第10课时 等腰三角形的轴对称性(2)
预习目标
1．知道判定一个三角形是等腰三角形的条件．
2．掌握等边三角形的轴对称性及性质．
3．知道判定一个三角形是等边三角形的条件．
教材导读
阅读教材P62～P63内容，回答下列问题：
1．判定等腰三角形的条件
如图①，在△ABC中，∠B＝∠C．
方法1：作∠BAC的平分线AD，交BC于点D．由∠B＝∠C，∠BAD＝
∠CAD，AD＝AD，可得△BAD≌△CAD，则AB＝AC．
方法2：作BC边上的高AD．由∠B＝∠C，∠BDA＝∠CDA＝90°，
AD＝AD，可得△BAD≌△CAD，则AB＝AC．
因此，有两个角_______的三角形是等腰三角形（简称“等角对等边”）．
2．等边三角形的概念与性质
(1)三边_______的三角形叫做等边三角形或正三角形．
(2)等边三角形的轴对称性
等边三角形_______（填“是”或“不是”）轴对称图形，对称轴有_______条，分别是_______．
(3)等边三角形的各角都等于_______．
如图②，△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，AB＝BC．．∴∠B＝∠_______，
∠A＝∠_______．∴∠A＝∠B＝∠C．又∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴3∠A＝
_______°，即∠A＝60°．∴∠B＝∠C＝60°．
因此，等边三角形的每个内角都等于_______°
3．判定等边三角形的条件
(1)如图②，在△ABC中，若∠A＝∠B，∠B＝∠C，则BC＝_______，AB＝_______．．所以BC＝AC＝AB，从而△ABC是等边三角形．
由此可得，三个角_______的三角形是等边三角形．
(2)如图②，在△ABC中，若∠A＝60°，AB＝AC，则根据三角形内角和为180°，得∠B＝∠C＝_______°，所以∠A＝∠B＝∠C＝60°．所以△ABC是等边三角形．
由此可得，有一个角是_______°的等腰三角形是等边三角形，
例题精讲
例1 如图，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点F，过点F作DE∥BC，
交AB于点D，交AC于点E．求证：BD＋EC＝DE．
提示：先设法找出图中相等的角，再利用“等角对等边”，即可找出相等的
线段进行代换．
解答：∵DE∥BC，
∴∠3＝∠2．
又∵BF平分∠ABC，
∴∠1＝∠2．
∴∠1＝∠3．
∴DB＝DF．
同理，EF＝EC．
∴BD＋EC＝DF＋EF，
即BD＋EC＝DE．
点评：当题目中出现平行线和角平分线时，通常先用内错角进行角的转化，再运用“等角对等边”得到等腰三角形．同学们不妨在平时的解题中留心验证．
例2 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AC的垂直平分线交
AB于点E，D为垂足，连接EC．
(1)求∠ECD的度数．
(2)若EC＝5，求BC的长．
提示：(1)根据ED所在的直线是线段AC的垂直平分线，可得AE＝EC，
因此∠A＝∠ACE． (2)由已知条件可以求出∠B＝72°，∠BEC＝72°，即
∠B＝∠BEC，从而运用“等角对等边”求得BC的长．
点评：本题综合考查了等腰三角形的性质和判定方法，以及线段垂直平分线的性质，是一道小型的综合题．
例3 如图，D是等边三角形ABC的边AB上的一动点，以CD为一边向
上作等边三角形EDC，连接AE．找出图中的一组全等三角形，并说明理由．
提示：利用等边三角形三边相等，三个角都是60°来找全等三角形．
点评：在利用等边三角形的性质解题时，不仅要考虑到三边相等，而且要注意到三个角都是60°．本题用到两个相等的60°角减去同一个角得到的两个角仍然相等，有时用两个相等的60°角加上同一个角得到的两个角仍然相等，同学们在平时解题中要多留心．
热身练习
1．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，∠ADC的平分线与∠BCD的平分线的交点E恰好在AB上．若AD＝7 cm，BC＝8 cm，则AB的长度是_______cm．
2．如图，△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝_______．
3．如图，在等边三角形ABC中，AB＝6，D是BC上一点，且BC－3BD，将△ABD绕点A旋转后得到△ACE，则CE的长度为_______．
4．如图，BC＝BD，∠C＝∠D，你能判断AC与AD的数量关系吗？请说明理由．
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点，∠B＝30°，∠DAB＝45°．
(1)求∠DAC的度数．
(2)求证：DC＝AB．
6．如图，△ABC是等边三角形，D是AB边上一点，以CD为边作等边三角形CDE，使点E、A在直线DC的同侧，连接AE．求证：AE∥BC．
参考答案
1．15 2．15° 3．2 4．AC＝AD 5．(1)75° (2)略 6．略
第11课时 等腰三角形的轴对称性(3)
预习目标
1．进一步掌握等腰三角形的性质与判定．
2．理解直角三角形斜边上中线的性质．
3．逐步培养有条理的思考与表达能力，
教材导读
阅读教材P64～P65内容，回答下列问题：
1．学会有条理的思考与表达
对于教材P64中的例2（如图①），我们可以这样思考：要证明AB＝AC，只需要证明∠B＝_________．由于AD平分∠EAC，可知∠EAD＝∠_______，因此，只要证明∠_______＝∠B，∠_______＝∠C．显然，可以由AD∥BC得到解决．
表达的过程与思考的过程正好相反，可以这样表达：∵AD∥BC，∴∠_______＝∠B，∠_______＝∠C．∵AD平分∠EAC，∴∠EAD＝∠_______．∴∠B＝_______．∴AB＝AC．
2．直角三角形斜边上中线的性质
参照教材P65中的图2－33设计的几个步骤折直角三角形纸片（如图②，图中虚线为折痕）．
(1)点D_______（填“是”或“不是”）斜边AB的中点，理由是______________．
(2)图中等腰三角形有_______；相等的线段有_______．
结论：直角三角形斜边上的中线等于_______．
用几何语言表示：如图②，在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，AD＝BD，∴CD＝AB．
(3)如果在图②中，∠B＝30°，那么△ADC为_______三角形，则AC＝_______＝_______＝_______AB．
例题精讲
例1 如图，在△ABC中，CF⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为F、E，M、N分别是BC、EF的中点，求证：MN⊥EF．
提示：由题目中垂直和中点的条件，结合所学知识联想辅助线的作法．
解答：如图，连接MF、ME．
∵M是BC的中点，CF⊥AB，
点评：根据已知条件得M是两个直角三角形斜边上的中点，添加辅助线，构造能运用直角三角形斜边上中线的性质的基本图形．
例2 如图，等边三角形ABC的两条中线BD、CE相交于点O．
(1)求∠BOE的度数．
(2)求证：△AED是等边三角形，△BED是等腰三角形．
提示：题目中有中点这个条件，联想到与中点有关的两个性质：
等腰三角形“三线合一”和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
点评：等腰三角形不一定是等边三角形，但等边三角形一定是等腰三角形．因此，题目中出现“三线”中的“一线”，就要联想到“三线合一”这一性质，要学好几何，不仅要熟记性质，还要对性质的条件非常敏感．
热身练习
1．如图，BE、CF分别是△ABC的高，M为BC的中点，EF＝5，BC＝8，则△EFM的周长是 ( )
A．21 B．18 C．13 D．15
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，E是AC的中点．若DE＝5，则AB的长为_______．
3．如图，△ABC和△ABD均为直角三角形，∠ACB＝∠ADB＝90°，E为AB的中点，CE＝10．求DE的长．
4．如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，F为BC边上的中点，点E在AB边上，若EF＝DF，试判断CE与AB的位置关系，并说明理由．
参考答案
1．C 2．10 3．10 4．CE⊥AB
第9课时 等腰三角形的轴对称性(1)
预习目标
1．知道等腰三角形的轴对称性及相关性质．
2．能解决与等腰三角形的轴对称性有关的问题．
教材导读
阅读教材P60～P61内容，回答下列问题：
1．等腰三角形的轴对称性
等腰三角形_______（填“是”或“不是”）轴对称图形，对称轴是
2．等腰三角形的性质
(1)等腰三角形的两底角_______（简称“等边对等角”）．
用几何语言表述：如图①，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．
(2)等腰三角形_______、_______及_______重合（简称“三线合一”）．
用几何语言表述：如图②，
①∵AB＝AC，∠BAD＝∠CAD，∴_______⊥_______，_______＝_______．
②∵AB＝AC，BD＝CD，∴_______⊥_______，∠_______＝∠_______．
③∵AB＝AC，AD⊥BC，∴_______＝_______，∠_______＝∠_______．
例题精讲
例1 (1)等腰三角形一边长为5，另一边长为9，其周长为_______．
(2)等腰三角形一边长为6 cm，另一边长为3 cm，其周长为_______cm．
(3)等腰三角形有一个内角为30°，其底角的度数为_______．
(4)等腰三角形有一个内角为100°，其底角的度数为_______．
(5)等腰三角形两内角的度数比为1：4，其底角的度数为_______．
(6)等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为70°，其底角的度数为_______．
提示：解关于等腰三角形的计算题时，要学会分类讨论：一条边可能是腰，也可能是
底边；一个角可能是顶角，也可能是底角；腰上的高可能在三角形内，也可能在三角形外，
解答：(1)19或23． (2)15． (3)30°或75°． (4) 40°． (5) 30°或80°． (6) 10°或80°．
点评：若等腰三角形有一个角是钝角，则这个角必定是顶角，在考虑多解时，有关边的计算还要验证是否符合“三角形两边之和大于第三边”．题目中出现比例时，通常用设未知数的方法解答，如第(5)题，设三个内角的度数分别为x°、x°、4x°或x°、4x°、4x°．当等腰三角形的顶角为锐角时，腰上的高在三角形内；当等腰三角形的顶角为钝角时，腰上的高在三角形外．
例2 如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，∠BAD＝20°，
那么∠C＝_______．
提示：本题可以先利用等腰三角形“三线合一”的性质，得到AD⊥BC和
∠BAD＝∠CAD，然后在Rt△ADC中求出∠C的度数；也可以在得到AD⊥BC
后，在Rt△ADB中求出∠B的度数，再由“等边对等角”，得到∠C＝∠B，从
而求得∠C的度数．
解答：70°．
点评：本题考查等腰三角形的性质，运用“三线合一”是快速解答本题的关键．在学习了“三线合一”后，要直接运用该性质解题，避免出现先利用三角形全等证出“三线合一”，再用它来解题的情况．
热身练习
1．等腰直角三角形的一个底角的度数为 ( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
2．若等腰三角形的一个外角的度数为70°，则其底角的度数为_______；若等腰三角形的一个外角的度数为110°，则其底角的度数为_______．
3．在等腰三角形ABC中，∠A＝80°，若∠A是顶角，则∠B＝_______；若∠B是顶角，则∠B＝_______；若∠C是顶角，则∠B＝_______．
4．如图，∠O＝35°，CD为OA的垂直平分线，则∠ACB＝_______．
5．在△ABC中，AB＝AC，CD平分∠ACB交AB于点D，∠A＝36°，则∠BDC＝_______．
6．如图，CD与BE互相垂直平分，AD⊥DB，∠BDE＝70°，则∠CAD＝_______．
7．在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到的锐角为50°，求∠B的度数．
参考答案
1．B 2．35° 55°或70° 3．50° 20° 80° 4．70° 5．72°6．70°7．70°或20°
