2023年江苏省泰州市九年级数学中考三轮复习训练题（含答案）

江苏省泰州市2023年春九年级数学中考三轮复习综合复习训练题（附答案）
一、选择题（本共24分．）
1．2的倒数是（　　）
A．﹣2 B．2 C． D．﹣
2．下列运算正确的是（　　）
A．a2+a3＝a5 B．（﹣2x）3＝﹣2x3
C．（a﹣b）（﹣a+b）＝﹣a2﹣2ab﹣b2 D．+＝3
3．如图所示图形中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
4．下列事件：①在体育中考中小明考了满分；②抛掷两枚正方体骰子的点数和大于1；③经过有交通信号灯的路口遇到红灯；④四边形的外角和为180度．其中属于随机事件的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．一次函数y＝（3﹣a）x+6中，y随自变量x的增大而增大，那么a的取值范围为（　　）
A．a＜3 B．a＞3 C．a＜﹣3 D．a＞﹣3
6．在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣2x+b（b为常数）的图象与x、y轴分别交于点A、B，直线AB与双曲线分别交于点P、Q，则AP BP的值是（　　）
A．4 B．8
C．10 D．与b的取值有关
7．如图，P为⊙O外一点，过点P作⊙O的切线PC、PD，与过圆心O的直线交于A、B两点，点C、D为切点，线段OB交⊙O于点E．若∠APB＝90°，tanA＝，BE＝﹣2，则OP的长度为（　　）
A． B． C．2 D．
8．如图1，在菱形ABCD中，动点P从点B出发，沿折线B→C→D→B运动，设点P经过的路程为x，△ABP的面积为y．把y看作x的函数，函数的图象如图2所示，则图2中的a等于（　　）
A．25 B．20 C．12 D．
二、填空题（共24分．）
9．PM2.5是指大气中直径小于或等于0.0000025m的颗粒物，将0.0000025用科学记数法表示为 　 　．
10．若代数式有意义，则实数x的取值范围是　 　．
11．一组数据1，0，2，1的方差S2＝　 　．
12．因式分解a（a﹣4b）+4b2的结果是 　 　．
13．已知m是负整数，关于x的一元二次方程x2﹣2mx﹣4＝0的两根是x1，x2，若x1+x2＞x1x2，则m的值等于 　 　．
14．如图所示网格中，每个小正方形的边长都为1，则∠PAB+∠PBA＝　 　°（点A，B，P是网格线交点）．
15．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且AC⊥BD，OF⊥CD，垂足分别为E、F，若OF＝，则AB＝　 　．
16．已知，在平面直角坐标系中，函数y＝ax2﹣3ax+2a（a≠0）经过B（n﹣3，y1），C（n，y2），D（n+2，y3）这三点，且总有，则n取值范围是 　 　．
三、解答题（共102分）
17．（1）计算：（2+）0+3tan30°﹣+
（2）先化简，再求值：，其中a2﹣4a+3＝0．
18．某校组建了射击兴趣小组，甲、乙两人连续8次射击成绩如下列图、表所示（统计图中乙的第8次射击成绩缺失）．
甲、乙两人连续8次射击成绩统计表
平均成绩（环） 中位数（环） 方差（环2）
甲 　 　 7.5 　 　
乙 6 　 　 3.5
（1）补全统计图和统计表；
（2）如果你是教练，要从甲、乙两人中选一位参加比赛，你会选谁？写出你这样选择的2条理由．
19．一只不透明的袋子中装有1个红球和若干个白球，这些球除颜色外都相同，摇匀后从中任意摸出2个球．
（1）若这个袋子中共有4个球，求摸出红球的概率；
（2）若这个袋子中共有n（n＞1且n为正整数）个球，则摸出红球的概率是　 　（用含n的代数式表示）．
20．某牧场准备利用现成的一堵“7”字型的墙面（如图中粗线A﹣B﹣C表示墙面，已知AB⊥BC，AB＝3米，BC＝9米）和总长为36米的篱笆围建一个“日”形的饲养场BDEF（细线表示篱笆，饲养场中间GH也是用篱笆隔开），如图，点F可能在线段BC上，也可能在线段BC的延长线上．
（1）当点F在线段BC上时，
①设EF的长为x米，则DE＝　 　米（用含x的代数式表示）；
②若要求所围成的饲养场BDEF的面积为66平方米，求饲养场EF的长；
（2）饲养场的宽EF为多少米时，饲养场BDEF的面积最大？最大面积为多少平方米？
21．如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB为水平边，D为AB边上一点．
（1）只用圆规在B的正上方作一点E，使BE＝AD（说明作法，不需要证明）；
（2）在（1）的条件下，连接DE，若AC＝，AD＝3，求DE的长度．
22．如图，某校教学楼AB后方有一斜坡，已知斜坡CD的长为12米，坡角α为60°，根据有关部门的规定，∠α≤39°时，才能避免滑坡危险，学校为了消除安全隐患，决定对斜坡CD进行改造，在保持坡脚C不动的情况下，学校至少要把坡顶D向后水平移动多少米才能保证教学楼的安全？（结果取整数）
（参考数据：sin39°≈0.63，cos39°≈0.78，tan39°≈0.81，≈1.41，≈1.73，≈2.24）
23．如图，∠ABC＝45°，其中P、Q分别是射线BA、BC上的点，BP＝3．
（1）给出条件①PQ＝4；②∠BPQ＝105°；③PQ＝6．能使BQ的长唯一确定的条件是 　 　；
（2）在题（1）中选一个使BQ的长唯一确定的条件，求出此时BQ的长度．
24．如图，在△ABC中，∠C＝90°，以点C为圆心，CA长为半径的圆交AB于点D．
（1）若∠B＝24°，求的度数；
（2）若D是AB的中点，AB＝3，求阴影部分的面积；
（3）若AD AB＝12，求AC的值．
25．在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点P1（x1，x2）与P2（x2，y2）的“非常距离”，给出如下定义：若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|x1﹣x2|；若|x1﹣x2|＜|y1﹣y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|y1﹣y2|．
例如：点P1（1，2），点P2（3，5），因为|1﹣3|＜|2﹣5|，所以点P1与点P2的“非常距离”为|2﹣5|＝3，也就是图1中线段P1Q与线段P2Q长度的较大值（点Q为垂直于y轴的直线P1Q与垂直于x轴的直线P2Q的交点）．
（1）已知点A（﹣，0），B为y轴上的一个动点，
①若点A与点B的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点B的坐标　 　；
②直接写出点A与点B的“非常距离”的最小值　 　；
（2）已知C是直线y＝x+3上的一个动点，
①如图2，点D的坐标是（0，1），求点C与点D的“非常距离”的最小值及相应的点C的坐标；
②如图3，E是以原点O为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点C与点E的“非常距离”的最小值及相应的点E和点C的坐标．
26．如图，已知抛物线y＝﹣x2+mx+n和直线y＝x，抛物线顶点为A，与y轴交点为B，直线y＝x与抛物线对称轴交于点C．
（1）抛物线顶点坐标为 　 　（用m，n表示）；
（2）当抛物线的顶点落在直线y＝2x+1上时，求n的最大值．
（3）若四边形ABOC为平行四边形，
①求m的值．
②若直线y＝x与抛物线在对称轴右侧部分的交点为D，当△BOD为直角三角形时，求n的值．
③过C点作线段CE⊥AC，设CE＝a，是否存在实数a值使△ACE的重心恰好落在抛物线上，若存在直接写出a和n的关系式，若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题（共24分）
1．解：2的倒数是，
故选：C．
2．解：A、不是同类项，不能合并，错误；
B、（﹣2）3＝﹣8x3，错误；
C、（a﹣b）（﹣a+b）＝﹣a2+2ab﹣b2，错误；
D、+＝+2＝3，正确．
故选：D．
3．解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
4．解：①在体育中考中，小明考了满分是随机事件；
②抛掷两枚正方体骰子，点数和大于1是必然事件；
③经过有交通信号灯的路口，遇到红灯是随机事件；
④四边形的外角和为180度是不可能事件，
故选：B．
5．解：∵一次函数y＝（3﹣a）x+6，函数值y随自变量x的增大而增大，
∴3﹣a＞0，解得a＜3．
故选：A．
6．解：过点P作PC⊥OB于点C，PD⊥OA与点D，如图，
设点P（m，），则PC＝m，PD＝．
∵PC⊥OB，PD⊥OA，OB⊥OA，
∴四边形ODPC为矩形．
∴OC＝PD＝．
∵直线AB与双曲线分别交于点P，
∴＝﹣2m+b．
∴m（b﹣2m）＝4．
∴m（﹣m）＝2．
对于一次函数y＝﹣2x+b，令x＝0，则y＝b，
∴B（0，b）．
∴OB＝b．
令y＝0，则x＝，
∴A（，0）．
∴OA＝．
∴AD＝OA﹣OD＝．
∴AB＝＝b．
∵PB∥OA，
∴．
∴．
∴PB＝m．
∵PD∥OB，
∴．
∴．
∴PA＝（﹣m）．
∴PA BP＝（﹣m）m＝5m（﹣m）＝10．
故选：C．
7．解：连接OD、OC，
∵PC、PD为⊙O的切线，
∴OD⊥PB，OC⊥PA，PD＝PC，
∵∠APB＝90°，
∴四边形PDOC为正方形，
设OC＝r，
∵tanA＝，
∴＝，
∴AC＝r，
∴PA＝r，
∵tanA＝，
∴＝，
∴PB＝r，
∴AB＝＝r，
在Rt△AOC中，OA＝＝r，
∴BE＝r﹣r﹣r，
则r﹣r﹣r＝﹣2，
解得：r＝2，
∴OP＝OC＝2，
故选：C．
8．解：如图2，
x＝5时，BC＝5，
x＝10时，BC+CD＝10，则CD＝5，
x＝18时，CB+CD+BD＝18，则BD＝8，
如下图，过点C作CH⊥BD交于H，
在Rt△CDH中，
∵CD＝BC，CH⊥BD，
∴DH＝BD＝4，而CD＝5，故CH＝3，
当x＝5时，点P与点C重合，即BP＝5，
a＝S△ABP＝S△ABC＝BD×CH＝×8×3＝12，
故选：C．
二、填空题（共24分．）
9．解：0.0000025＝2.5×10﹣6，
故答案为：2.5×10﹣6．
10．解：∵代数式有意义，
∴x+3≥0，即x≥﹣3．
故答案为：x≥﹣3．
11．解：＝（1+0+2+1）＝1，
则S2＝[（1﹣1）2+（0﹣1）2+（2﹣1）2+（1﹣1）2]＝0.5，
故答案为：0.5．
12．解：原式＝a2﹣4ab+4b2＝（a﹣2b）2，
故答案为：（a﹣2b）2．
13．解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2mx﹣4＝0的两根是x1，x2，
∴x1+x2＝2m，x1x2＝﹣4，
∴﹣4＜2m＜0，
∵m是负整数，
∴m＝﹣1，
故答案为：﹣1．
14．解：如图，延长AP到格点C，连接BC，
∵PC＝BC＝，PB＝＝，
∴PC2+BC2＝PB2，
∴△PBC是等腰直角三角形，
∴∠CPB＝45°，
∵∠CPB＝∠PAB+∠PBA，
∴∠PAB+∠PBA＝45°．
故答案为：45．
15．解：作直径DG，连接CG，如图，
∵DG为直径，
∴∠DCG＝90°，
∴∠CDG+∠G＝90°，
∵AC⊥BD，
∴∠DAC+∠ADB＝90°，
∵∠DAC＝∠G，
∴∠ADB＝∠CDG，
∴＝，
∴AB＝CG，
∵OF⊥CD，
∴DF＝CF，
∵OD＝OG，
∴OF为△DCG的中位线，
∴CG＝2OF＝2×＝5，
∴AB＝5．
故答案为5．
16．解：∵抛物线解析式为y＝ax2﹣3ax+2a＝a（x﹣）2﹣，
∴顶点坐标为（，﹣），
∵总有，
∴抛物线开口向下，
当点C在对称轴上或左边，点D在对称轴右边时，
，
解得：＜n≤，
当点C在对称右边，点B在对称轴左边时，
，
解得：＜n＜2，
综上所述，＜n＜2．
故答案为：＜n＜2．
三、解答题（共102分）
17．解：（1）原式＝1+3×﹣（2﹣）+2
＝1+﹣2++2
＝1+2；
（2）原式＝÷（）
＝
＝，
∵a2﹣4a+3＝0，
（a﹣1）（a﹣3）＝0，
∴a＝1或a＝3，
又∵a（a+3）（a﹣3）≠0，
∴a≠0，a≠﹣3，a≠3，
当a＝1时，
原式＝＝．
18．解：（1）6×8﹣（4+3+5+6+7+6+8）＝9（环），
甲的平均数：（8+8+8+7+8+6+5+6）÷8＝7（环），
乙的中位数为：（6+6）÷2＝6（环），
甲的方差：×[4×（8﹣7）2+（7﹣7）2+2×（6﹣7）2+（5﹣7）2]＝1.25；
图表补全：
平均成绩（环） 中位数（环） 方差（环2）
甲 7 7.5 1.25
乙 6 6 3.5
故答案为：7，6，1.25；
（2）要从甲、乙两人中选一位参加比赛，会选甲，
理由：∵甲的平均成绩、中位数比乙的都高，而且甲成绩的方差较小，甲的成绩较稳定．
∴应选甲运动员．
19．解：（1）记袋中的3个白球分别为白1，白2，白3，从袋中随机摸出2个球，共有6种等可能的情况，
分别是（红，白1）（红，白2）（红，白3）（白1，白2）（白1，白3）（白2，白3），
满足摸出红球的结果有3种，因此摸出红球的概率是＝；
（2）这个袋子中共有n（n＞1且n为正整数）个球，则摸出红球的概率是．
故答案为：．
20．解：（1）①设EF的长为x米，
∵点F在线段BC上，
∴DE＝36﹣2x﹣（x﹣3）＝（39﹣3x）（米）．
∵BC≤9，即DE≤9，
∴x≥10，
故答案为：（39﹣3x）（x≥10）；
②设EF的长为x米，
x（39﹣3x）＝66，
3x2﹣39x+66＝0，
（x﹣11）（3x﹣6）＝0，
x1＝11，x2＝2（不合题意，舍去），
答：饲养场的长EF为11米；
（2）设饲养场BDEF的面积为S，EF的长为x米，
①点F在线段BC上，
则S＝x（39﹣3x）＝﹣3x2+39x＝﹣3（x﹣）2+，
∵a＝﹣3＜0，
∴x＝时，S有最大值，S最大值＝，x≥时，S随x的增大而减小，
∵BC＝9米，
∴BF＝39﹣3x≤9，解得：x≥10，
∴x＝10时，S有最大值，S最大值＝﹣3×102+39×10＝90（平方米）；
②点F在线段BC的延长线上，
则S＝（39﹣3x+9）x＝﹣x2+24x＝﹣（x﹣8）2+96，
∵a＝﹣＜0，
∴x＝8时，S有最大值，S最大值＝96，BF＝（39﹣3x+9）＝12，
∴x＝8时，S最大值＝96（平方米）；
∵96＞90，
∴饲养场的宽EF为8米时，饲养场BDEF的面积最大，最大面积为96平方米．
答：饲养场的宽EF为8米时，饲养场BDEF的面积最大，最大面积为96平方米．
21．解：（1）如图，线段BE即为所求．
步骤：①过点B作BJ⊥BA．
②在射线BJ上，截取BE，使得BE＝AD．
线段BE即为所求．
（2）∵∠ACB＝90°，CA＝CB＝4，
∴AB＝AC＝8，
∵AD＝3，
∴BD＝AB＝AD＝8﹣3＝5，
∵∠DBE＝90°，BE＝AD＝3，
∴DE＝＝＝．
22．解：假设点D移到D′的位置时，恰好∠α＝39°，过点D作DE⊥AC于点E，作D′E′⊥AC于点E′，
∵CD＝12米，∠DCE＝60°，
∴DE＝CD sin60°＝12×＝6米，CE＝CD cos60°＝12×＝6米．
∵DE⊥AC，D′E′⊥AC，DD′∥CE′，
∴四边形DEE′D′是矩形，
∴DE＝D′E′＝6米．
∵∠D′CE′＝39°，
∴CE′＝≈≈12.8，
∴EE′＝CE′﹣CE＝12.8﹣6＝6.8≈7（米）．
答：学校至少要把坡顶D向后水平移动7米才能保证教学楼的安全．
23．解：（1）唯一确定三角形的条件有：已知三边，已知两边及其夹角，已知两角一边．
故只有②满足两角一边．另外，当PQ＝6时，PQ＞3，BQ也能唯一确定
故答案为：②③
（2）如图：如在②的条件下：
作PD⊥BC于D，连接PQ．
∵BP＝3，∠ABC＝45°．
∴∠BPD＝45°，BD＝PD＝＝3．
∵∠BPQ＝105°．
∴∠DPQ＝105°﹣45°＝60°．
∴DQ＝PD＝3．
∴BQ＝BD+DQ＝3+3．
在③的条件下：根据勾股定理得：DQ＝＝＝3．
∴BQ＝BD+DQ＝3+3．
综上：BQ＝3+3．
24．解：（1）连接CD．
∵∠ACB＝90°，∠B＝24°，
∴∠A＝90°﹣24°＝66°，
∵CA＝CD，
∴∠A＝∠CDA＝66°，
∴∠ACD＝180°﹣2×66°＝48°，
∴的度数为48°；
（2）∵∠ACB＝90°，AD＝DB，
∴CD＝AD＝DB＝AB＝，
∵AC＝CD，
∴AC＝CD＝AD，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠ACD＝60°，
∴S阴＝S扇形CAD﹣S△ACD＝﹣×（）2＝﹣．
（3）作CH⊥AB于点H．
∵∠A＝∠A，∠AHC＝∠ACB＝90°，
∴△ACH∽△ABC，
∴＝，
∴AC2＝AH AB，
∵CH⊥AD，
∴AH＝DH，
∵AD AB＝12，
∴2AH AB＝12，
∴AH AB＝6，
∴AC2＝6，
∵AC＞0，
∴AC＝．
25．解：（1）①∵B为y轴上的一个动点，
∴设点B的坐标为（0，y）．
∵|﹣﹣0|＝≠2，
∴|0﹣y|＝2，
解得y＝2或y＝﹣2；
∴点B的坐标是（0，2）或（0，﹣2）；
故答案是：（0，2）或（0，﹣2）；
②点A与点B的“非常距离”的最小值为．
故答案是：．
（2）①如图2，取点C与点D的“非常距离”的最小值时，根据运算定义“若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|x1﹣x2|”知：|x1﹣x2|＝|y1﹣y2|．即AC＝AD，
∵C是直线y＝x+3上的一个动点，点D的坐标是（0，1），
∴设点C的坐标为（x0，x0+3），
∴﹣x0＝x0+2，
此时，x0＝﹣，
∴点C与点D的“非常距离”的最小值为：|x0|＝，
此时C（﹣，）；
②当点E在过原点且与直线y＝x+3垂直的直线上时，点C与点E的“非常距离”最小，设E（x，y）（点E位于第二象限）．则，
解得，
故E（﹣，）．
﹣﹣x0＝x0+3﹣，
解得x0＝﹣，
则点C的坐标为（﹣，），最小值为1．
26．解：（1）y＝﹣x2+mx+n＝﹣（x﹣）2+n+，
∴抛物线的顶点坐标为（，n+）；
故答案为：（，n+）；
（2）当抛物线的顶点落在直线y＝2x+1上时，n+＝2×+1，
∴n＝﹣m2+m+1＝﹣（m2﹣4m+4）+2＝﹣（m﹣2）2+2，
∴当m＝2时，n取最大值，最大值为2；
（3）①∵A（，n+），点C在y＝x上，
∴C（，），
∵y＝﹣x2+mx+n与y轴交于点B，
∴B（0，n），
若四边形ABOC为平行四边形，
∴BO＝AC，
∴n＝+n﹣，解得m＝0或m＝2，
∵m＝0时，对称轴为x＝0，此时A，B重合，故舍去；
∴m＝2；此时y＝﹣x2+2x+n．
②当△BOD为直角三角形时，分为∠DBP＝90°，∠BDO＝90°两种情况：
如图，设AC于x轴交于点F，
∵C（，），
∴CF＝OF＝，
∴∠COF＝∠OCF＝45°，
∴∠BOD＝45°．
当∠DBO＝90°时，BD⊥y轴，
∴BD＝OB，
∵OB＝n，
∴BD＝n，
∴D（n，n），
代入y＝﹣x2+2x+n，
解得n＝0或n＝2，
∵D在对称轴右侧部分，
∴n＝2，
当∠BDO＝90°时，
如图，过点D作DM⊥y轴，垂足为M，
∵∠BOD＝45°，
∴∠OBD＝45°，
∴BD＝OD，
∴DM＝OB＝，
∴OM＝OB＝，
代入y＝﹣x2+2x+n，
解得n＝0或n＝6，
∵D在对称轴右侧部分，
∴n＝6，
综上所述，n＝2或n＝6．
③存在，理由如下：
如图，过点C作线段CE⊥AC，设点E在抛物线的左侧，根据抛物线的对称性可知，点E在抛物线的右侧和左侧一致，设AE的中点为P，CE的中点为Q，AQ和CP的交点即为△AEC的重心G，
∵CE＝a，C（1，1），
∴E（1﹣a，1），
∵y＝﹣x2+2x+n，
∴A（1，n+1）．
∴P（，），即P（1﹣，1+），Q（1﹣，1）．
∴直线AQ的解析式为：y＝x+n+1﹣，
直线CP的解析式为：y＝﹣x+1+，
令x+n+1﹣＝﹣x+1+，
解得x＝1﹣，
∴G（1﹣，1+），
∵△ACE的重心恰好落在抛物线y＝﹣x2+2x+n上，
∴1+＝﹣（1﹣）2+2×（1﹣）+n，
整理得，a2＝6n．
∴a和n的关系式为：a2＝6n．