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专题01 相交线与平行线 高频考点（17个）（精讲）
高频考点1、相交线与平行线（垂线）的相关概念
【解题技巧】
相交线定义：如果两条直线只有一个公共点时，我们称这两条直线相交，称这两条直线为相交线。
平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，如果直线a与b平行，记作a∥b．
垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
例1．（2022·河北·模拟预测）下面关于平行线的说法中，正确的个数是 （ ）
①在同一平面内，不相交的两条直线必平行；②在同一平面内，不相交的两条线段必平行；
③在同一平面内，不平行的两条直线必相交；④在同一平面内，不平行的两条线段必相交
A．0 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据平面内直线和线段的位置关系判断．
【详解】在同一平面内，不相交的两条直线必平行，不平行的两条直线必相交，
线段则不一定，故①③正确。故选B
【点睛】本题主要考查在同一平面内两直线的位置关系，需要注意②和④说的是线段．
变式1．（2022·广西桂林·七年级期末）按语句画图：点在直线上，也在直线上，但不在直线上，直线，，两两相交正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据相交线的概念、点与直线的位置关系进行判断即可．
【详解】解：A．符合条件， B．不符合点P不在直线c上；
C．不符合点P在直线a上；D．不符合直线a、b、c两两相交；故选：A．
【点睛】本题考查的是相交线、点与直线的位置关系，正确理解题意、认识图形是解题的关键．
变式2．（2020·河北·中考真题）如图，在平面内作已知直线的垂线，可作垂线的条数有（ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条
【答案】D
【分析】在同一平面内，过已知直线上的一点有且只有一条直线垂直于已知直线；但画已知直线的垂线，可以画无数条．
【详解】在同一平面内，画已知直线的垂线，可以画无数条；故选：D．
【点睛】此题主要考查在同一平面内，垂直于平行的特征，解题的关键是熟知垂直的定义．
变式3．（2022·吉林吉林·七年级期末）下列语句中，有一个是错误的，其余三个都是正确的：
①直线EF经过点C； ②点A在直线l外；③直线AB的长为5 cm；④两条线段m和n相交于点P．
（1）错误的语句为________（填序号）．（2）按其余三个正确的语句，画出图形．
【答案】（1）③；（2）见解析
【分析】（1）点与直线的位置关系，直线的定义，两条直线的位置关系，逐项判断即可求解；
（2）根据点与直线的位置关系，两条直线的位置关系，画出图形，即可求解．
【详解】解：（1）①直线EF经过点C，故本说法正确；②点A在直线l外，故本说法正确；
③因为直线向两端无限延伸，所以长度无法测量，故本说法错误；
④两条线段m和n相交于点P，故本说法正确；所以错误的语句为③；
（2）图形如图所示：
【点睛】本题主要考查了点与直线的位置关系，直线的定义，两条直线的位置关系，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
高频考点2、对顶角、邻补角、垂直的性质
【解题技巧】邻补角、对顶角在解题中常常起着桥梁的作用，它们可以将未知角和已知角直接联系起来，是复杂的问题简单化。我们要善于挖掘题干中的隐含信息，充分利用邻补角和对顶角的关系，使其与已知条件相联系，从而使所求问题得到解决。
例2．（2022·浙江杭州·七年级期末）如图，直线、交于点，则下列结论中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据对顶角和邻补角的性质，即可求解．
【详解】解：∵直线、交于点，
∴，，，
故A、C错误，不符合题意；B正确，符合题意；
无法确定与 的数量关系，故D错误，不符合题意；故选：B
【点睛】本题主要考查了对顶角和邻补角的性质，熟练掌握对顶角相等，互为补角的两个角的和等于180°是解题的关键．
变式1．（2022·黑龙江·哈尔滨七年级期中）下列四个图形中，和是对顶角的是（ ）．
A．B．C． D．
【答案】D
【分析】根据对顶角的定义，对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角，据此即可判断．
【详解】解： A、两角只有一条边互为反向延长线，另一条边没有互为反向延长线，不符合题意；
B、两角没有公共顶点，两角也是只有一条边互为反向延长线，另一条边没有互为反向延长线，不符合题意；C、两角只有一条边互为反向延长线，另一条边没有互为反向延长线，不符合题意；D、两角有一个公共顶点，并且一个角的两边是另一个角两边的反向延长线的两个角，符合题意；故选：D．
【点睛】本题考查了对顶角的定义，属于基础题，熟练掌握对顶角的概念是解决本题的关键．
变式2．（2022·福建福州·七年级期末）下面四个图形中，与互为邻补角的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据邻补角的定义作出判断即可．
【详解】解：根据邻补角的定义可知：只有C图中的是邻补角，其它都不是．故选：C．
【点睛】本题考查了邻补角的定义，正确把握定义：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角，熟记邻补角的定义是解题的关键．
变式3．（2022·北京市七年级期中）直线，相交于点．分别平分．下列说法正确的是( )
A．在同一直线上 B．在同一直线上
C． D．
【答案】D
【分析】根据角平分线的性质得到，又因为与是补角，所以，所以，所以A错误，D正确；因为，且与是对顶角，所以，所以，与共线，所以，，所以B，C均错误．
【详解】解：如图，
∵，∵分别是的平分线，
∴，∵是的平分线，∴，
∴，∴，
∴射线互相垂直，故D正确；故A错误；射线互相垂直；故C错误；故B错误．
故选：D．
【点睛】本题考查了垂线，对顶角，角平分线的定义，正确的识别图形是解题的关键．
高频考点3、垂线段的作图及相关应用
【解题技巧】垂线的性质：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短．
例3．（2022·江苏常州·中考真题）如图，斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路．小丽觉得行人沿垂直马路的方向走过斑马线更为合理，这一想法体现的数学依据是（ ）
A．垂线段最短 B．两点确定一条直线
C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
【答案】A
【分析】根据垂线段最短解答即可．
【详解】解：行人沿垂直马路的方向走过斑马线，体现的数学依据是垂线段最短，故选：A．
【点睛】本题考查垂线段最短，熟知垂线段最短是解答的关键．
变式1．（2022·四川·渠县七年级阶段练习）下列图形中，线段的长表示点A到直线的距离的是（ ）
A．B．C． D．
【答案】B
【分析】直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．
【详解】解：A．AD与BC不垂直，故线段AD的长不能表示点A到直线BC距离，不合题意；
B． AD⊥BC于D，则线段AD的长表示点A到直线BC的距离，符合题意；
C．AD与BC不垂直，故线段AD的长不能表示点A到直线BC距离，不合题意；
D．AD与BC不垂直，故线段AD的长不能表示点A到直线BC距离，不合题意．故选：B．
【点睛】本题考查了点到直线的距离的定义，注意从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．
变式2．（2022·广东·深圳七年级期中）以下说法中：①同角的余角相等；②对顶角相等；③平面内，过一点有两条直线与已知直线垂直；④直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短；⑤从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到这条直线的距离．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据余角的性质判断①；根据对顶角的性质判断②；根据垂线的性质判断③④；根据点到这条直线的距离判断⑤．
【详解】解：同角的余角相等，故①符合题意；对顶角相等，故②符合题意；
平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故③不符合题意；
直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，故④符合题意；
从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到这条直线的距离，故⑤不符合题意；
正确的有3个，故选：C．
【点睛】本题考查了点到直线的距离，余角和补角，垂线，垂线段最短，掌握从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到这条直线的距离是解题的关键．
变式3．（2022·浙江丽水·七年级期末）如图，已知点A、B、C，按下列要求画出图形．
(1)作射线BA，直线AC；(2)过点B画直线AC的垂线段BH．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【分析】（1）根据射线、直线的概念作图即可；（2）根据垂线段的概念作图即可．
（1）解：如下图，射线BA、直线AC即为所求．
（2）解：如下图，线段BH即为所求．
【点睛】本题主要考查了作图的知识，理解并掌握射线、直线和垂线段的概念是解题关键．
高频考点4、同位角、内错角、同旁内角的辨别
【解题技巧】常见的识别方法有2种，具体如下
方法一、定义法：如下图：
①确定第三条直线截另外2条直线，从而找出8个角
例：确定直线c截a、b两条直线，则在直线c的两侧有∠1、∠2、∠3、∠4、∠5、∠6、∠7、∠8这8个角，则3类角的关系必定是在这8个角中寻找；
②根据角的名字（特点）确定位置关系。注意，位置关系包含2个部分：a.与第三条直线的位置关系；b.与被截两条直线的位置关系
例：同位角，即：在第三条直线的同一侧，且在被截两条直线的同一侧。则∠8与∠4符合同位角关系。
内错角，即：在第三条直线的两侧（错开），且在被截两条直线的内侧。则∠8与∠2符合内错角关系。
同旁内角，即：在第三条直线的同侧，且在被截两条直线的内侧。则∠8与∠3符合同旁内角关系。
方法二、像形识别法：①同位角：F ②内错角：Z ③同旁内角：C
例4．（2022·湖南长沙·七年级期末）如图所示，下列说法中错误的是（ ）
A．∠2与∠B是内错角 B．∠A与∠1是内错角
C．∠3与∠B是同旁内角 D．∠A与∠3是同位角
【答案】B
【分析】根据同位角、内错角、同旁内角的定义，分别对选项进行分析，即可得出结果．
【详解】解：A、∠2与∠B是内错角，故该选项正确；B、∠A与∠1不是内错角，故该选项错误；
C、∠3与∠B是同旁内角，故该选项正确；D、∠A与∠3是同位角，故该选项正确．故选：B
【点睛】本题考查了同位角、内错角、同旁内角的定义，解本题的关键在熟练掌握相关定义．同位角：在同一平面内，两条直线被第三条直线所截，在截线的同侧，在被截直线的同侧；内错角：在同一平面内，两条直线被第三条直线所截，在截线的两侧，在被截直线的内侧；同旁内角：在同一平面内，两条直线被第三条直线所截，在截线的同侧，在被截直线的内侧．
变式1．（2022·黑龙江·哈尔滨七年级期中）图中与是同位角的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据同位角的定义作答．
【详解】解：第1个图和第4个图中的与是同位角，有2个，故选：B．
【点睛】本题考查了同位角的识别，两条直线被第三条直线所截，在截线的同侧，在两条被截直线的同旁的两个角是同位角．如果两个角是同位角，那么它们一定有一条边在同一条直线上．
变式2．（2022·黑龙江·虎林市七年级期中）下列图中∠1与∠2是内错角的是（ ）
A．B．C． D．
【答案】A
【分析】根据内错角的定义求解即可：两条直线被第三条直线所截，两个角在截线的两侧，且夹在两被截直线的之间，那么这两个角就叫做内错角．
【详解】解：A、∠1与∠2是内错角，符合题意；B、∠1与∠2不是内错角，不符合题意；
C、∠1与∠2不是内错角，不符合题意；D、∠1与∠2不是内错角，不符合题意；故选A．
【点睛】本题主要考查了内错角的定义，熟知内错角的定义是解题的关键．
变式3．（2022·浙江丽水·七年级期末）如图，下列各角与不是同旁内角的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据“两条直线被第三条直线所截，位于两条直线的内部且在截线的同旁，这样的两个角叫做同旁内角”逐项进行判断即可．
【详解】解：A．与是直线、直线，被直线所截的同旁内角，因此选项A不符合题意；B．与是直线、直线，被直线所截的内错角，因此选项B符合题意；
C．与是直线、直线，被直线所截的同旁内角，因此选项C不符合题意；
D．与是直线、直线，被直线所截的同旁内角，因此选项D不符合题意；故选：B．
【点睛】本题考查同位角、内错角、同旁内角，掌握同位角、内错角、同旁内角的定义是正确判断的前提．
高频考点5、平行线的作法与平行公理的应用
【解题技巧】平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
例5．（2022·河北张家口·七年级期末）下列说法正确的是（ ）
A．，，是直线，且，，则 B．，，是直线，且，，则
C．，，是直线，且，，则 D．，，是直线，且，，则
【答案】D
【分析】根据题意画出图形，从而可做出判断．
【详解】解：先根据要求画出图形，图形如下图所示：
根据所画图形可知：D正确．故选：D
【点睛】本题主要考查了平行线的判定，根据题意画出符合题意的图形是解题的关键．
变式1．（2022·绵阳市七年级期中）若直线l1l，l2l，则（ ）
A．l1l2 B．l1⊥l2 C．l1与l2相交 D．以上都不对
【答案】A
【分析】根据平行于同一直线的两直线互相平行解答．
【详解】解：∵l1∥l，l2∥l，∴l1∥l2．故选：A．
【点睛】本题主要考查直线的平行公理，正确理解题意是解题的关键．
变式2．（2022·河北·高邑县七年级期末）如图，在平面内经过一点作已知直线的平行线，可作平行线的条数有（ ）
A．0条 B．1条 C．0条或1条 D．无数条
【答案】C
【分析】根据平行公理的定义：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，可直接得结论．
【详解】解：在同一平面内，当这个点在直线上时，此时可作0条与已知直线平行的线，，
当这个点在直线外时，可以作一条直线于已知直线m的平行．故选C．
【点睛】本题考查了平行线的定义．掌握平行线的定义是解决本题的关键．
变式3．（2020·浙江衢州·中考真题）过直线l外一点P作直线l的平行线，下列尺规作图中错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据平行线的判定方法一一判断即可．
【详解】A、由作图可知，内错角相等两直线平行，本选项不符合题意．
B、由作图可知，同位角相等两直线平行，本选项不符合题意．
C、与作图可知，垂直于同一条直线的两条直线平行，本选项不符合题意，
D、无法判断两直线平行，故选：D．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，平行线的判定等知识，解题的关键是读懂图象信息，属于中考常考题型．
高频考点6、平行线的判定
【解题技巧】直线平行的判定
判定方法1：同位角相等，两直线平行. 如上图，几何语言：
∵∠3＝∠2 ∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）
判定方法2：内错角相等，两直线平行. 如上图，几何语言：
∵∠1＝∠2 ∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）
判定方法3：同旁内角互补，两直线平行. 如上图，几何语言：
∵∠4＋∠2＝180° ∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）
例6．（2022·浙江台州·七年级期末）在铺设铁轨时，两条直轨必须是互相平行的，如图，已经知道是直角，那么再度量图中已标出的哪个角，不能判断两条直轨是否平行( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】因为∠2是直角，只要找出与∠2互为同位角、内错角、同旁内角的其他角，根据平行线的判定定理判定即可得到正确答案．
【详解】因为∠2是直角，∠4和∠2是同位角，如果度量出，
根据“同位角相等，两直线平行”，就可以判断两条直轨平行，∠5和∠2是内错角，如果度量出，
根据“内错角相等，两直线平行”，就可以判断两条直轨平行，∠3和∠2是同旁内角，如果度量出，
根据“同旁内角互补，两直线平行”，就可以判断两条直轨平行，所以答案为：A．
【点睛】本题考查两直线平行的判定定理，解决本题的关键是熟练的掌握平行线的判定定理．
变式1．（2022·山东淄博·期末）如图，点E在BC的延长线上，下列条件中不能判定的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据平行线的判定定理同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行分别进行分析．
【详解】解：A、∵，∴，故选项A不能判定，符合题意；
B、∵，∴，故选项B能判定，不符合题意；
C、∵，∴，故选项C能判定，不符合题意；
D、∵，即，
∴，故选项D能判定，不符合题意；故选：A．
【点睛】此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握平行线的判定定理．
变式2．（2022·云南·弥勒市长君实验中学七年级阶段练习）如图，点E在AC的延长线上，下列条件中能判断的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据平行线的判定定理分别进行分析即可求解．
【详解】解：A、∠1=∠2可判断，故此选项符合题意；
B、∠3=∠4可判断，故此选项不符合题意；
C、∠D=∠DCE可判断，故此选项不符合题意；
D、∠D+∠ACD=180°可判断，故此选项不符合题意． 故选：A．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定，关键是掌握同位角相等，两直线平行．内错角相等，两直线平行．同旁内角互补，两直线平行．
变式3．（2022·山东省诸城市七年级期中）如图，不添加辅助线，请写出一个能判定的条件______．
【答案】（答案不唯一）
【分析】平行线判定方法有：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．据此解答即可．
【详解】解：能判定的条件：∠ADE=∠B（答案不唯一）．
∵∠ADE=∠B，∴（同位角相等，两直线平行）
故答案为：∠ADE=∠B（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定，解答此类要围绕截线找同位角、内错角和同旁内角．
高频考点7、平行线的判定综合
例7．（2022·江苏·南京七年级期中）如图，a、b、c三根木棒钉在一起，，现将木棒a、b同时顺时针旋转一周，速度分别为18度/秒和3度/秒，两根木棒都停止时运动结束，则___________秒后木棒a，b平行．
【答案】2或14或50或110
【分析】设t秒后木棒a，b平行，分四种情况讨论：当秒时，当时，当时，当时，即可求解．
【详解】解：设t秒后木棒a，b平行，根据题意得：
当秒时，，解得：t=2；
当时，，解得：t=14；
当时，木棒a停止运动，
当时，，解得：t=-10；（不合题意，舍去）
当时，或，解得：t=50或t=110；
综上所述，2或14或50或110秒后木棒a，b平行．故答案为：2或14或50或110
【点睛】本题主要考查了平行线的判定，一元一次方程的应用，明确题意，利用分类讨论思想解答是解题的关键．
变式1．（2022·河南郑州·七年级期末）利用如图所示的方法，可以折出“过已知直线外一点和已知直线平行”的直线，请说明其中的道理______．
【答案】内错角相等，两直线平行（答案不唯一）
【分析】由题意可得，，利用内错角相等，两直线平行可得，从而得解．
【详解】解：如图，
由题意得：，，
∵与是内错角，故（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：内错角相等，两直线平行．（答案不唯一）
【点睛】本题主要考查平行线的判定，解答的关键是对平行线的判定条件的掌握与灵活运用．
变式2．（2022·河南许昌·七年级期中）（1）在一次数学活动课上，老师让同学们用两个大小、形状都相同的三角板画平行线、，并说出自己做法的依据．小琛、小萱、小冉三位同学的做法如下：
小琛说：“我的做法的依据是内错角相等，两直线平行”
①小琛说的是否正确？________（回答正确或错误）
②小萱做法的依据是________________________；
③小冉做法的依据是________________________．
（2）如图，如果，，，那么与平行吗？与呢？
【答案】（1）①正确；②同位角相等两直线平行；③同一平面内垂直于同一直线的两条直线平行；
（2）AB∥CD，BC∥DE；
【分析】（1）根据平行线的判定方法判断即可；
（2）根据对顶角的性质，同旁内角互补两直线平行；补角的定义，内错角相等两直线平行；即可证明；
【详解】解：（1）①∵∠BAD=∠CDA，∴AB∥CD，即内错角相等两直线平行；故①正确；
②如图，
∵∠ABD=∠CDE，∴AB∥CD，即同位角相等，两直线平行；
③∵AB⊥BC，DC⊥BC，
∴AB∥CD，即同一平面内垂直于同一直线的两条直线平行；
（2）解∵∠1＝60°，∠ABC＝∠1，∴∠ABC＝60°，
又∵∠2＝120°，∴∠ABC+∠2＝180°，∴AB∥CD，
又∵∠2+∠BCD＝180°，∴∠BCD＝60°，
∵∠D＝60°，∴∠BCD＝∠D，∴BC∥DE；
【点睛】本题考查了相交线与平行线，掌握平行线的判定方法是解题关键．
变式3．（2022·湖北十堰·七年级期末）在△ABC中，∠C＝90°，AM平分∠BAC，D为直线BC上一点，DE⊥AB于点E，∠CDE的平分线交直线AC于点F．
(1)如图①，当点D在边BC上时，判断DF与AM的位置关系，并说明理由；
(2)①如图②，当点D在边BC延长线上时，则DF与AM的位置关系是______；
②如图③，当点D在边CB延长线上时，则DF与AM的位置关系是______；
(3)请就（2）中①或②中的一种情况，给出证明．
【答案】(1)DF//AM，理由见解析(2)①DF⊥AM；②DF⊥AM．(3)选①证明见解析；选②证明见解析．
【分析】（1）先判断出∠BAC +∠CDE = 180°，可得∠C AM + ∠CDF= 90°，进而判断出
∠CDF=∠CMA即可得出结论；
（2）①，先判断出∠BAC =∠CDE，可得∠CAM =∠CDF,进而判断出∠CDF + ∠AMC= 90°,即可得出结论解答;选②，先判断出∠BAC= ∠CDE，可得∠CAM=∠CDF，进而判断出∠CAM + ∠F = 90°,即可得解答；
（3）（2）中任选一个进行证明即可．
（1）解：（1）DF//AM．理由如下：∵∠C=90°，DE⊥AB，∴∠BAC+∠CDE=360°﹣90°×2=180°，
∵AM平分∠BAC，DF平分∠CDE，∴∠CAM=∠BAC，∠CDF=∠CDE，
∴∠CAM+∠CDF=（∠BAC+∠CDE）=90°，
又∵∠CAM+∠CMA=90°，∴∠CDF=∠CMA，∴BD//MF．
（2）①∵∠C=90°，DE⊥AB，∴∠BAC+∠B=∠BDE+∠B=90°，∴∠BAC=∠CDE，
∵AM平分∠BAC，DF平分∠CDE，∴∠CAM=∠CDF，
∵∠CAM+∠AMC=90°，∴∠CDF+∠AMC=90°，∴DF⊥AM．故答案为DF⊥AM．
②∵∠C=90°，DE⊥AB，∴∠BAC+∠B=∠BDE+∠B=90°，∴∠BAC=∠CDE，
∵AM平分∠BAC，DF平分∠CDE， ∴∠CAM=∠CDF，
∵∠CDF+∠F=90°，∴∠CAM+∠F=90°，∴DF⊥AM．故答案为DF⊥AM．
（3）解：选②证明． 证明如下：
∵∠C=90°，DE⊥AB，∴∠BAC+∠B=∠BDE+∠B=90°，∴∠BAC=∠CDE，
∵AM平分∠BAC，DF平分∠CDE， ∴∠CAM=∠CDF，
∵∠CDF+∠F=90°，∴∠CAM+∠F=90°，∴DF⊥AM．
【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了角平分线的定义、同角的余角线段、平行线的判定、垂直的判定等知识点，说明∠C AM =∠CDF是解答本题的关键．
高频考点8、平行线间的距离及运用
【解题技巧】两条平行线之间，距离相等。故同底三角形，因高也相等，所以面积相等。在解此类题型时，先确定公共底，然后在与底平行的直线上寻找三角形的另一个顶点，这样组成的三角形面积相等。
例8．（2022·南通市八年级月考）如图，A、P是直线m上的任意两个点，B、C是直线n上的两个定点，且直线m∥n．则下列说法正确的是（ ）
A．AC=BP B．△ABC的周长等于△BCP的周长
C．△ABC的面积等于△ABP的面积 D．△ABC的面积等于△PBC的面积
【答案】D
【分析】根据平行线之间的距离及三角形的面积即可得出答案．
【详解】解：∵A、P是直线m上的任意两个点，B、C是直线n上的两个定点，且直线m∥n，
根据平行线之间的距离相等可得：△ABC与△PBC是同底等高的三角形，
故△ABC的面积等于△PBC的面积．故选D．
【点睛】本题考查平行线之间的距离；三角形的面积．
变式1．（2022·甘肃初一期中）正方形网格中的交点，我们称之为格点．如图所示的网格图中，每个小正方形的边长都为．现有格点,那么,在网格图中找出格点,使以和格点为顶点的三角形的面积为．这样的点可找到的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】因为每个小正方形的边长是1，则可以先找到一点C，则三角形ABC的面积是2，满足题目要求，再过C点作AB的平行线，平行线与网格点重合的点，因这些点与A、B组成的三角形都是同底等高，则这些三角形的面积都是2，所以这些点即为符合要求的点；同理，过D点作AB的平行线，与网格点重合的点也是符合要求的格点．将所有的符合要求的格点数加起来，就是问题的答案．
【详解】解：如图所示，在网格图中可以找到点C，
则三角形ABC的面积是2，再过C点作AB的平行线，平行线与网格点重合的点即为符合要求的点，这样的点有5个；同样的方法，过D点作AB的平行线，又能得到4个不同符合要求的格点，
所以符合要求的格点共有：5+4=9（个）；故选：C．
【点睛】此题主要考查了三角形面积的求法，解答此题的关键是：作AB的平行线，平行线与网格点重合的点即为符合要求的点；主要依据是两条平行线间的距离处处相等及同底等高的三角形面积相等．
变式2．（2022·河北滦州·初一期中）如图，直线，点是直线上一个动点，当点的位置发生变化时，三角形的面积（ ）
A．向左移动变小 B．向右移动变小 C．始终不变 D．无法确定
【答案】C
【分析】根据平行线间的距离处处相等可得点P到CD的距离不变，因此三角形的面积不变．
【解析】解：∵直线，点是直线上一个动点，
∴无论点P怎么移动，点P到CD的距离不变，
∴三角形的底不变，高不变，面积也不变，故选：C．
【点睛】本题考查平行线间的距离，掌握平行线间的距离处处相等是解题的关键．
变式3．（2022·上海市初一月考）已知，，且，和的面积分别为2和8，则的面积是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】利用平行线间的距离相等可知与的高相等，底边之比等于面积之比，设的面积为，建立方程即可求解．
【解析】∵∴与的高相等
∵∴
设的面积为，则，
∴解得∴故选B．
【点睛】本题考查平行线间的距离问题，由平行线间的距离相等得到两三角形的高相等，从而建立方程是解题的关键．
高频考点9、 根据平行线的性质求角的度数
【解题技巧】平行线与角的关系非常密切，平行线的性质都是以角的关系来提现的。
1）3类角的大小关系都是平行线的性质的一部分内容，切不可忽视前提条件“两直线平行”，当两直线不平行时，3类角无大小关系。
2）如果要从角的关系得到的结论是两直线平行，用平行线的判定；如果已知两直线平行，从平行线得到角相等或互补关系，用平行线的性质。填写理由时，要防止把性质与判定混淆。
例9．（2022·陕西初三其他）如图，直尺一边AB与量角器的零刻度线CD平行，若量角器的一条刻度线OF的读数为70°，OF与AB交于点E，那么∠AEF＝（ ）
A．70° B．110° C．20° D．120°
【答案】A
【分析】由平行线的性质可得结论．
【详解】解：∵AB∥CD，∴∠AEF＝∠COF＝70°，故选：A．
【点睛】本题考查平行线的性质，熟练掌握基础知识是关键．
变式1．（2022·山东济南·八年级期末）如图，如果∠1=∠3，∠2=60°，那么∠4的度数为（ ）
A．120° B．130° C．140° D．150°
【答案】A
【分析】由∠3=∠1内错角相等得到上下两直线平行，进而得到∠2=∠5，再用180°减去∠5得到∠4即可求解．
【详解】解：如下图所示：
∵∠1=∠3，∴直线a∥直线b，∴∠2=∠5=60°，∴∠4=180°-∠5=180°-60°=120°，故选：A．
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，属于基础题，熟练掌握平行线的性质定义和判定定理是解决本题的关键．
变式2．（2022·河北张家口·初三二模）如图，直线，以直线上的点A为圆心、适当长为半径画弧，分别交直线、于点B、C，连接AC、若，则
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据题意得：，，
直线，，
，．故选B.
变式3．（2022·河北初三）光线在不同介质中的传播速度不同，因此当光线从空气射向水中时，会发生折射．如图，在空气中平行的两条入射光线，在水中的两条折射光线也是平行的．若水面和杯底互相平行，且∠1＝122°，则∠2＝（ ）
A．61° B．58° C．48° D．41°
【答案】B
【分析】由水面和杯底互相平行，利用“两直线平行，同旁内角互补”可求出∠3的度数，由水中的两条折射光线平行，利用“两直线平行，同位角相等”可得出∠2的度数．
【解析】如图，
∵水面和杯底互相平行，∴∠1+∠3＝180°，∴∠3＝180°﹣∠1＝180°﹣122°＝58°．
∵水中的两条折射光线平行，∴∠2＝∠3＝58°．故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的性质，牢记“两直线平行，同旁内角互补”和“两直线平行，同位角相等”是解题的关键．
高频考点10、根据平行线的性质与判定探究角的关系
例10．（2022·广东·广州九年级开学考试）下列各图中，当a∥b时，符合∠1＝∠2+∠3关系的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据平行线的性质，以及三角形的外角性质，进行计算即可解答．
【详解】解：A.如图：∵∠ACD是△ABC的一个外角，∴∠ACD=∠1+∠3，
∵ab，∴∠ACD=∠2，∴∠2=∠1+∠3，故A不符合题意；
B.如图：延长AD交BF于点C，
∵ab，∴∠1=∠ACF，∵∠ACF=∠3+∠2，∴∠1=∠3+∠2，故B符合题意；
C.如图：过点A作ABa，∴∠2+∠CAB=180°，∵ab，∴ABb，∴∠1+∠BAD=180°，
∴∠2+∠CAB+∠1+∠BAD=360°，∴∠1+∠2+∠3=360°，故C不符合题意；
D.如图：延长DA交直线b于点C，
∵ab，∴∠2=∠DCB，∵∠3=∠1+∠DCB，∴∠3=∠1+∠2，故D不符合题意；故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
变式1．（2022·上海·七年级期中）如图，AB∥CD，EF⊥DB，垂足为点E，则∠1与∠2的关系是_____________．
【答案】∠1+∠2＝90°或互余
【分析】根据平行线的性质可得∠2＝∠CDE，根据垂直的定义可得∠1+∠FDE＝90°，即可求解．
【详解】解：∵AB∥CD，∴∠2＝∠CDE．∵EF⊥BD，∴∠FED＝90°．
∴∠1+∠FDE＝90°．∴∠1+∠2＝90°．故答案为：∠1+∠2＝90°或互余．
【点睛】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．
变式2．（2022·浙江·七年级期中）如图，ABCD，PG平分∠EPF，∠A+∠AHP＝180°，下列结论：①CDPH；②∠BEP+∠DFP＝2∠EPG；③∠FPH＝∠GPH；④∠A+∠AGP+∠DFP﹣∠FPG＝180°；其中正确结论是（ ）
A．①②③④ B．①②④ C．①③④ D．①②
【答案】B
【分析】由∠A+∠AHP＝180°，可得PHAB，根据ABCD，可得ABCDPH，再根据平行线的性质以及角的和差关系进行计算，即可得出正确结论．
【详解】解：∵∠A+∠AHP＝180°，∴PHAB，∵ABCD，∴CDPH，故①正确；
∴ABCDPH，∴∠BEP＝∠EPH，∠DFP＝∠FPH，∴∠BEP+∠DFP＝∠EPF，
又∵PG平分∠EPF，∴∠EPF＝2∠EPG，∴∠BEP+∠DFP＝2∠EPG，故②正确；
∵∠GPH与∠FPH不一定相等，∴∠FPH＝∠GPH不一定成立，故③错误；
∵∠AGP＝∠HPG+∠PHG，∠DFP＝∠FPH，∠FPH+∠GPH＝∠FPG，∠FPG＝∠EPG，
∴∠A+∠AGP+∠DFP﹣∠FPG＝∠A+∠HPG+∠PHG+∠DFP﹣∠EPG
＝∠A+∠HPG+∠PHG+∠FPH﹣∠FPG＝∠A+∠HPG+∠PHG+∠FPH﹣（∠FPH+∠GPH）＝∠A+∠PHG，
∵ABPH，∴∠A+∠PHG＝180°，即∠A+∠AGP+∠DFP﹣∠FPG＝180°．故④正确；
综上所述，正确的选项①②④，故选：B．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义的运用，解题的关键是注意：两直线平行，内错角相等．
变式3．（2022·山东·德州市第五中学七年级期中）（1）如图1，直线l1l2，直线EF与l1和l2分别相交于C、D两点，点P在线段CD上（不与C、D重合）运动，A、B分别是直线l1和l2上两个定点，连接A、P和B、P，直接写出∠1，∠2，∠3之间的数量关系： ；
（2）若点P运动到射线DF上，∠1，∠2，∠3之间的数量关系怎样？写出结论，并证明．
（3）若点P运动到射线CE上，请在图3中画出图形并直接写出∠PAC，∠APB，∠PBD之间的数量关系？
【答案】（1）∠2＝∠3+∠1，证明见解析；（2）∠1＝∠2+∠3，理由见解析；（3）图见解析，∠PBD＝∠BPA+∠PAC，理由见解析
【分析】（1）如图1中．延长BP交AC于H，利用平行线的性质以及三角形的外角的性质即可解决问题．
（2）分点P在射线DF上时及点P在射线CE上时两种情况进行讨论，再利用平行线的性质以及三角形的外角的性质进行证明即可；
（3）结论：∠PBD＝∠BPA+∠PAC，利用平行线的性质以及三角形的外角的性质进行证明即可；
【详解】（1）结论：∠2＝∠3+∠1．
理由：如图1中．延长BP交AC于H，
∵BDAH，∴∠3＝∠4，∵∠2＝∠1+∠4，∴∠2＝∠1+∠3，故答案为∠2＝∠1+∠3．
（2）若点P在射线DF上时，结论：∠1＝∠2+∠3．
理由：如图2中，设AF与BD交于点H．
∵BDAC，∴∠AHB＝∠1，∵∠AHB＝∠2+∠3，∴∠1＝∠2+∠3．
（3）若点P在射线CE上时，结论：∠PBD＝∠BPA+∠PAC，
理由：如图3中，设BE与CA交于点H
∵BDAC，∴∠PBD＝∠PHC，∵∠PHC＝∠PAC+∠BPA，∴∠PBD＝∠BPA+∠PAC，
【点睛】本题考查平行线的性质，解题的关键是记住平行线的性质，学会条件常用辅助线，属于中考常考题型．
高频考点11、平行线的性质与判定的综合证明
例11．（2022·陕西渭南·七年级期末）如图，，平分交于，，，、分别是，延长线上的点，点在上，下列结论：①；②；③；④平分，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据AB⊥BC得出∠B=90°，进而得到∠1+∠AEB=90°，因为AE⊥DE，证得∠AEB+∠CED=90°，等量代换得到∠1=∠CED，已知∠1+∠2=90°，则∠CED+∠2=90°，从而得出∠C=90°，证得ABCD，根据平行线的性质和角平分线的性质进一步分析其它结论即可．
【详解】解：∵AB⊥BC，∴∠B=90°，∴∠1+∠AEB=90°，∵AE⊥DE，∴∠AEB+∠DEC=90°，∴∠1=∠DEC，
∵∠1+∠2=90°，∴∠DEC+∠2=90°，∴∠C=90°，∴ABCD，故①正确；
∵AE平分∠BAD交BC于E，∴∠1=∠EAD，又∵∠1=∠DEC，∵∠DEC=∠EAD，故②正确；
∵∠AEB=∠2，∠2+∠EDN=180°，∴∠AEB+∠EDN=180°，
∵∠EDN≠∠ADC，∴∠AEB+∠ADC≠180°，故③错误；
∵AE⊥DE，∴∠EAD+∠ADE=90°，∵∠2+∠DEC=90°，∠DEC=∠EAD，∴∠2+∠EAD=90°，
∴∠2=∠ADE，∴DE平分∠ADC，故④正确．故正确的结论有①②④．故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质、角平分线的定义，熟练应用判定定理是解题的关键．平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
变式1．（2022·贵州·兴仁市七年级阶段练习）如图，在三角形中，平分交于点，过点作的平行线交于点，平分交于点，连接交于点．下列结论：①；②；③；④三角形的面积与三角形相等．其中正确的是（ ）
A．①③ B．①②③ C．②③④ D．①②④
【答案】D
【分析】由题意得，则有，然后可得，则有，进而根据平行线间的距离相等及等积法可求解问题．
【详解】解：∵平分，平分，
∴，，
∵，∴，∴，∴，
∴，故①②正确；
由可知当时，则，题干并未给出此条件，故③不一定正确；
∵，∴△BDF与△BDE等高，∴，
∵，∴，故④正确；故选D．
【点睛】本题主要考查平行线的性质与判定及角平分线的定义，解题的关键是根据平行线的性质与判定结合等积法求解问题．
变式2．（2022·山东新泰·七年级期末）（1）已知：如图1，．求证：
（2）如图2，已知，在的平分线上取两个点M、N，使得，求证：．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）过点E作，则由平行线的性质可得，再由即可推出，即可判断，即可得到；（2）过点N作，交于点G，则由平行线的性质可得，，再由三角形外角的性质可得，即可推出，再由角平分线的定义，由此即可证明．
【详解】解：（1）证明：如图1，过点E作． ∴，
∵，（已知），
∴（等量代换），∴（等式性质），∴，
∵，∴（平行于同一条直线的两条直线互相平行）；
（2）证明：过点N作，交于点G，如图2所示：
则，∴，，
∵是的一个外角，∴，
又∵，，
∴，∴，
∵平分，∴，∴．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，三角形外角的性质，角平分线的定义，解题的关键在于能够准确作出辅助线进行求解．
变式3．（2022·江苏·泰兴市七年级阶段练习）光线照射到镜面会产生反射现象，由光学知识，入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等，例如：在图1中，有∠1＝∠2．
(1)如图2，已知镜子MO与镜子ON的夹角∠MON＝90°，请判断入射光线AB与反射光线CD的位置关系，并说明理由；(2)如图3，有一口井，已知入射光线AO与水平线OC的夹角为50°，当平面镜MN与水平线OC的夹角为 °，能使反射光线OB正好垂直照射到井底；
(3)如图4，直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CD．∠BAF＝120°，∠DCF＝40°，射线AB、CD分别绕A点、C点以3度/秒和1度/秒的速度同时逆时针转动，设时间为t秒，在射线AB转动一周的时间内，是否存在某时刻，使得CD与AB平行？若存在，求出所有满足条件的时间t．
【答案】(1)ABCD，理由见解析 (2)65或115
(3)在射线AB转动一周的时间内，存在时间t，使得CD与AB平行，其t=10s或100s．
【分析】（1）计算∠ABC+∠BCD的值便可得出结论；（2）先计算出∠AOB，进而得∠AOM+∠BON的值，再根据入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等，得出结果；（3）分四种情况讨论：当0s≤t≤20s时，当20s＜t≤40s时，当40s＜t≤80s时，当80s＜t≤120s时，据角度大小变化关系锁确ABCD时的t值．
（1）解： ABCD．理由如下：∵∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠ABC=180°-∠1-∠2=180°-2∠2，∠BCD=180°-∠3-∠4=180°-2∠3，
∴∠ABC+∠BCD=360°-2（∠2+∠3），
∵∠BOC=90°，∴∠2+∠3=90°，∴∠ABC+∠BCD=180°，∴AB∥CD；
（2）解：∵∠AOC=40°，∠BOC=90°，∴∠AOM+∠BON=180°-90°=40°=50°，
∵∠AOM=∠BON，∴∠AOM=∠BON=25°，∴∠COM=25°+40°=65°，∠CON=25°+90°=115°，
∴当平面镜MN与水平线OC的夹角为65°或115°时，能使反射光线OB正好垂直照射到井底，
故答案为：65或115；
（3）解：①当0s≤t≤20s时，如下图，
若ABCD，则∠BAC=∠ACD，即120+3t=140+t，解得t=10，∴当t=10s时ABCD；
②当20s＜t≤40s时，如下图，
有∠BAE＜90°＜∠ACD，则AB与CD不平行；
③当40s＜t≤80s时，如下图，
有∠BAC＜∠ACD，AB与CD不平行；
④当80s＜t≤120s时，如下图，
若ABCD，则∠BAC=∠DCF，即3t-240=t-40，解得t=100，∴当t=100s时，ABCD；
综上可知，在射线AB转动一周的时间内，存在时间t，使得CD与AB平行，其t=10s或100s．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，关键是应用分类讨论思想解决问题．
高频考点12、图形的平移及作图
例12．（2022·河北石家庄·七年级期中）在如图所示的网格图每个小网格都是边长为个单位长度的小正方形中，，分别是的边，上的两点．
(1)将线段向右平移，使点与点重合，画出线段平移后的线段，连接，并写出相等的线段；(2)在（1）的条件下，直接写出与相等的角；
(3)请在射线上找出一点，使点与点的距离最短，并写出依据．
【答案】(1)图见解析，相等的线段有：
(2)
(3)图见解析，点即为所求．依据是：垂线段最短
【分析】（1）根据要求画出图形，然后根据平移的性质找到相等的线段即可；
（2）利用平移和平行线的性质求解即可；（3）根据垂线段最短解决问题即可．
（1）解：如图所示，线段，线段即为所求；由平移的性质可知：
（2）解：由平移的性质可知，
∴，
∴，即，
∴与∠BOC相等的角有；
（3）解：如图所示，点D即为所求，依据是：垂线段最短．
【点睛】本题考查作图—平移作图，平行线的性质，垂线段最短等知识，解题的关键是掌握平移变换的性质，属于中考常考题型．
变式1．（2022·浙江七年级期中）下列运动属于平移的是（ ）
A．荡秋千 B．转动中的电风扇叶片
C．地球绕着太阳转 D．急刹车时，汽车在地面上的滑动
【答案】D
【分析】在平面内，把一个图形整体沿某一直线的方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，简称平移．根据平移的概念进而得出答案．
【详解】解：A、荡秋千，属于旋转变换，不符合题意；
B、转动中的电风扇叶片，属于旋转变换，不符合题意；
C、地球绕着太阳转，属于旋转变换，不符合题意；
D、急刹车时，汽车在地面上的滑动，属于平移变换，符合题意；故选：D．
【点睛】本题需掌握平移的概念：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同，图形的这种移动叫做平移．
变式2．（2022·云南·景洪市七年级期中）如图所示的图案分别是三菱、大众、奥迪、奔驰汽车的车标，其中可以看着是由“基本图案”经过平移得到的是（ ）
A．B． C． D．
【答案】A
【分析】根据平移的性质：不改变物体的形状和大小，朝一个方向移动能够得到的图像．
【详解】观察图像可知选项A是通过图形平移得到的，符合题意；选项B、C、D图形不能通过平移得到，不符合题意．故选A
【点睛】此题考查了图形的平移，平移只改变位置，不改变大小和性质，要注意与旋转和翻折的区别是解题的关键．
变式3．（2022·内蒙古·呼和浩特七年级期中）如图，在正方形网格中建立平面直角坐标系，已知点A（3，2），（4，-3），C（1，-2），请按下列要求操作：
(1)请在图中画出ΔABC；(2)将△ABC向左平移5个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到，在图中画出，并直接写出点 ，， 的坐标；(3)求出的面积．
【答案】(1)见解析(2)画图见解析，（-2，6），（-1，1），（-4，2）；(3)7．
【分析】（1）结合直角坐标系，可找到三点的位置，顺次连接即可得出△ABC；
（2）将各点分别向左平移5个单位长度，再向上平移4个单位长度，然后顺次连接即可得到，结合直角坐标系可得出三点坐标；（3）利用分割法求出三角形面积即可．
（1）解：ΔABC如图所示：
；
（2）解：如图所示：结合图形可得：（-2，6），（-1，1），（-4，2）；
（3）解：的面积．
【点睛】此题考查了平移作图及直角坐标系的知识，属于基础题，解题的关键是掌握平移的特点，找到各点在直角坐标系的位置，难度一般．
高频考点13、利用平移的性质求解长度（周长）、面积问题
例13．（2022·湖北宜昌·七年级期末）如图，两只蚂蚁以相同的速度沿两条不同的路径，同时从点A出发爬到点B，只考虑路径、时间、路程等因素，下列结论正确的为（ ）
A．乙比甲先到 B．甲比乙先到
C．甲和乙同时到 D．无法确定哪只蚂蚁先到
【答案】C
【分析】根据平移可得出两蚂蚁行程相同，结合二者速度相同即可得出结论．
【详解】根据平移可得出两蚂蚁行程相同，
∵甲乙两只蚂蚁的行程相同，且两只蚂蚁的爬行速度也相同，∴两只蚂蚁同时到达点B．故选C．
【点睛】本题考查了生活中的平移现象，结合图形找出甲、乙两只蚂蚁的行程相等是解题的关键．
变式1．（2022·山东济宁·七年级期中）如图，在一块长为30m，宽为20m的长方形草地上，有一条弯曲的小路，小路的左边线向右平移2m就是它的右边线，则这块草地的绿地面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据平移的性质可得：这块草地的绿地面积是长为（30-2）m，宽为20m的矩形，然后进行计算即可解答．
【详解】解：由题意得：（30-2）×20=28×20=560（m2），∴这块草地的绿地面积是560m2，
故选：D．
【点睛】本题考查了生活中的平移现象，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
变式2．（2022·湖南·株洲七年级期中）如图，沿直线向右平移得到，已知，，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】根据平移的性质可得，根据即可求解．
【详解】解：∵沿直线向右平移得到，∴，
∵，∴，∴，故选A．
【点睛】本题考查了平移的性质，解一元一次方程，掌握平移的性质是解题的关键．
变式3．（2022·江西赣州·一模）用10根小棒组成如图1所示的图案，请平移3根小棒变成如图2所示的图案，平移的方式有（ ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
【答案】B
【分析】依据平移前后的两个图形的区别，平移3根木条即可变成如图（2）所示的图案，据此解答即可．
【详解】解：如图（2）和图（3）所示：
所以有两种平移方式：②④⑥或①⑧⑩．故选：B
【点睛】本题主要考查了利用平移设计图案，确定一个基本图案按照一定的方向平移一定的距离，连续作图即可设计出美丽的图案．通过改变平移的方向和距离可使图案变得丰富多彩．
高频考点14、命题的相关概念
例14．（2022·浙江·青田县八年级阶段练习）下列语句是命题的是（ ）
A．负数小于零 B．画一个角等于已知角 C．把16开平方 D．垂线段最短吗
【答案】A
【分析】根据命题是判断事情的一个句子对，对各选项分析即可求解．
【详解】解：命题是能判断事情的一个句子，
B、 C、 D都没有判断事情，故B． C． D都不是命题，
A项对负数作出了判断，故A是命题．故选∶A
【点睛】本题考查命题的定义，命题是判断事情的一个句子，难度不大，熟记命题的定义是解题关键．
变式1．（2022·河南濮阳·七年级期中）在说明命题“若，则”是假命题时，可以成为反例的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】要证明一个结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题．
【详解】解：A. ∵当a＝﹣3，b＝2时，，但是，
∴a＝﹣3，b＝2是假命题的反例．符合题意；
B. ∵当a＝3，b＝2时，，则，
∴a＝3，b＝2不是假命题的反例．不符合题意；
C. ∵当a＝2，b＝﹣1时，，则，
∴a＝2，b＝﹣1不是假命题的反例．不符合题意；
D. ∵当a＝3，b＝﹣2时，，则，
∴a＝3，b＝﹣2不是假命题的反例．不符合题意；故选：A．
【点睛】此题考查了证明命题，举例满足题设，只需证明结论的成立与否，正确掌握命题的证明方法是解题的关键．
变式2．（2022·上海市八年级期中）下列命题中，假命题是（ ）
A．两个全等三角形的面积相等 B．周长相等的两个等边三角形全等
C．三角形的一个外角大于与它不相邻的一个内角 D．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补
【答案】D
【分析】根据全等三角形的性质和判定，三角形外角的性质，平行线的性质进行解答即可．
【详解】解：A．两个全等三角形的面积相等，此命题是真命题，故A不符合题意；
B．周长相等的两个等边三角形全等，此命题是真命题，故B不符合题意；
C．三角形的一个外角大于与它不相邻的一个内角，此命题是真命题，故C不符合题意；
D．两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，原命题是假命题，故D符合题意．故选：D．
【点睛】本题主要考查了真假命题的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质和判定，三角形外角的性质，平行线的性质．
变式3．（2022·四川·仁寿县八年级期末）命题“两点之间线段最短"的题设是______________，结论是______________．
【答案】 连接两点，得到线段； 线段最短
【分析】命题常常可以写为“如果……那么……”的形式，如果后面接题设，而那么后面接结论；根据上步的知识，从命题的定义出发，寻找题设和结论就可以了．
【详解】命题“两点之间线段最短"的题设是：连接两点，得到线段，结论是：线段最短，
故答案为：连接两点；线段最短
【点睛】本题主要考查了将原命题写成条件与结论的形式，“如果”后面是命题的条件，“那么”后面是条件的结论，解决本题的关键是找到相应的条件和结论，比较简单．
高频考点15、互逆命题与互逆定理的辨别
例1．（2022·浙江·八年级专题练习）命题“若，则”的逆命题是（ ）
A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则
【答案】D
【分析】根据已知中的原命题，结合逆命题的定义，可得答案．
【详解】解：命题“若，则”的逆命题是：若，则，故选：D．
【点睛】本题主要考查了由原命题写出逆命题，掌握逆命题的题设与结论是原命题的结论与题设是解答本题的关键．
变式1．（2022·河北·八年级阶段练习）在下列各原命题中，逆命题是真命题的是（ ）
A．直角三角形两个锐角互余 B．对顶角相等
C．全等三角形对应角相等 D．全等的两个三角形面积相等
【答案】A
【分析】写出个命题的逆命题，再逐项判断即可求解．
【详解】解：A、逆命题是：两个锐角互余的三角形是直角三角三角形，是真命题，故此选项正确，符合题意；B、逆命题是：相等的角是对顶角，是假命题，故此选项错误，不符合题意；
C、逆命题是：三个角对应相等的两个三角形全等，是假命题，故此选项错误，不符合题意；
D、逆命题是：面积相等的三角形是全等三角形，是假命题，故此选项错误，不符合题意．故选：A．
【点睛】本题考查了逆命题的真假性，是易错题．易错易混点：本题要求的是逆命题的真假性，学生易出现只判断原命题的真假，也就是审题不认真．
变式2．（2022·山东淄博·七年级期中）下列命题是定理的是（ ）
A．内错角相等 B．同位角相等，两直线平行
C．一个角的余角不等于它本身 D．在同一平面内，有且只有一条直线与已知直线垂直
【答案】B
【分析】根据定理的定义和平行线的性质与判定、余角的定义和垂线的性质逐项判断即得答案．
【详解】解：A、内错角相等，需要有前提条件“两直线平行”，是假命题，本选项不符合题意；
B、同位角相等，两直线平行，是真命题，也是定理，本选项符合题意；
C、一个角的余角可以等于它本身，如45°，是假命题，本选项不符合题意；
D、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，是假命题，本选项不符合题意．
故选B．
【点睛】本题考查了命题与定理、平行线的性质和判定、余角的概念和垂直的性质等知识，一个命题是定理首先它必须是一个真命题，掌握以上基本知识是解答的关键．
变式3．（2022·吉林·八年级期中）下列说法，正确的是（ ）
A．每个定理都有逆定理 B．真命题的逆命题都是真命题
C．每个命题都有逆命题 D．假命题的逆命题都是假命题
【答案】C
【分析】利用逆定理、逆命题的定义分别判断后即可确定正确的选项
【详解】解：A、不是每个定理都有逆定理，故本选项错误；
B、真命题的逆命题可能是真命题，也可能是假命题，故本选项错误；
C、每个命题都有逆命题，正确，故本选项正确；
D、假命题的逆命题可能是假命题，也可能是真命题，故本选项错误．故选：C．
【点睛】本题考查了命题的相关概念及定理，熟练掌握和运用命题、逆命题及逆定理的相关概念是解决本题的关键．
高频考点16、逻辑推理与论证
解题技巧：作此类题型，要注意多体会证明过程中的因果逻辑关系。
例16．（2022·河南·郑州市七年级阶段练习）与同伴做以下游戏：每个人从同一副扑克牌（去掉大小王和J，Q，K）中选取3张黑色和3张红色牌（规定黑色为负，红色为正），使得6张牌的总分为0．两人轮流从同伴手中抽取1张牌，10次后，计算每人手中牌的总分，得分高者为胜．
温馨提示：一副扑克牌的组成【大、小王和4个花色：红桃，方块为红色，黑桃、梅花为黑色，每个花色计13张从1到10，J，Q，K共计54张】
（1）你希望抽到哪种颜色的牌？你希望哪种颜色的牌不被抽走？（2）游戏结束后，你手中牌的总分与同伴手中牌的总分有什么关系？（3）你可能得到的最高分是多少？
【答案】（1）希望抽到红颜色的牌，不希望红颜色的牌抽走；（2）手中牌的总分与同伴手中牌的总分之和为0；（3）54分
【分析】(1)根据题意红色牌代表正分，黑色牌代表负分，进而得出答案；
(2)利用每人得6张牌的总分为零，即可得出手中牌的总分与同伴手中的总分关系；
(3)假设抽到三张红色牌且为8，9，10，进而得出答案．
【详解】解：(1)∵红色代表正分，黑色代表负分，
∴希望抽到红颜色的牌，不希望红颜色的牌抽走，
故答案为：希望抽到红颜色的牌，不希望红颜色的牌抽走；
(2)∵每人手中6张牌的总分为零，∴无论多少次后，总分之和为0，
故答案为：手中牌的总分与同伴手中牌的总分之和为0；
(3)假设抽到的三张牌均为红色牌且为8、9、10时，
可能得到的最高分是：2×(10+9+8)＝54(分)，故答案为：54分．
【点睛】本题考查了推理与论证，根据题意注意红色牌代表正分得出是解题关键．
变式1．（2022·成都市·八年级）布鲁斯先生、他的妹妹、他的儿子，还有他的女儿都是网球选手．这四人中有以下情况：①最佳选手的孪生同胞与最差选手性别不同：②最佳选手与最差选手年龄相同．则这四人中最佳选手是（ ）
A．布鲁斯先生 B．布鲁斯先生的妹妹 C．布鲁斯先生的儿子 D．布鲁斯先生的女儿
【答案】D
【分析】根据题意，可以判断出其中的三个人年龄相同，再根据实际可知其中年龄相同的三个人是布鲁斯先生的儿子、女儿和妹妹，从而可以得到最差选手和最佳选手，本题得以解决．
【详解】由①和②可知，最佳选手的孪生同胞与最差选手不是同一个人，因此一定是其中的三个人的年龄相同，布鲁斯先生很显然比他的儿子和女儿大，则其中年龄相同的三个人是布鲁斯先生的儿子、女儿和妹妹，由此，布鲁斯先生的儿子和女儿必定是①中所指的孪生同胞，所以，布鲁斯先生的儿子或女儿是最佳选手，最差选手是布鲁斯先生的妹妹，由①知，最佳选手的孪生同胞一定是布鲁斯先生的儿子，则最佳选手就是布鲁斯先生的女儿．故选：D．
【点睛】本题考查了推理和论证，解题的关键是明确题意，能够写出正确的推理过程．
变式2．（2022·广东·八年级课前预习）下列结论推理合理的是（ ）
A．王强和小明体重看起来不等，那么它们一定不等
B．因为王老师是数学老师，所以王老师出的数学题一定没有问题
C．因为小强的妈妈是老师，所以小强学习成绩一定很好
D．因为小强热情、开朗、爱交际，所以小强的朋友可能很多
【答案】D
【分析】需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
【详解】解：A. 王强和小明体重看起来不等，那么它们一定不等，不合理；
B. 因为王老师是数学老师，所以王老师出的数学题一定没有问题，不合理；
C. 因为小强的妈妈是老师，所以小强学习成绩一定很好，不合理；
D. 因为小强热情、开朗、爱交际，所以小强的朋友可能很多，合理．故选D．
【点睛】本题考查推理与论证，在解题时要能根据题意进行推理与论证得出正确答案是本题的关键．
变式3．（2022·山东淄博·中考模拟）甲、乙、丙、丁4人进行乒乓球单循环比赛（每两个人都要比赛一场），结果甲胜了丁，并且甲、乙、丙胜的场数相同，则丁胜的场数是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】D
【详解】分析：四个人共有6场比赛，由于甲、乙、丙三人胜的场数相同，所以只有两种可能性：甲胜1场或甲胜2场；由此进行分析即可．
详解：四个人共有6场比赛，由于甲、乙、丙三人胜的场数相同，
所以只有两种可能性：甲胜1场或甲胜2场；
若甲只胜一场，这时乙、丙各胜一场，说明丁胜三场，这与甲胜丁矛盾，所以甲只能是胜两场，
即：甲、乙、丙各胜2场，此时丁三场全败，也就是胜0场．
答：甲、乙、丙各胜2场，此时丁三场全败，丁胜0场．故选D．
点睛：此题是推理论证题目，解答此题的关键据题意，通过分析，进而得出两种可能性，继而分析即可．
高频考点17、折叠（旋转）中角度问题
【解题技巧】在折叠的过程中，会产生相等的角。利用折叠中的相等角，结合对顶角、邻补角进行推导求解。
例17．（2022·浙江台州·七年级期末）如图，把一张长方形纸条沿折叠，若，则______°．
【答案】65
【分析】先根据已知条件和邻补角的性质得∠DEG=130°，再由折叠的性质得到∠DEF=∠FEG=∠DEG，再根据平行线的性质得到∠DEF=65°即可．
【详解】解：∵∠AEG=50°，∴∠DEG=180°-50°=130°，
∵把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，∴∠DEF=∠FEG=∠DEG=65°，∵四边形ABCD是长方形，
∴ADBC，∴∠DEF=65°．故答案为：65．
【点睛】此题考查了折叠的性质以及平行线的性质，解题的关键是熟练掌握折叠与平行线的性质，找到相等的角．
变式1．（2022·河南安阳·模拟预测）如图，生活中，将一个宽度相等的纸条按图所示折叠一下，如果，那么的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用平行线的性质进行求解即可；
【详解】如图，将一个宽度相等的纸条按右图所示折叠，，
，，，
，，．故选：．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，准确结合已知条件进行计算是解题的关键．
变式2．（2022·黑龙江·虎林市青山学校七年级期中）如图所示，把长方形ABCD沿EF对折，若∠1=50°，则∠AEF的度数为（ ）
A．65° B．115° C．130° D．120°
【答案】B
【分析】设B的对应点为G点，根据折叠的性质及∠1＝50°可求出∠BFE的度数，再由平行线的性质即可得到∠AEF的度数．
【详解】设B的对应点为G点，如图，
根据折叠的性质有：∠BFE=∠GFE，即∠BFE＝∠BFG，
∵∠1＝50°，∴∠BFE＝∠BFG＝（180°-∠1）＝65°，
∵四边形ABCD是长方形，∴，∴，
∴∠AEF＝180°-∠BFE＝115°．故选：B．
【点睛】本题考查的是平行线的性质及图形翻折变换的性质，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等，熟练掌握知识点是解题的关键．
变式3．（2022·重庆·七年级期中）如图，△OAB为等腰直角三角形（∠A＝∠B＝45°，∠AOB＝90°），△OCD为等边三角形（∠C＝∠D＝∠COD＝60°），满足OC＞OA，△OCD绕点O从射线OC与射线OA重合的位置开始，逆时针旋转，旋转的角度为α（0°＜α＜360°），下列说法正确的是（ ）
A．当α＝15°时，DC∥AB B．当OC⊥AB时，α＝45°
C．当边OB与边OD在同一直线上时，直线DC与直线AB相交形成的锐角为15°
D．整个旋转过程，共有10个位置使得△OAB与△OCD有一条边平行
【答案】A
【分析】设OC与AB交点为M，OD与AB交点为N，当α＝15°时，可得∠OMN＝α+∠A＝60°，可证DC∥AB；当OC⊥AB时，α+∠A＝90°，可得α＝30°；当边OB与边OD在同一直线上时，应分两种情况，则直线DC与直线AB相交形成的锐角也有两种情况；整个旋转过程，因OC、OB、OD、OA都有交点，只有AB和CD存在平行，根据图形的对称性可判断有两个位置使得△OAB与△OCD有一条边平行．
【详解】解：设OC与AB交点为M，OD与AB交点为N，
当α＝15°时，∠OMN＝α+∠A＝60°，∴∠OMN＝∠C，∴DC∥AB，故A正确；
当OC⊥AB时，α+∠A＝90°或α﹣180°＝90°﹣∠A，∴α＝45°或225°，故B错误；
当边OB与边OD在同一直线上时，应分两种情况，
则直线DC与直线AB相交形成的锐角也有两种情况，故C错误；
整个旋转过程，因OC、OB、OD、OA都有交点，只有AB和CD存在平行，
根据图形的对称性可判断有两个位置使得△OAB与△OCD有一条边平行，故D错误；故选A．
【点睛】本题考查平行线的性质与判定，垂直的定义，解题关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
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专题01 相交线与平行线 高频考点（17个）（精讲）
高频考点1、相交线与平行线（垂线）的相关概念
【解题技巧】
相交线定义：如果两条直线只有一个公共点时，我们称这两条直线相交，称这两条直线为相交线。
平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，如果直线a与b平行，记作a∥b．
垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
例1．（2022·河北·模拟预测）下面关于平行线的说法中，正确的个数是 （ ）
①在同一平面内，不相交的两条直线必平行；②在同一平面内，不相交的两条线段必平行；
③在同一平面内，不平行的两条直线必相交；④在同一平面内，不平行的两条线段必相交
A．0 B．2 C．3 D．4
变式1．（2022·广西桂林·七年级期末）按语句画图：点在直线上，也在直线上，但不在直线上，直线，，两两相交正确的是（ ）
A．B．C．D．变式2．（2020·河北·中考真题）如图，在平面内作已知直线的垂线，可作垂线的条数有（ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条
变式3．（2022·吉林吉林·七年级期末）下列语句中，有一个是错误的，其余三个都是正确的：
①直线EF经过点C； ②点A在直线l外；③直线AB的长为5 cm；④两条线段m和n相交于点P．
（1）错误的语句为________（填序号）．（2）按其余三个正确的语句，画出图形．
高频考点2、对顶角、邻补角、垂直的性质
【解题技巧】邻补角、对顶角在解题中常常起着桥梁的作用，它们可以将未知角和已知角直接联系起来，是复杂的问题简单化。我们要善于挖掘题干中的隐含信息，充分利用邻补角和对顶角的关系，使其与已知条件相联系，从而使所求问题得到解决。
例2．（2022·浙江杭州·七年级期末）如图，直线、交于点，则下列结论中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2022·黑龙江·哈尔滨七年级期中）下列四个图形中，和是对顶角的是（ ）．
A．B．C． D．
变式2．（2022·福建福州·七年级期末）下面四个图形中，与互为邻补角的是（ ）
A．B．C．D．
变式3．（2022·北京市七年级期中）直线，相交于点．分别平分．下列说法正确的是( )
A．在同一直线上 B．在同一直线上
C． D．
高频考点3、垂线段的作图及相关应用
【解题技巧】垂线的性质：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短．
例3．（2022·江苏常州·中考真题）如图，斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路．小丽觉得行人沿垂直马路的方向走过斑马线更为合理，这一想法体现的数学依据是（ ）
A．垂线段最短 B．两点确定一条直线
C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
变式1．（2022·四川·渠县七年级阶段练习）下列图形中，线段的长表示点A到直线的距离的是（ ）
A．B．C． D．
变式2．（2022·广东·深圳七年级期中）以下说法中：①同角的余角相等；②对顶角相等；③平面内，过一点有两条直线与已知直线垂直；④直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短；⑤从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到这条直线的距离．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
变式3．（2022·浙江丽水·七年级期末）如图，已知点A、B、C，按下列要求画出图形．
(1)作射线BA，直线AC；(2)过点B画直线AC的垂线段BH．
高频考点4、同位角、内错角、同旁内角的辨别
【解题技巧】常见的识别方法有2种，具体如下
方法一、定义法：如下图：
①确定第三条直线截另外2条直线，从而找出8个角
例：确定直线c截a、b两条直线，则在直线c的两侧有∠1、∠2、∠3、∠4、∠5、∠6、∠7、∠8这8个角，则3类角的关系必定是在这8个角中寻找；
②根据角的名字（特点）确定位置关系。注意，位置关系包含2个部分：a.与第三条直线的位置关系；b.与被截两条直线的位置关系
例：同位角，即：在第三条直线的同一侧，且在被截两条直线的同一侧。则∠8与∠4符合同位角关系。
内错角，即：在第三条直线的两侧（错开），且在被截两条直线的内侧。则∠8与∠2符合内错角关系。
同旁内角，即：在第三条直线的同侧，且在被截两条直线的内侧。则∠8与∠3符合同旁内角关系。
方法二、像形识别法：①同位角：F ②内错角：Z ③同旁内角：C
例4．（2022·湖南长沙·七年级期末）如图所示，下列说法中错误的是（ ）
A．∠2与∠B是内错角 B．∠A与∠1是内错角
C．∠3与∠B是同旁内角 D．∠A与∠3是同位角
变式1．（2022·黑龙江·哈尔滨七年级期中）图中与是同位角的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
变式2．（2022·黑龙江·虎林市七年级期中）下列图中∠1与∠2是内错角的是（ ）
A．B．C． D．
变式3．（2022·浙江丽水·七年级期末）如图，下列各角与不是同旁内角的是（ ）
A． B． C． D．
高频考点5、平行线的作法与平行公理的应用
【解题技巧】平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
例5．（2022·河北张家口·七年级期末）下列说法正确的是（ ）
A．，，是直线，且，，则 B．，，是直线，且，，则
C．，，是直线，且，，则 D．，，是直线，且，，则
变式1．（2022·绵阳市七年级期中）若直线l1l，l2l，则（ ）
A．l1l2 B．l1⊥l2 C．l1与l2相交 D．以上都不对
变式2．（2022·河北·高邑县七年级期末）如图，在平面内经过一点作已知直线的平行线，可作平行线的条数有（ ）
A．0条 B．1条 C．0条或1条 D．无数条
变式3．（2020·浙江衢州·中考真题）过直线l外一点P作直线l的平行线，下列尺规作图中错误的是（ ）
A． B． C． D．
高频考点6、平行线的判定
【解题技巧】直线平行的判定
判定方法1：同位角相等，两直线平行. 如上图，几何语言：
∵∠3＝∠2 ∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）
判定方法2：内错角相等，两直线平行. 如上图，几何语言：
∵∠1＝∠2 ∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）
判定方法3：同旁内角互补，两直线平行. 如上图，几何语言：
∵∠4＋∠2＝180° ∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）
例6．（2022·浙江台州·七年级期末）在铺设铁轨时，两条直轨必须是互相平行的，如图，已经知道是直角，那么再度量图中已标出的哪个角，不能判断两条直轨是否平行( )
A． B． C． D．
变式1．（2022·山东淄博·期末）如图，点E在BC的延长线上，下列条件中不能判定的是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2022·云南·弥勒市长君实验中学七年级阶段练习）如图，点E在AC的延长线上，下列条件中能判断的是（ ）
A． B． C． D．
变式3．（2022·山东省诸城市七年级期中）如图，不添加辅助线，请写出一个能判定的条件______．
高频考点7、平行线的判定综合
例7．（2022·江苏·南京七年级期中）如图，a、b、c三根木棒钉在一起，，现将木棒a、b同时顺时针旋转一周，速度分别为18度/秒和3度/秒，两根木棒都停止时运动结束，则___________秒后木棒a，b平行．
变式1．（2022·河南郑州·七年级期末）利用如图所示的方法，可以折出“过已知直线外一点和已知直线平行”的直线，请说明其中的道理______．
变式2．（2022·河南许昌·七年级期中）（1）在一次数学活动课上，老师让同学们用两个大小、形状都相同的三角板画平行线、，并说出自己做法的依据．小琛、小萱、小冉三位同学的做法如下：
小琛说：“我的做法的依据是内错角相等，两直线平行”
①小琛说的是否正确？________（回答正确或错误）
②小萱做法的依据是________________________；
③小冉做法的依据是________________________．
（2）如图，如果，，，那么与平行吗？与呢？
变式3．（2022·湖北十堰·七年级期末）在△ABC中，∠C＝90°，AM平分∠BAC，D为直线BC上一点，DE⊥AB于点E，∠CDE的平分线交直线AC于点F．
(1)如图①，当点D在边BC上时，判断DF与AM的位置关系，并说明理由；
(2)①如图②，当点D在边BC延长线上时，则DF与AM的位置关系是______；
②如图③，当点D在边CB延长线上时，则DF与AM的位置关系是______；
(3)请就（2）中①或②中的一种情况，给出证明．
高频考点8、平行线间的距离及运用
【解题技巧】两条平行线之间，距离相等。故同底三角形，因高也相等，所以面积相等。在解此类题型时，先确定公共底，然后在与底平行的直线上寻找三角形的另一个顶点，这样组成的三角形面积相等。
例8．（2022·南通市八年级月考）如图，A、P是直线m上的任意两个点，B、C是直线n上的两个定点，且直线m∥n．则下列说法正确的是（ ）
A．AC=BP B．△ABC的周长等于△BCP的周长
C．△ABC的面积等于△ABP的面积 D．△ABC的面积等于△PBC的面积
变式1．（2022·甘肃初一期中）正方形网格中的交点，我们称之为格点．如图所示的网格图中，每个小正方形的边长都为．现有格点,那么,在网格图中找出格点,使以和格点为顶点的三角形的面积为．这样的点可找到的个数为（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2022·河北滦州·初一期中）如图，直线，点是直线上一个动点，当点的位置发生变化时，三角形的面积（ ）
A．向左移动变小 B．向右移动变小 C．始终不变 D．无法确定
变式3．（2022·上海市初一月考）已知，，且，和的面积分别为2和8，则的面积是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
高频考点9、 根据平行线的性质求角的度数
【解题技巧】平行线与角的关系非常密切，平行线的性质都是以角的关系来提现的。
1）3类角的大小关系都是平行线的性质的一部分内容，切不可忽视前提条件“两直线平行”，当两直线不平行时，3类角无大小关系。
2）如果要从角的关系得到的结论是两直线平行，用平行线的判定；如果已知两直线平行，从平行线得到角相等或互补关系，用平行线的性质。填写理由时，要防止把性质与判定混淆。
例9．（2022·陕西初三其他）如图，直尺一边AB与量角器的零刻度线CD平行，若量角器的一条刻度线OF的读数为70°，OF与AB交于点E，那么∠AEF＝（ ）
A．70° B．110° C．20° D．120°
变式1．（2022·山东济南·八年级期末）如图，如果∠1=∠3，∠2=60°，那么∠4的度数为（ ）
A．120° B．130° C．140° D．150°
变式2．（2022·河北张家口·初三二模）如图，直线，以直线上的点A为圆心、适当长为半径画弧，分别交直线、于点B、C，连接AC、若，则
A． B． C． D．
变式3．（2022·河北初三）光线在不同介质中的传播速度不同，因此当光线从空气射向水中时，会发生折射．如图，在空气中平行的两条入射光线，在水中的两条折射光线也是平行的．若水面和杯底互相平行，且∠1＝122°，则∠2＝（ ）
A．61° B．58° C．48° D．41°
高频考点10、根据平行线的性质与判定探究角的关系
例10．（2022·广东·广州九年级开学考试）下列各图中，当a∥b时，符合∠1＝∠2+∠3关系的是（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2022·上海·七年级期中）如图，AB∥CD，EF⊥DB，垂足为点E，则∠1与∠2的关系是_____________．
变式2．（2022·浙江·七年级期中）如图，ABCD，PG平分∠EPF，∠A+∠AHP＝180°，下列结论：①CDPH；②∠BEP+∠DFP＝2∠EPG；③∠FPH＝∠GPH；④∠A+∠AGP+∠DFP﹣∠FPG＝180°；其中正确结论是（ ）
A．①②③④ B．①②④ C．①③④ D．①②
变式3．（2022·山东·德州市第五中学七年级期中）（1）如图1，直线l1l2，直线EF与l1和l2分别相交于C、D两点，点P在线段CD上（不与C、D重合）运动，A、B分别是直线l1和l2上两个定点，连接A、P和B、P，直接写出∠1，∠2，∠3之间的数量关系： ；
（2）若点P运动到射线DF上，∠1，∠2，∠3之间的数量关系怎样？写出结论，并证明．（3）若点P运动到射线CE上，请在图3中画出图形并直接写出∠PAC，∠APB，∠PBD之间的数量关系？
高频考点11、平行线的性质与判定的综合证明
例11．（2022·陕西渭南·七年级期末）如图，，平分交于，，，、分别是，延长线上的点，点在上，下列结论：①；②；③；④平分，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
变式1．（2022·贵州·兴仁市七年级阶段练习）如图，在三角形中，平分交于点，过点作的平行线交于点，平分交于点，连接交于点．下列结论：①；②；③；④三角形的面积与三角形相等．其中正确的是（ ）
A．①③ B．①②③ C．②③④ D．①②④
变式2．（2022·山东新泰·七年级期末）（1）已知：如图1，．求证：
（2）如图2，已知，在的平分线上取两个点M、N，使得，求证：．
变式3．（2022·江苏·泰兴市七年级阶段练习）光线照射到镜面会产生反射现象，由光学知识，入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等，例如：在图1中，有∠1＝∠2．
(1)如图2，已知镜子MO与镜子ON的夹角∠MON＝90°，请判断入射光线AB与反射光线CD的位置关系，并说明理由；(2)如图3，有一口井，已知入射光线AO与水平线OC的夹角为50°，当平面镜MN与水平线OC的夹角为 °，能使反射光线OB正好垂直照射到井底；
(3)如图4，直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CD．∠BAF＝120°，∠DCF＝40°，射线AB、CD分别绕A点、C点以3度/秒和1度/秒的速度同时逆时针转动，设时间为t秒，在射线AB转动一周的时间内，是否存在某时刻，使得CD与AB平行？若存在，求出所有满足条件的时间t．
高频考点12、图形的平移及作图
例12．（2022·河北石家庄·七年级期中）在如图所示的网格图每个小网格都是边长为个单位长度的小正方形中，，分别是的边，上的两点．
(1)将线段向右平移，使点与点重合，画出线段平移后的线段，连接，并写出相等的线段；(2)在（1）的条件下，直接写出与相等的角；
(3)请在射线上找出一点，使点与点的距离最短，并写出依据．
变式1．（2022·浙江七年级期中）下列运动属于平移的是（ ）
A．荡秋千 B．转动中的电风扇叶片
C．地球绕着太阳转 D．急刹车时，汽车在地面上的滑动
变式2．（2022·云南·景洪市七年级期中）如图所示的图案分别是三菱、大众、奥迪、奔驰汽车的车标，其中可以看着是由“基本图案”经过平移得到的是（ ）
A．B． C． D．
变式3．（2022·内蒙古·呼和浩特七年级期中）如图，在正方形网格中建立平面直角坐标系，已知点A（3，2），（4，-3），C（1，-2），请按下列要求操作：
(1)请在图中画出ΔABC；(2)将△ABC向左平移5个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到，在图中画出，并直接写出点 ，， 的坐标；(3)求出的面积．
高频考点13、利用平移的性质求解长度（周长）、面积问题
例13．（2022·湖北宜昌·七年级期末）如图，两只蚂蚁以相同的速度沿两条不同的路径，同时从点A出发爬到点B，只考虑路径、时间、路程等因素，下列结论正确的为（ ）
A．乙比甲先到 B．甲比乙先到
C．甲和乙同时到 D．无法确定哪只蚂蚁先到
变式1．（2022·山东济宁·七年级期中）如图，在一块长为30m，宽为20m的长方形草地上，有一条弯曲的小路，小路的左边线向右平移2m就是它的右边线，则这块草地的绿地面积是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2022·湖南·株洲七年级期中）如图，沿直线向右平移得到，已知，，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
变式3．（2022·江西赣州·一模）用10根小棒组成如图1所示的图案，请平移3根小棒变成如图2所示的图案，平移的方式有（ ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
高频考点14、命题的相关概念
例14．（2022·浙江·青田县八年级阶段练习）下列语句是命题的是（ ）
A．负数小于零 B．画一个角等于已知角 C．把16开平方 D．垂线段最短吗
变式1．（2022·河南濮阳·七年级期中）在说明命题“若，则”是假命题时，可以成为反例的是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2022·上海市八年级期中）下列命题中，假命题是（ ）
A．两个全等三角形的面积相等 B．周长相等的两个等边三角形全等
C．三角形的一个外角大于与它不相邻的一个内角 D．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补
变式3．（2022·四川·仁寿县八年级期末）命题“两点之间线段最短"的题设是______________，结论是______________．
高频考点15、互逆命题与互逆定理的辨别
例1．（2022·浙江·八年级专题练习）命题“若，则”的逆命题是（ ）
A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则
变式1．（2022·河北·八年级阶段练习）在下列各原命题中，逆命题是真命题的是（ ）
A．直角三角形两个锐角互余 B．对顶角相等
C．全等三角形对应角相等 D．全等的两个三角形面积相等
变式2．（2022·山东淄博·七年级期中）下列命题是定理的是（ ）
A．内错角相等 B．同位角相等，两直线平行
C．一个角的余角不等于它本身 D．在同一平面内，有且只有一条直线与已知直线垂直
变式3．（2022·吉林·八年级期中）下列说法，正确的是（ ）
A．每个定理都有逆定理 B．真命题的逆命题都是真命题
C．每个命题都有逆命题 D．假命题的逆命题都是假命题
高频考点16、逻辑推理与论证
解题技巧：作此类题型，要注意多体会证明过程中的因果逻辑关系。
例16．（2022·河南·郑州市七年级阶段练习）与同伴做以下游戏：每个人从同一副扑克牌（去掉大小王和J，Q，K）中选取3张黑色和3张红色牌（规定黑色为负，红色为正），使得6张牌的总分为0．两人轮流从同伴手中抽取1张牌，10次后，计算每人手中牌的总分，得分高者为胜．
温馨提示：一副扑克牌的组成【大、小王和4个花色：红桃，方块为红色，黑桃、梅花为黑色，每个花色计13张从1到10，J，Q，K共计54张】
（1）你希望抽到哪种颜色的牌？你希望哪种颜色的牌不被抽走？（2）游戏结束后，你手中牌的总分与同伴手中牌的总分有什么关系？（3）你可能得到的最高分是多少？
变式1．（2022·成都市·八年级）布鲁斯先生、他的妹妹、他的儿子，还有他的女儿都是网球选手．这四人中有以下情况：①最佳选手的孪生同胞与最差选手性别不同：②最佳选手与最差选手年龄相同．则这四人中最佳选手是（ ）
A．布鲁斯先生 B．布鲁斯先生的妹妹 C．布鲁斯先生的儿子 D．布鲁斯先生的女儿
变式2．（2022·广东·八年级课前预习）下列结论推理合理的是（ ）
A．王强和小明体重看起来不等，那么它们一定不等
B．因为王老师是数学老师，所以王老师出的数学题一定没有问题
C．因为小强的妈妈是老师，所以小强学习成绩一定很好
D．因为小强热情、开朗、爱交际，所以小强的朋友可能很多
变式3．（2022·山东淄博·中考模拟）甲、乙、丙、丁4人进行乒乓球单循环比赛（每两个人都要比赛一场），结果甲胜了丁，并且甲、乙、丙胜的场数相同，则丁胜的场数是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
高频考点17、折叠（旋转）中角度问题
【解题技巧】在折叠的过程中，会产生相等的角。利用折叠中的相等角，结合对顶角、邻补角进行推导求解。
例17．（2022·浙江台州·七年级期末）如图，把一张长方形纸条沿折叠，若，则______°．
变式1．（2022·河南安阳·模拟预测）如图，生活中，将一个宽度相等的纸条按图所示折叠一下，如果，那么的度数为（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2022·黑龙江·虎林市青山学校七年级期中）如图所示，把长方形ABCD沿EF对折，若∠1=50°，则∠AEF的度数为（ ）
A．65° B．115° C．130° D．120°
变式3．（2022·重庆·七年级期中）如图，△OAB为等腰直角三角形（∠A＝∠B＝45°，∠AOB＝90°），△OCD为等边三角形（∠C＝∠D＝∠COD＝60°），满足OC＞OA，△OCD绕点O从射线OC与射线OA重合的位置开始，逆时针旋转，旋转的角度为α（0°＜α＜360°），下列说法正确的是（ ）
A．当α＝15°时，DC∥AB B．当OC⊥AB时，α＝45°
C．当边OB与边OD在同一直线上时，直线DC与直线AB相交形成的锐角为15°
D．整个旋转过程，共有10个位置使得△OAB与△OCD有一条边平行
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专题01 相交线与平行线 高频考点（精练）
一、选择题
1．（2022·福建福建·七年级期中）根据语句“直线与直线相交，点在直线上，直线不经过点．”画出的图形是（ ）
A．B．C． D．
【答案】D
【分析】根据直线与直线相交，点M在直线上，直线不经过点M进行判断，即可得出结论．
【详解】解：A．直线经过点M，故本选项不合题意；B．点M不在直线上，故本选项不合题意；
C．点M不在直线上，故本选项不合题意；
D．直线与直线相交，点M在直线上，直线不经过点M，故本选项符合题意；故选：D．
【点睛】本题考查相交线以及点与直线的位置关系，两条直线交于一点，我们称这两条直线为相交线．
2．（2022·江西吉安·七年级期中）下列说法正确的是（ ）
A．在同一平面内，两条直线不垂直就平行B．在同一平面内，没有公共点的两条射线是平行线
C．在同一平面内，两条线段不相交就重合D．在同一平面内，没有公共点的两条线段可能互相垂直
【答案】D
【分析】根据两条直线的位置关系、平行线、垂直的定义逐项判断即可得．
【详解】解：A、在同一平面内，两条直线不相交就平行，则此项错误，不符合题意；
B、在同一平面内，没有公共点的两条直线是平行线，则此项错误，不符合题意；
C、在同一平面内，两条线段不相交，也有可能不重合，则此项错误，不符合题意；
D、在同一平面内，没有公共点的两条线段也可能互相垂直，则此项正确，符合题意；故选：D．
【点睛】本题考查了两条直线的位置关系、平行线、垂直，熟练掌握相交线与平行线是解题关键．
3．（2022·广东·陆丰七年级期中）如图，若∠AOC增大50°，则∠BOD( )
A．减少50° B．增大50° C．不变 D．增大0°
【答案】B
【分析】根据对顶角相等即可求解．
【详解】解：∵∴当∠AOC增大50°，则∠BOD也增大50°，故选B．
【点睛】本题考查了对顶角相等，掌握对顶角相等是解题的关键．
4．（2022·重庆璧山·七年级期中）今年4月，被称为“猪儿虫”的璧山云巴正式运行．云巴在轨道上运行可以看作是（ ）
A．对称 B．旋转 C．平移 D．跳跃
【答案】C
【分析】根据平移与旋转定义判断即可．
【详解】解：云巴在轨道上运行可以看作是数学上的平移．故选：C．
【点睛】本题考查对平移与旋转的理解及在实际当中的运用．平移是物体运动时，物体上任意两点间，从一点到另一点的方向与距离都不变的运动；旋转是物体运动时，每一个点离同一个点（可以在物体外）的距离不变的运动，称为绕这个点的转动，这个点称为物体的转动中心．所以，它并不一定是绕某个轴的．正确理解平移与旋转的定义是解题的关键．
5．（2022·广西贺州·中考真题）如图，直线a，b被直线c所截，下列各组角是同位角的是（ ）
A．与 B．与 C．与 D．与
【答案】B
【分析】两条线a、b被第三条直线c所截，在截线的同旁，被截两直线的同一方，把这种位置关系的角称为同位角，据此作答即可．
【详解】解：∠1与∠2是对顶角，选项A不符合题意；
∠1与∠3是同位角，选项B符合题意；∠2与∠3是内错角，选项C不符合题意；
∠3与∠4是邻补角，选项D不符合题意；故选：B．
【点睛】此题考查同位角、内错角、同旁内角，熟记同位角、内错角、同旁内角的定义是解题的关键．
6．（2022·北京七年级期中）下列说法中，错误的有（ ）
①若，，则；②若与相交，与相交，则与相交；
③相等的角是对顶角；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行．
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】A
【分析】根据平行公理及推论可判断①；若与相交，与相交，则与可能相交或平行，可判断②；对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，可判断③；根据平行公理及推论可判断④．
【详解】解：根据平行线公理及推论可知，①正确；
若与相交，与相交，则与可能相交或平行，②错误；
对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，③错误；
过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，④错误．故错误的有个，故选：A．
【点睛】本题考查平行公理及推论、平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解答本题关键．
7．（2022·贵州·兴仁市七年级阶段练习）如图，根据下列选项中的条件不能推出ADBC的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据平行线的判定方法对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：A、∵，∴ADBC，故本选项不符合题意；
B、∵∠2=∠4，∴ABCD，故本选项符合题意；
C、∵∠1=∠3，∴ADBC，故本选项不符合题意；
D、∵，∴ADBC，故本选项不符合题意．故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的判定，准确识图是解题的关键．
8．（2022·江苏泰州市·八年级期中）如图，中，AE是中线，AD是角平分线，AF是高，则下列说法中错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由中线的性质可得，，由角平分线的定义可得；由AF是的高，可得．
【详解】解：是中线，，，故A、D说法正确；
是角平分线，，，故C说法错误；
是的高，，，故B说法正确；故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的面积，三角形的角平分线，中线和高，明确概念是本题的关键．
9．（2022·湖南茶陵·初一期末）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AC与BD相交于点O，若S△ABD＝10cm2，S△ACD为（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
【答案】A
【分析】根据题意可知△ABD和△ACD如果都以AD做底边时，此时底边上的高相等，从而可以得到S△ACD的值．
【解析】解∵四边形ABCD中，AD∥BC，AC与BD相交于点O，S△ABD=10cm2，
∴△ABD和△ACD如果都以AD做底边时，此时底边上的高相等，∴S△ACD=10cm2，故选A．
【点睛】本题考查平行线间的距离，解题的关键是找到两个三角形之间的关系，同底等高．
10．（2022·山东潍坊市·八年级期末）一把直尺与30°的直角三角板如图所示，，则（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
【答案】C
【分析】直接利用平行线的性质即可得到结论．
【详解】如图所示，
∵三角板是含30°角的直角三角板，∴∠3=60°，
∵AB∥CD，∴∠2+∠1+∠3=180°，∴∠2=180°-∠1-∠3=180°-50°-60°=70°，故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补．
11．（2022·山东济宁·七年级期末）如图，点A在直线l1上，点B，C在直线l2上，AB⊥l2于点B，AC⊥11于点A，AB＝4，AC＝5，则下列说法正确的是（ ）
A．点B到直线l1的距离等于4 B．点A到直线l2的距离等于5
C．点B到直线l1的距离等于5 D．点C到直线l1的距离等于5
【答案】D
【分析】根据点到直线的距离的定义求解即可．
【详解】解：∵AB⊥于点B，AC⊥于点A，AB=4，AC=5，
∴点A到直线的距离等于4，点C到直线的距离等于5，故选：D．
【点睛】本题考查了点到直线的距离，利用点到直线的距离定义是解题关键．
12．（2022·山西初一月考）小林乘车进入车库时仔细观察了车库门口的“曲臂直杆道闸”，并抽象出如图所示的模型，已知垂直于水平地面．当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的段绕点缓慢向上旋转，段则一直保持水平状态上升（即与始终平行），在该过程中始终等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】过点B作BG∥CD，由题意可知：CD∥AE，∠BAE=90°，从而证出BG∥CD∥AE，然后根据平行线的性质可得∠ABG=90°，=180°，从而求出结论．
【解析】解：过点B作BG∥CD由题意可知：CD∥AE，∠BAE=90°
∴BG∥CD∥AE∴∠ABG=180°－∠BAE=90°，=180°
∴=∠ABG＋=270°故选D．
【点睛】此题考查的是平行线的判定及性质，掌握平行线的判定及性质是解题关键．
13．（2022·深圳市初二月考）已知：如图，，则，，之间的关系是
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】分别过C、D作AB的平行线CM和DN，由平行线的性质可得到∠α+∠β=∠C+∠γ，可求得答案．
【解析】解：如图，分别过C、D作AB的平行线CM和DN，
，，，，，
，
又，，，即，故选C．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键，即①两直线平行 同位角相等，②两直线平行 内错角相等，③两直线平行 同旁内角互补，④a//b，b//c a//c．
14．（2022·湖南·常德市八年级期中）如图所示是某酒店门前的台阶，现该酒店经理要在台阶上铺上一块红地毯，则这块红地毯至少需要（ ）
A．23平方米 B．90平方米 C．130平方米 D．120平方米
【答案】B
【分析】根据题意，结合图形，先把楼梯的横竖向上向右平移，构成一个矩形的两边，求出地毯的长度，再求得其面积即可．
【详解】解：利用平移线段，把楼梯的横竖向上向右平移，构成一个矩形的两边，长分别为10米，8米，故地毯的长度为8+10=18（米），则这块红地毯面积为18×5=90（m2）．故答案为：B．
【点睛】此题考查利用平移解答实际问题，解决此题的关键是要利用平移的知识，把要求的所有线段平移到一条直线上进行计算．
15．（2022·黑龙江·哈尔滨市七年级阶段练习）有下列命题①对顶角相等，②同位角相等；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离；⑤平行于同一条直线的两条直线平行；其中真命题有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【分析】根据对顶角的定义即可判断①；根据平行线的性质即可判断②；根据两直线的位置关系即可判断③；根据点到直线的距离的定义即可判断④；根据平行公理即可判断⑤．
【详解】解：①对顶角相等，原命题是真命题；
②两直线平行，同位角相等，原命题是假命题；
③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原命题是假命题；
④从直线外一点到这条直线的垂线段的长，叫做这点到这条直线的距离，原命题是假命题；
⑤平行于同一条直线的两条直线平行，原命题是真命题；故选C．
【点睛】本题主要考查了判断命题真假，熟知相关知识是解题的关键．
16．（2023·广东·东莞九年级期中）下列命题的逆命题为假的有（ ）
A．对顶角是相等的角 B．对应角相等的三角形是全等三角形
C．平行四边形是两组对边互相平行的图形 D．等圆是半径相等的圆
【答案】A
【分析】先分别写出每个选项的逆命题，再判断其是否正确．
【详解】解∶ A的逆命题是∶相等的角是对顶角，是假命题，故此选项符合题意；
B的逆命题是∶全等三角形的对应角相等，是真命题，故此选项不符合题意；
C的逆命题是：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，是真命题，故此选项不符合题意；
D的逆命题是∶半径相等的圆是等圆，是真命题，故此选项不符合题意．故选∶A．
【点睛】此题主要考查了命题与定理以及写一个命题的逆命题的方法，分清命题的条件与结论正确写出逆命题是解题关键．
17．（2022·浙江·八年级专题练习）下列说法错误的是（ ）
A．任何命题都有逆命题 B．真命题的逆命题不一定是正确的
C．任何定理都有逆定理 D．一个定理若存在逆定理，则这个逆定理一定是正确的
【答案】C
【分析】根据命题，定理的定义对各选项分析判断后利用排除法求解即可．
【详解】A．任何命题都有逆命题，故A正确，不符合题意；
B．真命题的逆命题不一定为真，故B正确，不符合题意；
C．任何定理不一定都有逆定理，故C错误，符合题意；D．定理一定是正确的，一个定理若存在逆定理，则这个逆定理一定是正确的，故D正确，不符合题意．故选：C．
【点睛】本题考查了命题，定理的定义．如果一个命题的条件与结论分别是另一个命题的结论与条件，那么这两个命题称为互逆命题．定理是指用逻辑的方法判断为正确并作为推理的根据的真命题．一个命题是真命题，它的逆命题却不一定是真命题，如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理．
18．（2022·浙江·萧山区七年级期中）一条两边沿互相平行的围巾按图所示折叠，已知∠DAB-∠ABC=8°，且DFCG，则∠DAB+2∠ABC=（ ）度．
A．130 B．131 C．132 D．133
【答案】B
【分析】将围巾展开，利用折叠的性质和平行线的性质推导即可．
【详解】解 ：如图，将围巾展开，
则∠ADM =∠ADF，∠KCB=∠BCN，设∠ABC = x，则∠DAB=x+8°，
∵CDAB，∴∠ADM=∠DAB=∠ADF=x+8°，
∵DFCG，∴∠FDC=∠KCG=2x，
∵∠FDC + ∠FDM = 180°，即2x +2（x+ 8°） = 180°，解得 x=41°，
∴∠DAB+2∠ABC=（x+ 8°）+2x= 131°．故选：B．
【点睛】本题考查折叠的性质与平行线的性质，根据∠FDC + ∠FDM = 180°列方程是解题的关键．
二、填空题
19．（2022·福建泉州·八年级期中）把命题：对顶角相等．改写“如果那么”的形式为：___________________．
【答案】如果两个角是对顶角，那么这两个角相等
【分析】命题中的条件是两个角相等，放在“如果”的后面，结论是这两个角的补角相等，应放在“那么”的后面．
【详解】解：题设为：对顶角，结论为：相等，
故写成“如果…那么…”的形式是：如果两个角是对顶角，那么它们相等；
故答案为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．
【点睛】本题考查了命题与定理的知识，将原命题写成条件与结论的形式，“如果”后面是命题的条件，“那么”后面是条件的结论，解决本题的关键是找到相应的条件和结论，比较简单．
20．（2022·重庆·八年级课时练习）现有五名同学，他们分别来自一中、二中、三中．已知：（1）每所学校至少有他们中的一名学生；（2）在二中的联欢会上，作为被邀请的客人演奏了小提琴；（3）过去曾在三中学习，后来转学了，现在同在同一个班学习；（4）是同一所学校的三好学生．根据以上叙述，可以判断所在的学校为_________．
【答案】一中
【分析】通过分析题意可知：B与D在同一个班学习，D和E是同一所学校的三好学生，证明B、D、E为同一所学校的人；在二中的晚会上，A、B、E作为被邀请演奏了小提琴，证明他们都不是二中的；B过去曾经在三中学习，后来转学了，证明B不是三中的，所以B只能是一中，D、E也只能是一中．
【详解】解：由B与D在同一个班学习，D和E是同一所学校的三好学生可知：B、D、E为同一所学校的人；由中的晚会上，A、B、E作为被邀请演奏了小提琴可知：A、B、E都不是二中的；
由B过去曾经在三中学习，后来转学了可知B不是三中的，
所以B只能是一中，D、E也只能是一中，故答案为一中．
【点睛】本题考查推理与论证，完成此类题目思路要清晰，在认真分析题意的基础上找出所给条件中的逻辑关系进行推理，从而得出正确结论．
21．（2022·广东禅城.初一期末）如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D′，C′的位置．若∠AED′=30°，则∠BFC′的度数为_________．
【答案】30°．
【分析】根据平角的定义计算出∠DED′=150°，再根据折叠的性质得∠DEF=∠D′EF，所以∠DEF=∠DED′=75°．再由平行线的性质可得∠DEF=∠EFB=75°，∠DEF+∠EFC=180°，即可得∠EFC=105°，由折叠的性质可得∠EFC=∠EF C′=105°，由此可得∠BFC′=∠EF C′-∠EFB=105°-75°30°.
【解析】∵∠AED′=30°，∴∠DED′=180°-∠AED′=180°-30°=150°，
∵长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D′、C′的位置，
∴∠DEF=∠D′EF，∴∠DEF=∠DED′=×150°=75°．
∵AD∥BC，∴∠DEF=∠EFB=75°，∠DEF+∠EFC=180°，∴∠EFC=105°，
∵长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D′、C′的位置，
∴∠EFC=∠EF C′=105°，∴∠BFC′=∠EF C′-∠EFB=105°-75°30°.故答案为30°．
【点睛】本题考查了折叠的性质及平行线的性质，熟练运用折叠的性质及平行线的性质是解决问题的关键.
22．（2022·上海七年级期中）如图：与成内错角的是______；与成同旁内角的是______．
【答案】 、和 、和
【分析】准确识别内错角、同旁内角的关键，是弄清哪两条直线被哪一条线所截．也就是说，在辨别这些角之前，要弄清哪一条直线是截线，哪两条直线是被截线．
【详解】解：如图，与成内错角的是、和，与成同旁内角的是：、和．故答案分别是：、和，、和．
【点睛】本题考查了同位角、内错角、同旁内角．在复杂的图形中识别同位角、内错角、同旁内角时，应当沿着角的边将图形补全，或者把多余的线暂时略去，找到三线八角的基本图形，进而确定这两个角的位置关系．
23．（2022·江西赣州·七年级期中）如图，点E在AC的延长线上，若要使，则需添加条件_______（写出一种即可）
【答案】∠1=∠2 等 （写出一种即可）
【分析】根据平行线的判定定理得出直接得出即可．
【详解】解：∵当∠1 =∠2时，（内错角相等，两直线平行）；
∴若要使，则需添加条件∠1 =∠2；故答案为：∠1=∠2．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题关键．
24．（2022·山东潍坊·七年级期中）在同一平面内有2022条直线，如果，，，……那么与的位置关系是_____________．
【答案】垂直
【分析】根据垂直的定义和平行线的性质可得依次是垂直，垂直，平行，平行，4个一循环，依此可得，的位置关系．
【详解】解：∵在同平面内有2022条直线，若，，，……
∴与 依次是垂直，垂直，平行，平行，…，
∵…1，∴与的位置关系是垂直．故答案为：垂直．
【点睛】本题考查垂线、平行线的规律问题，解题的关键是找出规律．
25．（2022·浙江·杭州七年级期中）将一块三角板ABC（∠BAC=90°，∠ABC=30°）按如图方式放置，使A，B两点分别落在直线m，n上，对于给出的五个条件：①∠1=25.5°，∠2=55°；②∠1+∠2=90°；③∠2=2∠1；④∠ACB=∠1+∠3；⑤∠ABC=∠2-∠1．能判断直线mn的有__．（填序号）
【答案】①④⑤
【分析】根据平行线的判定方法和题目中各个小题中的条件，逐一判断是否可以得到m∥n，从而可以解答本题．
【详解】解：∵∠1=25.5°，∠2=55°，∠ABC=30°，
∴∠ABC+∠1=55.5°=55°=∠2，∴mn，故①符合题意；
∵∠1+∠2=90°，∠ABC=30°，∴∠1+∠ABC不一定等于∠2，
∴m和n不一定平行，故②不符合题意；
∵∠2=2∠1，∠ABC=30°，∴∠1+∠ABC不一定等于∠2，
∴m和n不一定平行，故③不符合题意； 过点C作CEm，∴∠3=∠4，
∵∠ACB=∠1+∠3，∠ACB=∠4+∠5，∴∠1=∠5，
∴ECn，∴mn，故④符合题意；
∵∠ABC=∠2-∠1，∴∠2=∠ABC+∠1，
∴mn，故⑤符合题意；故答案为：①④⑤．
【点睛】本题考查平行线的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
26．（2022·浙江·宁波市鄞州蓝青学校七年级期中）如图，已知GF⊥AB，∠1=∠2，∠B=∠AGH，则以下结论：①GHBC；②∠D＝∠F；③HE平分∠AHG；④HE⊥AB．其中正确的有_____（只填序号）
【答案】①④##④①
【分析】根据平行线的性质和判定逐个判断即可．
【详解】解：∵∠B＝∠AGH，∴GHBC，故①正确；∴∠1＝∠HGF，
∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠HGF，∴DEGF，∴∠D＝∠DMF，
根据已知条件不能推出∠F也等于∠DMF，故②错误；
∵DEGF，∴∠F＝∠AHE，∵∠D＝∠1＝∠2，∴∠2不一定等于∠AHE，故③错误；
∵GF⊥AB，GFHE，∴HE⊥AB，故④正确；故答案为：①④．
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．
三、解答题
27．（2022·广东·七年级期中）如图：点C是∠AOB的边OB上的一点，按下列要求画图并回答问题．
(1)过C点画OB的垂线，交OA于点D；(2)过C点画OA的垂线段，垂足为E；
(3)比较线段CE，CO，CD的大小，并说明理由；
【答案】(1)图见详解(2)图见详解(3)，理由见详解
【分析】（1）过点画即可；（2）过点画即可；
（3）根据点到直线的距离可得，线段、、这三条线段大小关系．
（1）解：如图所示：为所求；（2）解：如图所示：为所求；（3）解：
理由：从直线外一点到这条直线上的点的所有连线中，垂线段最短．
【点睛】本题主要考查了基本作图作已知直线的垂线，垂线段的性质，掌握垂线段最短是关键．
28．（2022·江西吉安·七年级期末）作图题：
在如图所示的方格纸中不用量角器与三角尺，仅用直尺．
(1)经过点，画线段平行于所在直线．(2)过点，画线段垂直于所在直线．
【答案】(1)见解析 (2)见解析
【分析】(1)根据平行线的定义，画出图形即可；(2)根据垂线的定义，画出图形即可．
（1）解：如图，线段即为所求（答案不唯一）；
（2）如图，线段即为所求．
【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，平行线，垂线等知识，解题关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
29．（2022·浙江台州·七年级期末）如图，在7×5的方格中，三角形ABC的顶点均在格点上，点D为格点．
(1)在图中作出线段DE（E点在格上），使；
(2)在图中作出线段DF（F点在格上），使．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【分析】（1）根据格点的特点，点B向右平移3格，向上平移4格到达点A，因此将点D向右平移3格，向上平移4格到达格点即为点E，连接DE即可；
（2）将点D向左平移1格，向上平移2格到达格点F，连接DF，作出AC的平行线即可.
（1）解：线段DF即为所求作的线段，如图所示：
或
（2）解：作线段，∴，
∵，∴，∴，
∴线段DF为所求作的线段，如图所示：
【点睛】本题主要考查了平移作图，平行线的性质，根据网格的特点作出与已知线段平行的线段，是解题的关键．
30．（2022·吉林·大安市七年级阶段练习）如图，在四边形ABCD中，，，点E、F分别在DC、AB上，且BE、DF分别平分∠ABC、∠ ADC，判断BE、DF是否平行，并说明理由．
【答案】平行，理由见解析
【分析】先根据角平分线的定义可得，从而可得，再结合可得，然后根据平行线的判定即可得．
【详解】解：，理由如下：
分别平分，，
，，
又，，．
【点睛】本题考查了角平分线、平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题关键．
31．（2022·河南·七年级期末）如图，已知点O在直线AB上，射线OE平分∠AOC，过点O作OD⊥OE，G是射线OB上一点，连接DG，使∠ODG+∠DOG=90°．
(1)求证：∠AOE=∠ODG；(2)若∠ODG=∠C，试判断CD与OE的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)证明见解析 (2)CDOE，理由见解析
【分析】（1）由OD⊥OE得到∠EOC+∠COD=∠AOE+∠DOG=90°，再利用等角的余角相等即可证明∠AOE=∠ODG；（2）证明∠EOC=∠C，利用内错角相等两直线平行，即可证明CDOE．
（1）证明：∵OD⊥OE，∴∠EOC+∠COD=∠AOE+∠DOG=90°，
∵∠ODG+∠DOG=90°，∴∠AOE=∠ODG；
（2）解：CDOE．理由如下：由（1）得∠AOE=∠ODG，
∵射线OE平分∠AOC，∴∠AOE=∠EOC，∵∠ODG=∠C，∴∠EOC=∠C，∴CDOE．
【点睛】本题考查角平分线定义，垂直的定义，平行线的判定，等角的余角相等，正确识图是解题的关键．
32．（2022·新疆·伊宁市第二十三中学八年级期末）课题学行线的“等角转化”功能．
(1)阅读理解：如图1，已知点A是外一点，连接，求的度数．
阅读并补充下面推理过程
解：过点A作，
∴ ．
又∵
∴
解题反思：从上面推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，，“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．
(2)方法运用：如图2，已知，试说明的关系，并证明．（提示：过点C作）
(3)解决问题：如图3，已知，点C在点D的右侧，，点B在点A的左侧，平分平分所在的直线交于点E，点E在与两条平行线之间，求度数．
【答案】(1)∠DAC(2)，理由见详解(3)
【分析】（1）根据平行线的性质即可得到结论；
（2）过作，根据平行线的性质得到，，然后根据已知条件即可得到结论；
（3）过点作，然后根据角平分线的定义和平行线的性质，即可求的度数．
（1）解：过点作，，，
又，；故答案为∠DAC；
（2）解：，理由如下：
过点作，如图所示：
，，，，
，即；
（3）解：如图，过点作，
，，，，
平分，平分，，，
，，．
【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是正确添加辅助线，利用平行线的性质进行推算．
33．（2022·河北·武邑七年级期末）【发现】如图1，CE平分∠ACD，AE平分∠BAC．
(1)当∠EAC＝∠ACE＝45°时，AB与CD的位置关系是______；
当∠EAC＝50°，∠ACE＝40°时，AB与CD的位置关系是______；
当∠EAC+∠ACE＝90°，请判断AB与CD的位置关系并说明理由；
(2)【探究】如图2，AB∥CD，M是AE上一点，∠AEC＝90°保持不变，移动顶点E，使CE平分∠MCD，∠BAE与∠MCD存在怎样的数量关系？并说明理由，
(3)【拓展】如图3，AB∥CD，P为线段AC上一定点，Q为直线CD上一动点，且点Q不与点C重合．直接写出∠CPQ+∠CQP与∠BAC的数量关系．
【答案】(1)AB∥CD；AB∥CD；AB∥CD，理由见解析
(2)∠BAE+∠MCD＝90°，理由见解析 (3)∠BAC＝∠PQC+∠QPC或∠PQC+∠QPC+∠BAC＝180°
【分析】（1）由角平分线的定义得∠BAC＝2∠EAC，∠ACD＝2∠ACE，则∠BAC+∠ACD＝180°，可得结论AB∥CD；（2）过点E作EF∥AB，利用平行线的性质可得答案；
（3）利用平行线的性质和三角形内角和定理可得答案．
（1）解：当∠EAC＝∠ACE＝45°时，AB∥CD，理由如下：
∵CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠EAC，∠ACD＝2∠ACE，
∵∠EAC＝∠ACE＝45°，∴∠BAC＝∠ACD＝90°，
∴∠BAC+∠ACD＝180°，∴AB∥CD，故答案为：AB∥CD；
当∠EAC＝50°，∠ACE＝40°时，AB∥CD，理由如下：
∵CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠EAC，∠ACD＝2∠ACE，
∵∠EAC＝50°，∠ACE＝40°∴∠BAC＝100°，∠ACD＝80°，
∴∠BAC+∠ACD＝180°，∴AB∥CD，故答案为：AB∥CD；
当∠EAC+∠ACE＝90°，AB∥CD，理由如下：
∵CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠EAC，∠ACD＝2∠ACE，
∵∠EAC+∠ACE＝90°，∴∠BAC+∠ACD＝180°，∴AB∥CD；
(2)解：∠BAE+∠MCD＝90°，理由如下：过点E作EF∥AB，如图所示，
∵AB∥CD，∴EF∥AB∥CD，∴∠BAE＝∠AEF，∠FEC＝∠DCE，
∵∠AEC＝90°，∴∠AEF+∠FEC＝∠BAE+∠ECD＝90°，
∵CE平分∠MCD，∴∠ECD＝∠MCD，∴∠BAE+∠MCD＝90°；
（3）解：分两种情况分类讨论，
第一种情况如图，当点Q在射线CD上运动时，∠BAC＝∠PQC+∠QPC，
理由：过点P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴EP∥AB∥CD，∴∠BAC＝∠EPC，∠PQC＝∠EPQ，
∵∠EPC＝∠EPQ+∠QPC∴∠BAC＝∠PQC+∠QPC；
第二种情况如图，当点Q在射线CD的反向延长线上运动时（点C除外）∠PQC+∠QPC+∠BAC＝180°，
理由：∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠PCQ，
∵∠PQC+∠QPC +∠PCQ＝180°，∴∠PQC+∠QPC+∠BAC＝180°，
综上，∠BAC＝∠PQC+∠QPC或∠PQC+∠QPC+∠BAC＝180°．
【点睛】本题考查平行线的性质，解题关键需要根据题意作出相关的辅助线，运用数形结合的思想方法，从图形中寻找角之间的位置关系，根据平行线的性质从而判断角之间的大小关系，同时注意运用分类讨论的思想方法．
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专题01 相交线与平行线 高频考点（精练）
一、选择题
1．（2022·福建福建·七年级期中）根据语句“直线与直线相交，点在直线上，直线不经过点．”画出的图形是（ ）
A．B．C． D．
2．（2022·江西吉安·七年级期中）下列说法正确的是（ ）
A．在同一平面内，两条直线不垂直就平行B．在同一平面内，没有公共点的两条射线是平行线
C．在同一平面内，两条线段不相交就重合D．在同一平面内，没有公共点的两条线段可能互相垂直
3．（2022·广东·陆丰七年级期中）如图，若∠AOC增大50°，则∠BOD( )
A．减少50° B．增大50° C．不变 D．增大0°
4．（2022·重庆璧山·七年级期中）今年4月，被称为“猪儿虫”的璧山云巴正式运行．云巴在轨道上运行可以看作是（ ）
A．对称 B．旋转 C．平移 D．跳跃
5．（2022·广西贺州·中考真题）如图，直线a，b被直线c所截，下列各组角是同位角的是（ ）
A．与 B．与 C．与 D．与
6．（2022·北京七年级期中）下列说法中，错误的有（ ）
①若，，则；②若与相交，与相交，则与相交；
③相等的角是对顶角；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行．
A．个 B．个 C．个 D．个
7．（2022·贵州·兴仁市七年级阶段练习）如图，根据下列选项中的条件不能推出ADBC的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·江苏泰州市·八年级期中）如图，中，AE是中线，AD是角平分线，AF是高，则下列说法中错误的是（ ）
A． B． C． D．
9．（2022·湖南茶陵·初一期末）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AC与BD相交于点O，若S△ABD＝10cm2，S△ACD为（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
10．（2022·山东潍坊市·八年级期末）一把直尺与30°的直角三角板如图所示，，则（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
11．（2022·山东济宁·七年级期末）如图，点A在直线l1上，点B，C在直线l2上，AB⊥l2于点B，AC⊥11于点A，AB＝4，AC＝5，则下列说法正确的是（ ）
A．点B到直线l1的距离等于4 B．点A到直线l2的距离等于5
C．点B到直线l1的距离等于5 D．点C到直线l1的距离等于5
12．（2022·山西初一月考）小林乘车进入车库时仔细观察了车库门口的“曲臂直杆道闸”，并抽象出如图所示的模型，已知垂直于水平地面．当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的段绕点缓慢向上旋转，段则一直保持水平状态上升（即与始终平行），在该过程中始终等于（ ）
A． B． C． D．
13．（2022·深圳市初二月考）已知：如图，，则，，之间的关系是
A． B．
C． D．
14．（2022·湖南·常德市八年级期中）如图所示是某酒店门前的台阶，现该酒店经理要在台阶上铺上一块红地毯，则这块红地毯至少需要（ ）
A．23平方米 B．90平方米 C．130平方米 D．120平方米
15．（2022·黑龙江·哈尔滨市七年级阶段练习）有下列命题①对顶角相等，②同位角相等；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离；⑤平行于同一条直线的两条直线平行；其中真命题有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
16．（2023·广东·东莞九年级期中）下列命题的逆命题为假的有（ ）
A．对顶角是相等的角 B．对应角相等的三角形是全等三角形
C．平行四边形是两组对边互相平行的图形 D．等圆是半径相等的圆
17．（2022·浙江·八年级专题练习）下列说法错误的是（ ）
A．任何命题都有逆命题 B．真命题的逆命题不一定是正确的
C．任何定理都有逆定理 D．一个定理若存在逆定理，则这个逆定理一定是正确的18．（2022·浙江·萧山区七年级期中）一条两边沿互相平行的围巾按图所示折叠，已知∠DAB-∠ABC=8°，且DFCG，则∠DAB+2∠ABC=（ ）度．
A．130 B．131 C．132 D．133
二、填空题
19．（2022·福建泉州·八年级期中）把命题：对顶角相等．改写“如果那么”的形式为：___________________．
20．（2022·重庆·八年级课时练习）现有五名同学，他们分别来自一中、二中、三中．已知：（1）每所学校至少有他们中的一名学生；（2）在二中的联欢会上，作为被邀请的客人演奏了小提琴；（3）过去曾在三中学习，后来转学了，现在同在同一个班学习；（4）是同一所学校的三好学生．根据以上叙述，可以判断所在的学校为_________．
21．（2022·广东禅城.初一期末）如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D′，C′的位置．若∠AED′=30°，则∠BFC′的度数为_________．
22．（2022·上海七年级期中）如图：与成内错角的是______；与成同旁内角的是______．
23．（2022·江西赣州·七年级期中）如图，点E在AC的延长线上，若要使，则需添加条件_______（写出一种即可）
24．（2022·山东潍坊·七年级期中）在同一平面内有2022条直线，如果，，，……那么与的位置关系是_____________．
25．（2022·浙江·杭州七年级期中）将一块三角板ABC（∠BAC=90°，∠ABC=30°）按如图方式放置，使A，B两点分别落在直线m，n上，对于给出的五个条件：①∠1=25.5°，∠2=55°；②∠1+∠2=90°；③∠2=2∠1；④∠ACB=∠1+∠3；⑤∠ABC=∠2-∠1．能判断直线mn的有__．（填序号）
26．（2022·浙江·宁波市鄞州蓝青学校七年级期中）如图，已知GF⊥AB，∠1=∠2，∠B=∠AGH，则以下结论：①GHBC；②∠D＝∠F；③HE平分∠AHG；④HE⊥AB．其中正确的有_____（只填序号）
三、解答题
27．（2022·广东·七年级期中）如图：点C是∠AOB的边OB上的一点，按下列要求画图并回答问题．
(1)过C点画OB的垂线，交OA于点D；(2)过C点画OA的垂线段，垂足为E；
(3)比较线段CE，CO，CD的大小，并说明理由；
28．（2022·江西吉安·七年级期末）作图题：在如图所示的方格纸中不用量角器与三角尺，仅用直尺．
(1)经过点，画线段平行于所在直线．(2)过点，画线段垂直于所在直线．
29．（2022·浙江台州·七年级期末）如图，在7×5的方格中，三角形ABC的顶点均在格点上，点D为格点．
(1)在图中作出线段DE（E点在格上），使；
(2)在图中作出线段DF（F点在格上），使．
30．（2022·吉林·大安市七年级阶段练习）如图，在四边形ABCD中，，，点E、F分别在DC、AB上，且BE、DF分别平分∠ABC、∠ ADC，判断BE、DF是否平行，并说明理由．
31．（2022·河南·七年级期末）如图，已知点O在直线AB上，射线OE平分∠AOC，过点O作OD⊥OE，G是射线OB上一点，连接DG，使∠ODG+∠DOG=90°．
(1)求证：∠AOE=∠ODG；(2)若∠ODG=∠C，试判断CD与OE的位置关系，并说明理由．
32．（2022·新疆·伊宁市第二十三中学八年级期末）课题学行线的“等角转化”功能．
(1)阅读理解：如图1，已知点A是外一点，连接，求的度数．
阅读并补充下面推理过程
解：过点A作，
∴ ．
又∵
∴
解题反思：从上面推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，，“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．
(2)方法运用：如图2，已知，试说明的关系，并证明．（提示：过点C作）
(3)解决问题：如图3，已知，点C在点D的右侧，，点B在点A的左侧，平分平分所在的直线交于点E，点E在与两条平行线之间，求度数．
33．（2022·河北·武邑七年级期末）【发现】如图1，CE平分∠ACD，AE平分∠BAC．
(1)当∠EAC＝∠ACE＝45°时，AB与CD的位置关系是______；
当∠EAC＝50°，∠ACE＝40°时，AB与CD的位置关系是______；
当∠EAC+∠ACE＝90°，请判断AB与CD的位置关系并说明理由；
(2)【探究】如图2，AB∥CD，M是AE上一点，∠AEC＝90°保持不变，移动顶点E，使CE平分∠MCD，∠BAE与∠MCD存在怎样的数量关系？并说明理由，
(3)【拓展】如图3，AB∥CD，P为线段AC上一定点，Q为直线CD上一动点，且点Q不与点C重合．直接写出∠CPQ+∠CQP与∠BAC的数量关系．
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