中小学教育资源及组卷应用平台
专题04 二元一次方程组 高频考点（13个）（精讲）
高频考点1 二元一次方程（组）的概念和判断
【解题技巧】二元一次方程的判断主要注意以下几点：
①含有2个未知数，即未知数前的系数不为0；②未知数的次数为1
二元一次方程组的判断需要注意以下几点：
①方程组中是否一共有两个未知数;②含未知数的项的次数是否都是1;③是否含有多个方程组成.
例1．（2022·浙江长兴·期中）下到方程组中，属于二元一次方程组的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用二元一次方程组的定义判断即可．
【解析】解：A、属于二元一次方程组，符合题意；B、有三个未知数，不属于二元一次方程组，不符合题意；C、属于二元二次方程组，不符合题意；
D、属于二元二次方程组，不符合题意，故选：A．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的定义，熟练掌握二元一次方程组的定义是解本题的关键．
变式1．（2022·福建·福州七年级期中）已知方程：①＋y＝3；②2x﹣3y＝6；③；④3x﹣y＝2；⑤3xy﹣y＝0，其中为二元一次方程的是（ ）
A．②④ B．②④⑤ C．①④ D．④⑤
【答案】A
【分析】含有两个未知数，且含未知数的项的次数是1的整式方程是二元一次方程，据定义判断即可．
【详解】解：①＋y＝3不符合定义，故不符合题意；②2x﹣3y＝6符合定义，故符合题意；
③不符合定义，故符合题意；④3x﹣y＝2符合定义，故符合题意；
⑤3xy﹣y＝0不符合定义，故不符合题意；是二元一次方程的是②④，故选：A．
【点睛】此题考查了二元一次方程的定义，熟记定义是解题的关键．
变式2．（2022·四川·宜宾市七年级期中）下列方程是二元一次方程的是（ ）
A．x2＝1﹣2y B． 1﹣2y C．5x＝3﹣y D．x＝z﹣2y
【答案】C
【分析】根据二元一次方程的定义可直接进行排除选项．
【详解】解：A、不是二元一次方程，故不符合题意；
B、不是二元一次方程，故不符合题意；
C、是二元一次方程，故符合题意；
D、不是二元一次方程，故不符合题意；故选C．
【点睛】本题主要考查二元一次方程的定义，熟练掌握定义是解题的关键．
变式3．（2022·山东·枣庄市八年级阶段练习）下列方程组为二元一次方程组的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据二元一次方程组的定义，即含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是 1 的方程组在一起叫做二元一次方程组判断即可；
【详解】解A．中，xy的次数是2，故A不符合题意；
B．是二元一次方程组，故B符合题意；C．中y在分母上，故C不符合题意；
D．中有3个未知数，故D不符合题意；故选B．
【点睛】本题主要考查二元一次方程组的识别，掌握二元一次方程组的定义，准确分析是解题的关键．
高频考点2 利用二元一次方程的概念求参数
解题技巧：利用二元一次方程的特征（①含有2个未知数，即未知数前的系数不为0；②未知数的次数为1），建立方程（组）解得参数即可。
例1.（2022·河北·石家庄七年级阶段练习）已知方程是二元一次方程，则满足的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据二元一次方程的定义即可求出答案．
【详解】解：方程整理得，
由题意可知：，即，故选：C．
【点睛】本题考查二元一次方程，解题的关键是熟练运用二元一次方程的定义，本题属于基础题型．
变式1．（2022·黑龙江·七年级期中）若是二元一次方程，则______，______．
【答案】 4 2
【分析】含有两个未知数，含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程，根据二元一次方程的定义列式即可求解．
【详解】解：∵是二元一次方程，
∴ m－3＝1，n－1＝1，
解得 m＝4，n＝2，
故答案为：4，2
【点睛】此题考查了二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程的定义是解题的关键．
变式2．（2022·福建·晋江市七年级阶段练习）若方程是二元一次方程，则m+n的值为______
【答案】
【分析】根据二元一次方程的定义，可得，即可求解．
【详解】解：∵方程是二元一次方程，
∴，
解得：，
∴．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了二元一次方程的定义，熟练掌握含有两个未知数，且未知数的次数均为1的整式方程是二元一次方程是解题的关键．
变式3．（2022·浙江杭州市·七年级模拟）若是关于，的二元一次方程，则的值是________．
【答案】-1
【分析】根据二元一次方程定义可得：m2=1，且m-1≠0，再解即可．
【详解】解：依题意得：m2=1，且m-1≠0，解得m=﹣1．故答案为：-1．
【点睛】此题考查二元一次方程，关键是掌握二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程．
高频考点3 方程（组）的解的相关运用
【解题技巧】寻找二元一次方程，重点是观察并发现解中x，y之间的特征。
例3.（2022·浙江·永嘉县七年级期中）已知，是方程的一个解，则k的值为（ ）
A．5 B． C． D．
【答案】A
【分析】将解代入到方程中，即可求出值．
【详解】解：由题意得：，解得：；故选：A．
【点睛】本题考查二元一次方程解的定义．熟练掌握使方程成立的未知数的值就是方程的解是解题的关键．
变式1．（2022·广东·湛江市七年级期中）已知是关于x，y的方程，x＋ky＝3的一个解，则k的值为（ ）
A．－1 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】把x与y的值代入方程计算即可求出k的值．
【详解】解：∵是关于x、y的方程x+ky＝3的一个解，
∴把代入到原方程，得1+2k＝3，解得k＝1，故选：B．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程的解的定义，解一元一次方程，熟知方程的解是使方程两边相等的未知数的值是解题的关键．
变式2．（2022·安徽·合肥市八年级阶段练习）下列方程组中，有无数组解的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分别求解每一个选项的方程组的解，即可得出答案．
【详解】解：A、解得：，方程组有唯一一组解，故此选项不符合题意；
B、解得方程组无解，故此选项不符合题意； C、，
①×2②，得0x-0y=0，则x、y可取任何值，所以方程组有无数组解，故此选项符合题意；
D、解得：，方程组有唯一一组解，故此选项不符合题意；故选：C．
【点睛】本题考查二元一次方程组的解，解二元一次方程组，注意二元一次方程组的解的三种情况：①方程组有唯一一组解，②方程组有无数组解，③方程组无解．
变式3．（2022浙江萧山·期末）若二元一次方程组的解为，则a+b的值是( )
A．9 B．6 C．3 D．1
【答案】C
【分析】根据二元一次方程组的解及解二元一次方程组即可解答．
【解析】解：将代入方程组得解得：
∴a+b=1+2=3．故选：C．
【点睛】此题主要考查二元一次方程组的解和解二元一次方程组，正确理解二元一次方程组的解和灵活选择消元法解二元一次方程组是解题关键．
高频考点4 代入消元法和加减消元法比较
解题技巧：代入消元法和加减消元法是2种基础的消元法，各有优劣：
1）当方程组中含有一个未知数表示另一个未知数时（或易于转化为该形式时），用代入消元法。
2）当方程组中，某一个未知数在两个方程中的系数相同或互为相反数时（或成倍数时），用加减消元法。
3）无上述两种特征，依据个人喜好定方法。
注意：当二元一次方程系数比较复杂时，应先化简（去分母、去括号、移项、合并同类项等）。通常要把每个方程整理成含有未知数的项在方程的左边，常数项在方程的右边的形式，再利用消元法解方程。
例4．（2022·重庆市江津七年级期中）解方程组：
(1) （用代入消元法） (2)（用加减消元法）
【答案】(1)(2)
【分析】（1）把②代入①，得，求出y，再把y＝3代入①求出x即可；
（2）①×2-②得出16x＝10，求出x，再把x代入①求出y即可．
（1）
解：，
把②代入①，得，
解得：，
把代入②，得x＝1﹣5×3，
即y＝-14，
所以原方程组的解是；
（2）
解：，
①×3+②，得14x＝28，
解得：x=2，
把x=2代入①，得＝9，
解得：y=-1，
所以原方程组的解是．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键．
变式1．（2022·浙江台州·七年级期末）用适当方法解下列方程组：
(1) (2)
【答案】(1)(2)
【分析】（1）利用加减消元法，进行计算即可解答；
（2）利用代入消元法，进行计算即可解答．
（1）
解①+②得：
解得
把代入①得：
解得
∴原方程组的解为．
（2）
把①代入②得：
解得
把代入①得：
解得
∴原方程组的解为
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组是解题的关键．
变式2．（2022·江苏·七年级阶段练习）解下列方程组
(1) (2)
【答案】(1)(2)
【分析】（1）直接把方程①代入方程②，化为关于x的一元一次方程解得x的值，再把x的值代入方程①即可求得y的值；
（2）先将原方程组整理为，然后再利用加减消元法解方程组即可．
（1）
解：
将①代入方程②，得，
解得，
将代入方程①，得，
∴原方程组的解为；
（2）
解：原方程组整理得，
，得，
，得，
解得，
将代入方程②，得，
解得，
∴原方程组的解为．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，根据方程组的特点适当的选用消元法是解题的关键．
变式3．（2022·河北·石家庄市七年级阶段练习）解方程组：．
【答案】
【分析】利用加减消元法求出解即可．
【详解】解方程组，
①＋②，得④，
，得⑤，④＋⑤，得，∴，
将代入③，得，∴，
将代入②，得，∴，
∴方程组的解为．
【点睛】本题考查了解三元一次方程组，利用消元的思想是解题的关键，消元包括：代入消元法和加减消元法．
高频考点5 整体构造法求代数式的值
【解题技巧】某些代数式无需把每个未知数都求出来，而是通过观察各方程的系数关系，利用整体构造法直接求出代数式的值。
例5．（2022·浙江·杭州七年级期中）已知是方程组的解，则的值为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】A
【分析】把代入方程组，然后把三个方程相加，即可求出答案
【详解】解：根据题意，把代入方程组，得，
由①+②+③，得，∴；故选：A
【点睛】本题考查了方程组的解，加减消元法解方程组，解题的关键是掌握解方程组的方法进行计算
变式1．（2022·浙江·余姚市七年级期中）若关于 的方程组的解满足 ，则 的值为（ ）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
【答案】B
【分析】用整体思想①+②，得6x+6y=6k+6，等式两边都除以6，得x+y=k+1，再根据x+y=2022，从而计算出k的值．
【详解】解：，
①+②，得6x+6y=6k+6，∴x+y=k+1，
∵x+y=2022，∴k+1=2022，∴k=2021．故选：B．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组、二元一次方程组的解，掌握用加减消元法解二元一次方程组是解题关键．
变式2．（2022·湖南·八年级开学考试）已知关于、的方程组，其中，给出下列结论：①是方程组的解；②若，则；③若，则的最小值为；其中正确的有________（填写正确答案的序号）．
【答案】①②③
【分析】先解方程组，求得t=0，符合-3≤t≤1，可判断①；将方程组两个式子相加，再将代入即可判断②；求得M=2t+3，即可得到M随t的增大而增大，把t=-3代入求得M的最小值为-3，可判断③．
【详解】解：，（2）（1）得：，，
把代入（2）得，，
当时，，是方程组的解，故①正确；
，（2）+（1）得：，
若，则，，故②正确；
，，
∴，的最小值为，故③正确；
正确的有①②③．故答案为：①②③．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组得到方程组的解是解此题的关键．
变式3．（2022·浙江长兴·期中）已知x，y满足方程组则无论m取何值，x，y恒有的关系式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由方程组消去m，得到一个关于x，y的方程，化简这个方程即可．
【解析】解：将代入，得，所以.故选C.
【点睛】解二元一次方程组的基本思想是“消元”，基本方法是代入法和加减法，此题实际是消元法的考核．
高频考点6 整体消元法解方程组
【解题技巧】
1)整体代入消元法：代入消元法常规作法是当未知数系数为±1时，进行代入从而起到消元的目的。我们可以从整体入手，当两个方程中都存在相同的部分时，可以把它们视作一个整体。这样的话，就符合代入消元法的特征，从而实现消元。具体见下列实例：
2) 整体加减消元法：当两个方程之间有的字母系数有一定的规律，可以尝试用整体加减消元法，会得到一个比较特殊的式子，将这个式子和原来的式子在进行加减消元会比较容易。该方法技巧性比较强，读者需注意平时多积累尝试。
3) 整体换元法：把某一部分看作一个整体进行消元，达到转化为一元一次方程的方法
例6．（2022·江西·上饶市七年级期中）阅读探索：
知识累计：解方程组
解：设，，原方程组可变为
解方程组得：，即，解得．所以此种解方程组的方法叫换元法．
(1)拓展提高：运用上述方法解下列方程组：
(2)能力运用：已知关于，的方程组的解为，求出关于，的方程组的解．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）根据换元法设，，进行求解计算即可；
（2）根据换元法设进行求解计算即可．
（1）解：设，，原方程组可变为：
解得：即解得：
（2）解：设可得解得：．
【点睛】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解决问题的关键．
变式1．（2022·浙江杭州·七年级期末）若关于，的方程组，解为．则关于，的方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】已知方程组和x和y的解，将x和y代入可得到a1、b1、c1和a2、b2、c2两个等式的关系，再将此关系列为方程组反解出x和y即可．
【详解】解：关于，的方程组，解为，
关于，的方程组中，
解得：， 即第二个方程组的解是，故选A．
【点睛】本题考查了方程组的运算，明白通过已知条件解出第一个方程组的关系，再通过第一个方程组的关系解出答案是本题的关键．
变式2．（2022·重庆璧山·七年级期中）阅读材料：善于思考的李同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法．
解：把，成一个整体，设，，原方程组可化为
解得：．∴，∴原方程组的解为．
(1)若方程组的解是，则方程组的解是__________．
(2)仿照李同学的方法，用“整体换元”法解方程组．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据题意所给材料可得出，再解出这个方程组即可．
（2）根据题意所给材料可令，则原方程组可化为，解出m，n，代入，再解出关于x，y的方程组即可．
解得：，∴，解这个二元一次方程组即可．
（1）∵方程组的解是，∴，解得： ；
（2）对于，令，
则原方程组可化为，解得：，∴，解得：．
【点睛】本题考查二元一次方程组的特殊解法—“整体换元法”．读懂题干，理解题意，掌握“整体换元法”的步骤是解题关键．
变式3．（2022·浙江义乌七年级月考）阅读下列解方程组的方法，然后解决有关问题．
解方程组
我们如果直接考虑消元，那么非常麻烦，而采用下列解法则轻而易举．
①-②，得，即 ③
③，得 ④
②-④得，从而
所以原方程组的解是
请你用上述方法解方程组
【答案】
【分析】②-①得出6x+6y=6，求出x+y=1③，①-③×7求出y=2，把y=2代入③求出x即可．
【详解】解：②①得：，③，
①③得：，，把代入③得：，
所以原方程组的解为：．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组的应用，能根据方程组的特点选择简单的方法解方程组是解此题的关键．
高频考点7 二元一次方程组同解问题
【解题技巧】两种方法。
方法一：将不含参数的方程组组成新的方程组，求解方程的解；在将方程解代入含有参数方程中，组成另一组方程。若2组方程组中，都存在无参数的方程，则该方法比较简单。
方法二：将参数看做常数，直接求解出方程组的解。因为两个方程组同解，所以所得含参数的解相同。利用这个条件，再来求解参数。方法二相对比较麻烦，若2组方程组中的方程都含有参数，则只能用该方法。
例1．（2022·山东·昌乐七年级阶段练习）关于、的两个方程组和具有相同的解，则的值是（ ）
A． B． C． D．不能确定
【答案】B
【分析】先解方程组求出的值，从而可得一个关于的方程组，利用加减消元法解方程可得的值，然后代入计算即可得．
【详解】解：由题意得：，由②①得：，
把代入①得：，解得，
则原方程组的解为，
把代入方程组得：，
由③④得：，解得，
将代入③得：，解得，
则，故选：B．
【点睛】本题考查了同解方程组，熟练掌握利用消元法解二元一次方程组是解题关键．
变式1．（2022·浙江·台州市八年级开学考试）若关于，的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先用含k的代数式表示x、y，即解关于x，y的方程组，再代入2x+3y=6中计算即可得出答案．
【详解】解：方程组，由①+②得：2x+3y=4k+9，
∵2x+3y=6，∴4k+9=6，∴k=；故选：A．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，先用含k的代数式表示x，y，即解关于x，y的方程组，再代入2x+3y=6中可得．其实质是解三元一次方程组．
变式2.（2022·贵州紫云·期末）已知方程组与的解相同，那么________．
【答案】
【分析】重新组合方程组，解得x，y的值，再代入，求出a，b的值，进而即可求解
【解析】∵方程组与的解相同，
∴方程组与的解相同，由①②得：，
代入，得，解得：∴故答案是：
【点睛】本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握解二元一次方程组的加减消元法，是解题的关键．
变式3．（2022河南安阳·七年级期末）已知关于x、y的方程组的解和的解相同，求代数式2a+b的平方根．
【答案】代数式2a+b的平方根是．
【分析】由已知解方程组，解得，将代入中，得，即可求解．
【详解】解：方程组的解和的解相同，
与的解相同，，
①得，③，②得，④，③④得，，
将代入①得，，方程组的解为，
将代入中，得，的平方根为．
【点睛】本题考查二元一次方程组的解，理解同解二元一次方程组的含义，将所给方程组重新组合新的方程组，灵活运用加减消元法和代入消元法求方程组的解是解题的关键，也考查了平方根的性质．
高频考点8 运用错解求正解（将错就错）
【解题技巧】将方程中没错的部分挑选出来，得到参数的值；再把参数代入得到正确解。
例8．（2022·山东德州·七年级期末）解方程组时，甲同学正确解得，乙同学因把c写错而得到，则______________．
【答案】10
【分析】将代入方程组可得，再将代入方程可得，然后解方程组可得的值，代入计算即可得．
【详解】解：将代入方程组可得，解得，
将代入方程可得，
联立，解得，则，故答案为：10．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的错解问题，熟练掌握消元法是解题关键．
变式1．（2022·四川眉山·七年级期末）解方程组时，甲同学因看错a符号，从而求得方程组的解为，乙因看漏c，从而求得方程组的解为，试求的值．
【答案】1
【分析】甲同学因看错a符号，把x=3，y=2代入x+cy=4，求出c，因看错a符号，得-3a+2b=6，乙因看漏c，把x=6，y=-2代入ax+by=6，组成新的二元二次方程组，解出即可．
【详解】解：∵甲同学因看错a符号，
∴把，代入，得，所以．
∵乙因看漏c，∴把，代入，得，
得，解得，，．
所以.
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，解题的关键理解看错字母得出方程组的解的含义．
变式2．（2022·河南汝阳·七年级期末）甲、乙两人同解方程组时，甲看错了方程①中的，解得，乙看错了②中的，解得，试求的值．
【答案】0
【分析】将代入第二个方程得b的值，将代入第一个方程得a的值，即可求出所求式子的值．
【详解】解：将代入得：，解得
将代入方程组中的得：，即
．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．
变式3．（2022·江西·上饶市七年级期中）甲、乙两人同时解关于、的二元一次方程组，甲解得，乙解得，甲仅因为看错了方程组中的，乙仅因为看错了方程组中的．试求出方程组正确的解．
【答案】
【分析】将甲的解代入方程组中的第二个方程，可求出b的值，再将乙的解代入第一个方程可求出a的值，进而确定出方程组，最后解方程组即可．
【详解】解：将代入方程得：，解得：，
将代入得：，解得：．
所以原方程组为：
用①－②得，再将代入②，解得，
则方程组的解为：
【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的解，解题关键是明确方程组的解是能使方程左右两边相等的未知数的值．
高频考点9 二元一次方组的遮挡（涂改）问题
例9．（2022·福建·泉州七年级期中）小明在解关于x，y的二元一次方程组时，得到了正确的结果，后来发现“m”“n”处被墨水污损了，请你帮他找出m，n处的值分别是（ ）
A．m=1，n=1 B．m=2，n=1 C．m=1，n=2 D．m=2，n=2
【答案】B
【分析】先把y的值代入原方程组求出n的值，再把x的值代入原方程组即可求出m的值．
【详解】解：∵是方程组的解，
∴把y=1代入得，，
①+②得：4x=4，解得x=1，即n=1，
把x=1代入①得，1+m=3，解得m=2．
故选：B．
【点睛】本题考查的是解二元一次方程组，先把y的值代入原方程组求出x的值是解答此题的关键．
变式1．（2022·浙江·七年级期中）方程组的解为，则被遮盖的两个数和分别为( )
A．， B．， C．， D．，
【答案】B
【分析】将代入中求出的值，将，的值代入求值即可得出答案．
【详解】解：将代入中得：，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，掌握二元一次方程组的解是方程组两个方程的公共解是解题的关键．
变式2．（2022·江苏·七年级期中）小明解得方程组解为，由于不小心上了两滴墨水刚好遮住了两个数●和★，则这两个数分别为（ ）
A．10和4 B．2和－4 C．－2和4 D．－2和－4
【答案】B
【分析】把，代入，得，把，代入，得．
【详解】解：把，代入，得★，★，即，
把，代入，得，，故选：B．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解、解二元一次方程组，掌握将解代入原方程组求出有关的数值是解题关键．
高频考点10 二元一次方程（组）的整数解问题
【解题技巧】解决此类问题，通常用一个未知数来表示另外一个未知数，再将其符合条件的特殊值逐个代入，即可求解特殊解的个数.
例1．（2022·福建福州·七年级期中）关于x，y的方程组的解为整数，则满足这个条件的整数k的个数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．无数个
【答案】A
【分析】把k看做常数，求出方程组的解，再根据方程组解是整数，求解整数k 值即可求解．
【详解】解：，②-①得：(k-3)y=k，∴y=，
把y=代入①，得x=，
∵方程组解是整数，即和是整数，k是整数，
∴k=0，2，4，6，共4个,故选：A．
【点睛】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握用加减法解二元一次方程组是解题的关键．
变式1．（2022·湖南邵阳·七年级期中）已知关于，的方程组有下列结论：①是方程组的解；②存在，使得；③当时，方程组的解也是方程的解；④，的解都为自然数的解有无数对．其中正确的个数为（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．4个
【答案】A
【分析】由方程组可得x=2a+2、y=a-1，将x=2、y=1分别代入求得a的值可判断①；由x=y求得a的值可判断②；由a=0求得x、y的值，代入x+y=1+a可判断③；由y=a-1得a=y+1，将其代入x=2a+2可判断④．
【详解】解：，
②-①，得：3y=3a-3，即y=a-1，
代入①，得：x=2a+2，
若x=2得2a+2=2，解得a=0，
若y=1得a-1=1，解得：a=2，故①错误；
当x=y时，2a+2=a-1，解得a=-3，故②正确；
当a=0时，方程组的解为，
代入x+y=1+a得2-1=1+0，成立，故③正确；
由y=a-1得a=y+1，
代入x=2a+2，得：x=2y+4，
此方程有无数组自然数解，故④正确；
正确的有②③④．故选：A．
【点睛】本题主要考查解二元一次方程组的能力，熟练掌握解二元一次方程组的技能和二元一次方程的解是解题的关键．
变式2．（2022·浙江·七年级期中）已知关于x，y的二元一次方程，它的正整数解有（ ）对
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】用y表示出x，将y=1，2，…，代入计算得到x为正整数即可．
【详解】解：方程x+2y=7，解得：x=-2y+7，当y=1时，x=5；y=2时，x=3；y=3时，x=1，
则方程的正整数解有3对．故选：B．
【点睛】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是用y表示出x．
变式3．（2022·江苏兴化七年级期末）已知关于x，y的方程组(n是常数)．
(1)当n=1时，则方程组可化为
①请直接写出方程x+2y=3的所有非负整数解．②若该方程组的解也满足方程x+y=2，求m的值．
(2)当m每取一个值时，x-2y+mx=-5就对应一个方程，而这些方程有一个公共解，你能求出这个公共解吗 (3)当n=3时，如果方程组有整数解，求整数m的值．
【答案】(1)①或者；②-4(2)(3)-2或0
【分析】（1）根据题意直接写出①的解；②加减消元法求出方程组的解，再代入，求出m的值．（2）当m每取一个值时，这些方程有一个公共解，就是与m的取值无关，可得，x=0，代入求出y，即可求出公共解．（3）当n=3时方程组，结合方程组有整数解且m为整数，求出满足条件的m的值，再求出对应的方程组的解．
（1）①或
②由题意得
由①－②得:y=1 把y=1代入①得:x=1
方程组的解是
把代入中得：1-2+ m=-5
∴m= -4∴m的值为 -4．
（2）∵x 2y＋mx＝ 5∴(m+1)x 2y＝ 5
∵当m每取一个值时，这些方程有一个公共解
∴x=0∴ 2y＝ 5
∴
是这些方程有公共解
（3）当n=3时方程组为 ∴
∵方程组有整数解且m为整数∴5+2m=±1或5+2m=±5
当5+2m=1时，即 m= -2，方程组的解为
当5+2m=-1时，即 m= -3，方程组的解为
当5+2m=5时，即 m= 0，方程组的解为
当5+2m= -5时，即 m= -5，方程组的解为
综上所述整数m的值为-2或0．
【点睛】此题考查了如何解二元一次组，解题的关键是根据条件确定m的取值．
高频考点11二元一次方程（组）的特殊解问题
例1．（2022·浙江七年级阶段练习）已知关于x，y的方程组 ，给出下列结论：①不论a取何值，方程组总有一组解；②当a＝﹣2时，x，y的值互为相反数；③x+2y＝3；④当时，a＝2．其中正确的是（ ）
A．②③ B．①②③ C．①③④ D．①②③④
【答案】D
【分析】利用加减消元法消去a，得：x+2y=3，故①③正确；当a=-2时，代入方程组计算得：x+y=0，故②正确；解出方程组的解，根据条件得x+y=4，把方程组的解代入得a=2，故④正确．
【详解】解：，①×3+②得：4x+8y=12，∴x+2y=3，
∴不论a取何值，方程组总有一组解，故①③正确；
当a=-2时，方程组为：，
①+②得：2x+2y=0，∴x+y=0，∴x，y的值互为相反数，故②正确；
，解得：，
∵，∴x+y=4，∴2a+1+1-a=4，∴a=2，故④正确；故选：A．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，解二元一次方程组的基本思路是消元，②中可以不用求解方程组的解，而是直接求出x+y的值，这样比较简便．
变式1．（2022·贵州·七年级期末）若关于，的方程，，有公共解，则k的值为 __．
【答案】1
【分析】先将x+2y=1和2x-y=7组成二元一次方程组，解得x、y的值后代入kx-y=4即可得到答案．
【详解】解：由题意得：，解得：，
把代入得：，解得，故答案为：1．
【点睛】本题考查了方程的解，解二元一次方程组，理解方程的解的意义是本题的解题关键．
变式2．（2022·辽宁·兴城市七年级期中）x，y的方程组的解为正数，且x的值小于y的值，求α的取值范围______
【答案】
【分析】令，得：；消去，解出的值；把的值代入，解出的值，得到方程组的解；根据方程组的解为正数且的值小于的值，得，即可求出α的取值范围．
【详解】解：
得：
得：，解得
把，代入式得，解得
∴方程组的解为：
∵方程组的解为正数且的值小于的值
∴
∴
∴解不等式得：
解不等式得：
解不等式得：
∴α的取值范围为：
故答案为：．
【点睛】本题考查二元一次方程组和不等式的知识，解题的关键是掌握解二元一次方程组，解一元一次不等式以及不等式的解集．
高频考点12三元一次方程组及相关应用
例12．（2022·吉林长春·七年级期末）【阅读感悟】
有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：
已知实数、满足……①，……②，求和的值．
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得、的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，整体求得代数式的值，如由①－②可，由①＋②×2可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
【解决问题】
(1)已知二元一次方程组，求和的值；
(2)初二（3）班组织书法比赛，要购买一些学习用品用于发奖，若买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需33元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需60元，则购买2支铅笔、2块橡皮、2本日记本共需多少元？
(3)对于实数、，定义新运算：，其中、、是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，求的值．
【答案】(1)
(2)购买2支铅笔、2块橡皮、2本日记本共需12元．
(3)2
【分析】（1）分别①-②，①+②即可求得；
（2）设每只铅笔x元，每块橡皮y元，每本日记z元，根据题意得三元一次方程组，①×2-②求得x+y+z=6，即可解决问题．
（3）根据“3*5=16，4*8=30”，即可得出关于a，b，c的三元一次方程组，利用2×①-②即可求出结论．
（1）
解：，
①-②得x-y=-1，
①+②得3x+3y=15，
∴x+y=5，
故答案为：-1，5；
（2）
设每只铅笔x元，每块橡皮y元，每本日记本z元，
根据题意，得：，
①×2-②，得：x+y+z=6，
∴2x+2y+2z=2×6=12，
答：购买2支铅笔、2块橡皮、2本日记本共需12元．
（3）
依题意得： ，
由2×①-②可得2a+2b+c=2，
即2*2=2a+2b+c=2．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及整体思想的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
变式1．（2022·福建福州九年级阶段练习）设“■▲●”分别表示三种不同的物体，如图所示，前两架天平保持平衡，若要使第三架天平也平衡，则“？”处应该放“●”（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】设■，▲，●，由题可得，则可求解．
【详解】解：设■，▲，●，，，
又，，，，故选：C．
【点睛】题目主要考查三元一次方程的应用，理解题意，列出方程得出未知数的关系是解题关键．
变式2．（2022·甘肃·西和县九年级期末）某商店有5袋面粉，各袋重量在25～30公斤之间，店里有一磅秤，但只有能称50～70公斤重量的秤砣，现要确定各袋面粉的重量，至少要称（ ）
A．7次 B．6次 C．5次 D．4次
【答案】C
【分析】根据题意，可以拿其中的任意三袋称一称，列三元一次方程组求解，另外两袋分别与已知重量的其中一袋一起称，即可求出其重量．
【详解】解：拿出任意三袋，假设它们的重量分别为x千克、y千克、z千克，两两一称，记录下相应的重量，若分别等于a千克、b千克、c千克．
则有方程组，容易求出x、y、z；
另外两袋分别与已知重量的其中一袋一起称，即可求出其重量，所以需要称5次．故选：C．
【点睛】本题考查了三元一次方程组的实际应用问题，能够运用数学知识解决实际生活中的问题，掌握三元一次方程组的解法是解题的关键．
变式3．（2022·重庆·七年级期末）我国的经济总量己居世界第二，人民富裕了，很多家庭都拥有多种车型．小明家有A、B、C三种车型，已知3辆A型车的载重量与4辆B型车的载重量之和刚好等于2辆C型车的载重量；4 辆B型车的载重量与1辆C型车的载重量之和刚好等于6辆A型车的载重量．现有一批货物，原计划用1辆C型车5次可全部运完，由于C型车另有运输任务，现在安排1辆A型车单独装运9次，余下的货物由1辆B型车单独装运刚好可以全部运完，则B型车需单独装运____次(每辆车每次都满载重量)．
【答案】8．
【分析】设每辆A型车满载重量为a，设每辆B型车满载重量为b，设每辆C型车满载重量为c，原计划用C型车5次可全部运完，由于C型车另有运输任务，现在安排A型车单独装运9次，余下的货物由B型车单独装运刚好可以全部运完，则B型车需单独装运x次，根据题意列出方程组解得x便可．
【详解】解：设每辆A型车满载重量为a，设每辆B型车满载重量为b，设每辆C型车满载重量为c，原计划用C型车5次可全部运完，由于C型车另有运输任务，现在安排A型车单独装运9次，余下的货物由B型车单独装运刚好可以全部运完，则B型车需单独装运x次，根据题意得，
，②﹣①，得9a＝3c，∴a＝c，
把a＝c代入②，得b＝c，
把a＝c，b＝c，代入③得，
3c+cx﹣5c=0，∴cx＝8c，
∵c≠0，∴x＝8．故答案为8．
【点睛】本题考查方程组的应用，解答本题的关键在于读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出正确的方程组并求解．
高频考点13二元一次方程的新定义问题
例13．（2022·江苏泰州·七年级阶段练习）对于有理数x，y，定义新运算：x&y＝ax+by，xy＝ax﹣by，其中a，b 是常数．已知1&1＝1，32＝8．(1)求a，b的值；(2)若关于x，y的方程组的解也满足方程x+y＝5，求m的值；(3)若关于x，y的方程组的解为，求关于x，y的方程组的解．
【答案】(1)(2)(3)
【分析】（1）根据题目所给的新定义得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可；（2）先根据题意得到关于x、y的二元一次方程组，解方程组用m表示出x、y，再根据x+y=5进行求解即可；（3）可令再根据同解题意可知关于m、n的方程组的解为，则据此求解即可；
(1)解：由题意得：，解得；
（2）解：∵，∴，∴，
又∵关于x，y的方程组的解也满足方程x+y＝5，
∴，∴
（3）解：∵，
∴可令，∴，
∵关于x，y的方程组的解为，
∴关于m、n的方程组的解为，
∴，解得．
【点睛】本题主要考查了新定义下的实数运算，解二元一次方程组，正确理解题意是解题的关键．
变式1．（2022·江苏·七年级课时练习）我们规定：表示不超过的最大整数，例如：，，，则关于和的二元一次方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据的意义可得，和均为整数，两方程相减可求出，，将代入第二个方程可求出x.
【详解】解：，∵表示不超过的最大整数，∴，和均为整数，
∴x为整数，即，∴①－②得：，∴，，
将代入②得：，∴，故选：A.
【点睛】本题考查了新定义以及解二元一次方程组，正确理解的意义是解题的关键.
变式2．（2022·上海普陀·期末）使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．如果一个二元一次方程的解中两个未知数的绝对值相等，那么我们把这个解称做这个二元一次方程的等模解．二元一次方程2x﹣5y＝7的等模解是____．
【答案】或
【详解】解：根据题意得：或，
解得：或，故答案为：或．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，解题的关键是需要分两种情况解方程组，注意不要漏解．
变式3．（2022·北京市怀柔区七年级期末）我们知道方程组的解与方程组中每个方程的系数和常数项有联系，系数和常数项经过一系列变形、运算就可以求出方程组的解．因此，在现代数学的高等代数学科将系数和常数项排成一个表的形式，规定：关于x，y的二元一次方程组可以写成矩阵的形式．例如：可以写成矩阵的形式．
(1)填空：将写成矩阵形式为：；
(2)若矩阵所对应的方程组的解为，求a与b的值．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）根据题意中的定义将方程组转换为：，按照定义即可写出矩阵；
（2）根据矩阵形式写成方程组的形式，将题目告知的解代入方程组，解得系数a、b．
（1）解：整理方程得，，因此矩阵形式为：；
（2）根据矩阵形式得到方程组为： ，
将代入上述方程得，，解得：．
【点睛】本题是二元一次方程组求解题，解题关键在于正确理解题意并计算．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
专题04 二元一次方程组 高频考点（13个）（精讲）
高频考点1 二元一次方程（组）的概念和判断
【解题技巧】二元一次方程的判断主要注意以下几点：
①含有2个未知数，即未知数前的系数不为0；②未知数的次数为1
二元一次方程组的判断需要注意以下几点：
①方程组中是否一共有两个未知数;②含未知数的项的次数是否都是1;③是否含有多个方程组成.
例1．（2022·浙江长兴·期中）下到方程组中，属于二元一次方程组的是（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2022·福建·福州七年级期中）已知方程：①＋y＝3；②2x﹣3y＝6；③；④3x﹣y＝2；⑤3xy﹣y＝0，其中为二元一次方程的是（ ）
A．②④ B．②④⑤ C．①④ D．④⑤
变式2．（2022·四川·宜宾市七年级期中）下列方程是二元一次方程的是（ ）
A．x2＝1﹣2y B． 1﹣2y C．5x＝3﹣y D．x＝z﹣2y
变式3．（2022·山东·枣庄市八年级阶段练习）下列方程组为二元一次方程组的是（ ）
A． B． C． D．
高频考点2 利用二元一次方程的概念求参数
解题技巧：利用二元一次方程的特征（①含有2个未知数，即未知数前的系数不为0；②未知数的次数为1），建立方程（组）解得参数即可。
例1.（2022·河北·石家庄七年级阶段练习）已知方程是二元一次方程，则满足的条件是（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2022·黑龙江·七年级期中）若是二元一次方程，则______，______．
变式2．（2022·福建·晋江市七年级阶段练习）若方程是二元一次方程，则m+n的值为______
变式3．（2022·浙江杭州市·七年级模拟）若是关于，的二元一次方程，则的值是________．
高频考点3 方程（组）的解的相关运用
【解题技巧】寻找二元一次方程，重点是观察并发现解中x，y之间的特征。
例3.（2022·浙江·永嘉县七年级期中）已知，是方程的一个解，则k的值为（ ）
A．5 B． C． D．
变式1．（2022·广东·湛江市七年级期中）已知是关于x，y的方程，x＋ky＝3的一个解，则k的值为（ ）
A．－1 B．1 C．2 D．3
变式2．（2022·安徽·合肥市八年级阶段练习）下列方程组中，有无数组解的是（ ）
A． B． C． D．
变式3．（2022浙江萧山·期末）若二元一次方程组的解为，则a+b的值是( )
A．9 B．6 C．3 D．1
高频考点4 代入消元法和加减消元法比较
解题技巧：代入消元法和加减消元法是2种基础的消元法，各有优劣：
1）当方程组中含有一个未知数表示另一个未知数时（或易于转化为该形式时），用代入消元法。
2）当方程组中，某一个未知数在两个方程中的系数相同或互为相反数时（或成倍数时），用加减消元法。
3）无上述两种特征，依据个人喜好定方法。
注意：当二元一次方程系数比较复杂时，应先化简（去分母、去括号、移项、合并同类项等）。通常要把每个方程整理成含有未知数的项在方程的左边，常数项在方程的右边的形式，再利用消元法解方程。
例4．（2022·重庆市江津七年级期中）解方程组：
(1) （用代入消元法） (2)（用加减消元法）
变式1．（2022·浙江台州·七年级期末）用适当方法解下列方程组：
(1) (2)
变式2．（2022·江苏·七年级阶段练习）解下列方程组
(1) (2)
变式3．（2022·河北·石家庄市七年级阶段练习）解方程组：．
高频考点5 整体构造法求代数式的值
【解题技巧】某些代数式无需把每个未知数都求出来，而是通过观察各方程的系数关系，利用整体构造法直接求出代数式的值。
例5．（2022·浙江·杭州七年级期中）已知是方程组的解，则的值为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
变式1．（2022·浙江·余姚市七年级期中）若关于 的方程组的解满足 ，则 的值为（ ）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
变式2．（2022·湖南·八年级开学考试）已知关于、的方程组，其中，给出下列结论：①是方程组的解；②若，则；③若，则的最小值为；其中正确的有________（填写正确答案的序号）．
变式3．（2022·浙江长兴·期中）已知x，y满足方程组则无论m取何值，x，y恒有的关系式是（ ）
A． B． C． D．
高频考点6 整体消元法解方程组
【解题技巧】
1)整体代入消元法：代入消元法常规作法是当未知数系数为±1时，进行代入从而起到消元的目的。我们可以从整体入手，当两个方程中都存在相同的部分时，可以把它们视作一个整体。这样的话，就符合代入消元法的特征，从而实现消元。具体见下列实例：
2) 整体加减消元法：当两个方程之间有的字母系数有一定的规律，可以尝试用整体加减消元法，会得到一个比较特殊的式子，将这个式子和原来的式子在进行加减消元会比较容易。该方法技巧性比较强，读者需注意平时多积累尝试。
3) 整体换元法：把某一部分看作一个整体进行消元，达到转化为一元一次方程的方法
例6．（2022·江西·上饶市七年级期中）阅读探索：
知识累计：解方程组
解：设，，原方程组可变为
解方程组得：，即，解得．所以此种解方程组的方法叫换元法．
(1)拓展提高：运用上述方法解下列方程组：
(2)能力运用：已知关于，的方程组的解为，求出关于，的方程组的解．
变式1．（2022·浙江杭州·七年级期末）若关于，的方程组，解为．则关于，的方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2022·重庆璧山·七年级期中）阅读材料：善于思考的李同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法．
解：把，成一个整体，设，，原方程组可化为
解得：．∴，∴原方程组的解为．
(1)若方程组的解是，则方程组的解是__________．
(2)仿照李同学的方法，用“整体换元”法解方程组．
变式3．（2022·浙江义乌七年级月考）阅读下列解方程组的方法，然后解决有关问题．
解方程组
我们如果直接考虑消元，那么非常麻烦，而采用下列解法则轻而易举．
①-②，得，即 ③
③，得 ④
②-④得，从而
所以原方程组的解是
请你用上述方法解方程组
高频考点7 二元一次方程组同解问题
【解题技巧】两种方法。
方法一：将不含参数的方程组组成新的方程组，求解方程的解；在将方程解代入含有参数方程中，组成另一组方程。若2组方程组中，都存在无参数的方程，则该方法比较简单。
方法二：将参数看做常数，直接求解出方程组的解。因为两个方程组同解，所以所得含参数的解相同。利用这个条件，再来求解参数。方法二相对比较麻烦，若2组方程组中的方程都含有参数，则只能用该方法。
例1．（2022·山东·昌乐七年级阶段练习）关于、的两个方程组和具有相同的解，则的值是（ ）
A． B． C． D．不能确定
变式1．（2022·浙江·台州市八年级开学考试）若关于，的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则的值为（ ）
A． B． C． D．
变式2.（2022·贵州紫云·期末）已知方程组与的解相同，那么________．
变式3．（2022河南安阳·七年级期末）已知关于x、y的方程组的解和的解相同，求代数式2a+b的平方根．
高频考点8 运用错解求正解（将错就错）
【解题技巧】将方程中没错的部分挑选出来，得到参数的值；再把参数代入得到正确解。
例8．（2022·山东德州·七年级期末）解方程组时，甲同学正确解得，乙同学因把c写错而得到，则______________．
变式1．（2022·四川眉山·七年级期末）解方程组时，甲同学因看错a符号，从而求得方程组的解为，乙因看漏c，从而求得方程组的解为，试求的值．
变式2．（2022·河南汝阳·七年级期末）甲、乙两人同解方程组时，甲看错了方程①中的，解得，乙看错了②中的，解得，试求的值．
变式3．（2022·江西·上饶市七年级期中）甲、乙两人同时解关于、的二元一次方程组，甲解得，乙解得，甲仅因为看错了方程组中的，乙仅因为看错了方程组中的．试求出方程组正确的解．
高频考点9 二元一次方组的遮挡（涂改）问题
例9．（2022·福建·泉州七年级期中）小明在解关于x，y的二元一次方程组时，得到了正确的结果，后来发现“m”“n”处被墨水污损了，请你帮他找出m，n处的值分别是（ ）
A．m=1，n=1 B．m=2，n=1 C．m=1，n=2 D．m=2，n=2
变式1．（2022·浙江·七年级期中）方程组的解为，则被遮盖的两个数和分别为( )
A．， B．， C．， D．，
变式2．（2022·江苏·七年级期中）小明解得方程组解为，由于不小心上了两滴墨水刚好遮住了两个数●和★，则这两个数分别为（ ）
A．10和4 B．2和－4 C．－2和4 D．－2和－4
高频考点10 二元一次方程（组）的整数解问题
【解题技巧】解决此类问题，通常用一个未知数来表示另外一个未知数，再将其符合条件的特殊值逐个代入，即可求解特殊解的个数.
例1．（2022·福建福州·七年级期中）关于x，y的方程组的解为整数，则满足这个条件的整数k的个数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．无数个
变式1．（2022·湖南邵阳·七年级期中）已知关于，的方程组有下列结论：①是方程组的解；②存在，使得；③当时，方程组的解也是方程的解；④，的解都为自然数的解有无数对．其中正确的个数为（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．4个
变式2．（2022·浙江·七年级期中）已知关于x，y的二元一次方程，它的正整数解有（ ）对
A．2 B．3 C．4 D．5
变式3．（2022·江苏兴化七年级期末）已知关于x，y的方程组(n是常数)．
(1)当n=1时，则方程组可化为
①请直接写出方程x+2y=3的所有非负整数解．②若该方程组的解也满足方程x+y=2，求m的值．
(2)当m每取一个值时，x-2y+mx=-5就对应一个方程，而这些方程有一个公共解，你能求出这个公共解吗 (3)当n=3时，如果方程组有整数解，求整数m的值．
高频考点11二元一次方程（组）的特殊解问题
例1．（2022·浙江七年级阶段练习）已知关于x，y的方程组 ，给出下列结论：①不论a取何值，方程组总有一组解；②当a＝﹣2时，x，y的值互为相反数；③x+2y＝3；④当时，a＝2．其中正确的是（ ）
A．②③ B．①②③ C．①③④ D．①②③④
变式1．（2022·贵州·七年级期末）若关于，的方程，，有公共解，则k的值为 __．
变式2．（2022·辽宁·兴城市七年级期中）x，y的方程组的解为正数，且x的值小于y的值，求α的取值范围______
高频考点12三元一次方程组及相关应用
例12．（2022·吉林长春·七年级期末）【阅读感悟】
有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：
已知实数、满足……①，……②，求和的值．
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得、的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，整体求得代数式的值，如由①－②可，由①＋②×2可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
【解决问题】
(1)已知二元一次方程组，求和的值；
(2)初二（3）班组织书法比赛，要购买一些学习用品用于发奖，若买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需33元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需60元，则购买2支铅笔、2块橡皮、2本日记本共需多少元？
(3)对于实数、，定义新运算：，其中、、是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，求的值．
变式1．（2022·福建福州九年级阶段练习）设“■▲●”分别表示三种不同的物体，如图所示，前两架天平保持平衡，若要使第三架天平也平衡，则“？”处应该放“●”（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
变式2．（2022·甘肃·西和县九年级期末）某商店有5袋面粉，各袋重量在25～30公斤之间，店里有一磅秤，但只有能称50～70公斤重量的秤砣，现要确定各袋面粉的重量，至少要称（ ）
A．7次 B．6次 C．5次 D．4次
变式3．（2022·重庆·七年级期末）我国的经济总量己居世界第二，人民富裕了，很多家庭都拥有多种车型．小明家有A、B、C三种车型，已知3辆A型车的载重量与4辆B型车的载重量之和刚好等于2辆C型车的载重量；4 辆B型车的载重量与1辆C型车的载重量之和刚好等于6辆A型车的载重量．现有一批货物，原计划用1辆C型车5次可全部运完，由于C型车另有运输任务，现在安排1辆A型车单独装运9次，余下的货物由1辆B型车单独装运刚好可以全部运完，则B型车需单独装运____次(每辆车每次都满载重量)．
高频考点13二元一次方程的新定义问题
例13．（2022·江苏泰州·七年级阶段练习）对于有理数x，y，定义新运算：x&y＝ax+by，xy＝ax﹣by，其中a，b 是常数．已知1&1＝1，32＝8．(1)求a，b的值；(2)若关于x，y的方程组的解也满足方程x+y＝5，求m的值；(3)若关于x，y的方程组的解为，求关于x，y的方程组的解．
变式1．（2022·江苏·七年级课时练习）我们规定：表示不超过的最大整数，例如：，，，则关于和的二元一次方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2022·上海普陀·期末）使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．如果一个二元一次方程的解中两个未知数的绝对值相等，那么我们把这个解称做这个二元一次方程的等模解．二元一次方程2x﹣5y＝7的等模解是____．
变式3．（2022·北京市怀柔区七年级期末）我们知道方程组的解与方程组中每个方程的系数和常数项有联系，系数和常数项经过一系列变形、运算就可以求出方程组的解．因此，在现代数学的高等代数学科将系数和常数项排成一个表的形式，规定：关于x，y的二元一次方程组可以写成矩阵的形式．例如：可以写成矩阵的形式．
(1)填空：将写成矩阵形式为：；
(2)若矩阵所对应的方程组的解为，求a与b的值．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
专题04 二元一次方程组 高频考点（精练）
一、选择题
1．（2022··仁寿县七年级期中）下列方程：①；②；③；④；⑤；⑥，其中是二元一次方程的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据二元一次方程的定义作答．含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的整式方程叫做二元一次方程．
【详解】解：①属于二元一次方程，故符合题意；
②中分母含有未知数，不属于二元一次方程，故不符合题意；
③中的未知数的次数为2，不属于二元一次方程，故不符合题意；
④属于二元一次方程，故符合题意；
⑤中的未知数的次数为2，不属于二元一次方程，故不符合题意；
⑥中分母含有未知数，不属于二元一次方程，故不符合题意；
故其中二元一次方程有2个．故选：B．
【点睛】本题主要考查二元一次方程的概念，要求熟悉二元一次方程的形式及其特点：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程．
2.（2022·浙江·九年级模拟）下列方程组中是二元一次方程组的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据二元一次方程组的定义判断即可．
【详解】A、不是整式方程，故此选项错误；B、符合二元一次方程组的定义，故此选项正确；
C、含有三个未知数，故此选项错误；D、未知数的次数是2，故此选项错误；故选：B．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义，一定要紧扣二元一次方程组的定义“由两个二元一次方程组成的方程组”，细心观察排除，得出正确答案．
3．（2022·长沙市八年级月考）若是二元一次方程，则 ( )
A．m＝3，n＝4 B．m＝2，n＝1 C．m＝1，n＝2 D．m＝-1， n＝2
【答案】A
【分析】根据二元一次方程的定义可知3m-2n=1，n-m=1，可求得m、n的值
【解析】根据二元一次方程的定义可得解得故选A
【点睛】本题考查了二元一次方程的定义，解题的关键是熟练掌握二元一次方程必须符合以下三个条件：方程中只含有2个未知数；含未知数项的最高次数为一次；方程是整式方程.注意：是一个数
4．（2022·吉林七年级阶段练习）关于x、y的二元一次方程有一个解是，则k的值是（ ）
A．1 B．﹣1 C．0 D．2
【答案】A
【分析】根据方程的解的定义，把代入方程，得到一个含有未知数k的一元一次方程，从而可以求出k的值．
【详解】解：把代入方程，得：，∴．故选：A．
【点睛】此题考查了二元一次方程的解的问题，解题的关键是把方程的解代入原方程，使原方程转化为以系数k为未知数的方程．
5．（2022·浙江台州·七年级期末）方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】用加减消元法解二元一次方程组即可．
【详解】解：②-①得：，
把代入①得，解得：，
∴方程组的解为，故D正确．故选：D．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握解二元一次方程组的一般步骤．
6．（2022·吉林·长春七年级阶段练习）解三元一次方程组，如果消掉未知数z，则应对方程组变形为（ ）
A．① +③ ，① ×2﹣② B．① +③ ，③ ×2+② C．②﹣① ，②﹣③ D．①﹣② ，① ×2﹣③
【答案】C
【分析】注意到方程组z前面的系数都为1，所以直接相减消去
【详解】得： 得：
方程组变形为，刚好消去z 故选：C
【点睛】本题考查对三元一次方程组的消元，善于观察是解题关键．
7．（2022·湖北期末）若关于的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先解关于x的方程组，求得x，y的值，然后代入方程2x＋3y＝6，即可得到一个关于k的方程，从而求解．
【解析】解得，由题意知2×7k＋3×（ 2k）＝6，解得k＝．故选：B
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，能使方程组中每个方程的左右两边相等的未知数的值即是方程组的解．解题的关键是要知道两个方程组之间解的关系．
8．（2022·山东淄博·八年级期中）已知关于，的二元一次方程组，的解为，其中“ ”是不小心被墨水涂的，则的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】A
【分析】将，代入，得，将代入，即可求解．
【详解】解：将，代入，得，
将代入，得，解得．故选A．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，理解二元一次方程的解的定义是解题的关键．
9．（2022·湖北黄冈·七年级期末）已知x，y，z满足 ，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】按照解三元一次方程组的步骤先求出、，后代入式子中进行计算即可解答．
【详解】解：，
由①+②得： ，∴ ③，
将③代入①，得 ，解得： ，
∴ = =3，故选：B．
【点睛】本题考查了解三元一次方程组，求代数式的值，熟练掌握解三元一次方程组的方法——代入消元法和加减消元法是解题的关键．
10．（2022·河南南阳·七年级期中）我们探究得方程的正整数解只有1组，方程的正整数解只有2组，方程的正整数解只有3组，……，那么方程的正整数解的组数是（ ）
A．27 B．28 C．29 D．30
【答案】B
【分析】先把x+y看作整体t，得到t+x=9的正整数解有7组；再分析x十y分别等于2、3、4、……、9时对应的正整数解组数；把所有组数相加即为总的解组数．
【详解】解：令x+y=t（t≥2），则t+z=9的正整数解有7组（t=2，1=3，t=4，……，t=8）
其中t=x+y=2的正整数解有1组，t=x+y=3的正整数解有2组，
t=x+y=4的正整数解有3组……，t=x+y=8的正整数解有7组，
总的正整数解组数为：1+2+3+…+7=28．故选：B．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解和三元一次方程的解，可将三元方程里的两个未知数看作一个整休，再分别计算．
11．（2022·北京市怀柔区第五中学七年级期末）程大位，明代商人，珠算发明家，被称为珠算之父、卷尺之父．少年时，读书极为广博，对数学颇感兴趣，60岁时完成其杰作《直指算法统宗》（简称《算法统宗》）．在《算法统宗》里记载了一道趣题：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完．试问大、小和尚各多少人？
下列是四位同学的解答：
①小明：设大和尚有x人，小和尚有y人，根据题意可列方程组为
②小丽：设大和尚有x人，小和尚有y人，根据题意可列方程组为
③小东：设大和尚有x人，则小和尚有(100-x)人，根据题意可列方程为．
④小华：设大和尚有x人，则小和尚有(100-x)人，根据题意可列方程为100-3x=．
其中，以上解答一定正确的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①④ D．①③
【答案】C
【分析】根据题意列出对应的二元一次方程组和一元一次方程组即可得到答案．
【详解】解：设大和尚有x人，小和尚有y人，
根据题意可列方程组为，故①正确，②错误；设大和尚有x人，则小和尚有(100-x)人，根据题意可列方程为，故③错误，④正确．故选C．
【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出二元一次方程组和一元一次方程，正确理解题意找到等量关系是解题的关键．
12．（2022·河北唐山·七年级期中）如图所示的是由截面为同一种长方形的墙砖粘贴的部分墙面，其中三块横放的墙砖比两块竖放的墙砖低，两块竖放的墙砖比两块横放的墙砖高，则每块墙砖的截面面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设每块墙砖的长为x cm，宽为y cm，观察图形，根据长方形墙砖长宽之间的关系，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可求出x，y的值，再利用长方形的面积计算公式，即可求出每块墙砖的截面面积．
【详解】解：设每块墙砖的长为x cm，宽为y cm，
由题意得：，解得：，
∴xy=45×20=900，∴每块墙砖的截面面积是900cm2．故选：B
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
13．（2022·浙江·龙游县七年级阶段练习）已知关于，的方程组，下列结论中正确的有几个（ ）
①当这个方程组的解，的值互为相反数时，； ②当时，方程组的解也是方程的解；③无论取什么实数，的值始终不变；④若用表示，则；
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】把两个方程相加，可以得出x+y=a+2，从而可得a+2=0，即可判断①；当a=1时，原方程组的解满足x+y=3，而方程x+y=4+2a的解满足x+y=6，即可判断②；先解方程组，然后再计算x+2y的值，即可判断③；将方程组中的字母a消去，即可判断④．
【详解】解：，①+②得：2x+2y=4+2a,∴x+y=2+a,
当这个方程组的解x、y的值互为相反数时，即x+y=0，
∴2+a=0，∴a=-2，故第1个结论正确；
∵原方程组的解满足：x+y=2+a,∴当a=1时，x+y=3，
而当a=1时，方程x+y=4+2a的解满足x+y=6，故第2个结论不正确；
，解得，∴x+2y=2a+1+2-2a=3，
∴无论a取什么实数，x+2y的值始终不变；故第3个结论正确；
，由①得：a=4-x-3y③，把③代入②得：x-y=3（4-x-3y），
解得：，故第4个结论正确；所以，上列结论中正确的有3个．故选：C．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，熟练掌握解方程中的整体思想是解题的关键．
14．（2022·湖北武汉·）在平面直角坐标系中，我们把横纵坐标均为整数的点称为格点，若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形．例如：图中的与四边形均为格点多边形．格点多边形的面积记为，其内部的格点数记为，边界上的格点记为，已知格点多边形的面积可表示为（，为常数），若某格点多边形对应的，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先分别根据和四边形中，、、的数值得出关于和的二元一次方程组，解得和的值，则可求得当，时的值．
【详解】解：中，，，，则；
同理，四边形中，，，
∴；联立得解得：，
∴，，则，故选：A．
【点睛】本题属于创新题型，考查了二元一次方程相关知识以及学生对于题意理解和数据分析能力．
二、填空题
15．（2022·内蒙古·七年级期中）若方程是关于x，y的二元一次方程，则a=______．
【答案】1
【分析】根据二元一次方程的定义求解即可：含有两个未知数，且未知数的最高次为1的整式方程叫做二元一次方程．
【详解】解：∵方程是关于x，y的二元一次方程，∴a=1，故答案为：1．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程的定义，熟知相关定义是解题的关键．
16．（2022·山东五莲·初一期末）若方程组的解中，则k等于_____．
【答案】2020
【分析】将方程组的两个方程相加，可得，再根据，即可得到，进而求出的值．
【解析】解：，①②得，，即：，
，，故答案为：2020．
【点睛】本题考查二元一次方程组的解法，整体代入是求值的常用方法．
17．（2022·浙江·嘉兴七年级期中）若关于x，y的二元一次方程组的解是，则关于x，y的二元一次方程组的解是____________．
【答案】
【分析】根据第一个二元一次方程组的解求出，的值代入第二个方程组中，求出，的值即可，
【详解】解：关于，的二元一次方程组的解是，
，，，解这个方程组得，．故答案为：．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，二元一次方程组中两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解，本题的关键是先通过第一个方程组求出，的值．
18．（2022·福建·七年级期中）若关于、的方程组有整数解，则正整数的值为_____．
【答案】、、
【分析】先把a当作已知数，求解二元一次方程组，再根据方程有整数解得a 3必须同时整除10与15，从而得出或或或，求解各方程即可得解．
【详解】解： 得，，∴，将 代入得，，
方程组有整数解，或或或，或或或，
又为正整数，故舍去，的值为，，．故答案为、、．
【点睛】本题考查解二元一次方程组，求二元一次方程组中的参数，根据消元法求出x，y是解题的关键．
19．（2022·浙江·七年级期末）已知关于，的二元一次方程组（是常数），若不论取什么实数，代数式（是常数）的值始终不变，则______．
【答案】-1
【分析】将方程组中的两个方程变形后联立消掉即可得出结论．
【详解】解：是常数），
=10，即，．故答案为：．
【点睛】本题主要考查二元一次方程组的应用，将方程组中的两个方程联立消掉是解题的关键．
20．（2022·江苏·扬州市七年级阶段练习）若方程组无解，则a的值为________
【答案】-6
【分析】根据加减消元法得出，然后根据方程组无解，得到a+6=0，求出即可．
【详解】解∶，①×3+②，得，
∵方程组无解，∴a+6=0，∴a=-6．故答案为：-6．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组和解一元一次方程等知识点的应用，关键是根据题意得出一个关于a的方程（a＋6＝0），题目比较典型，有一点难度，是一道容易出错的题目．
21．（2022·重庆·九年级期中）新世纪百货推出A，B，C三种零食大礼包，每种礼包都由一定数量的坚果、牛肉干和薄脆饼组合搭配构成．三种大礼包的成本分别为礼包中三种零食的成本之和，同种零食的单价相同．已知袋牛肉干和袋薄脆饼的价格相同，一份A礼包包含袋坚果、袋牛肉干和袋薄脆饼，一份B礼包包含袋坚果、袋牛肉干和袋薄脆饼．若一份B，C礼包的成本相同，均比一份A礼包的成本贵，一份C礼包中的零食袋数与一份A礼包中的零食袋数之比为：，且一份C礼包中坚果袋数比牛肉干袋数多，则一份C礼包中的薄脆饼袋数比牛肉干袋数少______袋．
【答案】1
【分析】设牛肉干、薄脆饼价格分别为，，坚果价格为元，根据给出的已知条件找出等量关系进行求解，可得每种零食的价格，令C礼包中牛肉干袋数为，薄脆饼袋数为，坚果袋数为，根据给出的已知条件找出等量关系，再根据、、为正整数，即可得出结果．
【详解】解：设牛肉干、薄脆饼价格分别为，，坚果价格为元，
由题意得，解得，
则B、C礼包的成本为，
A礼包中零食袋数为袋，
C礼包中零食袋数为袋，
令C礼包中牛肉干袋数为，薄脆饼袋数为，坚果袋数为，
则，解得，
由知，，由知，
又、、为正整数，，，，，故答案为：．
【点睛】本题主要考查了三元方程组的应用，解本题要理解题意，通过找出三组等量关系进行求解．
三、解答题
22．（2022·山东·聊城市七年级阶段练习）解方程组
(1) (2)
【答案】(1)(2)
【分析】（1）用代入法求解即可；（2）先化简方程，再用加减法求解即可．
（1）解：，
把①代入②得：3x+2x﹣4＝1，解得：x＝1，
把x＝1代入①得：y＝﹣2，
则方程组的解为；
（2）解：方程组整理得：，
①×2+②得：15y＝11，解得：y＝，
②×7﹣①得：15x＝17，解得：x＝，
则方程组的解为．
【点睛】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握根据方程组的特征，恰当选择代入消元法和加减消元法求解是解题的关键．
23．（2022·河南·南阳七年级阶段练习）解下列方程组：
(1) (2)
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据代入消元法解该二元一次方程组即可；
（2）根据加减消元法解该二元一次方程组即可．
（1）解：由①得：
将③代入②，得：，
整理，得：，解得：，
将代入③，得：，
故原方程组的解为；
（2）解：
由①×2-②，得：解得：．
将代入②，得：，解得：，
故原方程组的解为．
【点睛】本题考查解二元一次方程组．熟练掌握解二元一次方程组的方法和步骤是解题关键．
24.（2022·河北·邯郸市七年级期中）已知方程组与有相同的解，求a，b的值．
【答案】a=，b=
【分析】根据题意得出方程组，进而得出x，y的值代入另两个方程求出a，b的值即可．
【详解】解：将第一个方程组中的第一个方程和第二个方程组中的第一个方程联立，
组成新的方程组，解得：，
将代入第一个方程组中的第二个方程和第二个方程组中的第二个方程，
得，-6a-45=4，-30-9b=1．解得，a=，b=．
【点睛】此题主要考查了二元一次方程的解，根据题意得出两方程的同解方程是解题关键．
25．（2022·山东·曲阜七年级期中）李明、王超两位同学同时解方程组，李明解对了，得，王超抄错了m，得．请根据李明和王超两位同学的对话，求a，b，m的数值．
【答案】，，．
【分析】把李明和王超计算结果代入方程，得到关于与的方程组，求出方程组的解得到，的值，将代入，求得的值即可．
【详解】解：把和代入得：
，①②得：，
把代入①得：，解得：．
将代入，
得，解得：，
答：，，．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，解题的关键是利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
26．（2022·仁寿县七年级期中）甲、乙两人解同一个方程组 , 甲因看错①中的得解为，乙因抄错了②中的解得，请求出原方程组的解．
【答案】．
【分析】把代入②得出，求出，把代入①得出，求出，得出方程组，①②得出，求出，再把代入①求出即可．
【详解】解：，
把代入②得：，解得：，
把代入①，得，解得：，
即方程组为，
①②，得，解得：，
把代入①，得，解得：，
所以原方程组的解是．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键．
27．（2022·山东期末）先阅读材料，然后解方程组．
材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了如下方法：
解：将②变形，得4x+10y+y＝5 即2（2x+5y）+y＝5③
把①代入③，得2×3+y＝5，解得y＝﹣1．
把y＝﹣1代入①，得2x+5×（﹣1）＝3，解得x＝4．
∴原方程组的解为．
这种方法称为“整体代入法”．请用这种方法解方程组：．
【答案】
【分析】仿照小军的方法将方程②变形，把方程①代入求出y的值，即可确定出x的值．
【解析】解：，将②变形，得，
即，把①代入③，得3×5+y＝12，解得，
把代入①，得，解得，则原方程组的解为．
【点睛】本题主要考查二元一次方程组的求解方法，根据题意熟练掌握整体代入消元法是解决本题的关键．
28．（2022·湖南·双峰七年级开学考试）一个手机号前三位数中，中间数字是前面数字的三倍；而第一个数字与第三个数字之和是中间数字的两倍．在后八位数中： 前四位数与后四位数之和是4461；前三位数与后五位数之和是82896．求这个手机号是？
【答案】13517382723
【分析】根据生活常识可知，一个手机号码是11位数字，前三位数中，中间数字是前面数字的三倍，而第一个数字与第三个数字之和是中间数字的两倍，第一位数字为1，则第二位数字是3，第三位就是5；再把后8位数分为3位数，1位数，4位数，等量关系为：3位数×10+1位数+4位数=4461；3位数+1位数×10000+4位数=82896，根据各个数的特点，求得整数解即可．
【详解】解：根据生活经验可知，我国手机号码是11位数，1开头，
因为前三位数中，中间数字是前面数字的三倍；而第一个数字与第三个数字之和是中间数字的两倍，
所以前三位数字是135．在后八位数中；
设前3位数是x，第4位数是y，后4位数是z，则
因为100≤x≤999，0≤y≤9，1000≤z≤9999，
所以y=3，x=173，z=2723，
所以后八位号码是100000x+10000y+z=17382723
答：这个手机号码是13517382723．
【点睛】本题考查位置原则，考查方程思想的运用，正确列式是关键．
29．（2022·吉林长春·七年级期末）我们把关于x、y的两个二元一次方程x+ky＝b与kx+y＝b（k≠1）叫做互为共轭二元一次方程；二元一次方程组叫做共轭二元一次方程组．
(1)若关于x、y的方程组为共轭方程组，则a= ，b= ．
(2)解下列方程组（直接写出方程组的解即可）：
的解为 ；的解为 ．
(3)发现：若共轭方程组的解是则m、n之间的数量关系是 ．
【答案】(1)-1，1(2)，(3)m=n
【分析】（1）根据共轭方程组的定义，得出1-a=2，b+2=3，解方程即可；
（2）利用加减消元法求解；
（3）将代入，得出，解关于的二元一次方程组即可求解．
（1）解：由定义可得：1-a=2，b+2=3，
∴a=-1，b=1，故答案为：-1，1；
（2）解方程组
①×2-②得：3y=3，∴y=1，
将y=1代入①得，x+2=3，∴x=1，
∴方程组的解为：；
③×2-④×3得：-5y=10，∴y=-2，
将y=-2代入③得：3x-4=-10，∴x=-2，
∴方程组的解为：；故答案为：，；
（3）将代入，得，
∴m+kn=km+n，∴m-km=n-kn，m（1-k）=n（1-k），
∵k≠1，∴m=n．故答案为：m=n．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，解题的关键是理解共轭二元一次方程和共轭二元一次方程组的定义．
30．（2022·四川乐山·七年级期末）数学乐园：解二元一次方程组，得：，
当时，，同理：；
符号称之为二阶行列式，规定：，
设，，，那么方程组的解就是
(1)求二阶行列式的值；(2)解不等式：；(3)用二阶行列式解方程组；
(4)若关于、的二元一次方程组无解，求的值．
【答案】(1)的值是(2)不等式的解集为(3)(4)
【分析】（1）根据，即可求出；
（2）根据，得，解出，即可；
（3）根据，，，那么方程组的解就是，即可求出的解；（4）根据无解，得，即可求出的值．
（1）∵
∴∴的值是．
（2）∵∴
∴
∴∴∴
∴的解集为．
（3）∵方程组
∴方程组中，，，，，，
∴
，∴方程组的解为：．
（4）∵∴方程组中，，，，，，
∴
∵无解∴∴解得．
【点睛】本题考查二元一次方程组的解法，解题的关键是理解题意新定义算法，根据二阶行列式计算．
31．（2022·四川眉山·七年级期末）感悟思想：
有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：
已知实数x，y满足①，②，求和的值．
思考：本题常规思路是将①②联立成方程组，解得x，y的值再代入欲求值的代数式得到答案，有的问题用常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值．
如①-②可得①+②×2可得．
这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
体会思想：
(1)已知二元一次方程组，则______，______．(2)解方程组：
(3)某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？
【答案】(1)-1，5 (2)(3)30元
【分析】（1）把两个方程相加可求，相减可求；
（2）把3个方程相加得，分别减三个方程可求解；
（3）设未知数列出方程组，用整体思想求解即可．
（1）解：①+②得，解得，
①-②得，故答案为：-1，5．
（2）解：，①+②+③得，，即④，
④-①得，，④-②得，，④-③得，，
方程组的解为．
（3）解：设购买1支铅笔a元，1块橡皮b元，1本日记本c元,
根据题意列方程组得，．
①×2-②得，，则；
答：购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元．
【点睛】本题考查了利用整体思想解方程组，解题关键是熟练利用整体思想，通过整体运算求解．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
专题04 二元一次方程组 高频考点（精练）
一、选择题
1．（2022··仁寿县七年级期中）下列方程：①；②；③；④；⑤；⑥，其中是二元一次方程的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2.（2022·浙江·九年级模拟）下列方程组中是二元一次方程组的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·长沙市八年级月考）若是二元一次方程，则 ( )
A．m＝3，n＝4 B．m＝2，n＝1 C．m＝1，n＝2 D．m＝-1， n＝2
4．（2022·吉林七年级阶段练习）关于x、y的二元一次方程有一个解是，则k的值是（ ）
A．1 B．﹣1 C．0 D．2
5．（2022·浙江台州·七年级期末）方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·吉林·长春七年级阶段练习）解三元一次方程组，如果消掉未知数z，则应对方程组变形为（ ）
A．① +③ ，① ×2﹣② B．① +③ ，③ ×2+② C．②﹣① ，②﹣③ D．①﹣② ，① ×2﹣③
7．（2022·湖北期末）若关于的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·山东淄博·八年级期中）已知关于，的二元一次方程组，的解为，其中“ ”是不小心被墨水涂的，则的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
9．（2022·湖北黄冈·七年级期末）已知x，y，z满足 ，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
10．（2022·河南南阳·七年级期中）我们探究得方程的正整数解只有1组，方程的正整数解只有2组，方程的正整数解只有3组，……，那么方程的正整数解的组数是（ ）
A．27 B．28 C．29 D．30
11．（2022·北京市怀柔区第五中学七年级期末）程大位，明代商人，珠算发明家，被称为珠算之父、卷尺之父．少年时，读书极为广博，对数学颇感兴趣，60岁时完成其杰作《直指算法统宗》（简称《算法统宗》）．在《算法统宗》里记载了一道趣题：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完．试问大、小和尚各多少人？
下列是四位同学的解答：
①小明：设大和尚有x人，小和尚有y人，根据题意可列方程组为
②小丽：设大和尚有x人，小和尚有y人，根据题意可列方程组为
③小东：设大和尚有x人，则小和尚有(100-x)人，根据题意可列方程为．
④小华：设大和尚有x人，则小和尚有(100-x)人，根据题意可列方程为100-3x=．
其中，以上解答一定正确的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①④ D．①③
12．（2022·河北唐山·七年级期中）如图所示的是由截面为同一种长方形的墙砖粘贴的部分墙面，其中三块横放的墙砖比两块竖放的墙砖低，两块竖放的墙砖比两块横放的墙砖高，则每块墙砖的截面面积是（ ）
A． B． C． D．
13．（2022·浙江·龙游县七年级阶段练习）已知关于，的方程组，下列结论中正确的有几个（ ）
①当这个方程组的解，的值互为相反数时，； ②当时，方程组的解也是方程的解；③无论取什么实数，的值始终不变；④若用表示，则；
A．1 B．2 C．3 D．4
14．（2022·湖北武汉·）在平面直角坐标系中，我们把横纵坐标均为整数的点称为格点，若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形．例如：图中的与四边形均为格点多边形．格点多边形的面积记为，其内部的格点数记为，边界上的格点记为，已知格点多边形的面积可表示为（，为常数），若某格点多边形对应的，，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
15．（2022·内蒙古·七年级期中）若方程是关于x，y的二元一次方程，则a=______．
16．（2022·山东五莲·初一期末）若方程组的解中，则k等于_____．
17．（2022·浙江·嘉兴七年级期中）若关于x，y的二元一次方程组的解是，则关于x，y的二元一次方程组的解是____________．
18．（2022·福建·七年级期中）若关于、的方程组有整数解，则正整数的值为_____．
19．（2022·浙江·七年级期末）已知关于，的二元一次方程组（是常数），若不论取什么实数，代数式（是常数）的值始终不变，则______．
20．（2022·江苏·扬州市七年级阶段练习）若方程组无解，则a的值为________
21．（2022·重庆·九年级期中）新世纪百货推出A，B，C三种零食大礼包，每种礼包都由一定数量的坚果、牛肉干和薄脆饼组合搭配构成．三种大礼包的成本分别为礼包中三种零食的成本之和，同种零食的单价相同．已知袋牛肉干和袋薄脆饼的价格相同，一份A礼包包含袋坚果、袋牛肉干和袋薄脆饼，一份B礼包包含袋坚果、袋牛肉干和袋薄脆饼．若一份B，C礼包的成本相同，均比一份A礼包的成本贵，一份C礼包中的零食袋数与一份A礼包中的零食袋数之比为：，且一份C礼包中坚果袋数比牛肉干袋数多，则一份C礼包中的薄脆饼袋数比牛肉干袋数少______袋．
三、解答题
22．（2022·山东·聊城市七年级阶段练习）解方程组
(1) (2)
23．（2022·河南·南阳七年级阶段练习）解下列方程组：
(1) (2)
24.（2022·河北·邯郸市七年级期中）已知方程组与有相同的解，求a，b的值．
25．（2022·山东·曲阜七年级期中）李明、王超两位同学同时解方程组，李明解对了，得，王超抄错了m，得．请根据李明和王超两位同学的对话，求a，b，m的数值．
26．（2022·仁寿县七年级期中）甲、乙两人解同一个方程组 , 甲因看错①中的得解为，乙因抄错了②中的解得，请求出原方程组的解．
27．（2022·山东期末）先阅读材料，然后解方程组．
材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了如下方法：
解：将②变形，得4x+10y+y＝5 即2（2x+5y）+y＝5③
把①代入③，得2×3+y＝5，解得y＝﹣1．
把y＝﹣1代入①，得2x+5×（﹣1）＝3，解得x＝4．
∴原方程组的解为．
这种方法称为“整体代入法”．请用这种方法解方程组：．
28．（2022·湖南·双峰七年级开学考试）一个手机号前三位数中，中间数字是前面数字的三倍；而第一个数字与第三个数字之和是中间数字的两倍．在后八位数中： 前四位数与后四位数之和是4461；前三位数与后五位数之和是82896．求这个手机号是？
29．（2022·吉林长春·七年级期末）我们把关于x、y的两个二元一次方程x+ky＝b与kx+y＝b（k≠1）叫做互为共轭二元一次方程；二元一次方程组叫做共轭二元一次方程组．
(1)若关于x、y的方程组为共轭方程组，则a= ，b= ．
(2)解下列方程组（直接写出方程组的解即可）：
的解为 ；的解为 ．
(3)发现：若共轭方程组的解是则m、n之间的数量关系是 ．30．（2022·四川乐山·七年级期末）数学乐园：解二元一次方程组，得：，
当时，，同理：；
符号称之为二阶行列式，规定：，
设，，，那么方程组的解就是
(1)求二阶行列式的值；(2)解不等式：；(3)用二阶行列式解方程组；
(4)若关于、的二元一次方程组无解，求的值．
31．（2022·四川眉山·七年级期末）感悟思想：
有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：
已知实数x，y满足①，②，求和的值．
思考：本题常规思路是将①②联立成方程组，解得x，y的值再代入欲求值的代数式得到答案，有的问题用常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值．
如①-②可得①+②×2可得．
这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
体会思想：
(1)已知二元一次方程组，则______，______．(2)解方程组：
(3)某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
