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专题02 实数 高频考点（12个）（精讲）
高频考点1 平方根和算术平方根的相关概念
【解题技巧】平方根与算术平方根的区别于联系：
算术平方根 平方根
区别 定义 如果一个正数x的平方等于a，那么这个正数x叫作a的算术平方根。 如果一个数的平方等于a，那么这个数叫作a的平方根。
个数 正数的算术平方根只有一个 正数的平方根有两个
表示方法 正数a的算术平方根表示为 正数a的平方根表示为±
取值范围 正数的算术平方根一定是正数
联系 具体包含关系 平方根包含算术平方根，一个数的正的平方根就是它的算术平方根
存在的条件 只有非负数才有平方根和算术平方根
例1．（2022·河南）有下列说法：①-3是的平方根；②-7是的算术平方根：③25的平方根是；④-9的平方根是；⑤0没有算术平方根；⑥的平方根为；⑦平方根等于本身的数有0，1．其中，正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】运用平方根及算术平方根的定义求解即可．
【详解】解：① 3是的平方根；故①正确，②7是（ 7）2的算术平方根；故②错误，
③25的平方根是±5；正确；④ 9的平方根是±3；负数没有平方根，故④错误，
⑤0没有算术平方根；错误，⑥的平方根为±；正确，
⑦平方根等于本身的数有0、1．只有0，故错误．正确的有①③⑥，故选：C．
【点睛】本题主要考查了平方根及算术平方根，解题的关键是熟记定义．
变式1．（2022·河南濮阳市·七年级期中）下列说法：①是17的平方根；②的立方根是；③没有立方根；④互为相反数的两个数的立方根也互为相反数．错误的有（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【答案】C
【分析】依据平方根、立方根的定义进行解答即可．
【详解】解：①是17的平方根，故①正确；②的立方根是，故②错误；
③负数有立方根，故③错误；④互为相反数的两个数的立方根也互为相反数，故④正确．故选：C．
【点睛】本题主要考查的是立方根、平方根的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键．
变式2．（2022·诸暨市七年级期中）下列说法正确的是（ ）
A．互为相反数的两个数的立方根互为相反数 B．立方根是它本身的数只有0
C．平方根是它本身的数是1和0 D．绝对值是本身的数是正数
【答案】A
【分析】根据相反数，平方根，立方根和绝对值的性质进行逐一判断即可.
【详解】解：A、互为相反数的两个数的立方根互为相反数，故此选项符合题意；
B、立方根是它本身的数有0，1，-1，故此选项不符合题意；
C、平方根是它本身的数是0，故此说法不符合题意；
D、绝对值是本身的数是正数和0，故此说法不符合题意.故选A.
【点睛】本题考查了相反数，平方根，立方根和绝对值的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
变式3．（2022·山西浑源初二期中）下列各式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】如果一个非负数x的平方等于a，那么x是a的算术平方根，由此即可求出结果．
【解析】解：A、，故错误；B、，故正确；
C、，故错误；D、，故错误．故选：B．
【点睛】此题主要考查了算术平方根的概念，算术平方根易与平方根的概念混淆而导致错误．
高频考点2利用平方根和立方根解方程
解题技巧：（1）先将方程化简为的形式，移项将系数化为1；然后直接开方即可。
①当h≥0时，x+a=±，则x=－a±；②当h＜0时，方程无解
（2）求立方根的运算，一般先把式子化为的形式，当有的形式，先把看成一个整体再进行开立方。解答这种题型应紧扣立方根的概念，明确开立方根与立方互为逆运算。
例2．（2022·江苏盐城·八年级开学考试）求下列各式中的x
(1)（x+2）2＝25． (2)（x﹣3）3+27＝0
【答案】(1)x＝3或x＝﹣7；(2)x=0．
【分析】（1）直接开平方，得到两个一元一次方程，求解即可；
（2）先移项，然后开立方即可求解．
(1)解：（x+2）2＝25，
x+2＝±5，
x+2＝5或x+2＝﹣5，
解得x＝3或x＝﹣7；
(2)解：（x﹣3）3+27＝0，
（x﹣3）3＝﹣27，
，
x-3=-3，
x=0．
【点睛】本题考查利用平方根和立方根解方程，掌握平方根和立方根的定义是解题的关键．
变式1．（2022·绵阳市·七年级专题练习）求下列式子中的x：
(1)25(x﹣)2＝49； (2)(x+1)2＝32．
【答案】(1)x1＝2，x2＝ (2)x1＝7，x2＝﹣9
【分析】（1）两边同时除以25，再开平方解一元一次方程即可；
（2）方程两边同时乘以2，再开平方解一元一次方程即可．
(1)解： 25（x﹣）2＝49，
（x﹣）2＝，
x﹣＝±，
x﹣＝或x﹣＝﹣，
解得：x1＝2，x2＝；
(2)（x+1）2＝32，
（x+1）2＝32×2，
（x+1）2＝64，
x+1＝±8，
x+1＝8或x+1＝﹣8，
解得：x1＝7，x2＝﹣9．
【点睛】此题考查了利用平方根定义解方程，正确理解并掌握平方根的定义是解题的关键．
变式2．（2022·西宁市七年级期中）求下列各式中x的值：
（1）9x2－25＝0； （2）(x＋3)3＋27＝0．
【答案】（1）x=；（2）x=-6
【分析】（1）经过移项，系数化为1后，再开平方即可；（2）移项后开立方，再移项运算即可．
【详解】（1）
解：
（2）
解：
【点睛】本题主要考查了实数的运算，熟悉掌握平方根和立方根的开方是解题的关键．
变式3．（2022·江苏·八年级）求下列各式中x的值：
(1)3x2﹣12＝0； (2)（x+1）3＝﹣8．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）首先表示出把等号左边化为，再利用平方根可得答案；
（2）直接利用立方根的性质计算得出答案．
(1)解：，
，
，
解得：；
(2)解：，
，
解得：．
【点睛】本题主要考查了平方根、立方根，解题的关键是正确掌握相关定义．
高频考点3立方根的相关概念与性质
【解题技巧】 ① ② ③
上述第三个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题.
例3．（2022·黑龙江牡丹江·七年级期中）若，则___________．
【答案】或或
【分析】根据立方根定义计算即可．
【详解】解：由，得，
或或，
或 或，
经检验：或 或 符合题意．
故答案为：或或．
【点睛】本题主要考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解题的关键．
变式1．（2022·甘肃定西·七年级阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．负数没有立方根 B．的立方根是 C． D．立方根等于本身的数只有
【答案】C
【分析】根据立方根的定义分别判断即可．立方根：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根．
【详解】解：A负数有一个立方根，故该选项错误，不符合题意；
B选项，的立方根是，故该选项错误，不符合题意；
C选项，，故该选项正确，符合题意；
D选项，立方根等于本身的数只有和，故该选项错误，不符合题意．故选：C．
【点睛】本题考查了立方根的应用，掌握立方根的定义是解题的关键．
变式2．（2022·江苏·八年级）若，则与的关系是
A． B．与相等 C．与互为相反数 D．
【答案】C
【分析】根据立方根的意义和性质：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．则．所以与互为相反数，由此解决问题．
【详解】解：，，
与的关系是互为相反数（或，或．故选：C．
【点睛】此题考查了立方根．解题的关键是得到这一步．
变式3．（2022·成都市·八年级课时练习）【发现】
①
②
③
④……；
(1)根据上述等式反映的规律，请再写出一个等式：____________．
【归纳】等式①，②，③，④，所反映的规律，可归纳为一个真命题：
对于任意两个有理数a，b，若，则；
【应用】根据上述所归纳的真命题，解决下列问题：
(2)若与的值互为相反数，且，求a的值．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据题目给出的规律解答；（2）根据题意列出方程，与已知方程联立解得a的值．
(1)，符合上述规律，
故答案为：；
(2)∵与的值互为相反数，
∴+=0，
∴，
解得，
代入中，
解得，，∴．
【点睛】本题考查了立方根的性质，互为相反数的性质等知识，解题的关键是明确题意，灵活运用所学知识解决问题．
高频考点4. 算术平方根的双重非负性
【解题技巧】①解决此类问题关键是掌握算术平方根，绝对值，偶次乘方均具有非负性.
②多个非负数相加为0，则这多个非负数必定为0.
例4．（2022·绵阳八年级期中）已知a2+＝4a﹣4，则的平方根是______________．
【答案】
【分析】把原式整理为a2-4a+4+＝0，根据非负数的性质求出a，b的值，再根据平方根的定义求解即可．
【详解】解：因为a2+＝4a﹣4，a2-4a+4+＝0，
，a﹣2＝0，b﹣2＝0，解得a＝2，b＝2，
∴，∴的平方根是 ．故答案为：．
【点睛】本题主要考查完全平方公式,非负数的非负性质和平方根的定义,解决本题的关键是要熟练掌握完全平方公式,非负数的非负性质和平方根的定义.
变式1．（2022·成都市八年级期末）已知（x+3）2+＝0，则x+y＝__．
【答案】-1
【分析】根据非负数的性质，求出x、y的值即可．
【详解】解：∵（x+3）2+＝0，∴x+3＝0，y﹣2＝0，
解得：x＝﹣3，y＝2，故x+y＝﹣3+2＝﹣1．故答案为：﹣1．
【点睛】本题考查了非负数的性质，解题关键是明确平方和算术平方根是非负数，求出未知数的值．
变式2．（2022·江门市九年级二模）若，则______．
【答案】
【分析】根据非负数的性质列式求出a、b的值，然后相加即可．
【详解】解：根据题意得，，
解得，∴．故答案为：．
【点睛】本题考查了绝对值的性质与算术平方根的非负性，解题关键是熟练掌握绝对值的性质与算术平方根的非负性．
变式3．（2022·浙江八年级专题练习）已知和互为相反数，且，求的值．
【答案】2
【分析】根据非负数的性质求出x、y的值，然后代入计算．
【详解】解：∵和互为相反数，∴+=0，
∵两个非负数互为相反数则只能均为0，∴－1＝0，1－2＝0，
∴＝1， ∴＝2．
【点睛】本题考查了非负数的性质，①非负数有最小值是零；②有限个非负数之和仍然是非负数；③有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零．初中范围内的非负数有：绝对值，算术平方根和偶次方．
高频考点5.平方根与立方根的移动规律
【解题技巧】
1）被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，.
2）被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.
例如，，，，.
例5．（2022·江苏·八年级）若，，则下列各式中正确的是
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据被开立方数的小数点向右移动3位，则其立方根的小数点向右移动1位的规律进行求解．
【详解】被开立方数的小数点向右移动3位，则其立方根的小数点向右移动1位，
，故选：B．
【点睛】本题考查了开立方运算中规律问题的解决能力，解题关键是能准确理解运用相关的规律．
变式1．（2022·新疆七年级期中）已知，，则________（结果保留3位小数）．
【答案】503.587
【分析】应用算术平方根的计算方法进行计算即可得出答案．
【详解】，
故答案为：503.587．
【点睛】本题主要考查了算术平方根及近似数，熟练掌握算术平方根及近似数定义进行求解是解决本题的关键．
变式2．（2022·江西南昌·七年级期中）已知，，若，则的值为____________．
【答案】5217
【分析】根据算术平方根的定义，即可解答．
【详解】解：∵，，∴52.17≈7.2232，x≈72.232，
∵72.232＝7.2232×102，∴x＝52.17×100＝5217，故答案为： 5217．
【点睛】本题考查了算术平方根，解决本题的关键是熟记算术平方根的定义．
变式3．（2022·重庆·八年级课时练习）已知，，则_______．
【答案】
【分析】根据立方根的定义进行计算即可．
【详解】解：∵，
∴ ．故答案为：-0.12645．
【点睛】本题考查立方根，理解立方根的定义是正确解答的前提．
高频考点6. 平方根与立方根的综合应用
【解题技巧】解决此类问题关键是注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．立方根的性质：一个正数的立方根是正数，一个负数的立方根是负数，0的立方根式0．
例6．（2022·河南·商丘市七年级期中）已知：的算术平方根是3，的立方根是2，求的值．
【答案】4
【分析】根据算术平方根和立方根的定义求出a，b的值，代入求值即可．
【详解】解：∵2a+1的算术平方根是3，3a﹣b﹣1的立方根是2，
∴2a+1＝32＝9，3a﹣b﹣1＝23＝8，∴a＝4，b＝3，∴原式4．
【点睛】本题考查了算术平方根，立方根，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．
变式1．（2022·江西·七年级期中）已知：和是a的两个不同的平方根，是a的立方根．(1)求x，y，a的值；(2)求的平方根．
【答案】(1)x=-2，y=1，a=64；(2)1-4x的平方根为．
【分析】（1）根据正数的两个平方根互为相反数列方程求出x的值，再求出a，然后根据立方根的定义求出y即可；
（2）先求出1-4x，再根据平方根的定义解答．
(1)解：由题意得：（x-6）+（3x+14）=0，
解得，x=-2， 所以，a=（x-6）2=64；
又∵2y+2是a的立方根， ∴2y+2==4，
∴y=1， 即x=-2，y=1，a=64；
(2)由（1）知：x=-2， 所以，1-4x=1-4×（-2）=9，
所以，， 即：1-4x的平方根为．
【点睛】本题考查了立方根，平方根，算术平方根的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键，要注意准确计算．
变式2．（2022·新疆·七年级期末）已知某正数的两个平方根分别是和，的立方根是．求：(1)和这个正数的值；(2)的算术平方根．
【答案】(1)a=4，这个正数为49；(2)3a+b的算术平方根为2．
【分析】（1）先依据平方根的性质列出关于a的方程，从而可求得a的值和这个正数的值；
（2）依据立方根的定义求得b的值，再进行计算即可．
(1)解：∵某正数的两个平方根分别是a+3和2a 15，
∴a+3+2a 15=0，解得：a=4，
这个正数为(a+3)2=49；
(2)解：∵b的立方根是 2，∴b=( 2)3= 8，
∴3a+b=3×4 8=4，∴3a+b的算术平方根为2．
【点睛】本题考查了平方根、立方根、算术平方根的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．
变式3．（2022·利辛县七年级期中）已知3a+b-1的平方根为±4，5a+2的立方根为3．（1）求a，b的值；（2）求2a-b+1的算术平方根．
【答案】（1）a=5，b=2；（2）2a-b+1的算术平方根是3．
【分析】（1）根据题意及平方根、立方根可直接进行求解；
（2）由（1）及算术平方根的定义可进行求解．
【详解】解：（1）∵3a+b-1的平方根为±4，5a+2的立方根为3，
∴，∴；
（2）由（1）可得：，
∵，∴2a-b+1的算术平方根为3．
【点睛】本题主要考查立方根、算术平方根及平方根，熟练掌握求一个数的立方根、算术平方根及平方根是解题的关键．
高频考点7.算术平方根和立方根的实际应用
【解题技巧】①与普通应用题列写方程的过程相似，再按照算术平方根的特性解方程。
②按照正常方程思路，首先设未知数，列等式方程；再求解未知数；最后回答题干问题。
例7．（2022·山西吕梁·七年级期中）综合与实践：如图是一张面积为的正方形纸片．
(1)正方形纸片的边长为______；（直接写出答案）(2)若用此正方形纸片制作一个体积为的无盖正方体，请在这张正方形纸片上画出无盖正方体的平面展开图的示意图，并求出该正方体所用纸片的面积．
【答案】(1) (2)图见解析；
【分析】（1）根据算术平方根的意义求解即可；
（2）根据立方根的意义求出正方体的边长，然后画出图形，再求出所用面积即五个正方形的面积．
（1）解：正方形纸片的边长为：，故答案为：；
（2）解：正方体的边长为：，平面展开图如图所示（阴影部分为剪去的部分），
所用纸片面积为，
【点睛】本题考查了算术平方根和立方根的意义，正方体的展开图，熟练掌握基础知识是解题的关键．
变式1．（2022·云南·昆明市七年级期中）交通事故统计发现，每年的汽车追尾事故占所有事故的30％左右．造成追尾事故的主要原因是刹车距离把握不当，研究发现，在柏油路面上，刹车距离s与车速v的关系式是s＝（其中），当刹车距离增加一倍时，车速增加（ ）．
A．1倍 B．倍 C．－1倍 D．2倍
【答案】B
【分析】知道刹车距离s与车速v的关系式后，再将等式进行变形，使得s变为2s，即可得出答案．
【详解】解：由题意知，
刹车距离s与车速v的关系式是：（其中），
所以，
当刹车距离增加一倍时，即：
即车速增加倍，故选：B．
【点睛】本题考查算术平方根的应用，借助算术平方根解决实际问题．
变式2．（2022·北京市七年级期中）示意图，小宇利用两个面积为1dm2的正方形拼成了一个面积为2dm2的大正方形，并通过测量大正方形的边长感受了dm的大小．为了感知更多无理数的大小，小宇利用类似拼正方形的方法进行了很多尝试，下列做法不能实现的是( ).
A．利用两个边长为2dm的正方形感知dm的大小
B．利用四个直角边为5dm的等腰直角三角形感知dm的大小
C．利用四个直角边分别为2dm和3dm的直角三角形及一个边长为1dm的正方形感知dm的大小
D．利用一个边长为dm的正方形以及一个直角边为2dm的等腰直角三角形感知dm的大小
【答案】D
【分析】在拼图的过程中，拼前，拼后的面积相等，所以我们只需要分别计算拼前，拼后的面积，看是否相等，就可以逐个排除．
【详解】解：A.不符合题意； B.不符合题意；
C．不符合题意； D.符合题意． 故选：D．
【点睛】这道题主要考查利用算术平方根的含义及实际应用，解题的关键是在拼图的过程中，拼前，拼后的面积相等．
变式3．（2022·安徽六安·七年级期中）把三个半径分别是3，4，5的铅球熔化后做一个更大的铅球，这个大铅球的半径是多少 （球的体积公式是，其中R是球的半径．）
【答案】大铅球的半径是6．
【分析】求出半径分别是3，4，5的铅球的体积之和，再根据立方根的定义计算出结果即可．
【详解】解：设这个大铅球的半径为r，由题意可得，
即，所以r==6．大铅球的半径是6．
【点睛】本题考查了立方根的应用，熟记立方根的定义是解答本题的关键．
高频考点8. 实数及其分类
【解题技巧】①无理数与有理数的和、差仍是无理数，无理数与非零有理数的积、商仍是无理数；
②无理数与无理数的和、差、商、积不一定是无理数；③带根号的不一定是无理数；
④通常含π和无法开方（开立方）的数是无理数，其他数为有理数。
例8．（2022·湖北·嘉鱼县七年级期末）关于实数，下列说法错误的是（ ）
A．有理数与无理数统称实数 B．实数与数轴上的点一一对应
C．无理数就是无限不循环小数 D．带根号的数都是无理数
【答案】D
【分析】根据实数的分类，无理数的意义，实数与数轴，逐一判断即可解答．
【详解】解：A、有理数与无理数统称实数，选项正确，故不符合题意；
B、实数与数轴上的点一一对应，选项正确，故不符合题意；
C、无理数就是无限不循环小数，选项正确，故不符合题意；
D、带根号的数不一定都是无理数，例如：是有理数，选项错误，故符合题意；故选：D．
【点睛】本题考查了实数，实数与数轴，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．
变式1．（2022·内蒙古通辽·七年级期末）在实数，0，，3.1415926，，，，，1.353353335…中，无理数的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据常见无理数的构成：带根号的要开不尽方，无限不循环小数，含的数等，然后逐项判断即可确定选择项．
【详解】解：无理数有、、1.353353335…共3个，故选：C．
【点睛】此题主要考查无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数，含及其倍数的也是无理数．
变式2．（2022·宜宾八年级月考）如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图，下面说法：
①当输出值y为时，输入值x为3或9；
②当输入值x为16时，输出值y为；
③对于任意的正无理数y，都存在正整数x，使得输入x后能够输出y；
④存在这样的正整数x，输入x之后，该生成器能够一直运行，但始终不能输出y值．
其中错误的是（ ）
A．①② B．②④ C．①④ D．①③
【答案】D
【分析】根据运算规则即可求解．
【详解】解：①x的值不唯一．x=3或x=9或81等，故①说法错误；
②输入值x为16时，，故②说法正确；
③对于任意的正无理数y，都存在正整数x，使得输入x后能够输出y，如输入π2，故③说法错误；
④当x=1时，始终输不出y值．因为1的算术平方根是1，一定是有理数，故④原说法正确．
其中错误的是①③．故选：D．
【点睛】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
变式3．（2022·江苏·徐州市七年级阶段练习）把下列各数填在相应的大括号内：2，0，，，，，25%，，
（1）分数集合：{ …}；（2）非负整数集合：{ …}；
（3）有理数集合：{ …}；（4）无理数集合：{ …}．
【答案】见解析
【分析】根据无限不循环小数是无理数，以及有理数的分类即可得出答案．
【详解】解：（1）分数集合：{ ，，25%，，…}；
（2）非负整数集合：{2，0，…}；
（3）有理数集合：{ 2，0，，，，25%，，…}；
（4）无理数集合：{，，…}．
【点睛】本题考查了实数，有理数和无理数统称实数，有限小数或无限循环小数是有理数，无限不循环小数是无理数．
高频考点9. 实数与数轴的对应关系-数形结合
解题技巧：实数与数轴上的点是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点表示，数轴上的每一个点都表示一个实数。在解决此类问题时，要弄清楚实数在数轴上的位置，根据位置关系进行分析求解。
例1．（2022·平泉市七年级期末）如图，数轴上表示的点可能是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
【答案】B
【分析】先估算的范围，即可得到在数轴上的对应点．
【详解】
是和之间的数，故选B．
【点睛】本题考查了无理数的估算，找到是解题的关键．
变式1．（2022·江苏八年级期中）如图所示的数轴上，点C与点B关于点A对称，A、B两点对应的实数分别是1和，则点C对应的实数是（ ）
A．1﹣ B．﹣2 C．﹣ D．2﹣
【答案】D
【分析】根据数轴上两点之间距离的计算方法，以及中心对称的意义，列方程求解即可．
【详解】解：∵A、B两点对应的实数分别是1和，∴AB＝﹣1，
又∵点C与点B关于点A对称，∴AC＝AB，
设点C所表示的数为c，则AC＝1﹣c，
∴1﹣c＝﹣1，∴c＝2﹣，故选：D．
【点睛】本题考查数轴表示数的意义和方法，理解中心对称的性质和数轴上两点之间距离的计算方法是解决问题的关键．
变式2．（2022·浙江七年级月考）如图，将面积为3的正方形放在数轴上，以表示实数1的点为圆心，正方形的边长为半径，作圆交数轴于点、．①线段_______；②点表示的数为______．
【答案】
【分析】根据算术平方根的定义以及数轴的定义解答即可．
【解析】解：∵正方形的面积为3，∴圆的半径为，∴点A表示的数为1 ．
∵AB是圆的直径，∴AB=2；故答案为：2；1-．
【点睛】本题考查了实数与数轴，熟记算术平方根的定义是解答本题的关键．
变式3．（2022·吉林白山·七年级期中）如图，已知实数，－1，，4，其在数轴上所对应的点分别为点B，A，D，C．(1)点C与点D之间的距离为______；
(2)记点A与点B之间距离为a，点C与点D之间距离为b，求a-b的值．
【答案】(1)(2)2-5
【分析】(1)根据两点之间的距离即可得出答案；(2)先得到a，b的值，代入代数式求值即可得出答案．
（1）∵点C表示的数为4，点D表示的数为，
∴点C与点D之间的距离为：，故答案为：．
（2）由题意得，点A表示的数为－1，点C表示的数为4，点D表示的数为
所以点A和点B之间距离为a = 点C和点D之间的距离为b=
则a-b=（-1+）-（4-）=2-5．
【点睛】本题考查实数与数轴，熟知数轴上的两个数a，b表示的点A，B之间的距离=是解答此题的关键．
高频考点10. 实数的估算与比较大小
【解题技巧】
要估算的近似值，第一步先确定估算数的整数范围，如，所以2＜＜3；
第二步以较小整数为基础，开始逐步加0.1（或以较大整数为基础，开始逐步减0.1），并求其立方确定估算数的十分位；后续小数重复如上步骤。
例10．（2022·福建福州七年级期中）我国著名的数学家华罗庚曾巧解开立方的智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．
解答：∵＜59319＜，∴是两位整数；
∵整数59319的末位上的数字是9，而整数0至9的立方中，只有＝729的末位数字是9，∴的末位数字是9；
又∵划去59319的后面三位319得到59，而3＜＜4，
∴的十位数字是3；∴＝39；
【应用】＋59049＝0，其中x是整数则x的值为______．
【答案】-13
【分析】先运用学到的方法，进行估算，再解一元一次方程即可．
【详解】∵＋59049＝0，∴，
∵＜19683＜，∴是两位整数；
∵整数19683的末位上的数字是3，而整数0至9的立方中，只有的末位数字是3，
∴的末位数字是7；
又∵划去19683的后面三位683得到19，而2＜＜3，∴的十位数字是2；
∴＝27；∴，解得x=-13，故答案为：-13．
【点睛】本题考查立方根的估算，一元一次方程的解法，熟练掌握估算方法，灵活解方程是解题关键．
变式1．（2022·海南·八年级期中）估算的值应在（ ）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．0和1之间
【答案】A
【分析】先确定 、的取值范围，再确定的范围．
【详解】解：∵，即1.5<<2，∴3<2<4，∴3-2<2-2<4-2，即1<2-2<2，
估算的值应在：1和2之间．故选：A．
【点睛】本题考查了无理数的估算，实数大小的比较，掌握无理数的估算方法是解题关键．
变式2.（2022·河北邢台·八年级期末）阅读下面的文字，解答问题．例如：∵，即，∴的整数部分为2，小数部分为，请解答：（1）的整数部分是____．（2）的小数部分是____．
【答案】 3
【分析】（1）根据题意分别找出的左边第一个整数和右边第一个整数即可作答；
（2）由（1）可知，则可求出的整数部分，再用减去它的整数部分即可．
【详解】（1）∵，∴，∴的整数部分为3．故答案为：3
（2）∵，∴1<<2，∴的整数部分是1，
∴的小数部分是-1=．故答案为：
【点睛】本题主要考查了根据算数平方根的定义估算无理数的大小，熟练地掌握算数平方根的定义是解题的关键．
变式3．（2022·湖南株洲·八年级期末）四个实数5，0，，中，最大的无理数是（ ）
A． B．0 C． D．5
【答案】C
【分析】先判断出无理数，再根据无理数大小的比较方法比较即可得答案．
【详解】在5，0，，中，无理数有和，
∵8＞3，∴＞，∴最大的无理数是，故选：C．
【点睛】本题考查实数的分类及无理数大小的比较，正确找出无理数，熟练掌握无理数大小比较方法是解题关键．
高频考点11 实数性质与混合运算
【解题技巧】在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．正确化简各数是解题关键．
例11．（2022·湖北武汉·七年级期中）计算：(1) (2)
【答案】(1)；(2)．
【分析】（1）先求算术平方根以及立方根，再加减即可；（2）先求绝对值，再合并即可．
（1）解：
．
（2）解：
．
【点睛】本题主要考查实数的混合运算，解题的关键是掌握绝对值的化简，求算术平方根，求立方根．
变式1．（2022·湖北武汉·七年级期中）的相反数是___，﹣π的绝对值是___，＝___．
【答案】- 3
【分析】直接利用相反数以及绝对值、算术平方根的性质分别化简得出答案．
【详解】解：的相反数是：-，-π的绝对值是：π，=3．故答案为：-，π，3．
【点睛】此题主要考查了算术平方根、实数的性质，正确掌握相关定义是解题关键．
变式2.（2022·福建厦门·七年级期中）（1）；（2）．
【答案】（1）2 （2）2
【分析】先计算开方，再计算加法即可；
直接利用绝对值的性质化简，再计算加法即可得出答案．
【详解】解：原式 ；
原式 ．
【点睛】此题主要考查了实数的运算，熟练掌握实数运算法则是解题关键．
变式3．（2022·东莞市七年级期中）计算：
【答案】2
【分析】先算开方和乘法，再算加减法．
【详解】解：==2
【点睛】此题考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
高频考点12 实数中的新定义与规律问题
【解题技巧】根据题意具体分析即可
例12.（2022·北京·七年级期中）一般地，如果（n为正整数，且n＞1），那么x叫做a的n次方根，下列结论中正确的是（ ）
A．16的4次方根是2 B．32的5次方根是±2
C．当n为奇数时，2的n次方根随n的增大而减小 D．当n为偶数时，2的n次方根有n个
【答案】C
【分析】根据新定义的意义计算判断即可．
【详解】解：∵16的4次方根是±2，∴A选项的结论不正确；
∵32的5次方根是2，∴B选项的结论不正确；
∵当n为奇数时，2的n次方根随n的增大而减小，∴C选项的结论正确；
∵当n为偶数时，2的n次方根有2个，∴D选项的结论不正确．故选：C．
【点睛】本题考查了实数的新定义问题，正确理解新定义的意义是解题的关键．
变式1．（2022·山东·八年级课时练习）观察分析下列数据，寻找规律：0，，，3，2，，3…，那么第50个数据应该是___________．
【答案】
【分析】根据题意得到这一列数据为0，，，，，，…，则第n个数据为，由此即可得到答案．
【详解】解：由题意得这一列数据为0，，，，，，…，
∴第n个数据为，∴第50个数据为，故答案为：．
【点睛】本题主要考查了与实数相关的规律题，正确找到规律是解题的关键．
变式2．（2022·四川八年级期中）定义[ x] 为不大于 x 的最大整数，如[2] 2 ，[] 1 ，[4.1] 4 ，则满足[] 70 的 n 共有_____个（n 为正整数）
【答案】141
【分析】根据已知条件可得出，平方即可得出n的取值范围，再求n得个数即可．
【详解】解：由已知条件得出：∴
∴则满足[] 70 的 n 共有个．故答案为：141．
【点睛】本题考查的知识点是无理数大小的比较，根据题目得出是解此题的关键．
变式3．（2022·广东广州市·七年级期中）对于实数p，我们规定：用＜p＞表示不小于p的最小整数，例如：＜4＞＝4，＜＞＝2．现对72进行如下操作：
即对72只需进行3次操作后变为2，类似地只需进行3次操作后变为2的所有正整数中，最大的是___．
【答案】256
【分析】根据题意可以求得只需进行3次操作后变为2的所有正整数中，最大的是哪个整数．
【详解】解：由题意可得，256第一次运算得＜256＞＝16，
第二次运算得＜＞＝4，第三次运算得＜＞＝2，
故只需进行3次操作后变为2的所有正整数中，最大的是256，故答案为：256．
【点睛】本题考查估计无理数的大小、实数大小的比较，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
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专题02 实数 高频考点（12个）（精讲）
高频考点1 平方根和算术平方根的相关概念
【解题技巧】平方根与算术平方根的区别于联系：
算术平方根 平方根
区别 定义 如果一个正数x的平方等于a，那么这个正数x叫作a的算术平方根。 如果一个数的平方等于a，那么这个数叫作a的平方根。
个数 正数的算术平方根只有一个 正数的平方根有两个
表示方法 正数a的算术平方根表示为 正数a的平方根表示为±
取值范围 正数的算术平方根一定是正数
联系 具体包含关系 平方根包含算术平方根，一个数的正的平方根就是它的算术平方根
存在的条件 只有非负数才有平方根和算术平方根
例1．（2022·河南）有下列说法：①-3是的平方根；②-7是的算术平方根：③25的平方根是；④-9的平方根是；⑤0没有算术平方根；⑥的平方根为；⑦平方根等于本身的数有0，1．其中，正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
变式1．（2022·河南濮阳市·七年级期中）下列说法：①是17的平方根；②的立方根是；③没有立方根；④互为相反数的两个数的立方根也互为相反数．错误的有（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
变式2．（2022·诸暨市七年级期中）下列说法正确的是（ ）
A．互为相反数的两个数的立方根互为相反数 B．立方根是它本身的数只有0
C．平方根是它本身的数是1和0 D．绝对值是本身的数是正数
变式3．（2022·山西浑源初二期中）下列各式正确的是（ ）
A． B． C． D．
高频考点2利用平方根和立方根解方程
解题技巧：（1）先将方程化简为的形式，移项将系数化为1；然后直接开方即可。
①当h≥0时，x+a=±，则x=－a±；②当h＜0时，方程无解
（2）求立方根的运算，一般先把式子化为的形式，当有的形式，先把看成一个整体再进行开立方。解答这种题型应紧扣立方根的概念，明确开立方根与立方互为逆运算。
例2．（2022·江苏盐城·八年级开学考试）求下列各式中的x
(1)（x+2）2＝25． (2)（x﹣3）3+27＝0
变式1．（2022·绵阳市·七年级专题练习）求下列式子中的x：
(1)25(x﹣)2＝49； (2)(x+1)2＝32．
变式2．（2022·西宁市七年级期中）求下列各式中x的值：
（1）9x2－25＝0； （2）(x＋3)3＋27＝0．
变式3．（2022·江苏·八年级）求下列各式中x的值：
(1)3x2﹣12＝0； (2)（x+1）3＝﹣8．
高频考点3立方根的相关概念与性质
【解题技巧】 ① ② ③
上述第三个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题.
例3．（2022·黑龙江牡丹江·七年级期中）若，则___________．
变式1．（2022·甘肃定西·七年级阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．负数没有立方根 B．的立方根是 C． D．立方根等于本身的数只有
变式2．（2022·江苏·八年级）若，则与的关系是
A． B．与相等 C．与互为相反数 D．
变式3．（2022·成都市·八年级课时练习）【发现】
①
②
③
④……；
(1)根据上述等式反映的规律，请再写出一个等式：____________．
【归纳】等式①，②，③，④，所反映的规律，可归纳为一个真命题：
对于任意两个有理数a，b，若，则；
【应用】根据上述所归纳的真命题，解决下列问题：
(2)若与的值互为相反数，且，求a的值．
高频考点4. 算术平方根的双重非负性
【解题技巧】①解决此类问题关键是掌握算术平方根，绝对值，偶次乘方均具有非负性.
②多个非负数相加为0，则这多个非负数必定为0.
例4．（2022·绵阳八年级期中）已知a2+＝4a﹣4，则的平方根是______________．
变式1．（2022·成都市八年级期末）已知（x+3）2+＝0，则x+y＝__．
变式2．（2022·江门市九年级二模）若，则______．
变式3．（2022·浙江八年级专题练习）已知和互为相反数，且，求的值．
高频考点5.平方根与立方根的移动规律
【解题技巧】
1）被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，.2）被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.
例如，，，，.
例5．（2022·江苏·八年级）若，，则下列各式中正确的是
A． B． C． D．
变式1．（2022·新疆七年级期中）已知，，则________（结果保留3位小数）．
变式2．（2022·江西南昌·七年级期中）已知，，若，则的值为____________．
变式3．（2022·重庆·八年级课时练习）已知，，则_____．
高频考点6. 平方根与立方根的综合应用
【解题技巧】解决此类问题关键是注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．立方根的性质：一个正数的立方根是正数，一个负数的立方根是负数，0的立方根式0．
例6．（2022·河南·商丘市七年级期中）已知：的算术平方根是3，的立方根是2，求的值．
变式1．（2022·江西·七年级期中）已知：和是a的两个不同的平方根，是a的立方根．(1)求x，y，a的值；(2)求的平方根．
变式2．（2022·新疆·七年级期末）已知某正数的两个平方根分别是和，的立方根是．求：(1)和这个正数的值；(2)的算术平方根．
变式3．（2022·利辛县七年级期中）已知3a+b-1的平方根为±4，5a+2的立方根为3．（1）求a，b的值；（2）求2a-b+1的算术平方根．
高频考点7.算术平方根和立方根的实际应用
【解题技巧】①与普通应用题列写方程的过程相似，再按照算术平方根的特性解方程。
②按照正常方程思路，首先设未知数，列等式方程；再求解未知数；最后回答题干问题。
例7．（2022·山西吕梁·七年级期中）综合与实践：如图是一张面积为的正方形纸片．
(1)正方形纸片的边长为______；（直接写出答案）(2)若用此正方形纸片制作一个体积为的无盖正方体，请在这张正方形纸片上画出无盖正方体的平面展开图的示意图，并求出该正方体所用纸片的面积．
变式1．（2022·云南·昆明市七年级期中）交通事故统计发现，每年的汽车追尾事故占所有事故的30％左右．造成追尾事故的主要原因是刹车距离把握不当，研究发现，在柏油路面上，刹车距离s与车速v的关系式是s＝（其中），当刹车距离增加一倍时，车速增加（ ）．
A．1倍 B．倍 C．－1倍 D．2倍
变式2．（2022·北京市七年级期中）示意图，小宇利用两个面积为1dm2的正方形拼成了一个面积为2dm2的大正方形，并通过测量大正方形的边长感受了dm的大小．为了感知更多无理数的大小，小宇利用类似拼正方形的方法进行了很多尝试，下列做法不能实现的是( ).
A．利用两个边长为2dm的正方形感知dm的大小
B．利用四个直角边为5dm的等腰直角三角形感知dm的大小
C．利用四个直角边分别为2dm和3dm的直角三角形及一个边长为1dm的正方形感知dm的大小
D．利用一个边长为dm的正方形以及一个直角边为2dm的等腰直角三角形感知dm的大小
变式3．（2022·安徽六安·七年级期中）把三个半径分别是3，4，5的铅球熔化后做一个更大的铅球，这个大铅球的半径是多少 （球的体积公式是，其中R是球的半径．）
高频考点8. 实数及其分类
【解题技巧】①无理数与有理数的和、差仍是无理数，无理数与非零有理数的积、商仍是无理数；
②无理数与无理数的和、差、商、积不一定是无理数；③带根号的不一定是无理数；
④通常含π和无法开方（开立方）的数是无理数，其他数为有理数。
例8．（2022·湖北·嘉鱼县七年级期末）关于实数，下列说法错误的是（ ）
A．有理数与无理数统称实数 B．实数与数轴上的点一一对应
C．无理数就是无限不循环小数 D．带根号的数都是无理数
变式1．（2022·内蒙古通辽·七年级期末）在实数，0，，3.1415926，，，，，1.353353335…中，无理数的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
变式2．（2022·宜宾八年级月考）如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图，下面说法：
①当输出值y为时，输入值x为3或9；
②当输入值x为16时，输出值y为；
③对于任意的正无理数y，都存在正整数x，使得输入x后能够输出y；
④存在这样的正整数x，输入x之后，该生成器能够一直运行，但始终不能输出y值．
其中错误的是（ ）
A．①② B．②④ C．①④ D．①③
变式3．（2022·江苏·徐州市七年级阶段练习）把下列各数填在相应的大括号内：2，0，，，，，25%，，
（1）分数集合：{ …}；（2）非负整数集合：{ …}；
（3）有理数集合：{ …}；（4）无理数集合：{ …}．
高频考点9. 实数与数轴的对应关系-数形结合
解题技巧：实数与数轴上的点是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点表示，数轴上的每一个点都表示一个实数。在解决此类问题时，要弄清楚实数在数轴上的位置，根据位置关系进行分析求解。
例1．（2022·平泉市七年级期末）如图，数轴上表示的点可能是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
变式1．（2022·江苏八年级期中）如图所示的数轴上，点C与点B关于点A对称，A、B两点对应的实数分别是1和，则点C对应的实数是（ ）
A．1﹣ B．﹣2 C．﹣ D．2﹣
变式2．（2022·浙江七年级月考）如图，将面积为3的正方形放在数轴上，以表示实数1的点为圆心，正方形的边长为半径，作圆交数轴于点、．①线段_______；②点表示的数为______．
变式3．（2022·吉林白山·七年级期中）如图，已知实数，－1，，4，其在数轴上所对应的点分别为点B，A，D，C．(1)点C与点D之间的距离为______；
(2)记点A与点B之间距离为a，点C与点D之间距离为b，求a-b的值．
高频考点10. 实数的估算与比较大小
【解题技巧】
要估算的近似值，第一步先确定估算数的整数范围，如，所以2＜＜3；
第二步以较小整数为基础，开始逐步加0.1（或以较大整数为基础，开始逐步减0.1），并求其立方确定估算数的十分位；后续小数重复如上步骤。
例10．（2022·福建福州七年级期中）我国著名的数学家华罗庚曾巧解开立方的智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．
解答：∵＜59319＜，∴是两位整数；
∵整数59319的末位上的数字是9，而整数0至9的立方中，只有＝729的末位数字是9，∴的末位数字是9；
又∵划去59319的后面三位319得到59，而3＜＜4，
∴的十位数字是3；∴＝39；
【应用】＋59049＝0，其中x是整数则x的值为______．
变式1．（2022·海南·八年级期中）估算的值应在（ ）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．0和1之间
变式2.（2022·河北邢台·八年级期末）阅读下面的文字，解答问题．例如：∵，即，∴的整数部分为2，小数部分为，请解答：（1）的整数部分是____．（2）的小数部分是____．
变式3．（2022·湖南株洲·八年级期末）四个实数5，0，，中，最大的无理数是（ ）
A． B．0 C． D．5
高频考点11 实数性质与混合运算
【解题技巧】在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．正确化简各数是解题关键．
例11．（2022·湖北武汉·七年级期中）计算：(1) (2)
变式1．（2022·湖北武汉·七年级期中）的相反数是___，﹣π的绝对值是___，＝___．
变式2.（2022·福建厦门·七年级期中）（1）；（2）．
变式3．（2022·东莞市七年级期中）计算：
高频考点12 实数中的新定义与规律问题
【解题技巧】根据题意具体分析即可
例12.（2022·北京·七年级期中）一般地，如果（n为正整数，且n＞1），那么x叫做a的n次方根，下列结论中正确的是（ ）
A．16的4次方根是2 B．32的5次方根是±2
C．当n为奇数时，2的n次方根随n的增大而减小 D．当n为偶数时，2的n次方根有n个
变式1．（2022·山东·八年级课时练习）观察分析下列数据，寻找规律：0，，，3，2，，3…，那么第50个数据应该是___________．
变式2．（2022·四川八年级期中）定义[ x] 为不大于 x 的最大整数，如[2] 2 ，[] 1 ，[4.1] 4 ，则满足[] 70 的 n 共有_____个（n 为正整数）
变式3．（2022·广东广州市·七年级期中）对于实数p，我们规定：用＜p＞表示不小于p的最小整数，例如：＜4＞＝4，＜＞＝2．现对72进行如下操作：
即对72只需进行3次操作后变为2，类似地只需进行3次操作后变为2的所有正整数中，最大的是___．
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专题02 实数 高频考点（精练）
一、选择题
1．（2022·内蒙古通辽·七年级期中）下列语句正确的是（ ）
A．的立方根是2 B．－3是27的立方根 C．的立方根是 D．（－1）2的立方根是－1
【答案】A
【分析】根据算术平方根、立方根的定义逐项判断即可得．
【详解】解：A、的立方根是2，则此项正确，符合题意；
B、是的立方根，则此项错误，不符合题意；
C、的立方根是，则此项错误，不符合题意；
D、的立方根是1，则此项错误，不符合题意；故选：A．
【点睛】本题考查了算术平方根和立方根，熟练掌握立方根的求法是解题关键．
2．（2022·福建漳州市·八年级期中）下列说法正确的是（ ）
A．0没有平方根 B．1的立方根与平方根都是1 C．25的算术平方根是5 D．的值是
【答案】C
【分析】根据平方根、立方根、算数平方根的意义逐一进行判定即可
【详解】解：A. 0的平方根是0，选项A错误；B. 1的立方根是1，1的平方根是，选项B错误；
C. 25的算术平方根是5， 选项C正确；D. 的值是，选项D错误；故选：C
【点睛】本题考查了平方根、立方根、算数平方根，熟练掌握相关的概念是解题的关键
3．（2022·广西·七年级期中）下列说法中，其中不正确的有（ ）
（1）任何数都有平方根，（2）一个数的算术平方根一定是正数，
（3）的算术平方根是a，（4）一个数的算术平方根不可能是负数．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】D
【分析】运用算术平方根和平方根的定义判定即可．
【详解】解：（1）因为负数没有平方根，所以原说法不正确；
（2）一个数的算术平方根不一定是正数，0的算术平方根是0，所以原说法不正确；
（3）当a≥0时，的算术平方根是a，当a＜0时，的算术平方根是 a，所以原说法不正确；
（4）一个数的算术平方根不可能是负数．正确．不正确的有3个，故选：D．
【点睛】本题主要考查了算术平方根和平方根，解题的关键是熟记算术平方根和平方根的定义．
4．（2022·广西南宁·七年级期中）已知＝2.3928，＝1.1106，＝0.5155，则的值是（ ）
A．23.928 B．11.106 C．5.155 D．51.55
【答案】B
【分析】根据立方根的定义，结合“一个数小数点向右（或左）移动3位，其立方根的小数点向右（或左）移动1位”进行判断即可．
【详解】解：；故选：B
【点睛】本题考查立方根，理解立方根的定义是正确解答的前提，掌握一个数小数点向右（或左）移动3位，其立方根的小数点向右（或左）移动1位是正确解答的关键．
5．（2022·湖北孝感·七年级期中）在，，，是圆周率），，，中，负有理数共有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】B
【分析】根据有理数的定义即可求出答案．
【详解】解：∵，，，，，
∴ ，， ，是负有理数，故选：B．
【点睛】本题考查负有理数，解题关键是正确理解有理数的定义，属于基础题型．
6．（2022·河南·八年级期中）2020年3月14日，是全球首个“国际圆周率日（πDay）”．国际圆周率日之所以定在3月14日，是因为“3.14”是与圆周率数值最接近的数字．祖冲之是世界上最早把圆周率的精确值计算到小数点后第7位的中国古代科学巨匠，该成果领先世界一千多年．以下关于“圆周率”的四个命题，错误的是（ ）
A．圆周率是一个大于3而小于4的无理数 B．圆周率是一个近似数
C．圆周率是一个与圆的大小无关的常数 D．圆周率等于该圆的周长与直径的比值
【答案】B
【分析】根据实数的分类和π的特点进行解答即可得出答案．
【详解】解：A、圆周率是一个大于3而小于4的无理数，是真命题；
B、圆周率是一个无理数，原命题是假命题；
C、圆周率是一个与圆的大小无关的常数，是真命题；
D、圆周率等于该圆的周长与直径的比值，是真命题；故选：B．
【点睛】此题考查了实数，熟练掌握实数的分类和“π”的意义是解题的关键．
7．（2022·浙江台州·七年级期中）设表示小于的最大整数，如，，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．的最小值是0 C．的最大值是1 D．不存在实数，使
【答案】C
【分析】根据新定义，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、，故本选项错误，不符合题意；
B、因为表示小于的最大整数，所以，故本选项错误，不符合题意；
C、因为表示小于的最大整数，所以的最大值是1，故本选项正确，符合题意；
D、存在实数，使，如，则，故本选项错误，不符合题意；
故选：C.
【点睛】本题主要考查了实数的大小比较和新定义运算，正确理解表示小于的最大整数是解题的关键．
8．（2022·山东泰安·八年级期中）有一个数值转换器，原理如下：
当输入的时，输出的等于（ ）
A．2 B．8 C． D．
【答案】C
【分析】】将x=64代入程序进行计算即可．
【详解】解：当x=64时，是有理数，继续计算，
将x=8代入得是无理数，输出 故选：C．
【点睛】本题主要考查的是算术平方根的定义、无理数的定义，依据程序进行计算是解题的关键．
9．（2022·湖北武汉·七年级期中）对于实数x，我们规定表示不大于x的最大整数，如，，．现对82进行如下操作：，这样对82只需进行3次操作后变为1．类似地，对625只需进行（ ）次操作后变为1．
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【分析】根据程序图一步一步计算即可得出答案．
【详解】解：第一次，[]＝[]＝[25]＝25，第二次，[]＝[]＝[5]＝5，
第三次，[]＝[]＝2，第四次，[]＝[]＝1，故选：A．
【点睛】本题考查了新定义的运算、算术平方根、无理数的估算等知识，熟练掌握算术平方根的求法是解题的关键．
二、填空题
10．（2022·内蒙古巴彦淖尔·七年级期中）已知，则_____．
【答案】2
【分析】根据非负数的性质得出x，y的值，再根据立方根的定义解答即可．
【详解】解：∵，∴x＋2＝0，y 10＝0，
解得：x＝ 2，y＝10，∴，答案为：2．
【点睛】此题考查绝对值和算术平方根的非负性，求立方根，关键是据非负数的性质得出x，y的值．
11．（2022·黑龙江七年级期中）若，，则______．
【答案】
【分析】根据算术平方根的性质，将原式变形为得出答案即可．
【详解】解：，，
，故答案是：．
【点睛】本题考查了算术平方根的性质，解题的关键是根据已知得出．
12．（2022·浙江七年级期中）如图，在纸面上有一数轴，点A表示的数为﹣1，点B表示的数为3，点C表示的数为．若子轩同学先将纸面以点B为中心折叠，然后再次折叠纸面使点A和点B重合，则此时数轴上与点C重合的点所表示的数是_______．
【答案】4+或6﹣或2﹣．
【分析】先求出第一次折叠与A重合的点表示的数，然后再求两点间的距离即可；同理再求出第二次折叠与C点重合的点表示的数即可．
【详解】解：第一次折叠后与A重合的点表示的数是：3+（3+1）＝7．
与C重合的点表示的数：3+（3﹣）＝6﹣．
第二次折叠，折叠点表示的数为：（3+7）＝5或（﹣1+3）＝1．
此时与数轴上的点C重合的点表示的数为：
5+（5﹣6+）＝4+或1﹣（﹣1）＝2﹣．
故答案为：4+或6﹣或2﹣．
【点睛】本题主要考查了数轴上的点和折叠问题，掌握折叠的性质是解答本题的关键．
13．（2022·河南商丘·七年级期中）若的平方根是0，的立方根是-1，则的算术平方根是_______．
【答案】16
【分析】首先根据平方根和立方根的概念，求出含a和b的代数式的值，最后代入即可得出答案．
【详解】∵0的平方根是0，-1的立方根是-1，
∴，解得：∴故答案为：16．
【点睛】本题考查了平方根和立方根的概念，准确算出平方根和立方根是本题的关键．
14．（2022·山西七年级期中）制作一个表面积为18正方体纸盒，这个正方体棱长是______．
【答案】
【分析】设这个正方体棱长是x，根据正方体的表面积公式可得，然后利用平方根的运算即可求解．
【详解】解：设这个正方体棱长是x，
根据题意得： ，解得： 或 （舍去）．故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平方根的运算，根据正方体的表面积公式得到是解题的关键．
15.（2022·成都市八年级期中）与最接近的整数是___．
【答案】1
【分析】先据无理数的估算可得，再比较与的大小，由此即可得出答案．
【详解】解：，，即，
，，，，
，最接近的整数是4，最接近的整数是，故答案：1．
【点睛】本题考查了无理数的估算、实数的大小比较，熟练掌握无理数的估算方法是解题关键．
16．（2022·广西·八年级阶段练习）观察一列数：，﹣2，，﹣2，，﹣2，…，按此规律，这列数的第20个数是 _____．（结果需化简）
【答案】
【分析】根据题意可知：奇数项的符号为正，偶数项的符号为负，然后这列数化为带根号后，被开方数的规律是2、4、6、8、10……，从而可判断该列数的第20个数．
【详解】解：该列数化为，……，
这列数第20个数为：，故答案为：﹣2．
【点睛】本题考查数字的变化，解题的关键是正确找出题中给出的规律，本题属于基础题型．
17．（2022·山东滨州·七年级期末）计算：＝_____．
【答案】
【分析】先计算乘方，算术平方根，立方根和绝对值，再计算加减法．
【详解】解：=1-==．
【点睛】此题考查了实数的混合运算，正确掌握实数混合运算的法则及运算顺序是解题的关键．
18．（2022·绵阳市·七年级）若y＝﹣+6x，则的值为 _____．
【答案】
【分析】根据被开方数非负性即可求出x、y的值，再代入计算即可．
【详解】∵y＝﹣+6x，
∴，解得∴
∴故答案为：．
【点睛】本题考查算术平方根的非负性以及求一个数的算术平方根，熟记被开方数非负性是解题关键．
19．（2022·北京市八年级期中）若是整数．写出一个符合条件的整数n的值______．
【答案】5（不唯一）
【分析】设20n是一个平方数，则5n是一个平方数，进而推出n的值．
【详解】设（a是正整数），则,
∴，∴5n是一个平方数，
∴n=5，20，45，…，（m是正整数）．
取n=5．故答案为，5（不唯一）．
【点睛】本题考查了算术平方根，解题的关键是能熟知一些数的平方数．
20．（2022·山东菏泽·八年级期中）阅读材料：如果两个正数a、b，即，，则有下面的不等式，当且仅当时取到等号．我们把叫做正数a、b算术平均数，把叫做正数a、b的几何平均数，于是上述不等式可表述为：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具．根据上述材料，若，则y最小值为________．
【答案】
【分析】根据“两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数”可得的最小值．
【详解】解∶∵如果两个正数a、b，即，，则有下面的不等式，当且仅当时取到等号，∴即，当且仅当时，等号成立，
∴y的最小值为．故答案为∶．
【点睛】本题考查新定义以及算术平均数与几何平均数之间的关系，正确理解新定义与性质是解题的关键．
三、解答题
21．（2022·河南）求下列各式中的．
（1）； （2）．
【答案】（1）；（2）或．
【分析】（1）先移项，方程两边除以4，再开方即可；
（2）先开方，再分别求解或，即可得出答案．
【详解】解：（1），
，
，
；
（2）∵，
∴或，
解得：或．
【点睛】此题考查了利用平方根解方程，熟练掌握平方根的定义是解题的关键．
22．（2022·江苏泰州·八年级期末）求下列各式中的x：
(1)； (2)．
【答案】(1) (2)，
【分析】（1）先移项，然后直接开立方即可；
（2）先系数化1，然后开平方，移项合并即可．
(1)，
∴，
∴x=-2；
(2)，
∴，
∴x+1=，
∴，．
【点睛】本题考查了开平方和开立方解方程，掌握直接开平方法和开立方法解方程是解题的关键．
23．（2022·甘肃定西·七年级期中）计算：
(1) (2)
【答案】(1)-3； (2)6-．
【分析】（1）先计算算术平方根以及立方根，再算加减法，即可求解；
（2）先计算算术平方根，立方根和绝对值，再算加减法，即可求解．
（1）解：
=4-2-5
=-3；
（2）解：
=9-2-3+2-
=6-．
【点睛】本题主要考查实数的混合运算，掌握算术平方根，立方根和绝对值是解题的关键．
24．（2022·常熟市第一中学八年级月考）计算：
（1） （2）
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）先分别利用平方根、立方根及绝对值的性质进行化简，再合并化简结果即可；
（2）先分别利用零指数幂、立方根及平方根的性质进行化简，再合并化简结果即可．
【详解】解：（1）
；
（2）
．
【点睛】此题考查了实数的混合运算，掌握实数运算的相关法则是解题的关键．
25．（2022·广西·八年级课时练习）下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？
，，（相邻两个之间有个），（小数部分由相继的正整数组成）．
【答案】，，（相邻两个之间有个）是有理数；（小数部分由相继的正整数组成）是无理数．
【分析】根据有理数的定义（整数和分数统称为有理数，无限循环小数属于有理数）和无理数的定义（无限不循环小数叫无理数）即可得．
【详解】解：，，（相邻两个之间有个）是有理数；
（小数部分由相继的正整数组成）是无理数．
【点睛】本题考查了有理数和无理数，熟记定义是解题关键．
26．（2022·广东阳江·七年级期中）已知和是某数的两个平方根，的立方根是．
(1)求a，b的值；(2)求的算术平方根．
【答案】(1)a＝2，b＝－6
(2)5a 3b+8的算术平方根为6
【分析】（1）根据某数的两个平方根互为相反数即可确定a的值，然后代入12 + 7b + 3＝－27求解即可；
（2）先求出代数式的值，然后求算术平方根即可．
(1)解：根据题意可得：，解得a＝2．
又由，
把a＝2代入得12 + 7b + 3＝－27
∴b＝－6．
(2)当a＝2，b＝－6时，
∴5a－3b+8＝5×2－3×（－6）+8＝36，
∴．
【点睛】题目主要考查平方根及立方根的性质，算术平方根的计算方法，熟练掌握平方根及立方根的计算方法是解题关键．
27．（2022·广东·八年级课时练习）对于结论：当时，也成立．若将看成的立方根，看成的立方根，由此得出这样的结论：“如果两数的立方根互为相反数，那么这两个数也互为相反数”．若和互为相反数，且的平方根是它本身，求的立方根．
【答案】-2
【分析】根据和互为相反数，可得，从而得到，再由的平方根是它本身，可得，即可求解．
【详解】解：和互为相反数，
，
，
解得：，
的平方根是它本身，
，
，
，
的立方根是．
【点睛】本题主要考查了立方根的性质，平方根的性质，熟练掌握立方根的性质，平方根的性质是解题的关键．
28．（2022·海安市初二月考）已知：实数、满足关系式，求：的值．
【答案】=2020．
【分析】根据非负数的性质列方程求出a、b、c的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【解析】解：∵∴a-2=0，=0，2017-c=0，
解得a=2，=，c=2017，所以，=+2017=3+2017=2020．
【点睛】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
29．（2022·江苏·八年级专题练习）小强同学用两个小正方形纸片做拼、剪构造大正方形游戏：（他选用的两个小正方形的面积分别为、）．
(1)如图1，，拼成的大正方形边长为___________；
如图2，，拼成的大正方形边长为___________；
如图3，，拼成的大正方形边长为___________．
(2)若将（1）中的图3沿正方形边的方向剪裁，能否剪出一个面积为14.52且长宽之比为4∶3的长方形？若能，求它的长、宽；若不能，请说明理由；
【答案】(1)；；
(2)不能用正方形纸片裁出符合要求的长方形纸片，理由见解析
【分析】（1）求出所拼成的正方形的面积，再根据算术平方根的定义进行计算即可；
（2）根据题意求出其长、宽，再根据算术平方根进行验证即可．
(1)解：如图1，当S1=1，S2=1，拼成的大正方形A1B1C1D1的面积为1+1=2，因此其边长为；
如图2，当S1=1，S2=4，拼成的大正方形A2B2C2D2的面积为1+4=5，因此其边长为；
如图3，当S1=1，S2=16，拼成的大正方形A3B3C3D3的面积为1+16=17，因此其边长为；
故答案为：，，；
(2)解：不能，理由如下：
设长方形的长为4x，宽为3x，则有4x 3x=14.52，
所以x2=1.21，即x=1.1（x＞0），
因此长方形的长为4x=4.4，宽为3x=3.3，
因为（4.4）2=19.36＞17，所以不能用正方形A3B3C3D3剪出一个面积为14.52且长宽之比为4：3的长方形．
【点睛】本题考查算术平方根，理解算术平方根的定义是正确解答的前提．
30．（2022·湖北武汉·七年级期中）观察：∵，∴，∴的整数部分为2，小数部分为．
(1)的整数部分是______，的小数部分是______；
(2)小明将一个长为10cm，宽为8cm的长方形纸片按与边平行的方向进行裁剪，裁剪出两个大小不一的正方形，使它们的边长之比为，面积之和为，小明能否裁剪出这两个正方形？若能，请说明理由并求出这两个正方形的面积；若不能，也说明理由．
【答案】(1)7；(2)不能，理由见解析
【分析】（1）先估算的大小，进而求得整数部分与的小数部分；
（2）根据题意建立方程，解方程可得，比较与10的大小即可求解．
（1）整数部分是：7，
的小数部分为故答案为：7；
（2）解：不能．理由如下：假设能剪裁出，设两个正方形边长分别为4xcm，3xcm，
依题意有：解得或
∵，∴ ∵
∴不能剪裁出这样的两个正方形．
【点睛】本题考查了无理数的估算，根据平方根解方程，算术平方根的应用，掌握无理数的估算是解题的关键．
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专题02 实数 高频考点（精练）
一、选择题
1．（2022·内蒙古通辽·七年级期中）下列语句正确的是（ ）
A．的立方根是2 B．－3是27的立方根 C．的立方根是 D．（－1）2的立方根是－1
2．（2022·福建漳州市·八年级期中）下列说法正确的是（ ）
A．0没有平方根 B．1的立方根与平方根都是1 C．25的算术平方根是5 D．的值是
3．（2022·广西·七年级期中）下列说法中，其中不正确的有（ ）
（1）任何数都有平方根，（2）一个数的算术平方根一定是正数，
（3）的算术平方根是a，（4）一个数的算术平方根不可能是负数．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
4．（2022·广西南宁·七年级期中）已知＝2.3928，＝1.1106，＝0.5155，则的值是（ ）
A．23.928 B．11.106 C．5.155 D．51.55
5．（2022·湖北孝感·七年级期中）在，，，是圆周率），，，中，负有理数共有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
6．（2022·河南·八年级期中）2020年3月14日，是全球首个“国际圆周率日（πDay）”．国际圆周率日之所以定在3月14日，是因为“3.14”是与圆周率数值最接近的数字．祖冲之是世界上最早把圆周率的精确值计算到小数点后第7位的中国古代科学巨匠，该成果领先世界一千多年．以下关于“圆周率”的四个命题，错误的是（ ）
A．圆周率是一个大于3而小于4的无理数 B．圆周率是一个近似数
C．圆周率是一个与圆的大小无关的常数 D．圆周率等于该圆的周长与直径的比值
7．（2022·浙江台州·七年级期中）设表示小于的最大整数，如，，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．的最小值是0 C．的最大值是1 D．不存在实数，使
8．（2022·山东泰安·八年级期中）有一个数值转换器，原理如下：
当输入的时，输出的等于（ ）
A．2 B．8 C． D．
9．（2022·湖北武汉·七年级期中）对于实数x，我们规定表示不大于x的最大整数，如，，．现对82进行如下操作：，这样对82只需进行3次操作后变为1．类似地，对625只需进行（ ）次操作后变为1．
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题
10．（2022·内蒙古巴彦淖尔·七年级期中）已知，则_____．
11．（2022·黑龙江七年级期中）若，，则______．
12．（2022·浙江七年级期中）如图，在纸面上有一数轴，点A表示的数为﹣1，点B表示的数为3，点C表示的数为．若子轩同学先将纸面以点B为中心折叠，然后再次折叠纸面使点A和点B重合，则此时数轴上与点C重合的点所表示的数是_______．
13．（2022·河南商丘·七年级期中）若的平方根是0，的立方根是-1，则的算术平方根是_______．
14．（2022·山西七年级期中）制作一个表面积为18正方体纸盒，这个正方体棱长是______．
15.（2022·成都市八年级期中）与最接近的整数是___．
16．（2022·广西·八年级阶段练习）观察一列数：，﹣2，，﹣2，，﹣2，…，按此规律，这列数的第20个数是 _____．（结果需化简）
17．（2022·山东滨州·七年级期末）计算：＝_____．
18．（2022·绵阳市·七年级）若y＝﹣+6x，则的值为 _____．
19．（2022·北京市八年级期中）若是整数．写出一个符合条件的整数n的值______．
20．（2022·山东菏泽·八年级期中）阅读材料：如果两个正数a、b，即，，则有下面的不等式，当且仅当时取到等号．我们把叫做正数a、b算术平均数，把叫做正数a、b的几何平均数，于是上述不等式可表述为：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具．根据上述材料，若，则y最小值为________．
三、解答题
21．（2022·河南）求下列各式中的．
（1）； （2）．
22．（2022·江苏泰州·八年级期末）求下列各式中的x：
(1)； (2)．
23．（2022·甘肃定西·七年级期中）计算：
(1) (2)
24．（2022·常熟市第一中学八年级月考）计算：
（1） （2）
25．（2022·广西·八年级课时练习）下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？
，，（相邻两个之间有个），（小数部分由相继的正整数组成）．
26．（2022·广东阳江·七年级期中）已知和是某数的两个平方根，的立方根是．
(1)求a，b的值；(2)求的算术平方根．
27．（2022·广东·八年级课时练习）对于结论：当时，也成立．若将看成的立方根，看成的立方根，由此得出这样的结论：“如果两数的立方根互为相反数，那么这两个数也互为相反数”．若和互为相反数，且的平方根是它本身，求的立方根．
28．（2022·海安市初二月考）已知：实数、满足关系式，求：的值．
29．（2022·江苏·八年级专题练习）小强同学用两个小正方形纸片做拼、剪构造大正方形游戏：（他选用的两个小正方形的面积分别为、）．
(1)如图1，，拼成的大正方形边长为___________；
如图2，，拼成的大正方形边长为___________；
如图3，，拼成的大正方形边长为___________．
(2)若将（1）中的图3沿正方形边的方向剪裁，能否剪出一个面积为14.52且长宽之比为4∶3的长方形？若能，求它的长、宽；若不能，请说明理由；
30．（2022·湖北武汉·七年级期中）观察：∵，∴，∴的整数部分为2，小数部分为．
(1)的整数部分是______，的小数部分是______；
(2)小明将一个长为10cm，宽为8cm的长方形纸片按与边平行的方向进行裁剪，裁剪出两个大小不一的正方形，使它们的边长之比为，面积之和为，小明能否裁剪出这两个正方形？若能，请说明理由并求出这两个正方形的面积；若不能，也说明理由．
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