ，根据 证明
∵点 恰好落在双曲线 = ， △ ≌△ ；
∴ = 3 3． (2)根据全等三角形的对应边相等得到 = ， = ，再根据 = 12， = 7，即可解答．
18. 解：如图所示，以 为斜边作等腰直角三角形 ，则∠ = 90°，连接 ， ， ． 21. 解：(1)360° × (1 15% 45%) = 360° × 40% = 144°；
“经常参加”的人数为：40 × 40% = 16人，
喜欢足的学生人数为：16 6 4 3 2 = 1 人；
补全统计图如图所示：
∵⊙ 的直径为 ， 为 的中点， 故答案为：144°，1；
∴ ∠ = 45°，
又∵ ⊥ ， (2)全校学生中经常参加课外体育锻炼并喜欢的项目是乒乓球的人
∴ ∠ = 90°， 数约为：1200 × 640 = 180人；
∴ ∠ = 45°，∠ = 135°，
∴点 的运动轨迹为以 为圆心， 为半径的 ， (3)设 代表“乒乓球”、 代表“篮球”、 代表“足球”、 代表“羽毛球”，画树状图如下：
又∵ = 6， 为 的中点，
∴△ 是等腰直角三角形，
∴ = 3 2，
∴△ 中， = 3，
第 7页，共 9页
故答案为 1，3，4，7；
(2)(3)见答案．
23. 解：(1)① 雪糕销售单价为 元，当 = 20 时，其销量为 40盒，且 每增加 1元，销量就会减少 2盒，
∴ 雪糕的实际销量为 40 2( 20) = ( 2 + 80)盒，
雪糕的实际销量为 50 (2 十 80) = (2 30)盒，
共有 12种等可能的结果数，其中选中的两个项目恰好是“乒乓球”、“篮球”的情况占 2种，
故答案为： 2 十 80；2 30；
2 1
所以选中“乒乓球”、“篮球”这两个项目的概率是12 = 6． ②由题意，可得 = ( 15)( 2 + 80) = 2 2 + 110 1200，
(1)用“经常参加”所占的百分比乘以 360°计算得到“经常参加”所对应的圆心角的度数；先求出“经常参 ≥ 20
∵ 0 ≤ 2 + 80 ≤ 40，
加”的人数，然后减去其它各组人数得出喜欢足球的人数；进而补全条形图； 0 ≤ 2 30 ≤ 50
(2)用总人数乘以喜欢篮球的学生所占的百分比计算即可得解； ∴ 20 ≤ ≤ 40且 为整数，
(3)先利用树状图展示所有 12种等可能的结果数，找出选中的两个项目恰好是“乒乓球”、“篮球”所占结 即卖出 雪糕所获利润为 = 2 2十 110 1200(20 ≤ ≤ 40且 为整数)，
果数，然后根据概率公式求解． 故答案为： 2 2十 110 1200(20 ≤ ≤ 40且 为整数)；
本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有可能的结果求出 ，再从中选出符合事件 ③由题意，可得 = (30 15)(2 30) = 30 450，
或 的结果数目 ，然后利用概率公式求事件 或 的概率．也考查了样本估计总体、扇形统计图和条形统计 即卖出 雪糕所获利润为 = 30 450(20 ≤ ≤ 40且 为整数)，
图． 故答案为：30 450(20 ≤ ≤ 40且 为整数)；
22. 【分析】 (2)由题意可得： = 2 2 + 110 1200十 30 450，
本题考查了一元二次方程 2 + + = 0( ≠ 0)的根与系数的关系： 整理得 = 2 2 + 140 1650(20 ≤≤ 40且 为整数)，
若方程两个为 1， 2，则 1 + 2 =
， 1
2
= ． 则
140
是 的二次函数，其对称轴为直线 = 2×( 2) = 35，
(1)根据韦达定理得到 + = 1， = 1，即可得到 1 = 1，然后利用完全平方公式、立方和公式分别计 ∵ 2 < 0，
算出 2， 3， 4； ∴该函数图象的开口向下，
(2)观察(1)的计算结果可得到 = 1 + 2； ∵ 20 ≤ ≤ 40且 为整数，
(3)由于方程 2 1 = 0的两根为 = 1+ 5， = 1 5 ∴当 = 35时， 有最大值，最大值为 = 2 × 35
2
1 2 ，则原式= ，然后利用(2)中的规律可计算出 = + 140 × 35 1650 = 800
，
2 2 8 5
即当 = 35 时， 有最大值，最大值为 800 元；
11， 6 = 18， 7 = 29， 8 = 47，从而得到原式的值．
(3)设捐款后的实际利润为 元
【解答】
则
解：(1) ∵ + = 1， = 1，
= 2 2 + 140 1650 (2 30)
∴ 1 = 1，
2 2 整理得 = 2
2 + (140 2 ) 1650 + 30 (20 ≤ ≤ 40且 为整数)，
2 = ( + ) 2 = 1 2 × ( 1) = 3，
140 2 1
= ( + )( 2 + 2) = 1 × (3 + 1) = 4， 则 是 的二次函数，其对称轴为直线 = 2×( 2) = 35 3 2 ，
= ( 2 + 2)2 2 2 2 = 32 2 × ( 1)24 = 7； ∵ 0 < < 10，
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∴ 30 < 35 1 42 < 35， 由二次函数性质即得 的最大值为5；
∵ 2 < 0， 3 9 3 5 1 4 3 )2(3)求出抛物线 = 24 + 4 + 3的对称轴为直线 = 2，由 ≤ 6，知 + 2 ≤ 3 < 2，故 =
3 1
4 ( + 2 +
∴该函数图象的开口向下，
9 1 )2 )2 )2
4 ( + 2 ) + 3, =
3
4 (
1 + 9 ( 12 4 2 ) + 3，可得 = [
3
4 ( +
1
2 +
9 ( + 1 34 2 ) + 3] [ 4 (
1
∵ 20 ≤ ≤ 40且 为整数， 2
+
9 1 3 9 1 3 1 3 9 3
∴ 1当 = 35 时， 有最大值， 4
( 2 ) + 3] = 2 + 4，根据2 ≤ < 2，得2 ≤ 2 + 4 < 2，即可解得答案．
2
本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数等知识，解题的
即 2(35 12 )
2 + (140 2 )(35 12 ) 1650 + 30 = 722，
关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度．
解得： 1 = 2， 2 = 78，
∵ 0 < < 10，
∴ = 2．
(1)①根据 雪糕销售单价为 元，当 = 20 时，其销量为 40盒，且 每增加 1元，销量就会减少 2盒，写出
雪糕的销量，再根据 ， 雪糕共 50盒，写出 雪糕的销量；②根据每盒雪糕的利润×销量= 雪糕利润理出
函数解析式并根据题意写出 的取值范围；③根据每盒雪糕的利润×销量= 雪糕利润写出函数解析式即可；
(2)根据雪糕店所获总利润= ， 两种雪糕利润之和列出函数关系式，根据函数的性质求函数最值即可；
(3)根据题意列出函数解析式，再根据总利润的最大值 722列出方程，求出 的值．
本题考查了二次函数、一次函数和一元二次方程的应用，解题的关键是根据各数量之间的关系，列出函数解
析式．
24. (1)如图 1，连接 ，根据等腰三角形的性质得到∠ = ∠ ，由角平分线的定义得到∠ = ∠ ，
等量代换得到∠ = ∠ ，根据平行线的判定定理得到 // ，由平行线的性质即可得到结论；
(2)设 = ，则 = 3 ，根据平行线的性质得∠ = ∠ ，由三角函数定义可得结论；
(3)证明△ ∽△ ，列比例式可解答．
此题考查了和圆有关的综合性题目，用到的知识点有：平行线的判定和性质，三角形相似的性质和判定，切
线的判定，三角函数定义以及等腰三角形的判定与性质等知识．掌握切线的判定和相似三角形的性质和判定
是解本题的关键，此题难度适中，是一道不错的中考题目．
25. (1)在 = 2 + + 3 中，可得 (0,3)， = 3， = 2 + 2 = 5，故 A( 1,0)，再用待定系数
= 3 9法得抛物线的解析式为 24 + 4 + 3；
(2)过 作 // 交抛物线于 ，由 (4,0)， (0,3) 3得直线 解析式为 = 4 + 3，设 ( ,
3 2 + 94 4 + 3)，
2
可得 = ( 2 3 ) = 2 + 4 ，根据△ ∽△ ，有 = +4 1 = 5 = 5 ( 2)
2 + 4，5
第 9页，共 9页黄石十四中教育集团2022-2023学年度下学期九年级5月月考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分，）
1.实数-2023的相反数是()
A.-2023
B应
1
C.2023
D.-2023
2.下列数学曲线中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是()
笛卡尔心形线
B
卡西尼卵形线
赵爽弦图
D.
费马螺线
3.下列运算正确的是()
A2a5-a2=a4
B.（-2a4)3=-8a12
C.a5÷a2=a3
D.√(-2)=-2
4.如图是由3个相同的小正方体搭成的几何体，那么这个几何体的俯视图是()
ddd
正
使得函数y=品+√网有意义的x的取值范围是(）
A.0≤x<3
B.0C.x<3且x≠0
D.x<3
6.
某体育用品商店一天中卖出某种品牌的运动鞋15双，其中各种尺码的鞋的销售量如表所示：
鞋的尺码/cm
23
23.5
24
24.5
25
销售量/风
1
3
6
则这15双鞋的尺码组成的一组数据中，众数和中位数分别为()
1
A24.5,24.5
B.24.5,24
C.24,24
D.23.5,24
7.如图，在△ABC中，LACB=90°，用尺规作图的方法作出直角三角形斜边上的中线CP,下列作法一定正确的是）
的
8.如图，在△0AB中，0A=0B,顶点A的坐标为(5,0)，P是0A上一动点，将点P绕点C(0,1)
逆时针旋转90，当点P的对应点P'落在AB边上时，点P'的坐标为()
A.(1,4)
B.(4,1)
C.(2,3)
D.(3,2)
9.如图，AB,AC是⊙O的弦，劣弧AB沿弦AB翻折恰好经过点O,交AC于点D,连接BD,
若AD=2,CD=4,则⊙0的半径长是()
A要
B.
C.32更
4
D.
5
10.抛物线y=ax2-2ax+c(a,c是常数且a≠0，c>0)经过点A(3,0).下列四个结论：①该抛物线一定经过B(-1,0):
②2a+c>0:国点P1(t+2022,y),P2(t+2023,y2)在抛物线上，且y1>y2,则t>-2021④若m,n(m方程ax2-2ax+c=p的两个根，其中p>0,则-3A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
二、填空题（本大题共8小题，共28.0分）
11.计算：(-2023)°-4sin45°+1-√⑧=
12.因式分解：x(-3)-x+3=一
13.据统计，2022届高校毕业生规模预计首次突破千万，约为10760000人，总量和增量均为近年之最，将10760000
用科学记数法表示为
14.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=6,以C为圆心，以AC的长为半径作弧，交AB于点D,
交BC于点E,则图中阴影部分的面积是一（结果保留）
D
230
E
0
第14题图
第16题图
第17题图
>
15.若关于x的不等式组
3■
<0
的解集为x<2,则a的取值范围是
16.一名高山滑雪运动员沿着斜坡FC滑行，他在点D处相对大树顶端A的仰角为30°，从D点再滑行2√10米到达坡底
的C点，在点C处相对树顶端A的仰角为45°，若斜坡CF的坡比为=1：3（点B,G,B在同一水平线上），则大树AB
的高度米（结果保留根号）
7.如图，在平面直角坐标系中，直线y=号x+2与x轴交于点A,与)轴交于点B,将△AB0沿直线AB图折，点0
的对应点C怡好落在双曲线y=(化*0)上，则k的值为—一
)只5》6平C
