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专题03 平面直角坐标系 高频考点（12个）（精讲）
高频考点1 位置的确定方法及运用
【解题技巧】确定一个物体的位置的方法：1）有序实数对确定点的位置--行列定位法；2）方位角+距离确定点的位置--极坐标定位法；3）用“经纬度”确定点的位置--经纬定位法；4）区域定位法。
例1．（2022·安徽合肥·七年级期中）举世瞩目的2022北京冬季奥运会由北京市和河北省张家口市联合举办，以下表述能够准确表示张家口市地理位置的是（ ）．
A．位于东经114.8°，北纬40.8° B．位于中国境内河北省
C．西边和西南边与山西省接壤 D．距离北京市180千米
【答案】A
【分析】根据点的坐标的定义，确定一个位置需要两个数据解答即可．
【详解】解：能够准确表示张家口市这个地点位置的是：东经114.8°，北纬40.8°．故选：A．
【点睛】本题考查了坐标确定位置，理解坐标的定义是解题的关键．
变式1．（2022·东莞市东华初级中学七年级期中）如图，货船A与港口B相距35海里，我们用有序数对（南偏西40°，35海里）来描述货船B相对港口A的位置，那么港口A相对货船B的位置可描述为（ ）
A．（南偏西50°，35海里） B．（北偏西40°，35海里）
C．（北偏东50°，35海里） D．（北偏东40°，35海里）
【答案】D
【分析】根据方位角的概念并结合平行线的性质，可得答案．
【详解】解：过点B作BD∥AC，∴∠1=∠A=40°
∴港口A相对货船B的位置可描述为（北偏东40°，35海里），故选：D．
【点睛】本题考查了方向角的知识点，解答本题的关键是理解确定一个点的位置需要两个量应该是方向角，一个是距离．
变式2．（2022·江苏·八年级其中）某班级第组第排位置可以用数对表示，则数对表示的位置是（ ）
A．第组第排 B．第组第排 C．第组第排 D．第组第排
【答案】C
【分析】根据前一个数表示组，后一个数表示排进行判断即可
【详解】∵第组第排位置为，∴前一个数表示组，后一个数表示排，
∴数对表示第一组第二排，故选：C．
【点睛】本题考查数对，理解数对的含义是解题的关键．
变式3．（2022·北京·人大附中七年级期中）下图显示了10名同学平均每周用于阅读课外书的时间和用于看电视的时间（单位：小时）
（1）图中同学A每周用于阅读课外书的时间是7小时，则该同学每周用于看电视的时间为__________小时；（2）如果设平均每周用于阅读课外书的时间超过用于看电视的时间的同学为a名，设平均每周用于阅读课外书的时间少于用于看电视的时间的同学为b名，则的值为______________．
【答案】 2 1
【分析】（1）根据图中点有序实数对的对应数字解答；
（2）利用图中对应数字得到a及b的值即可求值．
【详解】（1）同学A每周用于阅读课外书的时间是7小时，图中对应的每周用于看电视的时间为2，
故答案是：2；
（2）由题意得，a=4，b=5，所以b－a=1，故答案是：1．
【点睛】此题考查有序实数对，利用有序实数对解决实际问题，解答此题需正确理解题意，正确读图．
高频考点2 坐标确定点的位置（坐标）
【解题技巧】先利用已知点的坐标确定坐标原点和坐标轴，即可解题。
例2．（2022·湖南常德·八年级期末）如图是某中学的校区平面示意图（一个方格的边长代表1个单位长度），若在平面示意图中建立平面直角坐标系，使旗杆的位置为，实验室的位置为．
(1)画出相应的平面直角坐标系；(2)用坐标表示位置：食堂 ，图书馆 ；(3)已知办公楼的位置是，教学楼的位置是，在图中分别标出办公楼和教学楼相对应的两点的位置．
【答案】(1)见解析(2)，(3)见解析
【分析】（1）根据题意给出的旗杆的位置为，实验室的位置为直接画出图即可；
（2）根据（1）图可直接得；（3）根据已给坐标标出即可．
（1）根据题意可画如下图：
（2）由（1）图可知，食堂的坐标为，
图书馆的坐标为；故答案为：；．
（3）根据题意可得，画如上图．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系，解决本题的关键是正确的找到坐标轴的位置．
变式1．（2022·江苏·八年级专题练习）下列关于有序数对的说法正确的是（ ）
A．（3，4）与（4，3）表示的位置相同
B．（a，b）与（b，a）表示的位置肯定不同
C．（3，5）与（5，3）是表示不同位置的两个有序数对
D．有序数对（4，4）与（4，4）表示两个不同的位置
【答案】C
【分析】根据有序数对的意义对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：A、（3，4）与（4，3）表示的位置不相同，故本选项错误；
B、a=b时，（a，b）与（b，a）表示的位置相同，故本选项错误；
C、（3，5）与（5，3）是表示不同位置的两个有序数对正确，故本选项正确；
D、有序数对（4，4）与（4，4）表示两个相同的位置，故本选项错误．故选：C．
【点睛】本题考查了坐标确定位置，主要利用了有序数对的意义，比较简单．
变式2．（2022·广东·东莞七年级期中）中国象棋具有悠久的历史，战国时期，就有了关于象棋的正式记载，如图是中国象棋棋局的一部分，如果用（2，-1）表示“炮”的位置，那么“将”的位置应表示为（ ）
A．（-2，3） B．（0，-5） C．（-3，1） D．（-4，2）
【答案】C
【分析】根据用（2，-1）表示“炮”的位置表示出原点的位置，进而得出“将”的位置．
【详解】解：如图所示：“将”的位置应表示为：（-3，1）．故选：C
【点睛】此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点的位置是解题关键．
5．（2022·河北邢台·八年级期末）在某一次研学活动中，八（一）班、八（二）班分别在A（-3，1）、B（-2，-3）两点参观学习，带队王老师在餐厅C点且坐标为（3，2）（单位：km）．请在图中建立直角坐标系并标出餐厅C的位置 ；
【答案】C（3，2），图见解析；
【分析】利用A，B点坐标得出原点位置，建立坐标系，进而得出C点位置；
【详解】解：根据A（-3，1），B（-2，-3）画出直角坐标系，描出点C（3，2），如图所示：
【点睛】本题考查了坐标确定位置，正确画出坐标系是解题的关键．
高频考点3 象限内和坐标轴上点的特征
【解题技巧】
掌握第1～4象限内点的坐标符号特点分别是：（＋，＋）、（－，＋）、（－，－）、（＋，－）.
坐标系内点的坐标特点：坐标原点（0，0）、x轴（x，0）、y轴（0，y）.注意若点在坐标轴上，则要分成在x轴、y轴上两种情况来讨论.
例3．（2022·河北·石家庄市八年级阶段练习）下列坐标中，在第二象限的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据点所在的象限的坐标符号特征逐项判断求解即可．
【详解】解：A、在第三象限，不符合题意；B、在第二象限，符合题意；
C、在第一象限，不符合题意；D、在第四象限，不符合题意，故选：B．
【点睛】本题考查点所在的象限，解答的关键是熟知点所在的象限的坐标符号特征：第一象限（+，+），第二象限（－，+），第三象限（－，－），第四象限（+，－）．
变式1．（2022·山东临沂·七年级期末）在平面直角坐标系中，点P的坐标为，则点P所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】根据平方数非负数判断出点P的横坐标是正数，再根据各象限内点的坐标特征解答．
【详解】解：∵，∴，∴点P的横坐标是正数，
∴点P(，－2) 所在的象限是第四象限．故选D．
【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（－，+）；第三象限（－，－）；第四象限（+，－）．
变式2．（2022·湖北·浠水县七年级期中）若点P（m＋3，m＋1）在x轴上，则点P的坐标为（ ）
A．（0，－2） B．（2，0） C．（4，0） D．（0，－4）
【答案】B
【分析】根据x轴上点的纵坐标为0可知m+1=0，解出m的值，将m的值代入点P的横坐标即可．
【详解】解：∵点P在x轴上，∴m+1=0，解得：m=-1，
把m=-1代入m＋3得：-1+3=2，∴P(2，0)，故选：B
【点睛】本题主要考查了坐标轴上点的坐标特征，掌握“x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0”是解题的关键．
变式3．（2022·山东滨州·七年级期末）已知点，若直线轴，点P在x轴的负半轴上，则点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】根据直线ABx轴可得点A、B的纵坐标相等可求出a的值，根据点P在x轴的负半轴上，得到b<0，然后判断点M的横坐标与纵坐标的正负即可解答．
【详解】解：∵直线ABx轴，∴2a+2=4，解得：a=1，
∵点P在x轴的负半轴上，∴b<0，
∴b-a=b-1<0，a-2=1-2=-1<0，.点M在第三象限．故选：C．
【点睛】本题考查坐标与图形性质，根据直线ABx轴可得点A，B的纵坐标相等是解答本题的关键．
高频考点4 点到坐标轴的距离
【解题技巧】点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值.
例4．（2022·海南·七年级期中）若点到y轴的距离为2，且，则点P的坐标为（ ）
A． B．或 C． D．或
【答案】B
【分析】根据点到y轴的距离为2，且，列出绝对值方程即可求解．
【详解】解：∵点到y轴的距离为2，∴，
，当时， 当时， 即点P的坐标为或 故选B
【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，横坐标的绝对值就是点到y轴的距离，纵坐标的绝对值就是点到x轴的距离，掌握坐标的意义是解题的关键．
变式1．（2022·河北邢台·八年级期末）在平面直角坐标系中，点B（2，－3）到x轴的距离为（ ）
A．－2 B．2 C．－3 D．3
【答案】D
【分析】根据点的纵坐标的绝对值是点到x轴的距离即可解答．
【详解】解：在平面直角坐标系中，点B（-2，-3）到x轴的距离为3．故选：D．
【点睛】本题考查了点的坐标，熟练掌握点的纵坐标的绝对值是点到x轴的距离是解答本题的关键．
变式2．（2022·河北·保定市八年级期末）在平面直角坐标系内有一点，若点到轴的距离为3，到轴的距离为1．且点在第二象限，则点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数，点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值解答．．
【详解】解：点到轴的距离为3，到轴的距离为1．且点在第二象限，
所以横坐标为，纵坐标为3，∴A．故选B．
【点睛】本题考查点到坐标轴的距离，第二象限点的坐标特征，掌握各象限点的坐标特征是解题关键．
变式3．（2022·广西河池·七年级期末）平面直角坐标系中，点位于第一象限，且点到两坐标轴的距离相等，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据点到x轴的距离为纵坐标的绝对值，点到y轴的距离为横坐标的绝对值，结合点M在第一象限进行求解即可．
【详解】解：∵点位于第一象限，且点到两坐标轴的距离相等，
∴，∴，∴，∴点M的坐标为（5，5），故选C．
【点睛】本题主要考查了点到坐标轴的距离，第一象限点的坐标特点，熟知相关知识是解题的关键．
高频考点5.与坐标轴平行的坐标特征
【解题技巧】
①l1∥x轴，则l1⊥y轴；l1∥y轴，则l1⊥x轴。
②l1∥x轴，则l1上所有点纵坐标相等。l2∥y轴，则l2上所有横纵坐标相等。
例5．（2022·吉林吉林·七年级期末）已知：在平面直角坐标系中，点M的坐标为．
(1)①若点M在x轴上，求a的值；②直接写出点M能否为原点．(2)若轴，并且点N 的坐标为． ①求点M 的坐标；②求线段的长．(3)若点M到x轴的距离为2，直接写出点M的坐标．
【答案】(1)①；②不能(2)①；②6(3)或
【分析】对于（1）①，根据在x轴上的点的纵坐标为0，求出a即可；②根据横，纵坐标都为0，判断即可；对于（2）①，根据点M，N的纵坐标相同求出a，即可得出答案；②根据横坐标的差的绝对值即为两个点（纵坐标相同）之间的距离解答即可；
对于（3），点M到x轴的距离是2，即为点M的纵坐标为±2，分两种情况计算即可．
（1）∵点M在x轴上，∴点的纵坐标为0，即． 解得；
②不能．当，；当，.所以点M不能为原点；
（2）∵轴，∴点M和点N的纵坐标相等．即． 解得．∴点M的坐标为；
∵点N的坐标为，点M的坐标为，∴；
（3）或．∵点M到x轴的距离是2，∴或，解得或，
∴点M的坐标是（7，2）或（3，-2）．
【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系内点的坐标的确定，掌握平面直角坐标系内坐标轴上点的特征，平行于坐标轴的点的特征是解题的关键．
变式1．（2022·河南郑州·七年级期末）在平面直角坐标系中，有两点，若轴，则A，B两点间的距离为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】利用与x轴平行的直线上点的坐标特征得到a-3=-2，求出a得到A、B点的坐标，然后计算它们的横坐标之差得到A、B两点间的距离．
【详解】解：∵轴，∴A点和B点的纵坐标相等，
即a-3=-2，解得a=1，∴A（3，-2），B（4，-2），∴A、B两点间的距离为4-3=1．故选：A．
【点睛】本题考查了平面内点的位置的确定，平行于坐标轴的点的特点，两点之间的距离，理解平行于坐标轴的线段上点的特点是解题关键．
变式2．（2022·黑龙江绥化·七年级期末）已知点和点，若轴，且，则的值为______．
【答案】1或9##9或1
【分析】，可得A和B的横坐标相同，即可求出n的值，根据列出方程即可求出m的值，代入求解即可．
【详解】∵点和点，且，
∴，∴， ∴ 故答案为：1或9．
【点睛】本题考查了平行y轴的点的坐标特征，如果两点连线平行于y轴，则它们的横坐标x相等，如果两点连线平行于x轴，则它们的横坐标y相等．
变式3．（2022·广西贵港·八年级期末）在平面直角坐标系中，已知直线轴，点的坐标为，和两点之间的距离为5，则点的坐标为_______．
【答案】或
【分析】由AB平行与x轴可知A，B两点的距离等于横坐标之差的绝对值，只需分B在A的左边，B在A的右边两种情况讨论即可．
【详解】解：∵轴，∴A，B两点的距离等于横坐标之差的绝对值，
当B在A的左边时，﹣2－5=﹣7，故B点坐标为：，
当B在A的右边时，﹣2＋5=3，故B点坐标为：
综上所述B点坐标为或，故答案为：或．
【点睛】本题考查平行与坐标轴的线上的点的坐标特征，能够掌握数形结合思想是解决本题的关键．
高频考点6 象限角平分线上点的特征
【解题技巧】象限角平分线上点的坐标特点：第一、三象限中x＝y，第二、四象限中x＋y＝0．
例6．（2022·山东八年级专题练习）已知点A（a，3）、B（－4，b），试根据下列条件求出a、b的值．（1）A、B两点关于y轴对称；（2）A、B两点关于x轴对称；（3）AB∥x轴；
（4）A、B两点在第二、四象限两坐标轴夹角的平分线上．
【答案】（1）a＝4，b＝3；（2）a＝－4，b＝－3；（3）b＝3，a为≠－4的任意实数；（4）a＝－3，b＝4
【分析】（1）关于y轴对称，y不变，x变为相反数．（2）关于x轴对称，x不变，y变为相反数．
（3）AB∥x轴，即两点的纵坐标不变即可．（4）在二、四象限两坐标轴夹角的平分线上的点的横纵坐标互为相反数，即分别令点A，点B的横纵坐标之和为0，列出方程并解之，即可得出a，b．
【详解】解：（1）A、B两点关于y轴对称，故有b＝3，a＝4；
（2）A、B两点关于x轴对称；所以有a＝－4，b＝－3；
（3）AB∥x轴，即b＝3，a为≠－4的任意实数．
（4）如图，
根据题意，a＋3＝0；b－4＝0；所以a＝－3，b＝4．
【点睛】本题主要考查学生对点在坐标系中的对称问题的掌握；在一、三象限角平分线上的点的横纵坐标相等，在二、四象限角平分线上的点的横纵坐标互为相反数．
变式1．（2022·福建·七年级期中）已知点A（）在第二象限角平分线上，则a的值是___．
【答案】-2
【分析】根据点A在角平分线上可知，点A到两个坐标的距离是相等的；第二象限的点，横坐标小于0，纵坐标大于0，综合可得A点的横纵坐标之和为0，据此列方程即可求解．
【详解】∵点A(-3+a,2a+9)在第二象限的角平分线上，
∴-3+a+2a+9＝0，∴a＝ 2．故答案为： 2．
【点睛】此题是坐标与图形性质的题，主要考查了象限角平分线上点的特点，解本题的关键是掌握了象限角平分线上点的特点．
变式2．（2022·安徽七年级期末）点A(m﹣1，2m+2)在一、三象限的角平分线上，则m＝_____．
【答案】-3
【分析】根据第一、三象限角平分线上点的坐标特征得到得m﹣1＝m+2，然后解关于m的一次方程即可．
【详解】解：∵A（m-1，2m+2）在第一、三象限的角平分线上，得
∴m-1=2m+2，解得m=，故答案为：.
【点睛】此题考查象限及点的坐标的有关性质，解题关键在于掌握其定义列出方程.
变式3．（2022·河北）已知点P、Q的坐标分别为、，若点P在第二、四象限的角平分线上，点Q在第一、三象限的角平分线上，则的值为________．
【答案】8
【分析】由题意根据一、三象限的角平分线上各点的横纵坐标相等以及第二、四象限的角平分线上各点的横纵坐标互为相反数求解即可．
【详解】解：∵点P 在第二、四象限的角平分线上，∴．解得：．
∵点Q在第一、三象限的角平分线上，
∴．解得：．所以．故答案为：8．
【点睛】本题主要考查的是坐标与图象的性质，注意明确一、三象限的角平分线上各点的横纵坐标相等；第二、四象限的角平分线上各点的横纵坐标互为相反数是解题的关键．
高频考点7 与坐标相关的对称问题
【解题技巧】点与点关于轴对称 横 坐标不变， 纵 坐标互为相反数；
点与点关于轴对称 纵 坐标相等， 横 坐标互为相反数；
点与点关于原点对称横、纵坐标均互为 相反数 ；
例7．（2022·贵州·八年级期末）若点关于y轴的对称点是，则m＋n的值是（ ）
A．4 B．－4 C．－2 D．2
【答案】B
【分析】根据两点关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标互为相反数列式求出m，n，即可得出结果．
【详解】解：∵点关于y轴的对称点是，
∴m－1＋2＝0，n＋2＝－1，∴m＝－1，n＝－3，∴m＋n＝－1－3＝－4，故选：B．
【点睛】本题考查关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．
变式1．（2022·福建·八年级期末）若点P（2，a）关于x轴的对称点为Q（b，1），则（a+b）3的值是 _____．
【答案】1
【分析】根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数得出a，b的值，从而得出(a+b)3．
【详解】解：∵点P（2，a）关于x轴的对称点为Q（b，1），
∴a=，b=2，∴(a+b)3=1．故答案为1．
【点睛】本题主要考查了关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，比较简单．
变式2．（2022·珠海市九年级期中）直角坐标系中，点A (﹣2，1)与点B (2，﹣1)关于 （ ）
A．x轴轴对称 B．y轴轴对称 C．原点中心对称 D．以上都不对
【答案】C
【分析】利用关于原点对称的点的坐标特点可得答案；
【详解】解：点A (﹣2，1)与点B (2，﹣1)关于原点中心对称，故选：C．
【点睛】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，关键是掌握两个点关于原点对称时，它们的横纵坐标符号都是互为相反数；
变式3．（2022·江苏·八年级专题练习）风景秀丽的永嘉境内分布着许多国家级旅游景点，北斗卫星拍摄到永嘉小若岩风景区与埭头古村以及两条相互垂直的乡间公路的位置如图所示，A点的坐标为，B点的坐标为．现要在两条乡间公路上各建一个便民服务点C，D，形成一条便民服务通道．试求四边形ABCD的最小周长______．
【答案】5+##
【分析】作A关于y轴的对称点，作B关于x轴的对称点，然后判断当，C，D，在同一直线上时，四边形ABCD的周长最小，然后根据勾股定理即可求解．
【详解】解作A关于y轴的对称点，作B关于x轴的对称点，连接交y轴于点D，交x轴于点C，
则，，，，
∴ ，AD+CD+BC=，
当，C，D，在同一直线上时，最小，即AD+CD+BC最小，
此时四边形ABCD的周长也最小，最小值为．故答案是：．
【点睛】本题考查了轴对称和两点之间线段最短，解题的关键是判断出A关于y轴的对称点， B关于x轴的对称点，C，D在同一直线上，四边形ABCD的周长最小．
高频考点8 坐标的平移问题
【解题技巧】 平面直角坐标内点的平移规律，设a>0，b>0
例8．（2022·河北保定·七年级期末）已知点在第一象限内，连接PQ，将线段PQ平移，使平移后的点P，Q分别在x，y轴上，则点Q平移后的对应点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由平移后点的坐标的位置可知平移规律：即横坐标减去m，纵坐标减去n，进而求出点Q平移后的对应点的坐标，解答即可．
【详解】设平移后点，的对应点分别是，．
∵点在x轴上，点在y轴上，∴点的纵坐标为0，点的横坐标为0，
∴平移前后点的坐标变化规律是：横坐标减去m，纵坐标减去n，
∴点Q平移后的对应点的坐标是，即（0，-2）．故选：D．
【点睛】本题主要考查了图形的平移及平移的特征，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移规律相同．
变式1．（2022·山东青岛·八年级期末）已知平面直角坐标系中的点，将它沿轴方向向下平移2个单位所得点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】让横坐标不变，纵坐标减2可得到所求点的坐标．
【详解】解：所求点的横坐标为2，纵坐标为4-2=2，∴所求点的坐标为（2，2）．故选：A．
【点睛】本题考查坐标与图形变化-平移，解题的关键是掌握平移变换的性质，属于中考常考题型．
变式2．（2022·陕西西安·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，1），点B（3，﹣1），平移线段AB，使点A落在点（0，2）处，则点B的对应点的坐标为（ ）
A．（﹣1，﹣1） B．（1，0） C．（﹣1，0） D．（3，0）
【答案】B
【分析】由点A（2，1）平移后（0，2）可得坐标的平移方式，由此可得点B的对应点的坐标．
【详解】解：由点A（2，1）平移后（0，2）可得坐标的平移方式是：横坐标 2，纵坐标＋1，
∴点B（3， 1）的对应点的坐标（1，0）．故选：B．
【点睛】本题考查了图形与平移，关键是由点A（2，1）平移后（0，2）可得坐标的平移方式，由此可得点B的对应点的坐标．
变式3．（2022·广西·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC经过平移后得到三角形A′B′C′，且平移前后三角形的顶点坐标都是整数．若点P（，﹣）为三角形ABC内部一点，且与三角形A′B′C′内部的点P′对应，则对应点P′的坐标是_____．
【答案】（，）
【分析】依据对应点的坐标变化，即可得到三角形ABC向左平移2个单位，向上平移3个单位后得到三角形A′B′C′，进而得出点P′的坐标．
【详解】解：由图可得，C（2，0），C'（0，3），
∴三角形ABC向左平移2个单位，向上平移3个单位后得到三角形A′B′C′，
又∵点P（，﹣）为三角形ABC内部一点，且与三角形A′B′C′内部的点P′对应，
∴对应点P′的坐标为（﹣2，﹣＋3），即P'（，），故答案为：（，）．
【点睛】此题主要考查了坐标与图形变化，关键是注意观察组成图形的关键点平移后的位置．解题时注意：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．
高频考点9 坐标系中的作图问题（平移与对称）
例9．（2022·新疆·和静县七年级期中）在如图所示的直角坐标系中，解答下列问题：
(1)已知A（2，0），B（-1，-4），C（3，-3）三点，分别在坐标系中找出它们，并连接得到△ABC；
(2)将△ABC向上平移4个单位，得到△；(3)求四边形的面积．
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)12
【分析】（1）先确定三个点的位置，再依次连接起来即可．
（2）根据平移规律，画图即可．（3）合理分割图形计算面积即可．
（1）因为A（2，0），B（-1，-4），C（3，-3），画图如下：
（2）因为A（2，0），B（-1，-4），C（3，-3），
根据向上平移4个单位，横坐标不变，纵坐标分别加上4，得
（2，4），（-1，0），（3，1），画图如下：
．
（3）根据题意，得，，∴=12．
．
【点睛】本题考查了坐标系中确定点的位置，平移的规律，坐标系中图形的面积计算，熟练掌握平移的规律，利用割补法求图形的面积是解题的关键．
变式1．（2022·重庆·垫江七年级阶段练习）ABC在平面直角坐标系中，且A(-2，1)、 B(-3，-2)、 C(1，-4)．将其平移后得到 ，若A，B的对应点是、，C的对应点的坐标是(3，- 1)．
(1)在平面直角坐标系中画出ABC；(2)写出点坐标是_____，坐标是______；(3)求ABC的面积．
【答案】(1)见解析(2)（0，4），（-1，1）(3)△ABC的面积为7．
【分析】（1）首先确定A、B、C三点位置，再连接即可；（2）利用C点坐标变化规律进而得出对应点坐标；
（3）利用矩形面积减去周围多余三角形的面积即可．
（1）解：如图所示：△ABC，即为所求；
（2）解：∵C(1，-4)的对应点的坐标是(3，- 1)．
∴此次平移也可看作把△ABC向右平移2个单位长度，再向上平移了3个单位长度得到△．
∴A(-2，1)的对应点的坐标是（0，4），B(-3，-2)的对应点的坐标是（-1，1）；
故答案为：（0，4），（-1，1）；
（3）解：△ABC的面积为：4×5-×1×3-×3×5-×2×4=7．
【点睛】此题考查了坐标与图形的变化，关键是掌握横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．
变式2．（2022·湖北荆州·八年级期末）已知：如图，在平面直角坐标系中．
(1)作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出△A1B1C1三个顶点的坐标；
(2)直接写出△A1B1C1的面积为____________；(3)在x轴上画点P，使PA＋PC最小(保留作图痕迹）．
【答案】(1)△ABC关于y轴对称的△A1B1C1见解析；，，(2)(3)见解析
【分析】（1）作出点A、B、C关于y轴对称的对应点、、，然后顺次连接即可作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，写出△A1B1C1三个顶点的坐标即可；（2）根据网格利用割补法即可求出△A1B1C1的面积；
（3）取点C关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，即可使PA＋PC最小．
(1)解：作出点A、B、C关于y轴对称的对应点、、，然后顺次连接，则△A1B1C1即为所求作的三角形，如图所示：
点，，．
(2)△A1B1C1的面积可以利用△A1B1C1所在的矩形面积减去周围三个三角形的面积，则：
＝2×3 ×1×2 ×1×2 ×1×3＝．故答案为：．
(3)如图，取点C关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，则点P即为所求．
【点睛】本题考查了作图 轴对称变换，轴对称 最短路线问题，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．
变式3．（2022·湖北咸宁·八年级期末）如图，△ABC的顶点A、B、C都在小正方形的顶点上，利用网格线按下列要求画图．（不写画法，保留痕迹）
(1)画，使它与△ABC关于直线l成轴对称；(2)在直线l上找一点P，使点P到点A、B的距离之和最短；(3)在直线l上找一点Q，使点Q到∠C两边的距离相等．
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析
【分析】（1）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
（2）连接AB1交直线l于点P，点P即为所求；（3）∠ACB的角平分线与直线l的交点Q即为所求．
(1)如图，△A1B1C1即为所求；
(2)如图，点P即为所求；(3)如图，点Q即为所求．
【点睛】本题考查作图-轴对称变换，角平分线的性质，轴对称最短问题等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，学会利用轴对称解决最短问题．
高频考点10 坐标系中的新定义问题
例10．（2022·江苏八年级期末）如图，将一等边三角形的三条边各8等分，按顺时针方向（图中箭头方向）标注各等分点的序号0、1、2、3、4、5、6、7、8，将不同边上的序号和为8的两点依次连接起来，这样就建立了“三角形”坐标系．在建立的“三角形”坐标系内，每一点的坐标用过这一点且平行（或重合）于原三角形三条边的直线与三边交点的序号来表示（水平方向开始、按顺时针方向、取与三角形外箭头方向一致的一侧序号），如点A的坐标可表示为，点B的坐标可表示为，按此方法，若点C的坐标为，则m＝__________．
【答案】3
【分析】根据题目中定义的新坐标系中点坐标的表示方法，求出点C坐标，即可得到结果．
【详解】解：根据题意，点C的坐标应该是，∴．故答案是：3．
【点睛】本题考查新定义，解题的关键是理解题目中新定义的坐标系中点坐标的表示方法．
变式1．（2022·寻乌县教育局教学研究室）在平面直角坐标系中，将点称为点的“关联点”（例如点是点的“关联点”）．那么的关联点是______．
【答案】
【分析】根据关联点的定义进行求解即可得到答案.
【详解】解：∵点称为点的“关联点”，∴的关联点是,故答案为：
【点睛】本题主要考查了关联点的定义，解题的关键在于能够准确读懂题意.
变式2．（2022·河南七年级期中）对于任意一点，定义变换：．例如．据此得的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据两种变换的规则，先计算，再计算即可．
【详解】解：．故选：A．
【点睛】本题考查了点的坐标，理解新定义的变化规则是解题的关键．
变式3．（2022·辽宁）对有序数对（m，n）定义“f运算”：f（m，n）＝（am+bn，am﹣bn），其中a，b为常数．f运算的结果也是一个有序数对，比如当a＝1，b＝1时，f（﹣3，2）＝（﹣1，﹣5）．
（1）当a＝2，b＝﹣1时，f（2，2）＝ ．（2）f（3，1）＝（﹣3，﹣1），求a和b的值；
（3）有序数对（m，n），f（m﹣1，2n）＝（m﹣1，n），求a，b的值．（用m，n表示a和b）
【答案】（1）（2，6）；（2）；（3）
【分析】（1）根据“f运算”的定义计算即可；（2）根据“f运算”的定义列出方程组即可解决问题；
（3）根据“f运算”的定义列出方程组即可解决问题．
【详解】解：（1）∵f（m，n）＝（am+bn，am﹣bn），
∴当a＝2，b＝﹣1时，f（m，n）＝（2m﹣n，2m+n），
∴当m＝2，n＝2时，2m﹣n＝2×2﹣2＝2，2m+n＝2×2+2＝6，
f（2，2）＝（2，6）．故答案为：（2，6）；
（2）由题意得 ，解得：；
（3）由题意得 ，解得：．
【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，二元一次方程组的应用，点的坐标，理解“f运算”的定义，列出方程组是解题的关键．
高频考点11 点在坐标系内的变化规律
例11．（2022·山东泰安·七年级期末）在平面直角坐标系中，若干个边长为1个单位长度的等边三角形，按如图中的规律摆放．点从原点出发，以每秒1个单位长度的速度沿着等边三角形的边“”的路线运动，设第秒运动到点（为正整数），则点的坐标是______．
【答案】
【分析】通过观察可得，An每6个点的纵坐标规律：，0，，0，-，0，点An的横坐标规律：1，2，3，4，5，6，…，n，点从原点出发，以每秒个单位长度的速度沿着等边三角形的边“…”的路线运动，1秒钟走一段，P运动每6秒循环一次，点P运动n秒的横坐标规律： ，1，，2，，3，…，，点P的纵坐标规律：，0，，0，0，0，…，确定P2021循环余下的点即可．
【详解】解：∵图中是边长为1个单位长度的等边三角形，
∴ A2（1，0）A4（2，0）A6（3，0）
…
∴An中每6个点的纵坐标规律：，0，，0，﹣，0，
点从原点出发，以每秒个单位长度的速度沿着等边三角形的边“…”的路线运动，1秒钟走一段，P运动每6秒循环一次
点P的纵坐标规律：，0，，0，-，0，…，
点P的横坐标规律： ，1，，2，，3，…，，
∵2021＝336×6+5，∴点P2021的纵坐标为，
∴点P2021的横坐标为，∴点P2021的坐标，故答案为：．
【点睛】本题考查点的规律，平面直角坐标系中点的特点及等边三角形的性质，确定点的坐标规律是解题的关键．
变式1．（2022·岳池县七年级期末）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点出发，向右平移3个单位长度到达点，再向上平移6个单位长度到达点，再向左平移9个单位长度到达点，再向下平移12个单位长度到达点，再向右平移15个单位长度到达点……按此规律进行下去，该动点到达的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求出A1（3，0），A5（9，-6），A9（15，-12），A13（21，-18）， ，探究规律可得A2021（3033，-3030），从而求解．
【详解】解：由题意A1（3，0），A5（9，-6），A9（15，-12），A13（21，-18）， ，
可以看出，9=，15=，21=，
得到规律：点A2n+1的横坐标为，其中的偶数，
点A2n+1的纵坐标等于横坐标的相反数+3，，即，
故A2021的横坐标为，A2021的纵坐标为，
∴A2021（3033，-3030），故选：C．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化-平移，规律型问题，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．
变式2．（2022·甘肃白银市·八年级期末）如图，点A(0，1)，点A1(2，0)，点A2(3，2)，点A3(5，1)…，按照这样的规律下去，点A2021的坐标为___________．
【答案】(3032，1010)
【分析】观察图形得到奇数点的规律为，A1（2，0），A3（5，1），A5（8，2），…，A2n﹣1（3n﹣1，n﹣1），由于2021是奇数，且2021＝2n﹣1，则可求A2021（3032，1010）．
【详解】解：观察图形可得，A1（2，0），A3（5，1），A5（8，2），…，∴A2n﹣1（3n﹣1，n﹣1），
∵2021是奇数，且2021＝2n﹣1，∴n＝1011，∴A2021（3032，1010），故答案为：（3032，1010）．
【点睛】本题考查了点的坐标规律，熟练掌握平面内点的坐标，能够根据图形的变化得到点的坐标规律是解题的关键．
变式3．（2022·厦门市七年级期中）如图，在平面直角坐标系中，轴，轴，点、、、在轴上，，，，，，把一条长为2021个单位长度且无弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在处，并按的规律紧绕在图形“凸”的边上，则细线的另一端所在位置的点的坐标________．
【答案】
【分析】先求出“凸”形的周长为20，得到的余数为1，由此即可解决问题．
【详解】解：，，，，，
∴， “凸”形的周长为20，
又∵的余数为1，细线另一端所在位置的点在的中点处，坐标为．故答案为：．
【点睛】本题考查规律型：点的坐标，解题关键是理解题意，求出“凸”形的周长，属于中考常考题型．
高频考点12 坐标系中的动点问题
【解题技巧】动点问题，通常假设运动时间为t，将时间t视作常数进行图形分析，列出关于未知数t的方程，求解方程来解决。
例12．（2022·江西兴国·初二期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点，，，且满足，P点从A点出发沿x轴正方向以每秒2个单位长度的速度匀速移动，Q点从O点出发沿y轴负方向以每秒1个单位长度的速度匀速移动．
（1）直接写出点A的坐标 ，点B的坐标 ，AO和BC位置关系是 ；
（2）在P、Q的运动过程中，连接PB，QB，使S△PAB＝4S△QBC，求出点P的坐标；
（3）在P、Q的运动过程中，当∠CBQ＝30°时，请探究∠OPQ和∠PQB的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）（－8，0）；（－4，－4）；平行 （2）（，0）或（8，0） （3）∠PQB＝∠OPQ＋30°或∠BQP＋∠OPQ＝150°；理由见解析
【分析】（1）根据非负数的性质分别求出a、b，得到点A、B、C的坐标，根据坐标与图形性质判断AO和BC位置关系；（2）过B点作BE⊥AO于E，根据三角形的面积公式求出AP，得到点P的坐标；
（3）分点Q在点C的上方、点Q在点C的下方两种情况，根据平行线的性质解答即可．
【解析】解：（1）∵，∴a＋8＝0，b＋4＝0，解得，a＝ 8，b＝ 4，
则A（ 8，0），B（ 4， 4），C（0， 4），
∵点B的坐标为（ 4， 4），点C的坐标为（0， 4），∴BC∥AO，
故答案为：（ 8，0），（ 4， 4），BC∥AO；
（2）过B点作BE⊥AO于E，设时间经过t秒，S△PAB＝4S△QBC，则AP＝2t，OQ＝t，BE＝4，BC＝4，
①当点Q在点C的上方时，CQ＝4﹣t，
∴S△APB＝AP BE＝×2t×4＝4t，S△BCQ＝CQ BC＝（4 t）×4＝8 2t，
∵S△APB＝4S△BCQ，∴4t＝4（8﹣2t）
解得，t＝ ，∴AP＝2t＝ ，∴OP＝OA﹣AP＝ ，∴点P的坐标为（，0）；
②当点Q在点C的下方时，CQ＝t﹣4，∴S△BCQ′＝2t－8∴4t＝4（2t﹣8）
解得，t＝8，∴AP＝2t＝16，∴OP＝AP﹣OA＝8，∴点P的坐标为（8，0），
综上所述，点P的坐标为（，0）或（8，0）；
（3）∠PQB＝∠OPQ＋30°或∠BQP＋∠OPQ＝150°．
理由如下：①当点Q在点C的上方时，过Q点作QH∥AO，如图2所示，∴∠OPQ＝∠PQH，
∵BC∥AO，QH∥AO，∴QH∥BC，∴∠HQB＝∠CBQ＝30°，
∴∠OPQ＋∠CBQ＝∠PQH＋∠BQH，∴∠PQB＝∠OPQ＋∠CBQ，即∠PQB＝∠OPQ＋30°；
②当点Q在点C的下方时；过Q点作HJ∥AO 如图3所示，∴∠OPQ＝∠PQJ，
∵BC∥AO，QH∥AO，∴QH∥BC，∴∠HQB＝∠CBQ＝30°，
∴∠HQB＋∠BQP＋∠PQJ＝180°，∴30°＋∠BQP＋∠OPQ＝180°，即∠BQP＋∠OPQ＝150°，
综上所述，∠PQB＝∠OPQ＋30°或∠BQP＋∠OPQ＝150°．
【点睛】本题考查的是三角形的面积计算、坐标与图形性质、平行线的性质、三角形内角和定理，掌握非负数的性质、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
变式1．（2022·辽宁葫芦岛市·七年级期中）如图，以直角三角形AOC的直角顶点O为原点，分别以OC，OA所在直线为 x 轴，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，点A（，），C（，），且．（1）C点的坐标为 ，A点的坐标为 ；（2）三角形AOC的面积是 ；（3）已知坐标轴上有两动点P，Q，两动点同时出发，点P从C点出发，沿x轴负方向以每秒个单位长度的速度匀速移动，Q点从O点出发，沿y轴正方向以每秒个单位长度的速度移动，Q点到达A点时，PQ同时停止移动．AC的中点D的坐标是（，），设运动时间为秒，求为何值时，三角形ODP的面积等于三角形ODQ 的面积．
【答案】（1）（6，0）（0，12）；（2）36；（3）时，三角形ODP的面积等于三角形ODQ 的面积．
【分析】（1）根据绝对值和算术平方根的非负性，求得a，c的值即可；（2）根据三角形面积公式进行解答即可；（3）根据D点坐标得到三角形的高，再根据三角形面积相等列出关于t的方程即可求解．
【详解】（1）∵，∴2c a＝0，c 6＝0，解得a＝12，c＝6，
∴A（0，12），C（6，0）；故答案案为：（6，0）；（0，12）
（2）∵A（0，12），C（6，0）；∴OA=12，OC=6
∴S△AOC＝×OA×OC＝×12×6＝36，故答案为：36；
（3）∵ AC的中点D的坐标是（，），
∴三角形ODP底边OP上的高为6，三角形ODQ底边OQ上的高为3，
由已知，得，，若使三角形ODP的面积等于三角形ODQ的面积
则可列方程 解，得，
∴时，三角形ODP的面积等于三角形ODQ的面积．
【点睛】本题考查三角形综合题、非负数的性质、三角形的面积等知识，解题的关键是熟知三角形的面积公式，学会用转化的思想思考问题，属于中考综合题．
变式2．（2022·汕头市潮南区七年级期末）如图，在长方形OABC中，O为平面直角坐标系的原点，点A的坐标为（a，0），点C的坐标为（0，b）且a、b满足+|b﹣6|＝0，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O﹣C﹣B﹣A﹣O的线路移动．
（1）点B的坐标为 ；当点P移动3.5秒时，点P的坐标为 ；
（2）在移动过程中，当点P到x轴的距离为4个单位长度时，求点P移动的时间；
（3）在O﹣C﹣B的线路移动过程中，是否存在点P使△OBP的面积是10，若存在求出点P移动的时间；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）（4,6），（1,6）；（2）2秒或6秒；（3）或.
【分析】（1）利用非负数的性质可以求得a、b的值，根据长方形的性质，可以求得点B的坐标；根据题意点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O-C-B-A-O的线路移动，可以得到当点P移动4秒时，点P的位置和点P的坐标；（2）由题意可以得到符合要求的有两种情况，分别求出两种情况下点P移动的时间即可．（3）分为点P在OC、BC上分类计算即可．
【详解】（1）∵a、b满足+|b-6|=0，∴a-4=0，b-6=0，解得a=4，b=6，∴点B的坐标是（4，6），∵点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O-C-B-A-O的线路移动，∴2×3.5=7，
∵OA=4，OC=6，∴当点P移动4秒时，在线段CB上，离点C的距离是：7-6=1，
即当点P移动4秒时，此时点P在线段CB上，离点C的距离是2个单位长度，点P的坐标是（1，6）；故答案为（4，6），（1，6）．
（2）由题意可得，在移动过程中，当点P到x轴的距离为4个单位长度时，存在两种情况，
第一种情况，当点P在OC上时，点P移动的时间是：4÷2=2秒，
第二种情况，当点P在BA上时．点P移动的时间是：（6+4+2）÷2=6秒，
故在移动过程中，当点P到x轴的距离为4个单位长度时，点P移动的时间是2秒或6秒．
（3）如图1所示：∵△OBP的面积=10，∴OP BC=10，即×4×OP=10．解得：OP=5．∴此时t=2.5s
如图2所示；∵△OBP的面积=10，∴PB OC=10，即 ×6×PB=10．解得：BP=．
∴CP=．∴OC+CP=6+=，∴此时t=s，
综上所述，满足条件的时间t的值为2.5s或s．
【点睛】本题考查矩形的性质，三角形的面积，坐标与图形的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．
变式3．（2022·吉林船营·初一期末）如图①，长方形OABC，．点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿边向终点C运动，设点P运动时间为．
（1）B点坐标为 ；（2）①当t=2时，则BP= ；当t=4时，BP= ；
②当时，CP= ；（用含t的式子表示）
（3）如图②，点p出发3s后，一直线l从y轴位置出发沿x轴正方向运动，且始终与y轴平行，运动速度为每秒2个单位长度．当t为何值时，点到直线的距离为2？
【答案】（1）；（2）①1；1 ②；（3）或5时
【分析】（1）根据、两点坐标可得：长方形的长为4，宽为3，便可求出点坐标．
（2）根据数形结合时，，时，，即可求解．
（3）分类讨论相遇前和相遇后的距离，根据总距离=所走的距离+所走的距离点到直线的距离，列出一元一次方程即可求解．
【解析】（1）∵，∴，∴
（2）①当时，∴
当时，∴
②当时，∴
（3）分两种情况：当点与直线相遇前时∴
当点与直线相遇后∴
∴当或时点到直线的距离为．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形的性质，行程问题中相遇问题的等量关系，难点在于要分情况讨论，根据相遇问题列出方程是解题的关键．
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专题03 平面直角坐标系 高频考点（12个）（精讲）
高频考点1 位置的确定方法及运用
【解题技巧】确定一个物体的位置的方法：1）有序实数对确定点的位置--行列定位法；2）方位角+距离确定点的位置--极坐标定位法；3）用“经纬度”确定点的位置--经纬定位法；4）区域定位法。
例1．（2022·安徽合肥·七年级期中）举世瞩目的2022北京冬季奥运会由北京市和河北省张家口市联合举办，以下表述能够准确表示张家口市地理位置的是（ ）．
A．位于东经114.8°，北纬40.8° B．位于中国境内河北省
C．西边和西南边与山西省接壤 D．距离北京市180千米
变式1．（2022·东莞市东华初级中学七年级期中）如图，货船A与港口B相距35海里，我们用有序数对（南偏西40°，35海里）来描述货船B相对港口A的位置，那么港口A相对货船B的位置可描述为（ ）
A．（南偏西50°，35海里） B．（北偏西40°，35海里）
C．（北偏东50°，35海里） D．（北偏东40°，35海里）
变式2．（2022·江苏·八年级其中）某班级第组第排位置可以用数对表示，则数对表示的位置是（ ）
A．第组第排 B．第组第排 C．第组第排 D．第组第排
变式3．（2022·北京·人大附中七年级期中）下图显示了10名同学平均每周用于阅读课外书的时间和用于看电视的时间（单位：小时）
（1）图中同学A每周用于阅读课外书的时间是7小时，则该同学每周用于看电视的时间为__________小时；（2）如果设平均每周用于阅读课外书的时间超过用于看电视的时间的同学为a名，设平均每周用于阅读课外书的时间少于用于看电视的时间的同学为b名，则的值为______________．
高频考点2 坐标确定点的位置（坐标）
【解题技巧】先利用已知点的坐标确定坐标原点和坐标轴，即可解题。
例2．（2022·湖南常德·八年级期末）如图是某中学的校区平面示意图（一个方格的边长代表1个单位长度），若在平面示意图中建立平面直角坐标系，使旗杆的位置为，实验室的位置为．
(1)画出相应的平面直角坐标系；(2)用坐标表示位置：食堂 ，图书馆 ；(3)已知办公楼的位置是，教学楼的位置是，在图中分别标出办公楼和教学楼相对应的两点的位置．
变式1．（2022·江苏·八年级专题练习）下列关于有序数对的说法正确的是（ ）
A．（3，4）与（4，3）表示的位置相同
B．（a，b）与（b，a）表示的位置肯定不同
C．（3，5）与（5，3）是表示不同位置的两个有序数对
D．有序数对（4，4）与（4，4）表示两个不同的位置
变式2．（2022·广东·七年级期中）中国象棋具有悠久的历史，战国时期，就有了关于象棋的正式记载，如图是中国象棋棋局的一部分，如果用（2，-1）表示“炮”的位置，那么“将”的位置应表示为（ ）
A．（-2，3） B．（0，-5） C．（-3，1） D．（-4，2）
5．（2022·河北邢台·八年级期末）在某一次研学活动中，八（一）班、八（二）班分别在A（-3，1）、B（-2，-3）两点参观学习，带队王老师在餐厅C点且坐标为（3，2）（单位：km）．请在图中建立直角坐标系并标出餐厅C的位置 ；
高频考点3 象限内和坐标轴上点的特征
【解题技巧】
掌握第1～4象限内点的坐标符号特点分别是：（＋，＋）、（－，＋）、（－，－）、（＋，－）.
坐标系内点的坐标特点：坐标原点（0，0）、x轴（x，0）、y轴（0，y）.注意若点在坐标轴上，则要分成在x轴、y轴上两种情况来讨论.
例3．（2022·河北·石家庄市八年级阶段练习）下列坐标中，在第二象限的是（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2022·山东临沂·七年级期末）在平面直角坐标系中，点P的坐标为，则点P所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
变式2．（2022·湖北·浠水县七年级期中）若点P（m＋3，m＋1）在x轴上，则点P的坐标为（ ）
A．（0，－2） B．（2，0） C．（4，0） D．（0，－4）
变式3．（2022·山东滨州·七年级期末）已知点，若直线轴，点P在x轴的负半轴上，则点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
高频考点4 点到坐标轴的距离
【解题技巧】点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值.
例4．（2022·海南·七年级期中）若点到y轴的距离为2，且，则点P的坐标为（ ）
A． B．或 C． D．或
变式1．（2022·河北邢台·八年级期末）在平面直角坐标系中，点B（2，－3）到x轴的距离为（ ）
A．－2 B．2 C．－3 D．3
变式2．（2022·河北·保定市八年级期末）在平面直角坐标系内有一点，若点到轴的距离为3，到轴的距离为1．且点在第二象限，则点坐标为（ ）
A． B． C． D．
变式3．（2022·广西河池·七年级期末）平面直角坐标系中，点位于第一象限，且点到两坐标轴的距离相等，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
高频考点5.与坐标轴平行的坐标特征
【解题技巧】
①l1∥x轴，则l1⊥y轴；l1∥y轴，则l1⊥x轴。
②l1∥x轴，则l1上所有点纵坐标相等。l2∥y轴，则l2上所有横纵坐标相等。
例5．（2022·吉林·七年级期末）已知：在平面直角坐标系中，点M的坐标为．(1)①若点M在x轴上，求a的值；②直接写出点M能否为原点．(2)若轴，并且点N 的坐标为． ①求点M 的坐标；②求线段的长．(3)若点M到x轴的距离为2，直接写出点M的坐标．
变式1．（2022·河南郑州·七年级期末）在平面直角坐标系中，有两点，若轴，则A，B两点间的距离为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
变式2．（2022·黑龙江绥化·七年级期末）已知点和点，若轴，且，则的值为______．
变式3．（2022·广西贵港·八年级期末）在平面直角坐标系中，已知直线轴，点的坐标为，和两点之间的距离为5，则点的坐标为_______．
高频考点6 象限角平分线上点的特征
【解题技巧】象限角平分线上点的坐标特点：第一、三象限中x＝y，第二、四象限中x＋y＝0．
例6．（2022·山东八年级专题练习）已知点A（a，3）、B（－4，b），试根据下列条件求出a、b的值．（1）A、B两点关于y轴对称；（2）A、B两点关于x轴对称；（3）AB∥x轴；
（4）A、B两点在第二、四象限两坐标轴夹角的平分线上．
变式1．（2022·福建·七年级期中）已知点A（）在第二象限角平分线上，则a的值是___．
变式2．（2022·安徽七年级期末）点A(m﹣1，2m+2)在一、三象限的角平分线上，则m＝_____．
变式3．（2022·河北）已知点P、Q的坐标分别为、，若点P在第二、四象限的角平分线上，点Q在第一、三象限的角平分线上，则的值为________．
高频考点7 与坐标相关的对称问题
【解题技巧】点与点关于轴对称 横 坐标不变， 纵 坐标互为相反数；
点与点关于轴对称 纵 坐标相等， 横 坐标互为相反数；
点与点关于原点对称横、纵坐标均互为 相反数 ；
例7．（2022·贵州·八年级期末）若点关于y轴的对称点是，则m＋n的值是（ ）
A．4 B．－4 C．－2 D．2
变式1．（2022·福建·八年级期末）若点P（2，a）关于x轴的对称点为Q（b，1），则（a+b）3的值是 _____．
变式2．（2022·珠海市九年级期中）直角坐标系中，点A (﹣2，1)与点B (2，﹣1)关于 （ ）
A．x轴轴对称 B．y轴轴对称 C．原点中心对称 D．以上都不对
变式3．（2022·江苏·八年级专题练习）风景秀丽的永嘉境内分布着许多国家级旅游景点，北斗卫星拍摄到永嘉小若岩风景区与埭头古村以及两条相互垂直的乡间公路的位置如图所示，A点的坐标为，B点的坐标为．现要在两条乡间公路上各建一个便民服务点C，D，形成一条便民服务通道．试求四边形ABCD的最小周长______．
高频考点8 坐标的平移问题
【解题技巧】 平面直角坐标内点的平移规律，设a>0，b>0
例8．（2022·河北保定·七年级期末）已知点在第一象限内，连接PQ，将线段PQ平移，使平移后的点P，Q分别在x，y轴上，则点Q平移后的对应点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2022·山东青岛·八年级期末）已知平面直角坐标系中的点，将它沿轴方向向下平移2个单位所得点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2022·陕西西安·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，1），点B（3，﹣1），平移线段AB，使点A落在点（0，2）处，则点B的对应点的坐标为（ ）
A．（﹣1，﹣1） B．（1，0） C．（﹣1，0） D．（3，0）
变式3．（2022·广西·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC经过平移后得到三角形A′B′C′，且平移前后三角形的顶点坐标都是整数．若点P（，﹣）为三角形ABC内部一点，且与三角形A′B′C′内部的点P′对应，则对应点P′的坐标是_____．
高频考点9 坐标系中的作图问题（平移与对称）
例9．（2022·新疆·和静县七年级期中）在如图所示的直角坐标系中，解答下列问题：
(1)已知A（2，0），B（-1，-4），C（3，-3）三点，分别在坐标系中找出它们，并连接得到△ABC；
(2)将△ABC向上平移4个单位，得到△；(3)求四边形的面积．
变式1．（2022·重庆·垫江七年级阶段练习）ABC在平面直角坐标系中，且A(-2，1)、 B(-3，-2)、 C(1，-4)．将其平移后得到 ，若A，B的对应点是、，C的对应点的坐标是(3，- 1)．
(1)在平面直角坐标系中画出ABC；(2)写出点坐标是_____，坐标是______；(3)求ABC的面积．
变式2．（2022·湖北荆州·八年级期末）已知：如图，在平面直角坐标系中．
(1)作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出△A1B1C1三个顶点的坐标；
(2)直接写出△A1B1C1的面积为____________；(3)在x轴上画点P，使PA＋PC最小(保留作图痕迹）．
变式3．（2022·湖北咸宁·八年级期末）如图，△ABC的顶点A、B、C都在小正方形的顶点上，利用网格线按下列要求画图．（不写画法，保留痕迹）
(1)画，使它与△ABC关于直线l成轴对称；(2)在直线l上找一点P，使点P到点A、B的距离之和最短；(3)在直线l上找一点Q，使点Q到∠C两边的距离相等．
高频考点10 坐标系中的新定义问题
例10．（2022·江苏八年级期末）如图，将一等边三角形的三条边各8等分，按顺时针方向（图中箭头方向）标注各等分点的序号0、1、2、3、4、5、6、7、8，将不同边上的序号和为8的两点依次连接起来，这样就建立了“三角形”坐标系．在建立的“三角形”坐标系内，每一点的坐标用过这一点且平行（或重合）于原三角形三条边的直线与三边交点的序号来表示（水平方向开始、按顺时针方向、取与三角形外箭头方向一致的一侧序号），如点A的坐标可表示为，点B的坐标可表示为，按此方法，若点C的坐标为，则m＝__________．
变式1．（2022·寻乌县教育局教学研究室）在平面直角坐标系中，将点称为点的“关联点”（例如点是点的“关联点”）．那么的关联点是______．
变式2．（2022·河南七年级期中）对于任意一点，定义变换：．例如．据此得的结果是（ ）
A． B． C． D．
变式3．（2022·辽宁）对有序数对（m，n）定义“f运算”：f（m，n）＝（am+bn，am﹣bn），其中a，b为常数．f运算的结果也是一个有序数对，比如当a＝1，b＝1时，f（﹣3，2）＝（﹣1，﹣5）．
（1）当a＝2，b＝﹣1时，f（2，2）＝ ．（2）f（3，1）＝（﹣3，﹣1），求a和b的值；
（3）有序数对（m，n），f（m﹣1，2n）＝（m﹣1，n），求a，b的值．（用m，n表示a和b）
高频考点11 点在坐标系内的变化规律
例11．（2022·山东泰安·七年级期末）在平面直角坐标系中，若干个边长为1个单位长度的等边三角形，按如图中的规律摆放．点从原点出发，以每秒1个单位长度的速度沿着等边三角形的边“”的路线运动，设第秒运动到点（为正整数），则点的坐标是______．
变式1．（2022·岳池县七年级期末）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点出发，向右平移3个单位长度到达点，再向上平移6个单位长度到达点，再向左平移9个单位长度到达点，再向下平移12个单位长度到达点，再向右平移15个单位长度到达点……按此规律进行下去，该动点到达的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2022·甘肃白银市·八年级期末）如图，点A(0，1)，点A1(2，0)，点A2(3，2)，点A3(5，1)…，按照这样的规律下去，点A2021的坐标为___________．
变式3．（2022·厦门市七年级期中）如图，在平面直角坐标系中，轴，轴，点、、、在轴上，，，，，，把一条长为2021个单位长度且无弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在处，并按的规律紧绕在图形“凸”的边上，则细线的另一端所在位置的点的坐标________．
高频考点12 坐标系中的动点问题
【解题技巧】动点问题，通常假设运动时间为t，将时间t视作常数进行图形分析，列出关于未知数t的方程，求解方程来解决。
例12．（2022·江西兴国·初二期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点，，，且满足，P点从A点出发沿x轴正方向以每秒2个单位长度的速度匀速移动，Q点从O点出发沿y轴负方向以每秒1个单位长度的速度匀速移动．
（1）直接写出点A的坐标 ，点B的坐标 ，AO和BC位置关系是 ；
（2）在P、Q的运动过程中，连接PB，QB，使S△PAB＝4S△QBC，求出点P的坐标；
（3）在P、Q的运动过程中，当∠CBQ＝30°时，请探究∠OPQ和∠PQB的数量关系，并说明理由．
变式1．（2022·辽宁葫芦岛市·七年级期中）如图，以直角三角形AOC的直角顶点O为原点，分别以OC，OA所在直线为 x 轴，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，点A（，），C（，），且．（1）C点的坐标为 ，A点的坐标为 ；（2）三角形AOC的面积是 ；（3）已知坐标轴上有两动点P，Q，两动点同时出发，点P从C点出发，沿x轴负方向以每秒个单位长度的速度匀速移动，Q点从O点出发，沿y轴正方向以每秒个单位长度的速度移动，Q点到达A点时，PQ同时停止移动．AC的中点D的坐标是（，），设运动时间为秒，求为何值时，三角形ODP的面积等于三角形ODQ 的面积．
变式2．（2022·汕头市潮南区七年级期末）如图，在长方形OABC中，O为平面直角坐标系的原点，点A的坐标为（a，0），点C的坐标为（0，b）且a、b满足+|b﹣6|＝0，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O﹣C﹣B﹣A﹣O的线路移动．
（1）点B的坐标为 ；当点P移动3.5秒时，点P的坐标为 ；
（2）在移动过程中，当点P到x轴的距离为4个单位长度时，求点P移动的时间；
（3）在O﹣C﹣B的线路移动过程中，是否存在点P使△OBP的面积是10，若存在求出点P移动的时间；若不存在，请说明理由．
变式3．（2022·吉林船营·初一期末）如图①，长方形OABC，．点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿边向终点C运动，设点P运动时间为．
（1）B点坐标为 ；（2）①当t=2时，则BP= ；当t=4时，BP= ；
②当时，CP= ；（用含t的式子表示）
（3）如图②，点p出发3s后，一直线l从y轴位置出发沿x轴正方向运动，且始终与y轴平行，运动速度为每秒2个单位长度．当t为何值时，点到直线的距离为2？
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专题03 平面直角坐标系 高频考点（精练）
一、选择题
1．（2022·宁夏·吴忠市七年级期中）在平面直角坐标系中，点P（3，-7）位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】根据坐标系中每个象限的点的坐标特征求解即可．
【详解】解：∵点P的坐标为（3，-7），∴点P在第四象限，故选D．
【点睛】本题主要考查了判断点所在的象限，熟知坐标系中每个象限的点的坐标特点是解题的关键：第一象限（+，+），第二象限（-，+），第三象限（-，-），第四象限（+，-）．
2．（2022·湖北湖北·七年级期中）如图甲处表示2街4巷的十字路口，如果用（2，4）表示甲处的位置，那么乙处的位置可以表示为（ ）
A．（2，4） B．（3，4） C．（4，3） D．（4，2）
【答案】C
【分析】用(2， 4)表示甲处的位置可知，第一个坐标表示街，第二个坐标表示巷，据此即得出结论．
【详解】用(2， 4)表示甲处的位置可知，第一个坐标表示街，第二个坐标表示巷，据此即可得乙处的位置可以表示为：(4， 3)，故选：C．
【点睛】此题主要考查了坐标确定位置，明确坐标表示的意义是解题关键．
3．（2022·陕西安康·七年级期末）在平面直角坐标系中，第二象限内点的坐标为，则点所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】直接利用各象限内点的坐标特点分析得出答案．
【详解】解：∵点M的坐标为（x，y），且点M在第二象限，
∴，∴，∴点N（-x，-y）在第四象限，故选：D．
【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中点的坐标特点，解决本题的关键是准确掌握平面直角坐标系中各个象限内点的坐标的特点．
4．（2022·广西桂林·八年级期末）点P（3，-4）到x轴和y轴的距离分别是（ ）
A．-3，4 B．3，4 C．4，3 D．-4，3
【答案】C
【分析】根据点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，点到y轴的距离等于横坐标的绝对值，即可解答．
【详解】解：点P（3，-4）到x轴和y轴的距离分别是4，3，
故选：C．
【点睛】本题考查了点的坐标，熟练掌握点到坐标轴的距离是解题的关键．
5．（2022·河南·郑州八年级期末）在平面直角坐标系中，点M在第四象限，到x轴、y轴的距离分别为4和3，则点M的坐标为（ ）
A．（4，-3） B．（3，-4） C．（-3，4） D．（-4，3）
【答案】B
【分析】根据点M在第四象限，则有点M的横坐标大于0，纵坐标小于0，进而根据到坐标轴的距离求解即可．
【详解】由点M在第四象限，则有点M的横坐标大于0，
纵坐标小于0，点M到x轴、y轴的距离分别为4、3，
所以点M的坐标为；故选B．
【点睛】本题主要考查平面直角坐标系点的坐标，熟练掌握各象限的点坐标特点求点的坐标是解题的关键．
6．（2022·天津九年级期中）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据点的坐标关于原点对称的方法可直接进行排除选项．
【详解】解：点关于原点对称的点的坐标为．故选：A．
【点睛】本题主要考查点的坐标关于原点对称，熟练掌握点的坐标关于原点对称的方法是解题的关键．
7．（2022·湖北宜昌·中考真题）如图是一个教室平面示意图，我们把小刚的座位“第1列第3排”记为．若小丽的座位为，以下四个座位中，与小丽相邻且能比较方便地讨论交流的同学的座位是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据小丽的座位坐标为，根据四个选项中的座位坐标，判断四个选项中与其相邻的座位，即可得出答案．
【详解】解：∵只有与是相邻的，
∴与小丽相邻且能比较方便地讨论交流的同学的座位是，故C正确．故选：C．
【点睛】本题主要考查了坐标确定位置，关键是根据有序数对表示点的位置，根据点的坐标确定位置．
8．（2022·福建福州·七年级期末）将点向右平移3个单位后的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用点平移的坐标规律，把点（-2，1）的横坐标加3，纵坐标不变即可得到所求点的坐标．
【详解】解：将点A（-2，1）向右平移3个单位长度后的点的坐标是（-2+3，1），即（1，1）．
故选：A．
【点睛】此题主要考查坐标与图形变化-平移，掌握平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减是解题的关键．
9．（2022·山东菏泽·一模）如图，在平面直角坐标系中，将四边形先向上平移，再向左平移得到四边形，已知，则点B坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意得到点A的坐标变化规律，然后根据点A的变化规律反推可以由B1得到B的坐标．
【详解】解：∵-3-3=-6，5-3=2，∴点A变到A1的过程中，横坐标加-6，纵坐标加2，
∴由B1反推到B的过程，必须是横坐标加6，纵坐标加-2，
∴-4+6=2，3-2=1，∴B点坐标为（2，1），故选B．
【点睛】本题考查平移的坐标变化，得到图形的平移规律是解题关键．
10．（2022·湖北七年级期中）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上．向右．向下．向右的方向依次平移，每次移动一个单位，得到，，，，…那么点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据图象移动的得出移动4次一个循环，得出结果即可；
【详解】根据图象可得移动4次图象完成一个循环，
∵，∴的坐标是；故答案选D．
【点睛】本题主要考查了点的坐标规律题，准确计算是解题的关键．
11．（2022·广东·一模）阅读理解：如图1，在平面内选一定点O，引一条有方向的射线，再选定一个单位长度，那么平面上任一点M的位置可由的度数与的长度m确定，有序数对称为M点的“极坐标”，这样建立的坐标系称为“极坐标系”．
应用：在图2的极坐标系下，如果正六边形的边长为4，有一边在射线上，则正六边形的顶点C的极坐标应记为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设正六边形的中心为D，连接AD，判断出△AOD是等边三角形，根据等边三角形的性质可得OD=OA，∠AOD=60°，再求出OC，然后根据“极坐标”的定义写出即可．
【详解】解：如图，设正六边形的中心为D，连接AD，
∵∠ADO=360°÷6=60°，OD=AD，∴△AOD是等边三角形，∴OD=OA=4，∠AOD=60°，
∴OC=2OD=2×4=8，∴正六边形的顶点C的极坐标应记为．故选A．
【点睛】本题考查了正多边形和圆，坐标确定位置，主要利用了正六边形的性质，读懂题目信息，理解“极坐标”的定义是解题的关键．
二、填空题
12．（2022·四川成都·二模）如图，若“帅”位于点，“马”位于点，则“兵”位于点_______．
【答案】（-2，2）
【分析】根据“帅”和“马”的位置，可确定原点O的位置，即可得答案．
【详解】解：如下图，
∵“帅”位于点(0， 1)，“马”位于点(3， 1)，
∴原点O的位置如上图，∴“兵”位于点（-2，2），故答案为：（-2，2）．
【点睛】本题考查了平面上物体位置的确定，解题的关键是确定原点O的位置．
13．（2022·辽宁鞍山·七年级期中）若A点的坐标是，AB＝4，且轴，则点B的坐标为______．
【答案】或##（2，-5）或（2，3）
【分析】根据A点的坐标是（2，﹣1），AB＝4，且AB平行于y轴，可知点B的横坐标为是2，纵坐标是﹣1+4＝3或﹣1﹣4＝﹣5，从而可以写出点B的坐标．
【详解】解：∵A点的坐标是（2，﹣1），AB＝4，且AB平行于y轴，
∴点B的横坐标是2，纵坐标是﹣1+4＝3或﹣1﹣4＝﹣5，
即点B的坐标为（2，3）或（2，﹣5），故答案为：（2，3）或（2，﹣5）．
【点睛】本题考查坐标与图形的性质，解答本题的关键是明确平行于y轴的直线上点的横坐标都相等．
14．（2022·灌云县八年级月考）已知点A（3a+5，a﹣3）在一、三象限的角平分线上，则a=__．已知点P（1﹣a，a+2）关于y轴的对称点在第二象限，则a的取值范围是__．
【答案】﹣4
【分析】根据第一、三象限的角平分线上的点的横坐标与纵坐标相等列出方程求解即可；根据点P关于y轴的对称点在第二象限可知点P在第一象限，然后根据第一象限点的坐标特点列出不等式组，求解即可.
【详解】解：∵点A（3a+5，a﹣3）在一、三象限的角平分线上，∴3a+5＝a﹣3，解得：a＝﹣4；
∵点P（1﹣a，a+2）关于y轴的对称点在第二象限，∴点P（1﹣a，a+2）在第一象限，
∴，解得：，故答案为：﹣4；.
【点睛】本题考查了坐标与图形性质以及轴对称的性质，熟记第一、三象限的角平分线上的点的横坐标与纵坐标相等是解题的关键．
15．（2022·福建·福州八年级期末）在平面直角坐标系中，点A（﹣3，5）与点B关于x轴对称，则点B的坐标是______．
【答案】（-3，-5）
【分析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”求解即可．
【详解】解：∵点A（-3，5）与点B关于x轴对称，∴点B的坐标为（-3，-5）．故答案为：（-3，-5）．
【点睛】本题考查关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．
16．（2022·河南七年级期中）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），若点Q的坐标为（ax+y，x+ay），其中a为常数，则称点Q是点P的“a级关联点”例如，点P（1，4）的“3级关联点”为Q（3×1+4，1+3×4），即Q（7，13）．已知点A（﹣2，6）的“级关联点”是点，则点的坐标是_______．
【答案】
【分析】根据题中所给定义可直接进行求解．
【详解】解：由对于点P（x，y），若点Q的坐标为（ax+y，x+ay），其中a为常数，则称点Q是点P的“a级关联点”，可得点A（﹣2，6）的“级关联点”的横坐标为，
纵坐标为，∴点；故答案为．
【点睛】本题主要考查点的坐标，解题的关键是根据题中所给定义求解问题即可．
17．（2022·扎鲁特旗七年级期末）在平面直角坐标系中，点经过某种变换后得到点，我们把点叫做点的终结点已知点的终结点为点的终结点为，点的终结点为，这样依次得到，若点的坐标为，则点的坐标为____
【答案】
【分析】利用点P（x，y）的终结点的定义分别写出点P2的坐标为（1，4），点P3的坐标为（ 3，3），点P4的坐标为（ 2， 1），点P5的坐标为（2，0），…，从而得到每4次变换一个循环，然后利用2021＝4×505＋1可判断点P2021的坐标与点P1的坐标相同．
【详解】解：根据题意得点P1的坐标为（2，0），则点P2的坐标为（1，4），点P3的坐标为（ 3，3），点P4的坐标为（ 2，-1），点P5的坐标为（2，0），…，而2021＝4×505+1，
所以点P2021的坐标与点P1的坐标相同，为（2，0），故答案为：．
【点睛】本题考查了坐标的变化规律探索，找出前5个点的坐标，找出变化规律，是解题的关键．
18．（2022·江苏泰州·七年级期末）如图，已知点A、B射线OX上，OA等于2cm，AB等于1cm，如果OA绕点O按逆时针方向旋转30°到，那么点的位置可以用（2，30°）表示，则将OB绕点O按顺时针旋转280°到，那么点的位置可以表示为__________．
【答案】（3，80°）
【分析】先画出符合题意的图形，再求解从而可得答案.
【详解】解：如图，由题意得：
所以相当于把绕点逆时针旋转 故答案为：
【点睛】本题考查的是利用有序实数对表示点的位置，理解题意，求解再正确表示的位置是解本题的关键.
19．（2022·福建·厦门七年级期末）在平面直角坐标系xOy中，将A（a，b），B（m，b + 1）（a≠m + 1）两点同时向右平移h（h > 0）个单位，再向下平移1个单位得到C，D两点（点A对应点C）．连接AD，过点B作AD的垂线l，E是直线l上一点，连接DE，且DE的最小值为1．下列结论正确的有 _________ ．（只填序号）①AC = BD；②直线l⊥x轴；③A、B、C三点可能在同一条直线上；④当DE取最小值时，点E的坐标为（m，b）.（写出所有正确结论的序号）
【答案】①②④
【分析】根据平移的性质先求出点C和点D的坐标，得到点A和点D的纵坐标相同，进而得到轴，再利用平移的性质来求解．
【详解】解：∵A（a，b），B（m，b + 1）（a≠m + 1）两点同时向右平移h（h > 0）个单位，再向下平移1个单位得到C，D两点（点A对应点C），
一个点向右平移h个单位，则该点的横坐标加h；一个点向下平移1个单位，则该点的纵坐标减1，
∴，，此时点A和点D的纵坐标相同，∴轴．
根据平移的性质可知：，故①正确；
AD平行于x轴,l垂直于AD 那么l也垂直于x轴，故②正确；
由图可知：因为a≠m + 1，所以A、B、C三点不可能在同一条直线上，故③错误；
当DE取最小值时，点E与点P重合时，此时点E的坐标为（m，b），故④正确．
综上所述，正确的有：①②④．
【点睛】本题主要考查了平移的性质，理解平移的性质和求出平移后点C和D的坐标是解答关键．
20．（2022·河北·石家庄八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l交x轴于点A，交y轴于点，，，，．．．在直线l上，点，，．．．在x轴的正半轴上，若，，，…，依次均为等腰直角三角形，直角顶点都在x轴上，已知点A坐标是（－2，0），则点的横坐标为______．
【答案】##
【分析】先求,,的坐标，探究规律后，根据规律即可解出答案．
【详解】由题意得：∴
∴∵∴的横坐标为
故答案为：．
【点睛】本题考查了点的坐标和等腰直角三角形的性质等知识，利用知识点得出每个点的坐标，寻找出规律是解决问题的关键．
三、解答题
21．（2022·陕西安康·七年级期末）已知点．(1)点A与点的连线与轴平行，求点A的坐标．(2)若的平方根是，试判断点A所在的象限，并说明理由．
【答案】(1)点A的坐标为（2，5）；(2)点A在第一象限．理由见解析
【分析】（1）根据与y轴平行的直线上任意两点横坐标相等列出方程2a－6=2，求出a，进而得到点A的坐标；（2）根据a的平方根是±3求出a，得到点A的坐标，即可判断点A所在的象限．
（1）解：根据题意，可得2a－6=2，解得a=4，则a+1=4+1=5，
所以点A的坐标为（2，5）；
（2）解：点A在第一象限，理由如下：∵a的平方根是±3，∴a=9，
∴2a－6=2×9－6=12，a+1=9+1=10，∴点A的坐标为（12，10），∴点A在第一象限．
【点睛】本题考查了坐标与图形性质，平面直角坐标系中点的特点，平方根；熟练掌握平面直角坐标系中与坐标轴平行的直线上点的特点是解题的关键．
22．（2022·江西七年级期中）已知点A（a－2，－2），B（－2，b＋1），根据以下要求确定a、b的值．（1）点A在y轴上，点B关于x轴对称的点为（－2，3）（2）A、B两点在第一、三象限的角平分线上
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据轴上的点的坐标特征分析可求得的值，根据关于轴对称的点的特征，可求得的值；轴上的点的坐标特征：横坐标等于0，关于x轴对称的两个点，横坐标相等，纵坐标互为相反数．
（2）根据象限平分线上的点的坐标特征，横纵坐标相等，可求得的值．
【详解】解：（1）点A在y轴上，a－2=0，解得a=2，
点B关于x轴对称的点为（－2，3），，b＋1+3=0，解得：b=－4，
（2）第一、三象限的角平分线上的点的坐标特征是：横坐标等于纵坐标
a－2=－2 ∴a=0 b＋1=－2 ∴b=－3
【点睛】本题考查了平面直角坐标系的定义，熟记平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征及象限角平分线上的点的坐标特征是解决本题的关键．
23．（2022·山东德州·七年级期末）在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别是，，．(1)在平面直角坐标系中画出；(2)平移，使点A与点重合，写出点、点平移后的所得点的坐标，并描述这个平移过程．(3)求的面积
【答案】(1)见解析 (2)；；将向下平移4个单位，再向左平移2个单位得到新的三角形（答案不唯一） (3)
【分析】（1）根据坐标，，描点，连接即可得；
（2）根据点A的平移方式确定的平移方式，从而得到点、点平移后的所得点的坐标和平移过程的描述；（3）用长方形面积减去小三角形的面积即可得到的面积．
（1）如图，即为所求；
（2）由图可知，点B平移后对应的坐标为：；点C平移后对应的坐标为：；
平移方式：将向下平移4个单位，再向左平移2个单位得到新的三角形（或将向左平移2个单位，再向下平移4个单位得到新的三角形；或将沿AO方向平移个单位长度得到新的三角形；答案不唯一）；
（3）．
【点睛】本题考查了坐标与图形中的描点、平移、求三角形的面积，熟练掌握点平移的坐标特征是本题的关键．
24．（2022·新疆·昌吉市八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为A（1，﹣4），B（3，﹣3），C（1，﹣1）．
(1)画出关于x轴对称的；(2)写出各顶点的坐标；(3)求的面积．
【答案】(1)见解析(2)，，(3)3
【分析】（1）找出的三个顶点关于x轴的对称点，顺次连接即可画出；
（2）根据（1）中所得图形即可写出各顶点的坐标；
（3）根据格点可知的底和高，利用三角形面积公式即可求解．
（1）解分别作出三个顶点关于x轴的对称点，，，顺次连接即可得到，如下图所示：
;
（2）解：根据（1）中所得图形可知各顶点的坐标分别为：，，；
（3）解：观察图形可知，中，AC边的高为2，因此．
【点睛】此题主要考查了坐标系中的轴对称，根据轴对称的性质得出对应点位置是解题关键．
25．（2022·北京市七年级期中） 对于平面直角坐标系中的图形和图形上的任意点，给出如下定义：将点平移到称为将点进行“型平移”，点称为将点进行“型平移”的对应点；将图形上的所有点进行“型平移”称为将图形进行“型平移”．例如，将点平移到称为将点进行“1型平移”，将点平移到称为将点进行“﹣1型平移”．已知点和点．(1)将点进行“1型平移”后的对应点的坐标为 ．
(2)①将线段进行“﹣1型平移”后得到线段，点，，中，在线段上的点是 ．②若线段进行“型平移”后与坐标轴有公共点，则的取值范围是 ．
(3)知点，，点是线段上的一个动点，将点进行“型平移”后得到的对应点为，画图、观察、归纳可得，当的取值范围是 时，的最小值保持不变．
【答案】(1)；(2)，或；(3)．
【分析】（1）根据“1型平移”的定义求解即可；
（2）①画出线段即可求解；②根据定义求出t的最大值，最小值即可；
（3）观察图象可知：当在线段上时，的最小值保持不变，最小值为．
(1)解：由“1型平移”的定义可知：的坐标为；
(2)解：①如图所示，观察图象可知：将线段进行“﹣1型平移”后得到线段，点，，中，在线段上的点是；
②若线段进行“型平移”后与坐标轴有公共点，则的取值范围是或；
(3)如图所示：
观察图象可知：当在线段上时，的最小值保持不变，最小值为，此时．
【点睛】本题考查平移变换，“t型平移”的定义，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会利用图象法解决问题．
26．（2022·四川成都·七年级期末）如图，在正方形网格中，点，，，，都在格点上．
(1)作关于直线对称的图形；(2)若网格中最小正方形边长为1，求的面积；
(3)在直线上找一点，使得的值最大，并画出点的位置．
【答案】(1)详见解析(2)(3)详见解析
【分析】（1）利用轴对称的性质分别作出A、B、C的对应点，，即可．
（2）根据三角形的面积公式即可得到结论．
（3）连接交直线MN于点P，此时的值最大．
（1）如图，即为所求．
（2）的面积为
（3）点P即为所求
【点睛】本题考查了作图-轴对称变换，轴对称一最短路径问题，三角形的面积，解决本题的关键是掌握轴对称的性质准确作出点P．
27．（2022·湖北武汉·七年级期中）如图，已知图中A点和B点的坐标分别为和．
(1)请在图1中画出坐标轴建立适当的直角坐标系；(2)写出点C的坐标为______；(3)在y轴上有点D．满足，则点D的坐标为______；(4)已知第一象限内有两点，．平移线段MN使点M、N分别落在两条坐标轴上．则点M平移后的对应点的坐标是______．
【答案】(1)答案见解析(2)（3，2）(3)（0，﹣6）或（0，10）(4)（0，3）或（﹣4，0）
【分析】（1）根据题意建立如图所示的平面直角坐标系即可；（2）根据建立的平面直角坐标系即可得到结论；（3）根据三角形的面积公式即可得到结论；（4）设平移后点M、N的对应点分别是M′、N′，分两种情况进行讨论：①M′在y轴上，N′在x轴上；②M′在x轴上，N′在y轴上．
（1）解：建立如图所示的平面直角坐标系；
（2）解：点C的坐标为（3，2）．故答案为：（3，2）；
（3）解：设D到BC的距离为h，∵S△DBC＝20，∴×5h＝20，解得：h＝8，
∴点D的坐标为（0，﹣6）或（0，10）．故答案为：（0，﹣6）或（0，10）；
（4）解：设平移后点M、N的对应点分别是M′、N′．
分两种情况：①M′在y轴上，N′在x轴上，则M′横坐标为0，N′纵坐标为0，
把线段MN向左平移（m﹣4）个单位长度，再向下平移（n﹣3）个得到线段M′N′，
∴点M平移后的对应点的坐标是（0，3）；
②M′在x轴上，N′在y轴上，则M′纵坐标为0，N′横坐标为0，
∵m﹣4﹣m＝﹣4，∴点M平移后的对应点的坐标是（﹣4，0）．
综上可知，点M平移后的对应点的坐标是（0，3）或（﹣4，0）．故答案为：（0，3）或（﹣4，0）．
【点睛】本题主要考查图形的平移及平移特征．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移规律相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
28．（2022·湖北·浠水县七年级期中）如图长方形OABC的位置如图所示，点B的坐标为（8，4），点P从点C出发向点O移动，速度为每秒1个单位；点Q同时从点O出发向点A移动，速度为每秒2个单位；(1)请写出点A、C的坐标；(2)几秒后，P、Q两点与原点距离相等．(3)在点P、Q移动过程中，四边形OPBQ的面积有何变化，说明理由．
【答案】(1)点A的坐标为（8，0），点C的坐标为（0，4）(2)经过秒，P、Q两点与原点距离相等；(3)在点P、Q移动过程中，四边形OPBQ的面积不会变化，为16，理由见解析
【分析】（1）根据点B的坐标进行求解即可；
（2）设运动时间为t，分别表示出OP和OQ的长，据此建立方程求解即可；
（3）根据进行求解即可．
（1）解：∵四边形OABC为长方形，点B的坐标为（8，4），∴OA=BC=8，OC=AB=4，
∴点A的坐标为（8，0），点C的坐标为（0，4）；
（2）解：设运动时间为t，则，∴，
∵P、Q两点与原点距离相等，∴，∴，解得，
∴经过秒，P、Q两点与原点距离相等；
（3）解：在点P、Q移动过程中，四边形OPBQ的面积不会变化，为16，理由如下：
由（2）可得，
∴，
∴在点P、Q移动过程中，四边形OPBQ的面积不会变化．
【点睛】本题主要考查坐标与图形，一元一次方程的应用，正确理解题意求出OC和OA的长是解题的关键．
29．（2022·广东·九年级）如图，在长方形ABCD中，AB＝10cm，BC＝6cm，E为DC的中点．
(1)以A为原点（即O与A重合），以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则C的坐标为 ；(2)若（1）中长方形以每秒2cm的速度沿x轴正方向移动2秒后，得到长方形，则的坐标为 ，长方形的面积为 ；
(3)若（1）中长方形以每秒2cm的速度沿x轴正方向移动，运动时间为t，用含t的式子直接表示出长方形的面积 （线段可以看成是面积为0的长方形）；点E移动后对应点为F，直接写出t为何值时长方形的面积是三角形的3倍？
【答案】(1)（10，6）(2)（14，6），36 (3)（﹣12t+60）或（12t﹣60），t＝2
【分析】（1）根据长方形的性质，坐标的确定方法求解即可．
（2）运动2秒相当于图形向右平移4cm，确定坐标即可，计算出的长度，计算面积即可．
（3）分0≤t≤5和t＞5两种情况计算即可．
(1)∵AB＝10cm，BC＝6cm，∴C的坐标为（10，6），故答案为：（10，6）．
(2)∵长方形以每秒2cm的速度沿x轴正方向移动2秒，
∴点C向右平移4cm，∵C（10，6），∴（14，6），故答案为：（14，6）．
∵AB＝10，＝4，∴＝6，∴长方形的面积为36（）．故答案为：36．
(3)当t≤5时，如图：
∵＝AB﹣＝10﹣2t，∴长方形的面积为6×（10﹣2t）＝﹣12t+60（），
当t＞5时，如图：
∵＝﹣AB＝2t﹣10，∴长方形的面积为6×（2t﹣10）＝12t﹣60（），
故答案为：（﹣12t+60）或（12t﹣60）；
当t≤5时，如图：
长方形的面积为﹣12t+60，△面积的3倍为，
由题意得：﹣12t+60＝18t，解得t＝2；
当t＞5时，如图：同理可得：12t﹣60＝18t，解得t＝﹣10（舍去），∴t＝2．
【点睛】本题考查直角坐标系，涉及长方形形性质，三角形面积等，解题的关键是画出图形，用含t的代数式表示相关线段的长度．
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专题03 平面直角坐标系 高频考点（精练）
一、选择题
1．（2022·宁夏·吴忠市七年级期中）在平面直角坐标系中，点P（3，-7）位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2022·湖北湖北·七年级期中）如图甲处表示2街4巷的十字路口，如果用（2，4）表示甲处的位置，那么乙处的位置可以表示为（ ）
A．（2，4） B．（3，4） C．（4，3） D．（4，2）
3．（2022·陕西安康·七年级期末）在平面直角坐标系中，第二象限内点的坐标为，则点所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．（2022·广西桂林·八年级期末）点P（3，-4）到x轴和y轴的距离分别是（ ）
A．-3，4 B．3，4 C．4，3 D．-4，3
5．（2022·河南·郑州八年级期末）在平面直角坐标系中，点M在第四象限，到x轴、y轴的距离分别为4和3，则点M的坐标为（ ）
A．（4，-3） B．（3，-4） C．（-3，4） D．（-4，3）
6．（2022·天津九年级期中）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·湖北宜昌·中考真题）如图是一个教室平面示意图，我们把小刚的座位“第1列第3排”记为．若小丽的座位为，以下四个座位中，与小丽相邻且能比较方便地讨论交流的同学的座位是（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·福建福州·七年级期末）将点向右平移3个单位后的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
9．（2022·山东菏泽·一模）如图，在平面直角坐标系中，将四边形先向上平移，再向左平移得到四边形，已知，则点B坐标为（ ）
A． B． C． D．
10．（2022·湖北七年级期中）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上．向右．向下．向右的方向依次平移，每次移动一个单位，得到，，，，…那么点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
11．（2022·广东·一模）阅读理解：如图1，在平面内选一定点O，引一条有方向的射线，再选定一个单位长度，那么平面上任一点M的位置可由的度数与的长度m确定，有序数对称为M点的“极坐标”，这样建立的坐标系称为“极坐标系”．
应用：在图2的极坐标系下，如果正六边形的边长为4，有一边在射线上，则正六边形的顶点C的极坐标应记为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
12．（2022·四川成都·二模）如图，若“帅”位于点，“马”位于点，则“兵”位于点_______．
13．（2022·辽宁鞍山·七年级期中）若A点的坐标是，AB＝4，且轴，则点B的坐标为______．
14．（2022·灌云县八年级月考）已知点A（3a+5，a﹣3）在一、三象限的角平分线上，则a=__．已知点P（1﹣a，a+2）关于y轴的对称点在第二象限，则a的取值范围是__．
15．（2022·福建·福州八年级期末）在平面直角坐标系中，点A（﹣3，5）与点B关于x轴对称，则点B的坐标是______．
16．（2022·河南七年级期中）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），若点Q的坐标为（ax+y，x+ay），其中a为常数，则称点Q是点P的“a级关联点”例如，点P（1，4）的“3级关联点”为Q（3×1+4，1+3×4），即Q（7，13）．已知点A（﹣2，6）的“级关联点”是点，则点的坐标是_______．
17．（2022·扎鲁特旗七年级期末）在平面直角坐标系中，点经过某种变换后得到点，我们把点叫做点的终结点已知点的终结点为点的终结点为，点的终结点为，这样依次得到，若点的坐标为，则点的坐标为____
18．（2022·江苏泰州·七年级期末）如图，已知点A、B射线OX上，OA等于2cm，AB等于1cm，如果OA绕点O按逆时针方向旋转30°到，那么点的位置可以用（2，30°）表示，则将OB绕点O按顺时针旋转280°到，那么点的位置可以表示为__________．
19．（2022·福建·厦门七年级期末）在平面直角坐标系xOy中，将A（a，b），B（m，b + 1）（a≠m + 1）两点同时向右平移h（h > 0）个单位，再向下平移1个单位得到C，D两点（点A对应点C）．连接AD，过点B作AD的垂线l，E是直线l上一点，连接DE，且DE的最小值为1．下列结论正确的有 _________ ．（只填序号）①AC = BD；②直线l⊥x轴；③A、B、C三点可能在同一条直线上；④当DE取最小值时，点E的坐标为（m，b）.（写出所有正确结论的序号）
20．（2022·河北·石家庄八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l交x轴于点A，交y轴于点，，，，．．．在直线l上，点，，．．．在x轴的正半轴上，若，，，…，依次均为等腰直角三角形，直角顶点都在x轴上，已知点A坐标是（－2，0），则点的横坐标为______．
三、解答题
21．（2022·陕西安康·七年级期末）已知点．(1)点A与点的连线与轴平行，求点A的坐标．(2)若的平方根是，试判断点A所在的象限，并说明理由．
22．（2022·江西七年级期中）已知点A（a－2，－2），B（－2，b＋1），根据以下要求确定a、b的值．（1）点A在y轴上，点B关于x轴对称的点为（－2，3）（2）A、B两点在第一、三象限的角平分线上
23．（2022·山东德州·七年级期末）在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别是，，．(1)在平面直角坐标系中画出；(2)平移，使点A与点重合，写出点、点平移后的所得点的坐标，并描述这个平移过程．(3)求的面积
24．（2022·新疆·昌吉市八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为A（1，﹣4），B（3，﹣3），C（1，﹣1）．
(1)画出关于x轴对称的；(2)写出各顶点的坐标；(3)求的面积．
25．（2022·北京市七年级期中） 对于平面直角坐标系中的图形和图形上的任意点，给出如下定义：将点平移到称为将点进行“型平移”，点称为将点进行“型平移”的对应点；将图形上的所有点进行“型平移”称为将图形进行“型平移”．例如，将点平移到称为将点进行“1型平移”，将点平移到称为将点进行“﹣1型平移”．已知点和点．(1)将点进行“1型平移”后的对应点的坐标为 ．(2)①将线段进行“﹣1型平移”后得到线段，点，，中，在线段上的点是 ．②若线段进行“型平移”后与坐标轴有公共点，则的取值范围是 ．(3)知点，，点是线段上的一个动点，将点进行“型平移”后得到的对应点为，画图、观察、归纳可得，当的取值范围是 时，的最小值保持不变．
26．（2022·四川成都·七年级期末）如图，在正方形网格中，点，，，，都在格点上．
(1)作关于直线对称的图形；(2)若网格中最小正方形边长为1，求的面积；
(3)在直线上找一点，使得的值最大，并画出点的位置．
27．（2022·湖北武汉·七年级期中）如图，已知图中A点和B点的坐标分别为和．
(1)请在图1中画出坐标轴建立适当的直角坐标系；(2)写出点C的坐标为______；(3)在y轴上有点D．满足，则点D的坐标为______；(4)已知第一象限内有两点，．平移线段MN使点M、N分别落在两条坐标轴上．则点M平移后的对应点的坐标是______．
28．（2022·湖北·浠水县七年级期中）如图长方形OABC的位置如图所示，点B的坐标为（8，4），点P从点C出发向点O移动，速度为每秒1个单位；点Q同时从点O出发向点A移动，速度为每秒2个单位；(1)请写出点A、C的坐标；(2)几秒后，P、Q两点与原点距离相等．(3)在点P、Q移动过程中，四边形OPBQ的面积有何变化，说明理由．
29．（2022·广东·九年级）如图，在长方形ABCD中，AB＝10cm，BC＝6cm，E为DC的中点．
(1)以A为原点（即O与A重合），以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则C的坐标为 ；(2)若（1）中长方形以每秒2cm的速度沿x轴正方向移动2秒后，得到长方形，则的坐标为 ，长方形的面积为 ；
(3)若（1）中长方形以每秒2cm的速度沿x轴正方向移动，运动时间为t，用含t的式子直接表示出长方形的面积 （线段可以看成是面积为0的长方形）；点E移动后对应点为F，直接写出t为何值时长方形的面积是三角形的3倍？
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