江西省抚州市资溪县第一中学2022-2023学年高一下学期5月期中考试数学试题（含解析）

资溪县第一中学2022-2023学年高一下学期5月期中考试
数学
本卷共4大题，150分
一、单选题（每题5分，共40分）
1．设集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．下列各角中，与角终边相同的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知是第一象限角，那么（ ）
A．是第一、二象限角 B．是第一、三象限角
C．是第三、四象限角 D．是第二、四象限角
4．在中，若，则是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．钝角三角形
5．已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数的最小正周期为，则（ ）
A． B．
C． D．
7．已知非零向量，满足，且向量在向量方向的投影向量是，则向量与的夹角是（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数是偶函数.若将曲线向左平移个单位长度后，再向上平移个单位长度得到曲线，若关于的方程在有两个不相等实根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（每题5分，共20分）
9．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若为斜三角形，则
C．若，则是锐角三角形
D．若，则一定是等边三角形
10．已知向量，，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．若在上的投影向量的模为，则向量与的夹角为
C．存在，使得
D．的最大值为
11．已知函数，下列结论中正确的是（ ）
A．若ω=3，则函数f(x)的最小正周期为
B．若，则函数为偶函数
C．若，函数在区间上单调递增，则ω的取值范围为
D．若存在，使得，则ω的值为2
12．若，则下列说法错误的是（ ）
A．的最小正周期是
B．的对称轴方程为（）
C．存在实数，使得对任意的，都存在、且，满足（）
D．若函数，（是实常数），有奇数个零点，，…，，（），则
三、填空题（共20分）
13．若，则__________.
14．在△ABC中，角A、B、C的对边分别记为a、b、c，若，则________．
15．函数恰有两个零点，则实数m的取值范围是______.
16．已知三角形ABC，点D为线段AC上一点，BD是的角平分线，为直线BD上一点，满足，，，则_____________.
四、解答题（共70分）
17．已知，
(1)求的值；
(2)求的值．
18．设，，向量，，，且，．
(1)求；
(2)求向量与夹角的大小．
19．在中，，，的对边分别为，，，已知.
(1)求证：；
(2)若，求边的最小值.
20．如图，A，B是某海城位于南北方向相距海里的两个观测点，现位于A点北偏东，B点南偏东的C处有一艘渔船遇险后抛锚发出求救信号，位于B点正西方向且与B点相距100海里的D处的救援船立即前往营救，其航行速度为80海里/时.
(1)求B，C两点间的距离；
(2)该救援船前往营救渔船时应该沿南偏东多少度的方向航行？救援船到达C处需要多长时间？（参考数据：，角度精确到0.01）
21．已知函数．
(1)求的最小正周期及单调递减区间；
(2)若，且，求的值．
22．已知．
(1)当时，求的值；
(2)若的最小值为，求实数的值；
(3)是否存在这样的实数，使不等式对所有都成立．若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．
1．C
，
则
故选：C
2．B
因为，所以角与角的终边相同；
因为不是的整数倍，所以它们的终边不同；
因为不是的整数倍，所以它们的终边不同；
因为不是的整数倍，所以它们的终边不同.
故选：B
3．B
因为是第一象限角，
所以，，
所以，，
当为偶数时，是第一象限角，
当为奇数时，是第三象限角，
综上所述，第一、三象限角.
故选：B.
4．C
由正弦定理得，即，
在中，，则，
所以或，
故，或，
故三角形为等腰或直角三角形，
故选：C.
5．B
.
故选：B.
6．D
因为的最小正周期为，所以，所以，
令得，即在上单调递增，
令得，即在上单调递减，
因为，
而，，，

所以由三角函数性质得
故选：D.
7．C
由题意，，则，即 ，
设与的夹角为 ，则在方向的投影，
，则；
故选：C.
8．C
因为函数是偶函数，
所以，即，
，解得，，
则
，
则，
向左平移个单位长度后，得到，
向上平移个单位长度，得到，
当时，，
结合正弦函数对称性易知，
在有两个不相等实根，则且，
此时，实数的取值范围是，
故选：C.
9．ABD
对于A，由正弦定理和比例性质得，故A正确；
对于B，由题意，，则，
所以，故B正确；
对于C，因为，所以，所以，
所以C为钝角，是钝角三角形，故C错误；
对于D，因为，所以，所以，且A，B，，所以，所以为等边三角形，故D正确．
故选:ABD．
10．AD
若 ，则 ，则 ，可知，再由，解得，故A正确；
若 在 上的投影向量的模为 ，且 ，则 或，故 B 不正确；
若 ，若 ，则 ，即 ，此时，
但，所以不成立，C错误；
，因为 ，则当 时， 的最大值为 ，故 D 正确，
故选: AD.
11．BD
对于A选项，若，则故A选项不正确；
对于B选项，若，则，可知函数f(x)为偶函数，故B选项正确；
对于C选项，若，若，则，
又函数在区间上单调递增，所以，解得：.故C错误.
对于D选项，因为，所以最小正周期所以
所以解得，故D选项正确.
故选：BD.
12．ACD
，.
，.
对于A，，
为的周期，A错误；
对于B，的对称轴方程为（）.
（）.即（）.B正确.
对于C，对，有，
∵在上单调递增，
，
（，2），等价于有两个解，
当时，，显然无解，
不妨设，画出在的的图象，如图所示：
.
或.无解.故C错误；
对于D，的根为与交点横坐标.
有奇数个交点，
，
且，，，，，
，，，，
D错误.
故选：ACD.
13．
.
故答案为：.
14．
，由正弦定理得，
因为，所以，故，
由于，故，
则.
故答案为：
15．
函数，的零点个数
就是函数的图象与直线的交点个数，
作出，的图象，如图
由图象可知或时，
函数的图象与直线有两个交点，
故当函数恰有两个零点时，实数m的取值范围是.
故答案为：
16．6
作于点，则，如下图示，
所以，又，
所以.
故答案为：6
17．(1)
(2)
（1）.
（2）.
18．(1)
(2)
（1）向量，，，且，，
可得且，解得，，
即，，则，
则；
（2）因为，，
所以，，
设向量与夹角为，
则，
故，即向量与夹角为．
19．(1)证明见解析
(2)
（1）依题意,否则，则，矛盾，
由得，即得
故，
整理得，从而又因为可得，
从而.
（2）由，由（1）可得
故为锐角，，
故，
从而当且仅当时取等号， 的最小值为.
20．(1)60海里
(2)方向是南偏东，需要的时间为小时.
（1）依题意得，，
所以，
在中，由正弦定理得,
,
故（海里），
所以求两点间的距离为60海里.
（2）依题意得，
在中，由余弦定理得，
所以（海里），
所以救搜船到达C处需要的时间为小时，
在中，由余弦定理得 ,
因为，
所以，
所以该救援船前往营救渔船时的方向是南偏东﹒
21．(1)最小正周期为；单调递减区间为
(2)
（1）解：由
，
所以函数的最小正周期为，
令，解得，
所以的单调递减区间为.
（2）解：由，可得，可得，
因为，可得，所以，解得.
22．(1)
(2)或
(3)存在，的取值范围为
（1），
当时，
（2）设，则，
，，其对称轴为，
的最小值为，
则；
的最小值为；
则
综上，或
（3）由，对所有都成立.
设，则，
恒成立，

在恒成立，
当时，递减，则在递增，
时取得最大值
得,
∴
所以存在符合条件的实数，且m的取值范围为