江西省抚州市资溪县第一中学2022-2023学年高二下学期5月期中考试数学试题（含解析）

资溪县第一中学2022-2023学年高二下学期5月期中考试
数学
本卷共4大题，150分
一、单选题（每题5分，共40分）
1．已知函数的导函数为，若，则（ ）
A． B．1 C． D．2
2．已知等差数列中，，，则为（ ）
A．20 B．30 C．45 D．50
3．设是等比数列，则“”是“为递增数列”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知数列满足，数列满足，其中，则数列的前项和为（ ）
A． ﹣2025 B．﹣2023 C．﹣2 D．0
5．九连环是我国古代至今广为流传的一种益智游戏，最早记载九连环的典籍是《战国策·齐策》，《红楼梦》第7回中有林黛玉解九连环的记载，我国古人已经研究出取下n个圆环所需的最少步骤数，且，，，，，，…，则取下全部9个圆环步骤数最少为（ ）
A．127 B．256 C．341 D．512
6．已知是定义在R上的奇函数，的导函数为 ，若 恒成立，则的解集为（ ）
A． B． C． D．
7．已知，则（ ）
A． B．
C． D．
8．已知定义在上的函数，，其导函数分别为，，且，，且为奇函数，则下列等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题（每题5分，共20分）
9．已知实数满足，则（ ）
A． B．
C． D．
10．已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．若为单调递减函数，则
B．当或时，有且仅有一个极值点
C．当时，图象与x轴相切
D．当或时，有且仅有一个零点
11．已知数列满足，为的前n项和，则（ ）
A．若，则
B．若，则
C．存在实数a，使为无穷多项的常数列
D．存在实数，使成等差数列
12．已知奇函数在上可导，其导函数为，且恒成立，若在单调递增，则下列说法正确的是（ ）
A．在单调递减 B．
C． D．
三、填空题（共20分）
13．已知数列满足，若，则_________．
14．已知等差数列的前n项和为，，，则公差为______.
15．已知函数及其导函数的定义域均为，若是偶函数，恰有四个零点，则这四个零点的和为________．
16．若不等式 对恒成立，则a的取值范围是______.
四、解答题（共70分）
17．已知数列的前n项和为，且
(1)求证：数列是等差数列；
(2)设 求数列的前n项和.
18．某市为了更好的了解全体中小学生感染新冠感冒后的情况，以便及时补充医疗资源.从全市中小学生中随机抽取了100名抗原检测为阳性的中小学生监测其健康状况，100名中小学生感染奥密克戎后的疼痛指数为，并以此为样本得到了如下图所示的表格：
疼痛指数
人数（人） 10 81 9
名称 无症状感染者 轻症感染者 重症感染者
其中轻症感染者和重症感染者统称为有症状感染者.
(1)统计学中常用表示在事件A发生的条件下事件发生的似然比.现从样本中随机抽取1名学生，记事件：该名学生为有症状感染者，事件：该名学生为重症感染者，求似然比的值；
(2)若该市所有抗原检测为阳性的中小学生的疼痛指数近似的服从正态分布，且.若从该市众多抗原检测为阳性的中小学生中随机抽取3名，设这3名学生中轻症感染者人数为，求的分布列及数学期望.
19．如图，在四棱柱中，底面是矩形，平面平面，点是的中点，.
(1)求证：平面平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
20．设抛物线的焦点为F，点是抛物线C上一点，且．
(1)求抛物线C的方程；
(2)设直线与抛物线C交于A，B两点，若，求证：线段AB的垂直平分线过定点．
21．如果数列对任意的，，则称为“速增数列”.
(1)判断数列是否为“速增数列”？说明理由；
(2)若数列为“速增数列”.且任意项，，求正整数k的最大值；
(3)已知项数为（）的数列是“速增数列”，且的所有项的和等于k，若，，证明：.
22．已知函数．
(1)当时，求的单调性；
(2)对恒成立，求实数的取值范围．
1．A
由函数，可得，
令，可得，解得.
故选：A.
2．A
由题意等差数列中，有，
故选：A
3．D
当时，由，得，则不为递增数列；
当为递增数列时，，若，则，
所以“”是“为递增数列”的既不充分也不必要条件.
故选：D
4．A
因为，所以，，
，，，
所以，
所以，，，，
，
所以数列的前项和为-2025.
故选：A.
5．C
由观察可得若时，当n为奇数时，，当n为偶数时，，
∴当n为奇数时，，∴，
又，∴，∴，
故选：C．
6．D
令函数，则 ，
因为 所以. 是增函数，
因为是奇函数，所以，，
所以的解集为，即≥的解集为；
故选：D.
7．A
因为，所以，
又，
令，，
则，所以在单调递减，
所以，所以，即；
又，
令，
则，所以在单调递减，
所以，所以，即，
综上，.
故选：A.
8．D
由得：，
，关于中心对称，则，
为奇函数，，左右求导得：，
，为偶函数，图象关于轴对称，
，
是周期为的周期函数，
，D正确；
，，又，
，A错误；
令，则，，
又，，，
即，B错误；
，，
设，则，，
又为奇函数，，，
即，C错误.
故选：D
9．BCD
设，则，于是在上递减，上递增，当取得最小值，作得图像如下：

由得，即，由图可知.
由得，结合指数函数的单调性
从而，所以，所以，
故，故B正确，故D正确；
而当时，根据图像可得，，于是A错误；
对于，由得，，所以，设，
则，于是在上递增，
取，则，即，
于是，故，所以C正确.
故选：BCD
10．ACD
函数的定义域为，求导得，
对于A，由为单调递减函数，得，令，
求导得，当时，递增，当时，递减，
则当时，，于是，解得，A正确；
对于B，由选项A知，当时，为单调递减函数，无极值点，B错误；
对于C，当时，，显然，，
且，因此函数的图象在点处的切线为，为x轴，C正确；
对于D，由，得，令，求导得，
当时，，函数在上单调递增，而当时，，
当时，，，因此函数仅只一个零点；
当时，，递增，函数值集合为，
，递减，函数值集合为，
则当时，，函数只有一个零点，当且仅当，解得，
所以当或时，有且仅有一个零点，D正确.
故选：ACD
11．BD
当时，，，，，…，∴是周期为3的周期数列，∴，故A错误．
由A可知，，∴，故B正确．
若为常数列，则必有，故，即，此方程无解，故C错误．
当时，由A可知，故D正确．
故选：BD．
12．BCD
对于A，若，符合题意，故A错误，
对于B，因已知奇函数在上可导，所以，
因为，所以，
所以，故B正确，
对于C和D，设，
则为上可导的奇函数，，
由题意，得，
所以关于直线对称，
所以
，
所以奇函数的一个周期为4，，
所以，即，故C正确，
由对称性可知，，即，所以，
等式两边对x求导得，，
令，得，所以．
由等式两边对x求导得，，
所以的一个周期为4，所以，
所以，故，故D正确．
故选：BCD
13．
因为，所以为等比数列，设公比为，又，，
所以，解得，所以.
故答案为：
14．
设数列的公差为d，则解得；
故答案为：-3.
15．4
将函数向左平移1个单位，所以，
因为是偶函数，由偶函数的导数为奇函数可知，是奇函数，
且奇函数与奇函数的乘积为偶函数，则为偶函数，
所以为偶函数，
又因为函数恰有四个零点，即函数恰有四个零点，
且这四个零点一定是两组关于轴对称，其四个零点之和为0，
而是由向左平移了1个单位，
所以的四个零点之和为4.
故答案为：4
16．
令 ，则
，
令，，则 ,
当时，；当时，，所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以,当x趋近于0时，趋近于，所以，
令，，，则，
当时，；当时，，所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以，
若恒成立，即恒成立，所以，所以；
故答案为：.
17．(1)证明见解析
(2)
（1）当时，则；
当时，则；
显然当时，也满足上式，
所以.
当n≥2时，则，
所以数列是首项为3，公差为2的等差数列.
（2）由（1）可知，，则，
可得
，
所以数列前n项和为.
18．(1)
(2)分布列见解析，
（1）由题意得：，
，
，
.
（2），
，则，
可能的取值为，
的分布列为：
0 1 2 3
数学期望.
19．(1)证明见解析
(2)
（1）因为，点是的中点，所以，
又平面平面，平面平面，
平面，
所以⊥平面ABCD，又平面，
所以平面平面；
（2）取的中点，连结，
因为四边形为矩形，且，
所以四边形为正方形，，
以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示，
则，
所以，
设平面的法向量，
则 有，即，
令，则，
所以平面的一个法向量，
设直线与平面所成角为，
则
直线与平面所成角正弦值为.
20．(1)
(2)证明见详解
（1）由抛物线的焦半径公式可得，解得
即抛物线的方程为
（2）设
由可得
因为直线与抛物线C有两个交点，
所以，，即
因为，所以，所以
所以，
所以线段的中点坐标为
所以线段的垂直平分线方程为，
即，
所以线段AB的垂直平分线过定点
21．(1)是，理由见解析
(2)
(3)证明见解析
（1）因为，则，，
又，故，数列是“速增数列”.
（2），
当时，，
即，，
当时，，当时，，
故正整数k的最大值为.
（3），故，即；
，故，
即，
同理可得：，，，
故，
故，，得证.
22．(1)在单调递减，在单调递增
(2)
（1），定义域为R，
令，解得，令，解得
∴在单调递减，在单调递增．
（2）∵，∴，
令，且，
，
①当时，对任意的，，
函数在区间上为增函数，此时，，符合题意；
②当时，设
，令，
得，∴
令，得，∴
∴即在上单调递减，在上单调递增，
（i）当时，即当时，则函数在区间上为增函数，
此时，则函数在区间上为增函数．
此时，，符合题意；
（ii）当时，即当时，则函数在区间上单调递减，
在区间上单调递增，所以，
又，所以时，
函数在区间上单调递减，
当时，，不符合题意．
综上所述，实数的取值范围是．