2023届广东省东莞市高三下学期联合模拟预测数学试题（含解析）

2023届高三联合模拟预测数学试题（含答案）
一、单选题（共40分）
1．（5分）已知集合A＝{x∈N|（x+1）（x﹣2）＝0}，B＝{2，4，5}，则A∪B＝（　　）
A．{﹣1，2，5} B．{2，4，5} C．{2} D．{﹣1，2，4，5}
2．（5分）复数z满足（3﹣4i） z＝|4+3i|，则＝（　　）
A．i B．i C．﹣i D．﹣i
3．（5分）数列{an}满足a1＝，an+1＝2an，数列的前n项积为Tn，则T5＝（　　）
A． B． C． D．
4．（5分）已知向量，则“”是“m＝2”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（5分）若二项式的展开式中只有第3项的二项式系数最大，则展开式中项的系数为（ ）
A．32 B． C．16 D．
6．（5分）已知函数，则（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
7．（5分）如图所示，梯形ABCD中，，且，点P在线段BC上运动，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．（5分）已知函数，则的解集为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（共20分）
9．（5分）下列说法正确的有（　　）
A．若，则的最大值是﹣1
B．若x∈R，则的最小值为2
C．若a，b，c均为正实数，且a+b+c＝2，则的最小值是4
D．已知a＞0，b＞0，且，则a（b﹣1）最小值是
10．（5分）随着时代与科技的发展，信号处理以各种方式被广泛应用于医学、声学、密码学、计算机科学、量子力学等各个领域．而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数，的图象就可以近似的模拟某种信号的波形，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的图象关于直线对称
B．函数的图象关于点对称
C．函数为周期函数，且最小正周期为
D．函数的导函数的最大值为3
11．（5分）已知，满足，则（ ）
A． B． C． D．
12．（5分）已知直线l过点M（1，2）且与圆C：（x﹣2）2+y2＝5相切，直线l与x轴交于点N，点P是圆C上的动点，则下列结论中正确的有（　　）
A．点N的坐标为（﹣3，0）
B．△MNP面积的最大值为10
C．当直线l与直线ax﹣y+1＝0垂直时，a＝2
D．tan∠MNP的最大值为
三、填空题（共20分）
13．（5分）曲线f（x）＝xlnx﹣x3在点（1，f（1））处的切线方程为　 　．
14.（5分） 在 的展开式中的系数为 .
15.（5分） 核桃(又称胡桃、羌桃)、扁桃、腰果、榛子并称为世界著名的“四大干果”.它的种植面积很广，但因地域不一样，种植出来的核桃品质也有所不同：现已知甲、乙两地盛产核桃，甲地种植的核桃空壳率为2%(空壳率指坚果，谷物等的结实性指标，因花未受精，壳中完全无内容，称为空壳)，乙地种植的核桃空壳率为4%，将两地种植出来的核桃混放在一起，已知甲地和乙地核桃数分别占总数的40%，60%，从中任取一个核桃，则该核桃是空壳的概率是 .
16．（5分）以棱长为的正四面体中心点O为球心，半径为的球面与正四面体的表面相交部分总长度为________．
四、解答题（共70分）
17．（10分）△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，且△ABC的面积为24．
（1）求；
（2）若，求b．
18. (12分)如图,平面ABCD是圆柱OO 的轴截面,EF是圆柱的母线,AF∩DE =G,BF∩CE =H,∠ABE=60°,AB =AD =2.
(1)求证:GH∥平面ABCD;
(2)求平面ABF与平面CDE夹角的正弦值.
19. (12分)甲、乙足球爱好者决定加强训练提高球技，两人轮流进行定位球训练(每人各踢一次为一轮)，在相同的条件下，每轮甲、乙两人在同一位置，一人踢球另一人扑球，甲先踢，每人踢一次球，两人有1人进球另一人不进球，进球者得1分，不进球者得-1分；两人都进球或都不进球，两人均得0分，设甲每次踢球命中的概率为 ，乙每次踢球命中的概率为 ，甲扑到乙踢出球的概率为 ，乙扑到甲踢出球的概率 ，且各次踢球互不影响.
(1)经过一轮踢球，记甲的得分为X，求X 的分布列及数学期望；
(2)若经过两轮踢球，用P 表示经过第2轮踢球后，甲累计得分高于乙累计得分的概率,求P .
20．（12分）在三棱柱中，，，且．
（1）证明：；
（2）若，二面角的大小为，求平面与平面夹角的余弦值．
21. (12分)已知函数
(1)证明:存在唯一零点;
(2)设若存在∈(-1,+∞),使得 ,证明:.
22．（12分）已知函数f（x）＝x2+ax﹣a2lnx，a≥0．
（1）当a＝2时，讨论函数f（x）的单调性；
（2）若函数f（x）有两个不同的零点，求a的取值范围．
参考答案
1．集合A＝{x∈N|（x+1）（x﹣2）＝0}＝{2}，B＝{2，4，5}，
则A∪B＝{2，4，5}．
故选：B．
2．因为，
所以，
所以．
故选：A．
3．因为数列{an}满足a1＝，an+1＝2an，
所以数列{an}是首项为，公比为2的等比数列，
所以数列是以2为首项，公比为的等比数列，
所以＝2×＝22﹣n，
所以T5＝2×1×××＝，
故选：C．
4．若，则m（m﹣3）+2＝0，
即m2﹣3m+2＝0，得m＝2或m＝1，
则“”是“m＝2”的必要不充分条件，
故选：B．
5．B【详解】：∵的展开式只有第3项的二项式系数最大，∴，
∴的第项为，，
∴令解得：，∴，
即：展开式中项的系数为．故选：B．
6．D【详解】：，故选：D．
7．B【详解】如图建立平面直角坐标系，
则，，，，
∴，，，
设，，，∴，
又，∴，
解得，，∴，
即的最小值为．故选：B．
8．C【详解】：∵，均为偶函数，故函数为偶函数，
，，
∵，∴，又∵，∴在恒成立，
故在函数递减，函数在递增．
，故选：C．
9．对于A，由可得1﹣2x＞0，
由基本不等式可得，
当且仅当1﹣2x＝即x＝0时取等号，
所以的最大值为﹣1，故A正确；
对于B，，
当且仅当时等号成立，但此时x无解，等号无法取得，
则最小值不为2，故B错误；
对于C，由a+b+c＝2可得
＝
，
当且仅当b+c＝2（a+b）＝2（c+a）且a+b+c＝2，即a＝0，b＝1，c＝1时，等号成立，
由于a，b，c均为正实数，则等号取不到，故C错误；
对于D，由可得ab＝2a+b，
代入到，
当且仅当即时，等号成立，故D正确．
故选：AD．
10．ABD【详解】因为函数，定义域为R，
对于A，
，
所以函数的图象关于直线对称，故A正确；
对于B，，
所以函数为奇函数，图象关于点对称，故B正确；
对于C，由题知，故C错误；
对于D，由题可知，故D正确．故选：ABD．
11．ABD【详解】：对于A，由，得，∴
当且仅当时等号成立，A正确；
对于B，由，得且，
令，则，在上单调递增，
在上单调递减，所以，即，B正确；
对于C，当，时，，C错误；
对于D，，D正确．
故选：ABD．
12．由题可得点M（1，2）在圆C上，
因为kMC＝＝﹣2，所以直线l的斜率k＝，因此直线l的方程为x﹣2y+3＝0，
令y＝0，解得x＝﹣3，所以点N的坐标为（﹣3，0），故A正确；
因为点P是圆C上的动点，所以点P到直线l的最大距离d＝2r＝2，
又因为|MN|＝＝2，所以△MNP的面积最大值为＝10，故B正确；
因为直线l：x﹣2y+3＝0与直线ax﹣y+1＝0垂直，所以，解得a＝﹣2，故C错误；
当直线lNP与圆C相切时，锐角∠MNP最大，即tan∠MNP最大，此时∠MNP＝2∠MNC，
因为tan∠MNC＝＝＝，所以tan∠MNP＝＝＝，故D正确；
故选：ABD．
13．由f（x）＝xlnx﹣x3，得f′（x）＝lnx+1﹣3x2，
∴f′（1）＝1﹣3＝﹣2，
又f（1）＝﹣1，
∴曲线f（x）＝xlnx﹣x3在点（1，f（1））处的切线方程为y+1＝﹣2（x﹣1），
即2x+y﹣1＝0．
故答案为：2x+y﹣1＝0．
- 120
15.3.2%
16．【详解】：正四面体的体积为，
表面积为，设正四面体的内切球半径为，则，解得．显然内切球心为O，故O到面ABC的距离为，球面与面ABC相交部分为以的圆，
设三角形ABC的内切圆半径为，圆心为，D为BC的中点，则，，故，此时恰好，即球面与各表面相交部分恰为三角形的内切圆，故当时，圆弧总长度为．
17．（1）△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，
则，
又△ABC的面积为24，
则，
即ac＝80，
则，
即＝accosB＝64；
（2）由ac＝80且，
则，
则由余弦定理b2＝a2+c2﹣2accosB可得b2＝36，
即b＝6．
18. 解:(1)由题意知,CD ∥AB,CD 平面CDE,AB 平面CDE,
所以AB∥平面CDE,
因为AF∩DE =G,BF∩CE =H,
所以平面CDE∩平面ABF =GH,
因为AB 平面ABF,所以AB ∥GH,又AB 平面ABCD,
GH 平面ABCD,所以GH∥平面ABCD;
在Rt△ABE中,由∠ABE =60°,AB =AD =2,得
所以E(0,0,0),A(,0,0),B(0,1,0),C(0,1,2),D(，0,2),F(0,0,2),
(2)以点E为原点建立如图所示空间直角坐标系，
在Rt△ABE中,由∠ABE =60°,AB =AD =2,得
所以E(0,0,0) ,A( ，,0,0),B( 0,1,0),C(0,1,2),D(
设平面CDE的一个法向量为,则
由令得
设平面ABF的一个法向量为则
由得令，得
所以
所以平面ABF与平面CDE的夹角的正弦值为
19. 解：(1)记一轮踢球甲进球为事件A，乙进球为事件B，由题意知A，B相互独立，
由题意得：
甲得分X的可能取值为-1，0，1，
则
所以X的分布列为：
X -1 0 1
P
所以
(2)根据题意，经过第2轮踢球累计得分后甲得分高于乙得分的情况有三种，
分别是：甲两轮中第1轮得0分，第2轮得1分；
或者甲第1轮得1分，第2轮得0分；
或者甲两轮各得1分，
于是=
20．【详解】：（1）设AC的中点为O，连接，OB，
因为，所以，
又因为，因为平面，
且，所以平面 （2分）
因为平面，所以，
又因为O是AC中点，所以． （4分）
（2），在中，由余弦定理求得，则，又因为平面，二面角的大小为，则， （6分）
由（1）知，则以，所在直线分别为x轴，y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，可得坐标如下：，，，，． （7分）
设平面的法向量为，
，．
． （9分）
设平面的法向量为，，．
． （11分）
记平面与平面的夹角为，． （12分）
21. 解:(1)由题意可得. -1)-
记则
因为0时,恒成立,所以在(-1,+∞)上单调递增,
因为,所以在(-1,0)上恒小于0,在(1,+∞)上恒大于0,
所以在(-1,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,
因为,所以有唯一零点0.
(2)由可得
若是方程的根,则是方程的根
因为x都单调递增，
所以,,
设
所以 的解为(1,+∞),的解为( 1,1),
所以在(-1,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,
所以h(x)的最小值为,即的最小值为
故原不等式成立.
22．（1）a＝2时，f（x）＝x2+2x﹣4lnx，（x＞0），
f′（x）＝2x+2﹣＝，
令f′（x）＞0，解得：x＞1，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，
故f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增；
（2）f′（x）＝2x+a﹣＝，
令g（x）＝2x2+ax﹣a2，则g′（x）＝4x+a，当g′（x）＝0，解得：x＝﹣＜0，
故x＞0时，g′（x）＞0，g（x）在（0，+∞）递增，
故g（x）＞g（0）＝﹣a2，令g（x）＝0，解得：x＝或x＝﹣a（舍），
当0＜x＜时，g（x）＜0，即f′（x）＜0，f（x）递减，
当x＞时，g（x）＞0，即f′（x）＞0，f（x）递增，
故f（x）min＝f（）＝+﹣a2ln＝﹣a2ln，
且x→0+时，f（x）→+∞，x→+∞时，f（x）→+∞，
由函数f（x）有两个不同的零点，
则f（x）min＝f（）＝﹣a2ln＜0，解得：a＞2，
故a的取值范围是（2，+∞