湘教新版九年级下册《第2章 圆》2023年单元测试卷（含解析）

湘教新版九年级下册《第2章圆》 2023年单元测试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列说法中，不正确的是( )
A. 圆既是轴对称图形又是中心对称图形 B. 圆的每一条直径都是它的对称轴
C. 圆有无数条对称轴 D. 圆的对称中心是它的圆心
2. 如图，已知为的直径，，是圆上同侧的两点，，则( )
A.
B.
C.
D.
3. 如图，已知的半径为，弦，所对的圆心角分别是，，下列说法正确的是( )
若，则；若，则，所对的弧相等；若，则点到，的距离相等；若，且，则．
A. B. C. D.
4. 往直径为的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽，则水的最大深度为( )
A.
B.
C.
D.
5. 如图，内接于，若，，则的半径为( )
A.
B.
C.
D.
6. 若直线和在同一平面内，且的半径为，圆心到直线的距离为，则直线与的位置关系为( )
A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 以上都不对
7. 如图，点为外一点，为的切线，为切点，交于点，，，则线段的长为( )
A. B. C. D.
8. 九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有下列问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“今有直角三角形，勾短直角边长为步，股长直角边长为步，问该直角三角形能容纳的圆内切圆的直径是多少？”你的答案是( )
A. 步 B. 步 C. 步 D. 步
9. 如果一个扇形的弧长等于它的半径的倍，那么此扇形称为“优雅扇形”，则半径为的“优雅扇形”的面积为( )
A. B. C. D.
10. 如图，为的内接正六边形，，则图中阴影部分的面积是( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
11. 如图，的弦、半径的延长线交于点，，若，则 ______ ．
12. 如图，是的直径，为圆上一点，，，为垂足，且，则 ______ ， ______ ．
13. 如图，在直角坐标系中，一条圆弧经过正方形网格的格点，，若点的坐标为，点的坐标为，则圆心点的坐标为______ ．
14. 已知的半径是一元二次方程的一个根，圆心到直线的距离则直线与的位置关系是______．
15. 如图，四边形是的外切四边形，且，，则四边形的周长为______．
16. 已知弧的长是，弧的半径为，则该弧所对的圆心角度数为______．
17. 如图，半圆的直径，点，是这个半圆的三等分点，则弦，和弧围成的图形图中阴影部分的面积是______ ．
18. 如图，中，，，，是内部的一个动点，且满足，则线段长的最小值是______．
三、解答题（本大题共8小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. 本小题分
如图，已知的两条弦、，且求证：．
20. 本小题分
如图，已知是的直径，点在的延长线上，切于点，过点作，交的延长线于点，连接并延长，交于点．
求证：；
若，，求的半径．
21. 本小题分
如图，已知内接于，是上一点，连接、、、交于点．
请找出图中的相似三角形，并加以证明；
若，，求的面积．
22. 本小题分
如图，在中，，以为直径作半圆，分别交，于点、．
求证：；
若，，求的长．
23. 本小题分
如图，在中，，，，是的角平分线，过、、三点的圆与斜边交于点，连接．
求证：；
求的长．
24. 本小题分
如图所示，在中，，内切圆与三边分别切于点，，．
试说明四边形为正方形；
若，，求和的半径；
若，，，试用关于，，的代数式表示内切圆的半径．
25. 本小题分
如图，内接于，直径交于点，延长至点，使，连接并延长交过点的切线于点，且满足，连接，若，．
求证：；
求的半径；
求证：是的切线．
26. 本小题分
把两个等腰直角和按如图所示的位置摆放，将绕点按逆时针方向旋转，如图，连接，，设旋转角为．
当时，与的位置关系是______ ，与的位置关系是______ ．
如图，当点在线段上时，求的度数；
若的外心在边上，直接写出旋转角的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：圆既是轴对称图形又是中心对称图形，正确，不合题意；
B.圆的每一条直径所在直线都是它的对称轴，原说法错误，符合题意；
C.圆有无数条对称轴，正确，不合题意；
D.圆的对称中心是它的圆心，正确，不合题意．
故选：．
直接利用中心对称图形以及轴对称图形的定义分析得出答案．
此题主要考查了中心对称图形以及轴对称图形的定义，正确掌握相关定义是解题关键．
2.【答案】
【解析】解：为的直径，，是圆上同侧的两点，
，，
，
故选：．
根据圆内接四边形的性质得出，根据直径所对的圆周角是得，进而利用互余得出的度数即可．
此题考查圆周角定理的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：直径所对的圆周角是．
3.【答案】
【解析】解：因为在同圆中，若圆心角相等，则圆心角对的弦也相等；
若弦相等，那么该弦上的弦心距也相等．
所以正确；
因为在同圆中，若弦相等，则弦所对的劣弧和优弧也分别相等；
中没有明确对应，所以不正确；
过作，，垂足分别是点、．
，，
，．
又，
．
，
．
，
．
，
．
在与中，
≌．
．
故正确．
故选：．
利用圆心角、弦、弧、弦心距间关系，可说明过作，，垂足分别是点、，求出的长，证明≌，从而求出的长而判断．
本题考查了圆心角、弧、弦、圆心距间关系及勾股定理和三角形全等的判定．掌握圆的相关定理是解决本题的关键．
4.【答案】
【解析】解：连接，过点作于点，交于点，如图所示：
则，
的直径为，
，
在中，，
，
即水的最大深度为，
故选：．
连接，过点作于点，交于点，先由垂径定理求出的长，再根据勾股定理求出的长，进而得出的长即可．
本题考查了垂径定理、勾股定理等知识；根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
5.【答案】
【解析】
【分析】
连接，作于，根据同弧所对圆心角是圆周角的两倍，可得，根据等腰三角形的性质，可得，，根据锐角三角函数可得圆的半径．
本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质以及三角函数的定义，正确作出辅助线是关键．
【解答】
解：如图：连接，作于
，
，
又，，
，
故选：．
6.【答案】
【解析】解：圆心到直线的距离，
直线和圆相交．
故选：．
根据圆心到直线的距离小于圆的半径，则直线和圆相交．
能够熟练根据数量之间的关系判断直线和圆的位置关系．若，则直线与圆相交；若，则直线于圆相切；若，则直线与圆相离．
7.【答案】
【解析】解：连接，
为的切线，
，
，，
，则，
所以，．
故选：．
直接利用切线的性质得出，进而利用含角直角三角形的性质得出的长．
此题主要考查了切线的性质以及含角直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题关键．
8.【答案】
【解析】解：如图，在中，，，，分别与的三边分别相切于点、、，连接，，，，，，
，
，
，
，
即内切圆半径为步，
内切圆直径为步，
故选：．
根据勾股定理可求出斜边的长度，再三角形内心的性质以及三角形面积公式求出内切圆半径即可．
本题考查三角形的内切圆与内心，掌握勾股定理，三角形内心的性质以及三角形面积的计算方法是正确解答的前提．
9.【答案】
【解析】解：，
，
故选：．
根据扇形的面积公式，其中，求解即可．
本题是一个新定义的题目，考查了扇形面积的计算，注：扇形面积等于扇形的弧长与半径乘积的一半．
10.【答案】
【解析】解：正六边形的边长为，
的半径为，
的面积为，
空白正六边形为六个边长为的正三角形，
每个三角形面积为，
正六边形面积为，
阴影面积为，
故选：．
利用圆的面积公式和三角形的面积公式求得圆的面积和正六边形的面积，阴影面积圆的面积正六边形的面积，即可得出结果．
本题主要考查了正多边形和圆的面积公式，注意到阴影面积圆的面积正六边形的面积是解答此题的关键．
11.【答案】
【解析】解：连接，
，，
，
，都是等腰三角形，
设的度数是，则，
则在中，利用三角形的内角得是，可得：
，
解得．
故答案为：．
连接，利用，结合等腰三角形的性质及内角和定理求解．
本题考查的是等腰三角形的性质和三角形的内角和定理，根据题意作出辅助线，构造出等腰三角形是解题的关键．
12.【答案】；
【解析】解：是的直径，
，
，
，
，
在中，，
，，
，．
故答案，，．
根据圆周角定理，由是的直径得到，则利用互余得到，根据垂径定理由得到，然后根据含度的三角形三边的关系可计算出、，从而可得到和的长．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆或直径所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理和含度的三角形三边的关系．
13.【答案】
【解析】解：如图，作和的垂直平分线，它们的交点为点，点的坐标为．
故答案为：．
由于弦的垂直平分线必过圆心，则利用网格特点，作和的垂直平分线，它们的交点为点，然后写出点的坐标．
本题考查了垂径定理的推论：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
14.【答案】相离
【解析】解：，
，，
的半径为一元二次方程的根，
，
，
直线与的位置关系是相离，
故答案为：相离．
先求方程的根，可得的值，由直线与圆的位置关系的判断方法可求解．
本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离与圆半径大小关系完成判定．
15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查的是切线长定理，掌握圆外切四边形的对边之和相等是解题的关键．
根据圆外切四边形的对边之和相等求出，根据四边形的周长公式计算即可．
【解答】
解：四边形是的外切四边形，
，
四边形的周长，
故答案为：．
16.【答案】
【解析】解：弧长的公式，
弧长的公式，
解得，，
故该弧所对的圆心角度数为，
故答案为：．
根据弧长的公式，代入计算即可．
本题考查了弧长的公式计算，熟练掌握弧长的计算公式是解题的关键．
17.【答案】
【解析】解：如图，连接，，，
点，点是半圆弧的三等分点，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
故答案为：．
根据半圆弧的三等分点，可得的度数，再根据平行线的性质得出，进而将问题转化为即可．
本题考查扇形面积的计算，掌握扇形面积的计算方法是正确解答的前提．
18.【答案】
【解析】解：
而，
，
，
点在以为直径的圆上，
取的中点，连接交于，如图，
，，
，，
，
线段长的最小值是．
故答案为
先证明，则可判断点在以为直径的圆上，取的中点，连接交于，如图，利用两点之间线段最短可判断此时的值最小，然后求出即可．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆或直径所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．
19.【答案】证明：，
，
，
，
．
【解析】根据弦和弧的关系，由可得，进而得到，即可证明．
本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，掌握圆心角，弧、弦之间的关系定理是解题的关键．
20.【答案】证明：连接，
于圆相切于，
半径，
，
，
，
，
，
，
；
解：，
，
，
，
，
的半径是．
【解析】由切线的性质得到径，又，得到，由，得到，因此，故BA；
，得到，因此，即可求出的半径是．
本题考查切线的性质，解直角三角形，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，关键是由，得到，从而求出的长．
21.【答案】解：结论：∽，分
证明：在和中，
，，
∽分
作的直径，连接，
，．
是等腰直角三角形．分
，
．
分
分
【解析】容易发现：与中，有两个角对应相等，根据相似三角形的判定可得到它们相似；
求的面积，关键是求的半径，为此作的直径，连接，得出是等腰直角三角形，由，求出的长，从而求出的面积．
本题重点考查了同弧所对的圆周角相等、直径所对的圆周角为直角及相似三角形的判定．
22.【答案】证明：连接，，
是圆的直径，
，即，
，
；
解：，
，
，
，
的长为：
【解析】连接，，根据直径所对的圆周角是直角可得，再利用等腰三角形的三线合一性质，即可解答；
根据圆周角定理求出，然后根据弧长公式计算即可．
本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质的应用，主要考查了学生的推理能力和计算能力，注意：在同圆或等圆中，圆周角的度数等于它所夹弧所对的圆心角度数的一半．
23.【答案】解：，且为圆的圆周角已知，
为圆的直径的圆周角所对的弦为圆的直径，
直径所对的圆周角为直角，
又是的的平分线已知，
角平分线定义，
在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弦相等，
在和中，
，
≌，
全等三角形的对应边相等；
为直角三角形，且，，
根据勾股定理得：，
由得到，则有，
设，则，，
在中，根据勾股定理得：，
即，
解得：，
，又，为直角三角形，
根据勾股定理得：．
【解析】由圆的圆周角，根据的圆周角所对的弦为圆的直径得到为圆的直径，再根据直径所对的圆周角为直角可得三角形为直角三角形，又是的角平分线，可得一对角相等，而这对角都为圆的圆周角，根据同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弦相等可得，利用可证明直角三角形与全等，根据全等三角形的对应边相等即可得证；
由三角形为直角三角形，根据及的长，利用勾股定理求出的长，由第一问的结论，用可求出的长，再由，得到与垂直，可得三角形为直角三角形，设，用表示出，利用勾股定理列出关于的方程，求出方程的解得到的值，即为的长，在直角三角形中，由及的长，利用勾股定理即可求出的长．
此题考查了圆周角定理，勾股定理，以及全等三角形的判定与性质，利用了转化的思想，本题的思路为：根据圆周角定理得出直角，利用勾股定理构造方程来求解，从而得到解决问题的目的．灵活运用圆周角定理及勾股定理是解本题的关键．
24.【答案】解：是的内切圆，
，，
，
在中，，
四边形为矩形，
，
矩形为正方形；
设的半径为，
四边形为正方形，
，
是的内切圆，
，，
，，，
在中，，
，
解得：，舍去，
，
，的半径为；
设的半径为，
四边形为正方形，
，
是的内切圆，
，，
，
，
．
【解析】由在中，，内切圆与三边分别切于点，，，可得，又由，即可证得四边形为正方形；
首先设的半径为，由四边形为正方形，可得，又由是的内切圆，即可得，，然后由勾股定理得：，解此方程即可求得答案；
由易得：，继而求得答案．
此题考查了三角形的内切圆的性质、切线长定理、正方形的判定与性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
25.【答案】解：是的切线，是的直径，
，
，
，
，，
，
，
；
，
，
设，，
，
，
，
，
，
负值舍去，
，
的半径为；
，
，
，
，
∽，
，
是的切线．
【解析】本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，平行线的性质，正确地识别图形是解题的关键．
根据切线的性质得到，根据平行线的性质得到，根据圆周角定理即可得到结论；
设，，得到，根据勾股定理即可得到结论；
由，得到，求得，推出∽，根据相似三角形的性质得到，于是得到是的切线．
26.【答案】垂直 平行
【解析】解：如图，设与交于点，
在等腰直角和中，
，，，，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：垂直，平行；
在等腰直角中，，，
在等腰直角中，，，
，
，
，
又，，
≌，
，
；
如图，
因为的外心在边上时，是以为斜边的直角三角形，
所以旋转角为或．
根据题意画出图形，利用三线合一性质可证明与垂直，再根据平行线的判定可证明与平行；
利用等腰三角形的性质证明≌，求出，所以；
根据题意画出图形，由题意知，当的外心在边上时，是以为斜边的直角三角形，所以旋转角为或．
本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质等，解题关键是熟练掌握旋转的性质，能够根据题意画出图形．
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