山东省临沂市蒙阴县2022-2023学年高一下学期期中考试数学试题（含解析）

临沂市蒙阴县2022-2023学年高一下学期期中考试
数学试题
2023.5
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共4页；满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的考场 座号 姓名 班级填（涂）写在答题卡上.
2.第I卷的答案须用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再改涂其它答案标号.
3.答第II卷（非选择题）考生须用0.5mm的黑色签字笔（中性笔）作答，答案必须写在答题卡的各题目指定的区域内相应位置，如需改动，须先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液 胶带纸 修正带.否则，该答题无效.
一 单项选择题：本题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设是虚数单位，若复数的实部与虚部互为相反数，则实数（ ）
A.3 B.-5 C.5 D.-3
2.下列说法中，正确的是（ ）
A.以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的几何体是圆锥
B.以正方体的顶点为顶点可以构成正四棱锥
C.用一个平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台
D.用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面
3.已知向量不共线，若，则四边形是（ ）
A.距形 B.平行四边形
C.梯形 D.菱形
4.圆台的体积为，上 下底面的半径分别为1和2，则圆台的高为（ ）
A.6 B.5 C.4 D.3
5.如图所示的中，点分别在边上，且，则向量（ ）
A. B.
C. D.
6.在正方体中，二面角的大小是（ ）
A. B. C. D.
7.若的内角的对边分别为，且的面积，则等于（ ）
A. B. C. D.1
8.一个侧棱长为的直棱柱的底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图为如图所示的菱形，其中，则该直棱柱的体积为（ ）
A. B. C. D.
二 多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.
9.已知复数，则下列结论中正确的是（ ）
A.对应的点位于第二象限 B.的虚部为-2
C. D.
10.下列说法中不正确的是（ ）
A.向量能作为平面内所有向量的一组基底
B.已知为单位向量，若，则在上的投影向量为
C.若，则与垂直的单位向量坐标为或
D.若，则与的夹角是钝角
11.如图所示，是的直径，垂直于所在的平面，点是圆周上不同于的任意一点，分别为的中点，则下列结论正确的是（ ）
A.
B.与所成的角为
C.平面
D.平面平面
12.如图，已知棱长为1的正方体中，下列命题正确的是（ ）
A.正方体外接球的直径为
B.点在线段上运动，则四面体的体积不变
C.与所有12条棱都相切的球的体积为
D.是正方体的内切球的球面上任意一点，则长的最小值是
第II卷（非选择题共90分）
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13.已知向量，则__________.
14.若是虚数单位，复数满足，则__________.
15.直三棱柱的各个顶点都在球的球面上，且.若球的表面积为，则这个三棱柱的体积是__________.
16.在矩形中，平面，则与平面所成的角是__________.四棱锥P-ABCD的外接球的表面积为__________.
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明 证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分10分）已知复平面内复数，所对应的点分别为，
（1）求的值；
（2）求.
18.（本小题满分12分）的内角的对边分别为.已知.
（1）求角；
（2）若，求的周长.
19.（本小题满分12分）已知向量.
（1）求；
（2）已知，且，求向量与向量的夹角.
20.（本小题满分12分）如图所示，四边形是正方形，平面，.
（1）求证：平面；
（2）求与平面所成角的大小.
21.如图，在三棱锥中，平面，平面平面.求证：.
22.如图，已知点是正方形所在平面外一点，分别是的中点.
（1）求证：平面；
（2）若中点为，求证：平面平面.
（3）若平面，求直线与面所成的角.
临沂市蒙阴县2022-2023学年高一下学期期中考试
数学试题答案
一 单项选择题：本题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.【解析】复数的实部与虚部互为相反数，
，解得：，故选：
【答案】
2.【解析】对于，以直角三角形的一条直角边所在直线为轴旋转一周所得的几何体是圆锥正确；故错误；
对于B，正四棱锥的顶点在底面的投影为正方形的中心，正方体的顶点中没有这样的点，故B错误.
对于，用一个平行于底面的平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台，故错误；
对于D，用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面正确，故D正确；
【答案】
3.【解析】
且四边形为梯形
【答案】
4.【解析】设圆台的高为，由题意知，故.
【答案】
5.【解析】：，
又，
又，
.
【答案】
6.【解析】如图，由正方体的性质易知平面，则，
则为二面角的平面角，
又因为四边形为正方形，
所以，即二面角的大小是，故选.
【答案】
7.【解析】因为，所以.
所以.所以.所以
【答案】
8.【解析】：根据题意，四边形为矩形，
因为，所以，
所以矩形的面积为，
所以直棱柱的体积为.
【答案】：.
二 多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.
9.【解析】，
对应的点位于第一象限，A错误；
的虚部为正确；
正确；
，D正确.
【答案】
10.【解析】对于，因为，则不能作为平面内的基底，错误；
对于在上的投影向量为错误；
对于，设与垂直的单位向量坐标为，则有，解得或
所以与垂直的单位向量坐标为或正确；
对于，当时，，即当时，与的夹角可能是错误.
【答案】
11.【解析】分别为的中点，在中有，
在面中不与平行；
，知：与所成的角为；
因为面与平面内交线都不垂直，不与平面垂直；
由面面即，而知，
有面，又面，所以面面；
【答案】
12.【解析】对于，由正方体的性质可知正方体外接球的直径为其体对角线，故正方体外接球的半径为，故正确；
对于，点在线段上运动，则四面体的高为1，底面积不变，则体积不变，故正确；
对于，与所有12条棱都相切的球的直径等于面的对角线，
则，则球的体积，故C正确；
对于D，正方体的内切球为正方体的中心，内切球的半径为，
可知线段长度的最小值是到球心的距离减去内切球的半径，
正方体的棱长为1，
，A到球心的距离为，所以的最小值是，故D错误.故选：
.
【答案】
第II卷（非选择题共90分）
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13.【解析】因为所以
【答案】2
14.【解析】由题意，复数满足，则，
所以.
【答案】
15.【解析】：，
直三棱柱外接球的球心即为侧面的中心，
设球半径为，则，
，即，
直三棱柱的高，
直三棱柱的体积，
【答案】
16.【解析】由题意知为与平面所成的角.
在Rt中，，
.外接球的直径为.所以
所以表面积为
【答案】
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明 证明过程或演算步骤.
17.【解析】：（1）因为复平面内复数所对应的点分别为，
所以，
所以，
（2）因为，
所以，
所以，
所以
18.【解析】：（1）由已知可得
（2）
又
的周长为
19.【解析】（1）向量，
则，
所以.
（2）由，得
解得，
由，得
于是，
而，则有，
所以向量与向量的夹角.
20.（1）【证明】四边形是正方形，.
平面平面，
平面，
平面.
（2）【解析】设，连接，如图所示.
平面是直线在平面上的射影，
即为与平面所成的角.
在Rt中，，
在Rt中，，
，即与平面所成的角为.
21.【证明】如图，在平面内，
作于点.
平面平面，
且平面平面，
平面，
平面.
又平面.
又平面平面，
又平面.
又平面.
22.（1）【证明】取的中点，连接，
因为是的中点，所以且，
又是的中点，是正方形，所以且，
所以且，
所以四边形为平行四边形，所以，
又平面平面，所以平面.
（2）
因为为的中点，是的中点
所以，又平面平面，所以平面，
分又平面，平面，所以平面平面
（3）因为平面平面，所以平面平面
又为正方形，所以平面，平面平面
所以平面，
所以即为直线与面所成的角，又，所以为等腰直角三角形，所以，
即直线与面所成的角为.