黑龙江省大庆市肇州县第二高级中学2022-2023学年高二下学期5月期中考试数学试题（含解析）

肇州县第二高级中学2022-2023学年高二下学期5月期中考试
数学 学科试卷
选择题：（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．
1．在的展开式中，的系数是( )
A．4 B．5 C．－5 D．－4
2．盒子里有形状大小完全相同的个红球和个白球，如果不放回的依次取两个球，则在第一次取到白球的条件下，第二次取到红球的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．5名运动员争夺3项比赛冠军（每项比赛无并列冠军），获得冠军的可能种数为（ ）
A． B． C． D．
4．某科研单位准备把7名大学生分配到编号为1，2，3的三个实验室实习，若要求每个实验室分配到的大学生人数不小于该实验室的编号，则不同的分配方案的种数为（ ）
A．280 B．455 C．355 D．350
5．已知，，则（ ）
A．0.12 B．0.18 C．0.21 D．0.42
6．有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%；加工出来的零件混放在一起，且第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%.现从加工出来的零件中任取一个零件，则取到的零件是次品的概率为（ ）
A．0.0415 B．0.0515 C．0.0425 D．0.0525
7．给如图所示的5块区域A，B，C，D，E涂色，要求同一区域用同一种颜色，有公共边的区域使用不同的颜色，现有红、黄、蓝、绿、橙5种颜色可供选择，则不同的涂色方法有（ ）
A．120种 B．720种 C．840种 D．960种
8．泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式，得名于英国数学家泰勒．根据泰勒公式，有，其中，，，．现用上述式子求的值，下列选项中与该值最接近的是（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分）
9．已知某一随机变量X的分布列如下，且E(X)＝6.3，则（ ）
X 4 a 9
P 0.5 0.1 b
A．a＝7 B．b＝0.4 C．E(aX)＝44.1 D．E(bX＋a)＝2.62
10．（多选）一射手对同一目标独立地进行4次射击，已知至少命中1次的概率为，则下列结论正确的是（ ）．
A．该射手第一次射击命中的概率为 B．该射手第二次射击命中的概率为
C．该射手4次射击中恰好命中1次的概率为 D．该射手4次射击中至多命中1次的概率为
11．某市组织2022年度高中校园足球比赛，共有10支球队报名参赛.比赛开始前将这10支球队分成两个小组，每小组5支球队，其中获得2021年度冠、亚军的两支球队分别在第一小组和第二小组，剩余8支球队抽签分组.已知这8支球队中包含甲、乙两队，记“甲队分在第一小组”为事件，“乙队分在第一小组”为事件，“甲、乙两队分在同一小组”为事件，则（ ）
A． B． C． D．事件与事件相互独立
12．乒乓球，被称为中国的“国球”.某次比赛采用五局三胜制，当参赛甲 乙两位中有一位赢得三局比赛时，就由该选手晋级而比赛结束.每局比赛皆须分出胜负，且每局比赛的胜负不受之前比赛结果影响.假设甲在任一局赢球的概率为，实际比赛局数的期望值记为，则下列说法中正确的是（ ）
A．三局就结束比赛的概率为 B．的常数项为3
C．函数在上单调递减 D．
填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．的展开式中的系数为____．（用数字填写答案）
14．浙大附中高二年级某班元旦活动有唱歌 跳舞 小品 相声 朗诵 游戏六个节目制成一个节目单，其中游戏不安排在第一个，唱歌和跳舞相邻，则不同的节目单顺序有___________种（结果用数字作答）
15．已知甲在上班途中要经过两个路口，在第一个路口遇到红灯的概率为，两个路口连续遇到红灯的概率为，则甲在第一个路口遇到红灯的条件下，第二个路口遇到红灯的概率为___________．
16．将16个数：4个1，4个2，4个3，4个4填入一个的数表中，要求每行、每列都恰好有两个偶数，共有______种填法．
四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的步骤或文字说明或证明过程）
17．若，其中.
(1)求实数的值；
(2)求.
18．将4个编号为1，2，3，4的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒子中.
(1)有多少种放法？
(2)每盒至多一球，有多少种放法？
(3)恰好有一个空盒，有多少种放法？
(4)把4个不同的小球换成4个相同的小球，恰有一个空盒，有多少种放法？
19．已知数列的前项和为，，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)求证：．
20．随着全民健身运动的广泛普及，全民体育锻炼热情迅速升温，国庆期间，一批羽毛球爱好者分成甲、乙两个队进行了一场羽毛球比赛，约定赛制如下：每局比赛胜者得1分，负者得0分，当比赛进行到有一方比对方多赢2分或者打满8局时该场比赛停止.设甲队在每局比赛中获胜的概率均为，且两个队在各局比赛中的胜负相互独立，已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为.
(1)求p的值；
(2)设X表示该场比赛停止时已比赛的局数，求X的分布列和数学期望.
21．某公司为了让职工业余时间加强体育锻炼，修建了一个运动俱乐部，公司随机抽查了200名职工在修建运动俱乐部前后每天运动的时间，得到以下频数分布表：
表一（运动俱乐部修建前）
时间（分钟）
人数 36 58 81 25
表二（运动俱乐部修建后）
时间（分钟）
人数 18 63 83 36
(1)分别求出修建运动俱乐部前和修建运动俱乐部后职工每天运动的平均时间（同一时间段的数据取该组区间的中点值作代表）﹔
(2)运动俱乐部内有一套与室温调节有关的设备，内有2个完全一样的用电器A，只有这2个用电器A都正常工作时，整套设备才正常工作，且2个用电器A是否正常工作互不影响.用电器A有M，N两种品牌，M品牌的销售单价为1000元，正常工作寿命为11个月或12个月（概率均为）；N品牌的销售单价为400元，正常工作寿命为5个月或6个月（概率均为）.现有两种购置方案：
方案1：购置2个M品牌用电器﹔
方案2：购置1个M品牌用电器和2个N品牌用电器（其中1个N品牌用电器不能正常工作时则使用另一个N品牌用电器）.
试求两种方案各自设备性价比（设备正常运行时间与购置用电器A的成本比）的分布列，并从性价比的数学期望角度考虑，选择哪种方案更实惠
22．已知函数．
(1)若在单调递增，求实数m取值范围；
(2)若有两个极值点，且，证明：
参考答案：
1．B
【分析】根据二项展开式的通项即可求解.
【详解】展开式的通项为，当r＝4时，系数为.
故选：B.
2．C
【分析】根据第一次取到白球的条件下，盒子里剩下的情况计算即可
【详解】在第一次取到白球的条件下，盒子中还有3个红球和个白球，故第二次取到红球的概率为
故选：C．
3．D
【分析】根据题意，利用分步计数原理，即可求解.
【详解】对于每项冠军，都有5种选择，根据分步计数原理，可得获得冠军的可能种数是种.
故选：D.
4．B
【解析】每个实验室人数分配有三种情况，即①1，2，4；②1，3，3；③2，2，3；针对三种情况进行计算组合即可
【详解】每个实验室人数分配有三种情况，即1，2，4；1，3，3；2，2，3.
当实验室的人数为1，2，4时，分配方案有种；
当实验室的人数为1，3，3时，分配方案有种；
当实验室的人数为2，2，3时，分配方案有种.
故不同的分配方案有455种.选B.
【点睛】本题考查排列组合的问题，解题注意先分类即可，属于基础题
5．A
【分析】由条件概率可得，，即可求出答案.
【详解】由
.
故选：A.
6．D
【分析】设B＝“任取一个零件为次品”，A＝“零件为第i台车床加工”(i＝1，2，3)，利用全概率的公式求解.
【详解】解：设B＝“任取一个零件为次品”，A＝“零件为第i台车床加工”(i＝1，2，3)，
则Ω＝A1∪A2∪A3，A1，A2，A3两两互斥．
根据题意得P(A1)＝0.25，P(A2)＝0.3，P(A3)＝0.45，P(B|A1)＝0.06，P(B|A2)＝P(B|A3)＝0.05.
由全概率公式，得P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)
＝0.25×0.06＋0.3×0.05＋0.45×0.05
＝0.0525.
故选：D
7．D
【分析】依次给区域涂色，求出每一步的种数，由乘法分步原理即得解.
【详解】解：A有5种颜色可选，B有4种颜色可选，D有3种颜色可选，C有4种颜色可选，E有4种颜色可选，故共有5×4×3×4×4＝960种不同的涂色方法．
故选：D．
8．D
【分析】利用已知公式，将公式两边求导，结合诱导公式和角度弧度转换即可得到答案.
【详解】由题意得
当时，
于是
故选：D.
9．ABC
【详解】由题意和分布列的性质得0.5＋0.1＋b＝1，
且E(X)＝4×0.5＋0.1a＋9b＝6.3，
解得b＝0.4，a＝7.
∴E(aX)＝aE(X)＝7×6.3＝44.1，
E(bX＋a)＝bE(X)＋a＝0.4×6.3＋7＝9.52，
故ABC正确．
10．BCD
【分析】把射手看作是4次独立实验，然后逐项分析即可.
【详解】设该射手命中的概率为，则至少命中1次的概率为，解得，
则该射手每一次射击命中的概率都为，故A错误，B正确；
该射手4次射击中恰好命中1次的概率为 ，故C正确；
该射手4次射击中至多命中1次的概率为，故D正确；
故选：BCD.
11．ABD
【分析】A选项可以直接得到答案；B选项利用组合知识分别求出分组的所有情况和事件包含的情况，从而求出相应的概率；C选项，分别求出，，验证是否等于；D选项利用若，则事件A与B相互独立来验证事件与事件是否相互独立.
【详解】对于A，因为甲队分在第一小组和第二小组的概率相等，且两种情况等可能，所以，故A正确；
对于B，8支球队抽签分组共有种不同方法，甲、乙两队分在同小组共有种不同方法，所以甲、乙两队分在同一小组的概率，故B正确；
对于C，因为，所以，故C错误；
对于D，因为，，所以，所以事件与事件相互独立，故D正确.
故选：ABD.
12．ABD
【分析】设实际比赛局数为，先计算出可能取值的概率，即可判断A选项；进而求出期望值，即可判断BCD选项.
【详解】设实际比赛局数为，则的可能取值为，
所以，
，
，
因此三局就结束比赛的概率为，则A正确；
故
，
由知常数项为3，故B正确；
由，故D正确；
由，
，所以，
令，则；令，则，
则函数在上单调递增，则C不正确.
故选：ABD.
13．14
【详解】的展开式中的系数为
.
故答案为： .
14．
【分析】根据唱歌和跳舞相邻和游戏不安排在第一个，先将唱歌和跳舞进行捆绑看作一个与除游戏外的三个进行全排，然后将游戏进行插空即可求解.
【详解】先将唱歌和跳舞进行捆绑看作一个与除游戏外的三个进行全排，则有种排法，然后
将游戏插入这4个排好的空中（不排第一个），有种，
由于唱歌和跳舞的位置可以互换，所以不同的节目单顺序有种，
故答案为：.
15．
【分析】根据条件概率公式计算即可.
【详解】设事件A：第一个路口遇到红灯，事件B：第二个路口遇到红灯，
则，，
，
故答案为：．
16．441000
【分析】先确定第一行两个偶数有种填法，再根据这两个偶数所在的列，还需再填一个偶数，分别设为a，b．分a，b位于同一行和a，b位于不同的两行，得到偶数的位置情况数，再利用分步计数原理求解.
【详解】第一行两个偶数有种填法，
每列还需再填一个偶数，分别设为a，b．
若a，b位于同一行，它们的位置有3种选择，此时剩下的四个偶数所填的位置唯一确定；
若a，b位于不同的两行，它们的位置有6种选择，此时剩下的四个偶数所填的位置有2种选择．
所以偶数的位置的情况种数为．
因此总的填法种数为．
故答案为：441000
17．(1)
(2)
【分析】（1）写出展开式的通项，得到的表达式即可求出实数的值；
（2）将代入展开式，求出到项的和，即可求出.
【详解】（1）由题意，
在中，，
∵展开式的通项为，
∴，
解得：.
（2）由题意及（1）得，
在中，
令，得，
18．(1)256(种)
(2)24(种)
(3)144(种)
(4)12(种)
【分析】（1）由分步乘法计数原理求解即可；
（2）根据排列的定义求解即可；
（3）（方法1）先将4个小球分为三组，再将三组小球投入四个盒子中的三个盒子，结合排列组合知识求解；（方法2）利用捆绑法结合排列组合知识求解；
（4）（方法1）先从四个盒子中选出三个盒子，再从三个盒子中选出一个盒子放入两个球，余下两个盒子各放一个结合组合知识求解；（方法2）根据隔板法求解.
【详解】（1）每个小球都可能放入4个盒子中的任何一个，将小球一个一个放入盒子，共有种放法.
（2）这是全排列问题，共有(种)放法.
（3）（方法1）先将4个小球分为三组，有种方法，再将三组小球投入四个盒子中的三个
盒子，有种投放方法，故共有(种)放法.
（方法2）先取4个球中的两个“捆”在一起，有种选法，
把它与其他两个球共3个元素分别放入4个盒子中的3个盒子，有种投放方法，
所以共有(种)放法.
（4）（方法1）先从四个盒子中选出三个盒子，再从三个盒子中选出一个盒子放入两个球，
余下两个盒子各放一个.由于球是相同的即没有顺序，所以属于组合问题，
故共有(种)放法.
（方法2）恰有一个空盒子，第一步先选出一个盒子，有种选法，
第二步在小球之间的3个空隙中任选2个空隙各插一块隔板，有种方法，
由分步计数原理得，共有(种)放法.
19．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据公式得到是常数列，确定，计算得到通项公式.
（2）放缩，根据裂项相消法计算得到证明.
【详解】（1），则，
整理得到，故，
故是常数列，故，即，
当时，，
验证时满足，故
（2），
故
.
20．(1)
(2)分布列见解析，
【分析】（1）由第二局比赛结束时比赛停止的概率为可得，即可解得；
（2）由题意可知X的所有可能取值为，分别算出其对应概率可得其分布列，计算出期望值为.
【详解】（1）根据题意可知，第二局比赛结束时比赛停止包括甲队连胜两局和乙队连胜两局两种情况；
则其概率为，解得或（舍）；
所以的值为；
（2）由题可得，X的所有可能取值为
由（1）知，
若前两局比赛中甲乙两队各胜一局，第三、四局比赛有一队连胜两局，比赛会进行4局结束，
所以；
若第一、二局和三、四局比赛中，两队都各胜一局，第五、六局比赛有一队连胜两局，比赛会进行6局结束，
所以；
根据赛制，若前六局没有分出胜负则比赛需进行8局才能结束，
所以；
因此X的分布列如下：
2 4 6 8
数学期望，
即数学期望为.
21．(1)分钟，分钟.
(2)选择方案2更实惠.
【分析】（1）根据平均数的概念直接求解；
（2）根据分布列以及数学期望的求解方法即可比较两个方案的性价比，从而得出结论.
【详解】（1）修建运动俱乐部前职工每天运动的平均时间为
,
修建运动俱乐部后职工每天运动的平均时间为
.
（2）若采用方案1，设设备正常工作时间为（单位：月），则可能的取值为11,12，
则,,
所以随机变量的分布列如下，
11 12
所以,
所以方案1的性价比为，
若采用方案2，设设备正常工作时间为（单位：月），则可能的取值为10,11,12，
则,,
所以,
所以随机变量的分布列如下，
10 11 12
所以,
所以方案2的性价比为，
所以方案2的性价比更高，选择方案2更实惠.
22．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由题意，转化为在恒成立，然后转化为最值问题，求导即可得到结果；
（2）根据题意，将零点问题转化为方程根的问题，再讲不等式转化为函数的单调性，即可得到证明.
【详解】（1）由题意，，
因为在单调递增，所以在恒成立.
即在恒成立，
令，
则，在上恒小于等于0，
故在单调递减，.
故.
（2）有两个零点，即有两个根.
由（1）知，在上单调递增，在上单调递减，且.
所以，且.
要证，只需证，又在单调递减，只需证.
又，只需证.
只需证；只需证，
记，则，
故在上单调递减，
从而当时，，
所以，因此.
【点睛】解答本题的关键在于构造函数，构造函数再由导数求解函数最值，构造函数，再由函数研究其单调性，即可得到结果.