第5课时 线段、角的轴对称性(1)
预习目标
1．经历探索线段的轴对称性的过程，进一步体验轴对称的性质，发展空间观念．
2．探索并掌握线段的垂直平分线的性质．
教材导读
阅读教材P51～P52内容，回答下列问题：
1．线段的轴对称性
线段_______（填“是”或“不是”）轴对称图形，对称轴有_______条，分别是______________．
2．垂直平分线的性质
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离_______．
如图，直线MN上AB，垂足为点C，AC＝BC，点P在直线MN上，
连接PA、PB，根据垂直平分线的性质填空：
∵MN⊥AB，AC＝BC，∴_______（线段垂直平分线上的点到线段两
端的距离相等）．
例题精讲
例1 如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线交CB于点D，连接AD．若
△ADC的周长为10，AB＝7，则△ABC的周长为 ( )
A．7 B．14 C．17 D．20
提示：首先根据题意MN是线段AB的垂直平分线，可得AD＝BD，由△ADC
的周长为10，可得AC＋BC的值为10，结合AB＝7，可求出△ABC的周长．
解答：C．
点评：本题考查线段垂直平分线的性质，解题时要注意数形结合思想与整体思想在本题中的应用．
例2 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC的中点为O，
过点O作AC的垂线分别与AD、BC相交于点E、F，连接AF．求证：
AE＝AF．
提示：由AD∥BC，可以证明∠EAC＝∠ACF，∠AEO＝∠CFO．由
“AAS”可证明△AOE≌△COF，得AE＝CF．由EF是AC的垂直平分线，可以证明AF＝CF，即可得AE＝AF．
点评：本题考查两个三角形全等的判定及性质，线段垂直平分线的定义与性质，熟练掌握这些知识并能够灵活运用是解题的关键．
热身练习
1．如图，直线MN是线段AB的垂直平分线，垂足为D，点P是MN上一点．若AB＝10 cm，则BD＝_______cm；若PA＝10 cm，则PB＝_______cm．
2．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D．请你再添加一个条件，使得△ABC是等腰三角形．你添加的条件是_______．
3．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AC于E，交BC于D，△ABD的周长是12 cm，AC＝5 cm，则AB＋BD＋AD＝_______cm，AB＋BD＋DC＝_______cm，△ABC的周长是_______ cm．
4．如图，P是线段AB的垂直平分线上一点，M为线段AB上异于A、B的点，则PA、PB、PM的大小关系是PA_______PB_______PM(填“>”、“<”或“＝”)．
5．如图，在直线l上找一点P，使PA＝PB．
6．如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线交BC于点E，边AC的垂直平分线交BC于点D．若BC＝8，求△ADE的周长．
7．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝6 cm，△ABD的周长为20 cm，求△ABC的周长．
参考答案
1．5 10 2．答案不唯一，如BD＝CD 3．12 12 17 4．＝ > 5．图略
6．8 7．32 cm
第6课时 线段、角的轴对称性(2)
预习目标
1．探索并掌握线段的垂直平分线的判定．
2．理解线段的垂直平分线是具有特殊性质的点的集合，
教材导读
阅读教材P52～P53内容，回答下列问题：
1．线段垂直平分线的判定
到线段两端距离相等的点在线段的_______上．
如图①，已知△ABC，先用三角尺画出线段AB、AC的垂直平分线m、n，且直线m、n相交于点O，连接AO、BO、CO，再填空：
∵直线m垂直平分线段AB，
∴ OA＝OB( )．
∵直线n垂直平分线段AC，
∴_______＝_______( )．
∴OB＝OC(即点O到线段BC两端的距离相等)．
∴点O在线段_______的垂直平分线上( )
2．线段垂直平分线是特殊点的集合
线段的垂直平分线是到_______相等的点的集合．
3．用直尺和圆规作出线段的垂直平分线
如图②，已知线段AB．，按照下面的作法作出线段AB的垂直平分线．
(1)分别以点A、B为圆心，_______的长为半径画弧，两弧相交于点C、D．
(2)过C、D两点作_______．
所以_______就是线段AB的垂直平分线．
例题精讲
例1 如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，AC交BD于点O，
AC与BD有怎样的位置关系？OB与OD有怎样的数量关系？请说明理由．
提示：根据AB＝AD，CB＝CD可知点A、C都在BD的垂直平分线上，
即可知直线AC是BD的垂直平分线，再根据线段垂直平分线的性质可知
OB＝OD．
解答：AC是BD的垂直平分线．理由：
点评：本题着重考查线段垂直平分线的判定和性质，能够较好地培养同学们的逆向思维能力．
例2 如图，AB＝AC，DB＝DC，F在线段AD的延长线上，求证：BF＝CF．
提示：可以通过说明含有线段BF、CF的两个三角形全等或点F在线段
BC(连接BC)的垂直平分线上来证明．
点评：尝试用多种方法解题可以拓展思维，提高解题能力，
热身练习
1．已知线段AB及一点P，PA＝PB＝3 cm，则点P在_____________________上．
2．到三角形三个顶点距离相等的点是这个三角形 ( )
A．三条中线的交点 B．三边的垂直平分线的交点
C．三条高的交点 D．三条内角平分线的交点
3．如图，AC＝AD，BC＝BD，∠CAD＝80°，则∠ACD的度数为 ( )
A．40° B．50°
C．30° D．25°
4．如果三角形三条边的垂直平分线的交点在三角形的外部，那么这个三角形是 ( )
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．等边三角形
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，O是△ABC内一点，且OB＝OC．求证：AO⊥BC．
6．如图，在△ABC和△DCB中，AB＝DC，AC＝DB，AC与DB交于点M．求证：
(1)△ABC≌△DCB．
(2)点M在BC的垂直平分线上．
7．为了推进农村新型合作医疗制度改革，准备在某镇新建一个医疗点P，使P到该镇所属
A村、B村、C村的距离都相等(A、B、C不在同一直线上，地理位置如图所示)，请你用尺规作图的方法确定点P的位置（写出已知、求作，不写作法，保留作图痕迹）．
参考答案
1．线段AB的垂直平分线 2．B 3．B 4．C 6．略 7．已知A村、B村、C村．求作一个医疗点P，使P到该镇所属A村、B村、C村的距离都相等．图略
第7课时 线段、角的轴对称性(3)
预习目标
1．经历探索角的轴对称性的过程，进一步体验轴对称的性质，发展空间观念．
2．探索并掌握角平分线的性质与判定．
3．逐步培养有条理的思考与表达能力．
教材导读
阅读教材P54～P55内容，回答下列问题：
1．角的轴对称性．
角_______（填“是”或“不是”）轴对称图形，对称轴是_______
2．角平分线的性质和判定
(1)角平分线上的点到角两边的距离_______．
如图①，OE平分∠AOB，P是OE上的一点，PC⊥OB，PD⊥OA，垂足分别为点C、D，根据角平分线的性质填空：
∵OE平分∠AOB，PC⊥OB，PD⊥OA，
∴_______（角平分线上的点到角两边的距离相等）．
(2)角的内部到角两边距离相等的点在_______上．
如图②，点P为∠AOB的内部一点，PC⊥OB，PD⊥OA，垂足分别为C、D，PC＝PD．根据角平分线的判定填空：
∵PC⊥OB，PD⊥OA，垂足分别为C、D，PC＝PD，
∴点P在_______（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上）．
例题精讲
例1 如图，已知△ABC，求作一点P，使点P到∠A两边的
距离相等，且PA＝PB．下列关于点P的说法正确的是 ( )
A．P为∠A、∠B的平分线的交点
B．P为∠A的平分线与AB的垂直平分线的交点
C．P为AC、AB两边上的高的交点
D．P为AC、AB两边的垂直平分线的交点
提示：根据角平分线及线段垂直平分线的判定定理进行解答．因为点P到∠A两边的距离相等，所以点P在∠A的平分线上；又由PA＝PB，得到点P在线段AB的垂直平分线上．因此点P为∠A的平分线与AB的垂直平分线的交点．
解答：B．
点评：本题着重考查同学们对角平分线及线段垂直平分线的判定定理的掌握和应用．
例2 如图，在△ABC中，AB>AC，DF垂直平分BC，交△ABC的外
角平分线AD于点D，F为垂足，DE⊥AB于E，连接BD、CD．求证：
∠DBE＝∠DCA．
提示：过点D作DG⊥CA于点G．根据“线段垂直平分线上的点到线段
两端的距离相等”可得BD＝CD，根据“角平分线上的点到角两边的距离相
等”可得DE＝DG，然后利用“HL”证明Rt△DBE≌ Rt△DCG，根据全等三
角形的对应角相等证明即可．
点评：本题考查线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，以及全等三角形的判定与性质，作辅助线构造出全等的三角形是解题的关键．
热身练习
1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，CD＝2，则点D到AB的距离是 ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
2．如图，AC⊥BC，DE⊥AB，AD平分∠BAC，下列结论错误的是 ( )
A．BD＋ED＝BC B．DE平分∠ADB
C．AD平分∠EDC D．ED＋AC>AD
3．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝4，连接BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C．若P是BC边上一动点，则DP的最小值为_______．
4．如图，AD∥BC，∠ABC的平分线BP与∠BAD的平分线AP相交于点P，PE⊥AB于点E．若PE＝2，则两平行线AD与BC间的距离为_______．
5．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，且BD＝DC，则EB＝FC成立吗？请证明你的结论．
6．如图，AD是∠BAC的平分线，DB⊥AB，DC⊥AC，B、C是垂足，那∠BE与CE有怎样的数量关系？请证明你的结论．
参考答案
1．B 2．B 3．4 4．4 5．EB＝FC 6．BE＝CE
第8课时 线段、角的轴对称性(4)
预习目标
1．进一步掌握线段垂直平分线和角平分线的性质与判定，学会有条理的思考与表达．
2．能够灵活运用线段垂直平分线和角平分线的判定定理，知道三角形内角的平分线交于一点．
教材导读
阅读教材P55～P56内容，回答下列问题：
1．三角形的三条内角平分线交于一点
如图①，已知△ABC，先作出∠B、∠C的平分线，相交于点O，过
点O作OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，垂足分别为点D、E、F，再填空：
∵BO平分∠ABC，OD⊥AB，OE⊥BC，
∴OD＝OE( )．
∵CO平分∠ACB，OE⊥BC，OF⊥AC，
∴_______＝_______．
∴_______＝_______＝_______．
∵OD＝OF，OD⊥AB，OF⊥AC(即点O到∠BAC的两边AB、AC的距离相等)，
∴点O在_______的平分线上( )．
2．线段垂直平分线的性质和判定的综合应用
(1)如图②，AC＝AD，BC＝BD，请完成EC＝ED的说理过程．
∵AC＝AD．
∴点A在线段CD的_______（到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上）．
∵BC＝BD．
∴点B在线段CD的_______（到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上）．
∴AB___________CD．
∵点E在直线AB上，
∴EC＝_______（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）．
(2)如图③，点P为△ABC的边AB与AC的垂直平分线的交点，∴PA_______PB，PA_______PC．∴PB_______PC，∴点_P在边BC的_______．
例题精讲
例1 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F．求证：
(1)AD＝FC．
(2)AB＝BC＋AD．
提示：(1)根据AD∥BC，可知∠D＝∠ECF，再根据E是CD的中
点，∠AED＝∠FEC，可以判断出△ADF≌△FCE，根据全等三角形的
性质即可解答．(2)根据线段垂直平分线的性质判断出AB＝BF．
点评：本题将线段垂直平分线的性质和全等三角形的判定与性质结合起来考查，需要同学们有条理地分析问题并正确地将证明过程表达出来．
例2 如图，C为线段AB上任意一点（不与A、B重合），分别以
AC、BC为一边在AB的同侧作等腰三角形ACD和等腰三角形BCE，
CA＝CD，CB＝CE，∠ACD与∠BCE都是锐角，且∠ACD＝∠BCE，
连接AE交CD于点M，连接BD交CE于点N，AE与BD交于点P，
连接PC．求证：
(1)△ACE≌△DCB．
(2)∠APC＝∠BPC．
提示：(1)根据“SAS”易证出两个三角形全等．(2)可构建点C到∠APB两边的距离，从而转化为证明△ACE与△DCB的边AE、BD上的高相等，从而运用其面积相等建立等式解决问题．
点评：解决此类问题的关键是结合题目的已知条件和图中的隐含条件，利用判定定理证明图中的三角形全等，从而证得线段或角相等，证明三角形全等，有时可以直接证明，有时需要间接证明，如果所给的图中没有全等三角形，那么应想到作辅助线，构造全等三角形，本题中的(2)较为灵活地运用全等三角形的面积关系，证明了点C到∠APB两边的距离相等，进而运用角平分线的判定定理使问题得证．
热身练习
1．如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A、B．下列结论中，不一定成立的是 ( )
A．PA＝PB B．PO平分∠APB C．OA＝OB D． AB垂直平分OP
2．到三角形三边距离相等的点是这个三角形 ( )
A．三条高的交点 B．三条中线的交点
C．三边垂直平分线的交点 D．三条内角平分线的交点
3．如图，点P在∠AOB的平分线上，PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F．若PE＝3，则PF＝_______．
4．如图，直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则供选择的地点有_______处．
5．“西气东输”是造福子孙后代的创世工程，现有两条高速公路l1、l2和两个小镇A、B（如图），准备建一个燃气控制中心站P，使中心站到两条公路的距离相等且最短，并且到两个小镇的距离相等且最短，请你作出中心站的位置（保留作图痕迹，不写作法）．
参考答案
1．D 2．D 3．3 4．4 5．略
