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专题05 一元一次不等式和一元一次不等式组 高频考点（10个）（精讲）
高频考点1 不等式基本性质
【解题技巧】不等式的性质，需要和等式的性质一起理解。，基本类似。有2个地方需要着重注意：①若不等式两边同时乘或除负数，则不等号需要变号；②不等号两边同乘0，不等式不再成立；同除0，无意义。
例1．（2022·浙江余杭·八年级阶段练习）比较大小，用“”或“”填空：
（1）若，且，则_____．
（2）若，为实数，则____．
【答案】 ＜ ＞
【分析】（1）由不等式的性质可得，即可求解．
（2）将两个代数式进行作差，求出差的正负，从而判断出代数式的大小．
【详解】解：（1），且，，，故答案为：．
（2），
．故答案为：．
【点睛】本题主要是考察了比较代数式的大小以及不等式的基本性质，常见的比较大小的方法有：作差法、作商法、两边同时平方等，熟练运用合适的方法进行比较，是解决此类题的关键．
变式1.（2022·浙江杭州市·八年级期中）若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用不等式的性质求解即可．
【详解】∵，，∴，，
∴，即：，故选：D．
【点睛】本题考查不等式的性质，注意两个不等式相加时要把不等式变为同向是解题关键．
变式2．（2022·湖南新邵·八年级期末）已知，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据不等式的基本性质，逐项判断即可求解．
【详解】解： A、因为，所以，故本选项错误，不符合题意；
B、因为，所以，所以，故本选项正确，符合题意；
C、当时，，故本选项错误，不符合题意；
D、当时，，所以，故本选项错误，不符合题意；故选：B
【点睛】本题主要考查了不等式的性质，熟练掌握不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
变式3．（2022·浙江绍兴市·八年级模拟）甲在集市上先买了3只羊，平均每只a元，稍后又买了2只，平均每只羊b元，后来他以每只元的价格把羊全卖给了乙，结果发现赔了钱．赔钱的原因是（ ）
A． B． C． D．与a、b大小无关
【答案】A
【分析】已知甲共花了3a+2b元买了5只羊．但他以每只的价格把羊卖给乙发现赔钱了．由此可列出不等式求解，就知道赔钱的原因．
【详解】解：根据题意得到5×＜3a+2b，解得a＞b故选：A．
【点睛】此题主要考查了不等式的性质，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，联系实际，进而找到所求的量的等量关系．
高频考点2. 利用不等式（组）的概念求参数
【解题技巧】
1）一元一次不等式需同时满足3个条件：①1个未知数（一元），且未知数前面的系数不为0；②未知数的次数为1（一次），且是整数（未知数不能出现在字母中）；③含有不等符号
2）一元一次不等式组的判定需要抓住几点： ①每个不等式都是一元一次不等式； ②由多个不等式组成；③多个不等式中的未知数是同一个未知数
例1．（2022·辽宁北镇·八年级期中）若是关于的一元一次不等式，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据一元一次不等式的定义即可求解．
【详解】解：∵是关于x的一元一次不等式，∴2m－5＝1，∴m＝3，故选：D．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的定义，熟练运用不等式的定义解决问题是本题的关键．
变式1．（2022·湖南·八年级期末）已知（m＋2）x|m|﹣1＋1＞0是关于x的一元一次不等式，则m的值为（ ）
A．1 B．±1 C．2 D．±2
【答案】C
【分析】根据一元一次不等式的定义列出方程和不等式即可确定m的值．含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式．
【详解】解：∵（m＋2）x|m|﹣1＋1＞0是关于x的一元一次不等式，
∴|m|﹣1＝1且m＋2≠0，解得m＝2.故选：C．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的定义，解题关键是根据一元一次不等式的定义列出方程和不等式，注意：未知数的系数不能为0．
变式2．（2022·江苏·镇江市八年级阶段练习）已知是关于x的一元一次不等式，则该不等式的解集为_____．
【答案】x＞2
【分析】先根据一元一次不等式的概念得出k的值，代入不等式，解之可得答案．
【详解】解：∵（k-2）x|k|-1+2＜k-4是关于x的一元一次不等式，
∴k-2≠0且|k|-1=1，解得k=-2，则不等式为-4x+2＜-6，解得x＞2．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握一元一次不等式的定义和解一元一次不等式的步骤．
变式3．（2022·广西上思·八年级期末）若（m﹣1）x|m|+3＞0是关于x的一元一次不等式，则m＝_____．
【答案】-1
【分析】根据题意，x系数不为0，指数为1
【详解】根据一元一次不等式的定义可知：
解得：故答案为：-1
【点睛】本题考查了一元一次不等式的定义，理解定义是解题的关键．
高频考点3. 不等式（组）的解（集）
【解题技巧】注意区分，不等式（组）的解和解集是两个不同的概念。
解：只要x的值满足不等式，这个值就是不等式（组）的解；
解集：必须是所有满足不等式（组）的值的集合。
即解集通常是一个取值范围，解可以是单个的值，且不唯一。
求解集方法：按照不等式的性质，解不等式（组）获得；
求解的方法：方法一：将结果代入不等式（组），若不等式（组）成立，则这个值时不等式（组）的解；
方法二：求解出不等式（组）的解集，若这个数再解集的范围内，则这个值是不等式（组）的解。
例1．（2022·山西忻州·八年级期末）下列说法错误的是（ ）
A．不等式的解集是 B．不等式的整数解有无数个
C．不等式的整数解是0 D．是不等式的一个解
【答案】C
【分析】解出不等式的解集，根据不等式的解的定义，是能使不等式成立的未知数的值，就可以作出判断．
【详解】解：A、不等式x 3＞2的解集是x＞5，正确，不符合题意；
B、由于整数包括负整数、0、正整数，所以不等式x＜3的整数解有无数个，正确，不符合题意；
C、不等式x＋3＜3的解集为x＜0，所以不等式x＋3＜3的整数解不能是0，错误，符合题意；
D、由于不等式2x＜3的解集为x＜1.5，所以x＝0是不等式2x＜3的一个解，正确，不符合题意．
选：C．
【点睛】本题考查了不等式的解集，解答此题关键是掌握解不等式的方法，及整数的分类．
变式1．（2022·湖南龙山·八年级期末）①a是正数，用不等式表示为：a≥0；②2不是不等式x+3＞6的解；③如果a＞b，则﹣4a＞﹣4b；④不等式x+3＞﹣1的解集是x＞2．以上四个说法正确的是（ ）
A．①②③④ B．①③④ C．② D．①②
【答案】C
【分析】根据不等式的解的定义：使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解；不等式的解集的定义：能使不等式成立的未知数的取值范围，叫做不等式的解的集合，简称解集，进行分析即可得到答案．
【详解】解：①a是正数，用不等式表示为：a＞0，原说法错误；
②2不是不等式x+3＞6的解，说法正确；③如果a＞b，则﹣4a＜﹣4b，原说法错误；
④不等式x+3＞﹣1的解集是x＞﹣4，原说法错误；故选：C．
【点睛】此题主要考查了不等式的性质，不等式的解的定义，以及不等式的解集的定义，关键是熟练掌握两个定义．
变式2．（2022·浙江义乌·八年级期末）是不等式的一个解，则的值不可能是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】根据题意解不等式，根据不等式的解确定解集的范围即可．
【详解】解：∵ 是不等式的一个解，∴故选A
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，不等式的解的定义，掌握不等式的解的定义是解题的关键．
变式3．（2022·山东·八年级课时练习）下列说法中，错误的是（ ）
A．不等式x＜5的整数解有无数多个 B．不等式﹣2x＜8的解集是x＜﹣4
C．不等式x＞﹣5的负整数解是有限个 D．﹣40是不等式2x＜﹣8的一个解
【答案】B
【分析】先求解不等式，然后根据不等式解集的定义进行判断．
【详解】A、小于5的整数有无数个，正确；B、不等式﹣2x＜8的解集是x＞﹣4，错误；
C、不等式x＞﹣5的负整数解集有﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，正确；
D、不等式2x＜﹣8的解集是x＜﹣4，因而﹣40是不等式2x＜﹣8的一个解，正确．故选B．
【点睛】本题考查不等式的解集，求出不等式的解集是解题的关键．
高频考点4 不等式（组）的解集在数轴上的表示
例4．（2022·吉林·三模）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先分别求出各不等式的解集，再求其公共解集即可．
【详解】解：，由①得x＞﹣2，由②得x≤1，
不等式组的解集为﹣2＜x≤1．故选：B．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
变式1．（2022·浙江柯桥·八年级期末）不等式的解在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先算出不等式的解集，由解集可知解集内不包括1对应的点，故在1对应的点处应为空心，线的方向向左，根据选项作出判断即可．
【详解】解：不等式的解集为：，
根据解集知，解集内不包括1对应的点，故在1对应的点处应为空心，线的方向向左，故选：D．
【点睛】本题考查解一元一次不等式，在数轴上表示一元一次不等式的解集，在数轴上表示解集时搞清线的延伸方向是关键．
变式2．（2022·重庆南开中学八年级期末）某天，孟孟与欢欢在讨论攀攀的年龄，欢欢说：“攀攀至多3岁．”而孟孟说：“攀攀的年龄一定大于1岁．”则攀攀年龄的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由至多得到小于等于，结合大于得到答案．
【详解】解：由题意得，攀攀的年龄大于1且小于等于3，故选：C．
【点睛】此题考查了在数轴上表示不等式的解集，正确掌握大于、大于等于、小于等于的不同表示方法是解题的关键．
变式3．（2022·宁波市八年级期中）下列不等式组的解集，在数轴上表示为如图所示的是（ ）
A． B． C． D．或
【答案】B
【分析】根据数轴图像即可求出解集．
【详解】据数轴可知表示的解集为，即数轴上表示的是不等式组的解集 故选B．
【点睛】本题考查在数轴表示不等式组的解集，解答本题的关键是明确题意，用数形结合的思想解答．
高频考点5 一元一次不等式（组）的解法
【解题技巧】1）一元一次不等式的解法与一元一次方程的解法类似，主要步骤有：去分母、去括号、移项、合并同类项和系数化为1。这些步骤中，不等式乘除负数时需要变号，这是唯一一点与解一元一次方程不同地方，其余地方完全相同。
还需要注意的点：①移项要变号；②去分母需要所有项都乘最小公倍数；③去括号，若括号前有系数，括号中每一项都要乘系数；若括号前时负号，括号中每一项都要变号。
2）首先分别求多个不等式的解集；然后将各个不等式的解集表示在数轴上；最后读取数轴上重叠部分，作为不等式组的最终解集。
口诀：①同大取大；②同小取小；③大小小大中间夹；④大大小小无解答
在确定不等式组的解集时，建议根据数轴来确定，即在数轴上标出各个不等式的解集，不等式组的解集即各个不等式解集的公共部分。
注：可取得等号时，用实心点表示；不能取等号时，用空心点表示。
例5．（2022·浙江·杭州八年级期中）（1）解不等式x+2＜6；
（2）解不等式+1≥，并把它的解集在数轴上表示出来．
【答案】（1）；（2），数轴见解析
【分析】（1）直接移项即可解得不等式的解集；
（2）先去分母再去括号，进而求得不等式的解集，并把它的解集在数轴上表示出来
【详解】（1）x+2＜6；
（2）+1≥，
解得
在数轴上表示，如图，
【点睛】本题考查解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，准确的计算和数形结合是解题的关键．
变式1．（2022·湖南汉寿·八年级期末）解不等式组，并在数轴上表示它的解集．
【答案】，作图见解析
【分析】分别计算两个不等式，公共部分即为不等式组的解集，然后在数轴上表示出来即可．
【详解】解：
解①得：
解②得：
∴不等式组的解集为：
在数轴上表示如图：
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示解集．解题的关键在于正确的计算．数轴上空心实心的表示是易错点．
变式2．（2022·广东宝安·一模）解不等式组，并利用数轴确定不等式组的解集．
【答案】﹣2≤x＜3，见解析
【分析】分别解两个不等式得到和，再根据大小小大中间找确定不等式组的解集，然后利用数轴表示其解集．
【详解】解：，
解①得x＜3；解②得x≥﹣2；
所以不等式组的解集为﹣2≤x＜3，用数轴表示为：
．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集.解集的规律：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到．
变式3．（2022·浙江下城·八年级期中）解不等式，并把解集在数轴上表示出来．
（1）7x﹣2≤9x+2；（2）．
【答案】（1）x≥-2，在数轴上表示见解析；（2）x＜1，在数轴上表示见解析
【分析】（1）根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、系数化为1可得；
（2）根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得．
【详解】解：（1）7x-2≤9x+2，
移项，得：7x-9x≤2+2，
合并同类项，得：-2x≤4，
系数化为1，得：x≥-2．
将不等式的解集表示在数轴上如下：
；
（2），
去分母，得：8-（7x-1）＞2（3x-2），
去括号，得：8-7x+1＞6x-4，
移项，得：-7x-6x＞-4-8-1，
合并同类项，得：-13x＞-13，
系数化为1，得：x＜1．
将不等式的解集表示在数轴上如下：
．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
高频考点5 一元一次不等式（组）与框图程序
例5．（2022·福建泉州八年级期中）如图是一个运算程序：
例如：根据所给的运算程序可知，当时，，再把代入，得，则输出的结果为．（1）当时，输出的结果为_________；当时，输出结果为_________；
（2）若需要经过两次运算才能输出结果，的取值范围．
【答案】（1）；；（2）．
【分析】（1）根据运算流程分别代入x=10、x=2，求出输出的值即可得出结论；（2）由题意可知第一次运算的结果满足5x+2＜37，第二次运算的结果满足5(5x+2)+2≥37，组成方程组求解即可．
【详解】（1）当x=10时，5×10+2=52＞37，所以输出52；
当x=2时，5×2+2=12＜37，把x=12代入，
得5×12+2=62＞37，所以输出62．故答案为：52；62；
（2）由题意得，解得．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）根据运算流程代入数据求值；（2）根据运算流程得出关于x的一元一次不等式组．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，熟练掌握一元一次不等式组的解法是关键．
变式1．（2022·广西南宁·八年级期中）如图，是一个运算流程，若需要经过两次运算，才能运算出，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】若需要经过两次运算，才能运算出y，则有不等式组：，即可解出x的取值范围；
【详解】由输入两次，才能计算出y的值得：，解得-2≤x＜-1．故选：D
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，并考查了学生的阅读理解能力，解答本题的关键就是弄清楚题图给出的计算程序．
变式2．（2022·湖北黄陂·八年级期末）如图是一个数据转换器，按该程序进行运算，若输入，则该程序需要运行________次才停止；若该程序只运行了次就停止了，则的取值范围是________．
【答案】 3
【分析】①分别求出程序运行1次、2次、3次得出的结果，将其与16比较后即可得出结论；②根据该程序只运行了2次就停止了，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围．
【详解】解：①输入3，得：，输入4，得：，
输入7，得：，∴若x=3，该程序需要运行3次才停止，
②依题意得：，解得：．
x的取值范围为，故答案为：3；．
【点睛】本题考查一元一次不等式的应用以及一元一次不等式组的应用，列出不等式组是解题的关键．
变式3．（2022·武汉八年级月考）如图，是一个运算流程．
（1）分别计算：当x=150时，输出值为 ，当x=17时，输出值为 ；
（2）若需要经过两次运算流程，才能运算输出y，求x的取值范围；
（3）请给出一个x的值，使之无论运算多少次都不能输出，并请说明理由．
【答案】（1）449，446；（2）；（3）（取的任意值），见解析
【分析】（1）分别把与代入进行计算即可；（2）根据题意得出关于的不等式组，求出的取值范围即可；（3）根据题意列举出的值即可．
【详解】解：（1）当时，，输出值为449；
当时，，，，
输出值为446．故答案为：449，446；
（2）需要经过两次运算，才能运算出，，解得．
（3）取的任意值，如，
理由：，解得当时，，
无论运算多少次都不能输出．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，根据题意得出关于的不等式（组）是解答此题的关键．
高频考点6 一元一次不等式（组）的整数解问题
【解题技巧】先求出不等式的解集，再根据解集确定整数解
例6．（2022·浙江嘉兴市·八年级期中）不等式组的整数解为____________．
【答案】3、4．
【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解，然后写出所有的整数解．
【详解】解不等式①，得：，解不等式②，得：，
则不等式组的解集为，所以不等式组的整数解为3、4，故答案为：3、4．
【点睛】本题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判断还可以观察不等式的解，若较小的数、x较大的数，那么解集为x介于两数之间．
变式1．（2022·贵州松桃·八年级期末）不等式的最大整数解是（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】D
【分析】先将不等式进行求解，然后根据解集即可得出最大整数解．
【详解】解：，去分母可得：，
去括号得：，合并同类项得：，
系数化为1得：，即不等式的最大整数解是，故选：D．
【点睛】题目主要考查解不等式的方法步骤，熟练掌握解不等式的方法步骤是解题关键．
变式2．（2022·上海市蒙山中学期末）不等式的自然数解是_________．
【答案】0，1
【分析】先求出不等式的解集，即可求解．
【详解】解：，∴ ，解得：，
自然数的解是、．故答案为：0；1
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的基本步骤是解题的关键．
变式3．（2022·河北保定市·九年级模拟）已知不等式：①；②；③；④，从这四个不等式中取两个，能构成正整数解是2的不等式组的是（ ）
A．①与② B．②与③ C．③与④ D．①与④
【答案】D
【分析】根据已知不等式，通过观察可知：②③不能构成正整数解2，故①④符合题意，然后解不等式验证即可．
【详解】根据分析，①④两个不等式构成的不等式组的解集为：，正整数解是2，故选：D．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的整数解，难度不大，关键是正确根据题意要求进而求解．
高频考点7 含绝对值的不等式的解法
【解题技巧】去绝对值：若a>0，则≤a-a≤x≤a， 或x≤-a；
方法一：采用“零点分段法”，去绝对值，具体见例1；
方法二：“数形结合”， 表示x与a点的距离，具体见例2.
例7．（2022·浙江·八年级专题练习）阅读：我们知道，于是要解不等式，我们可以分两种情况去掉绝对值符号，转化为我们熟悉的不等式，按上述思路，我们有以下解法：
解：（1）当，即时： 解这个不等式，得：
由条件，有：
（2）当，即时， 解这个不等式，得：
由条件，有：
∴如图，综合（1）、（2）原不等式的解为
根据以上思想，请探究完成下列2个小题：（1）； （2）．
【答案】（1）-3≤x≤1；（2）x≥3或x≤1．
【分析】（1）分①x+1≥0，即x≥-1，②x+1＜0，即x＜-1，两种情况分别求解可得；
（2）分①x-2≥0，即x≥2，②x-2＜0，即x＜2，两种情况分别求解可得．
【详解】解：（1）|x+1|≤2，
①当x+1≥0，即x≥-1时：x+1≤2，解这个不等式，得：x≤1
由条件x≥-1，有：-1≤x≤1；
②当x+1＜0，即 x＜-1时：-（x+1）≤2解这个不等式，得：x≥-3
由条件x＜-1，有：-3≤x＜-1
∴综合①、②，原不等式的解为：-3≤x≤1．
（2）|x-2|≥1
①当x-2≥0，即x≥2时：x-2≥1解这个不等式，得：x≥3
由条件x≥2，有：x≥3；
②当x-2＜0，即 x＜2时：-（x-2）≥1，解这个不等式，得：x≤1，
由条件x＜2，有：x≤1，
∴综合①、②，原不等式的解为：x≥3或x≤1．
【点睛】本题主要考查绝对值不等式的求解，熟练掌握绝对值的性质分类讨论是解题的关键．
变式1．（2022·浙江·八年级课时练习）解下列不等式：（1）（2）
【答案】（1）或；（2）
【分析】根据绝对值的意义，分类讨论，再解一元一次不等式不等式即可．
【详解】（1）
当时，则，解得，，
当时，则，解得，，
综上，或；
（2）
当，即时，，解得，，
当时，则，解得，，
综上，．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，根据绝对值的意义，分类讨论是解题的关键．
变式2．（2022·河南·八年级期中）（1）【阅读理解】“”的几何意义是：数在数轴上对应的点到原点的距离，所以“”可理解为：数在数轴上对应的点到原点的距离不小于，则：
①“”可理解为 ；②请列举两个符号不同的整数，使不等式“”成立，列举的的值为 和 ．
我们定义：形如“，，，”（为非负数）的不等式叫做绝对值不等式，能使一个绝对值不等式成立的所有未知数的值称为绝对值不等式的解集．
（2）【理解应用】根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式．
由上图可以得出：绝对值不等式的解集是或，
绝对值不等式的解集是．则：
①不等式的解集是 ．②不等式的解集是 ．
（3）【拓展应用】解不等式，并画图说明．
【答案】（1）①数在数轴上对应的点到原点的距离小于；②-3；3；（2）①或；②；（3）或，见解析
【分析】（1）①类比题目所给的信息即可解答；②写出符合题意的两个整数即可（答案不唯一）；
（2）①类比题目中的解题方法即可解答；②类比题目中的解题方法即可解答；
（3）根据绝对值的几何意义可知，不等式的解集，就是数轴上表示数的点到表示与的点的距离之大于的所有的值，由此即可确定不等式的解集．
【详解】①由题意可得，“”可理解为数在数轴上对应的点到原点的距离小于．
故答案为：数在数轴上对应的点到原点的距离小于．
②使不等式“”成立的整数为，（答案不唯一，合理即可）．故答案为：，．
①不等式的解集是或．故答案为：或．
②不等式的解集是．故答案为：．
根据绝对值的几何意义可知，不等式的解集就是数轴上表示数的点，到表示与的点的距离之和大于的所有的值，如下图所示，
可知不等式的解集是或．
【点睛】本题考查了绝对值的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．
变式3．（2022·北京市八年级期中）阅读下列材料：根据绝对值的定义，表示数轴上表示数x的点与原点的距离，那么，如果数轴上两点P、Q表示的数为x1，x2时，点P与点Q之间的距离为PQ＝．
根据上述材料，解决下列问题：如图，在数轴上，点A、B表示的数分别是－4，8（A、B两点的距离用AB表示），点M是数轴上一个动点，表示数m．
（1）AB＝ 个单位长度；（2）若＝20，求m的值；（写过程）
（3）若关于的方程无解，则a的取值范围是 ．
【答案】（1）12；（2）m＝－8或12；（3）
【分析】（1）根据题中所给数轴上两点距离公式可直接进行求解；
（2）由题意可分当，，三种情况进行分类求解即可；
（3）由题意可分当，，，四种情况进行分类求解，然后根据方程无解可得出a的取值范围．
【详解】解：（1）由题意得：；故答案为12；
（2）由题意得：①当时，则有：，解得：；
②当时，则有，方程无解；
③当时，则有，解得：，综上所述：m＝－8或12；
（3）由题意得：①当时，则有，解得：，
∵方程无解，∴，解得：；
②当时，则有，解得：，
∵方程无解，∴或，解得：或；
③当时，则有，解得：，
∵方程无解，∴或，解得：或；
④当时，则有，解得：，
∵方程无解，∴，解得：；
综上所述：当关于的方程无解，则a的取值范围是；故答案为．
【点睛】本题主要考查数轴上两点距离、一元一次不等式的解法及一元一次方程的解法，熟练掌握数轴上两点距离、一元一次不等式的解法及一元一次方程的解法是解题的关键．
高频考点8 高次不等式的解法
例7．（2022·四川八年级期末）先阅读理解下列例题：
例题：解一元二次不等式
由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”可得有：①或 ②
解不等式组①得；解不等式组②得
∴一元二次不等式的解集是或
根据以上阅读材料，解答下列问题：
（1）求不等式的解集； （2）求不等式的解集．
【答案】（1）或；（2）
【分析】（1）由有理数的乘法法则“两数相乘，异号得负”得出两个不等式组，然后求出每个不等式组的解集，进而可得答案；（2）由有理数的除法法则“两数相除，同号得正” 得出两个不等式组，然后求出每个不等式组的解集，进而可得答案．
【详解】解：（1）由有理数的乘法法则“两数相乘，异号得负”可得：
①或②，解不等式组①，得；解不等式组②，得；
∴不等式的解集是或；
（2）由有理数的除法法则“两数相除，同号得正”可得：
①或②，解不等式组①，得；解不等式组②，无解；
故不等式的解集为．
【点睛】本题是阅读理解题，主要考查了一元一次不等式组的解法和有理数乘除法则的理解与运用，正确理解题意、熟练掌握解一元一次不等式组的方法是解题关键．
变式1．（2022·辽宁八年级期末）先阅读理解下面的例题，再按要求解答：
例题：解不等式（x+3）（x﹣3）＞0
解：由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”
有①或②
解不等式组①得x＞3，解不等式组②得x＜﹣3
故原不等式的解集为：x＞3或x＜﹣3
问题：求不等式的解集．
【答案】
【分析】根据有理数的除法法则得出两个不等式组,求出每个不等式组的解集,集求出答案
【解析】解：由有理数的除法法则“两数相除，异号得负“，
有① 或② ，解不等式组①，得 ，
解不等式组②，得不等式组②无解，故原不等式组的解集为：，
【点睛】此题考查解一元一次不等式组，解题关键在于利用有理数的除法法则
变式2．（2022·宁夏·石嘴山八年级阶段练习）阅读下面材料：分子、分母都是整式，并且分母中含有未知数的不等式叫做分式不等式．
小亮在解分式不等式时，是这样思考的：根据两数相除，同号得正，异号得负．原分式不等式可转化为下面两个不等式组：
①或②
解不等式组①得，
解不等式组②得．
所以原不等式的解集为或．
请你参考小亮思考问题的方法，解分式不等式．
【答案】
【分析】根据题意，由材料中的解不等式的方法进行解不等式，即可求出答案.
【详解】解：根据题意，∵，则；
∵，分式不等式可转化为下面两个不等式组：
①或②
解不等式组①，得：，
解不等式组②，得：无解，
∴原不等式的解集为：.
【点睛】本题考查了解不等式组，以及解分式不等式，解题的关键是熟练掌握材料，利用材料的方法进行解题.
变式3．（2022·福建·八年级期中）阅读理解题：
（1）原理：对于任意两个实数、，
若，则和同号，即：或
若，则和异号，即：或
（2）分析：对不等式来说，把和看成两个数和，所以按照上述原理可知：（Ⅰ）或（Ⅱ），所以不等式的求解就转化求解不等式组（Ⅰ）和（Ⅱ）．
（3）应用：解不等式：①；②
【答案】（3）①或；②
【分析】（3）①根据题中所给方法进行分类求解不等式即可；
②先提取公因式，然后再根据题中所给方法进行求解即可．
【详解】解：（3）①，∴当时，解得：；
当时，解得：；∴原不等式的解集为或；
②
∴当时，解得：；
当时，不等式组无解；
∴原不等式的解集为．
【点睛】本题主要考查不等式组的求解，解题的关键是根据题中所给方法进行求解．
高频考点9 不等式的含参问题
【解题技巧】
1）将字母视为常数，按照不等式组的方法解不等式，得到的结果中必然含有字母；题型中，会告知方程组解的一些关系，根据这些关系，再来探究字母的取值。
2）整体求解，往往会使得求解过程比较简洁，但不具有一般性。读者在学有余力的情况下，平时可多积累此类题型的经验。
例9．（2022·重庆·九年级专题练习）已知关于x的不等式组有解，则a的取值不可能是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】根据“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解”即可求出a的取值范围，然后根据a的取值范围解答即可．
【详解】解：∵关于x的不等式组有解，∴a<3，
∴a的取值可能是0、1或2，不可能是3．故选D．
【点睛】本题考查了由不等式组的解集情况求参数，不等式组解集的确定方法是：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解．
变式1．（2022·绵阳市·八年级）若不等式－1≤2－x的解集中x的每一个值，都能使关于x的不等式3（x－1）＋5＞5x＋2（m＋x）成立，则m的取值范围是（ ）
A．m＞－ B．m＜－ C．m＜－ D．m＞－
【答案】C
【分析】求出不等式－1≤2－x的解，求出不等式3（x 1）＋5＞5x＋2（m＋x）的解集，得出关于m的不等式，求出m即可．
【详解】解不等式－1≤2－x，得：x≤，
解不等式3（x－1）＋5＞5x＋2（m＋x），得：x＜，
∵不等式－1≤2－x的解集中x的每一个值，都能使关于x的不等式3（x－1）＋5＞5x＋2（m＋x）成立，∴＞，解得：m＜－．故选：C
【点睛】本题主要对解一元一次不等式组，不等式的性质等知识点的理解和掌握，能根据已知得到关于m的不等式是解此题的关键．
变式2．（2022·江苏·七年级专题练习）已知关于x的不等式组的解集是3≤x≤4，则a+b的值为（ ）
A．5 B．8 C．11 D．9
【答案】C
【分析】分别求出每一个不等式的解集，结合不等式组的解集求出a、b的值，代入计算即可．
【详解】解：解不等式x-a≥1，得：x≥a+1，解不等式x+5≤b，得：x≤b-5，
∵不等式组的解集为3≤x≤4，∴a+1=3，b-5=4，∴a=2，b=9，则a+b=2+9=11，故选：C．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
变式3．（2022·上海市嘉定区期末）如果不等式组的解集是，那么a的值可能是（ ）
A．-2 B．0 C．-0.7 D．
【答案】A
【分析】根究不等式组解集的确定原则，判定a≤-1，比较大小后，确定即可．
【详解】∵不等式组的解集是，∴a≤-1，只有-2满足条件，故选A．
【点睛】本题考查了不等式组解集，正确理解不等式组解集的确定原则是解题的关键．
变式4．（2022·黑龙江·七年级期末）关于的不等式组无解，那么的取值范围是 （ ）
A．≤－1 B．＜1 C．－1＜≤0 D．－1≤＜0
【答案】A
【分析】先求出每一个不等式的解集，然后再根据不等式组无解得到有关m的不等式，就可以求出m的取值范围了.
【详解】解：，解不等式①得：x-1，
由于原不等式组无解，所以m≤-1，故选A.
【点睛】本题考查了一元一次不等式组无解问题，熟知一元一次不等式组解集的确定方法“大大取大，小小取小，大小小大中间找，大大小小无处找”是解题的关键.
变式5．（2022·安徽阜南·七年级期末）不等式组的整数解有4个，则a的取值范围是（ ）
A．－2≤a＜－1 B．－2＜a＜－1 C．－2≤a≤－1 D．－2＜a≤－1
【答案】A
【分析】将a看做已知数，求出不等式组的解集，根据解集中整数解有4个，即可确定出a的范围．
【详解】解：由不等式组有整数解知，不等式组的解集为a＜x＜3．
又∵不等式组共有4个整数解，∴不等式组的整数解为 1，0，1，2，∴ 2≤a＜ 1．故选：A．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解等知识点，关键是能根据不等式组的解集和已知得出a的取值范围．
高频考点10 用不等式（组）解决实际问题
例10．（2022·浙江绍兴市·八年级模拟）某家庭投资3.5万元资金建造屋顶光伏发电结，遇到晴天平均每天可发电30度，其他天气平均每天可发电5度，已知某月（按30天计）共发电600度．
信息链接：根据国家相关规定，凡是屋顶光伏发电站生产的电，家庭用电后剩余部分可以0.45元/度卖给电力公可，同时可获得政府补贴0.52元/度．（1）求这个月晴天的天数；（2）已知该家庭每月平均用电150度，若按每月发电600度计算，问至少需要几年才能收回成本？（不计其他费用，结果取整数）
【答案】（1）18天；（2）7年
【分析】（1）设这个月晴天的天数为x，根据“某月（按30天计）共发电600度”列出关于x的方程，解之可得；（2）设需要y年才能收回成本，根据家庭共投资3.5万元列出关于y的不等式，解之可得．
【详解】解：（1）设这个月晴天的天数为x，由题意得：30x+5（30-x）=600，
解得x=18，∴这个月晴天的天数为18．
（2）设需要y年才能收回成本，由题意得
（600-150）×（0.52+0.45）×12y≥35000，5238y≥35 000，y≥6.7，
∵y取整数，∴至少需要7年才能收回成本．
【点睛】本题考查一元一次不等式、一元一次方程等知识，熟练应用方程或不等式解决实际问题是解题的关键，属于中考常考题型．
变式1．（2022·山东济宁市·八年级期末）某人要完成2.1千米的路程，并要在不超过18分钟的时间内到达，已知他每分钟走90米．若跑步每分钟可跑210米，问这人完成这段路程，至少要跑( )
A．3分钟 B．4分钟 C．4.5分钟 D．5分钟
【答案】B
【分析】设这人跑了x分钟，则走了（18-x）分钟，根据速度×时间=路程结合要在18分钟内到达，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，取其中的最小值即可得出结论．
【详解】解：设这人跑了x分钟，则走了（18-x）分钟，
根据题意得：210x+90（18-x）≥2100，解得：x≥4，
答：这人完成这段路程，至少要跑4分钟．故选：B．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
变式2．（2022·广东佛山市·八年级期末）某电信公司推出两种手机收费方案．方案A：月租费30元，本地通话话费0.15元/分；方案B：不收月租费，本地通话话费为0.3元/分．设婷婷的爸爸一个月通话时间为x分钟，婷婷的爸爸一个月通话时间为多少时，选择方案A比方案B优惠？（ ）
A．100分钟 B．150分钟 C．200分钟 D．250分钟
【答案】D
【分析】由题意易得，然后进行求解排除选项即可．
【详解】解：设婷婷的爸爸一个月通话时间为x分钟，由题意得：，
解得：，∴只有D选项符合题意；故选D．
【点睛】本题主要考查一元一次不等式的应用，熟练掌握一元一次不等式的应用是解题的关键．
变式3．（2022·射阳县八年级期中）有学生若干人，住若干间宿舍，若每间住5人，则有14人无法安排住宿，若每间住8人，则最后有一间宿舍不满也不空，则学生人数为_____．
【答案】39或44或49
【分析】设共有x间宿舍，则学生数有（5x＋14）人，列出不等式组为0＜5x＋14 8（x 1）＜8解出即可．
【详解】设共有x间宿舍，则学生数有（5x＋14）人，
根据题意得：0＜5x＋14 8（x 1）＜8，解得＜x＜，
∵x为整数，∴x＝5或6或7，即学生有5x＋14＝39或5x＋14＝44或5x＋14＝49．
即，学生人数是39或44人或49；故答案为：39或44或49．
【点睛】本题考查一元一次不等式组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出不等式关系式即可求解．准确的解不等式组是需要掌握的基本能力．
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专题05 一元一次不等式和一元一次不等式组 高频考点（10个）（精讲）
高频考点1 不等式基本性质
【解题技巧】不等式的性质，需要和等式的性质一起理解。，基本类似。有2个地方需要着重注意：①若不等式两边同时乘或除负数，则不等号需要变号；②不等号两边同乘0，不等式不再成立；同除0，无意义。
例1．（2022·浙江余杭·八年级阶段练习）比较大小，用“”或“”填空：
（1）若，且，则_____．
（2）若，为实数，则____．
变式1.（2022·浙江杭州市·八年级期中）若，，则（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2022·湖南新邵·八年级期末）已知，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
变式3．（2022·浙江绍兴市·八年级模拟）甲在集市上先买了3只羊，平均每只a元，稍后又买了2只，平均每只羊b元，后来他以每只元的价格把羊全卖给了乙，结果发现赔了钱．赔钱的原因是（ ）
A． B． C． D．与a、b大小无关
高频考点2. 利用不等式（组）的概念求参数
【解题技巧】
1）一元一次不等式需同时满足3个条件：①1个未知数（一元），且未知数前面的系数不为0；②未知数的次数为1（一次），且是整数（未知数不能出现在字母中）；③含有不等符号
2）一元一次不等式组的判定需要抓住几点： ①每个不等式都是一元一次不等式； ②由多个不等式组成；③多个不等式中的未知数是同一个未知数
例1．（2022·辽宁北镇·八年级期中）若是关于的一元一次不等式，则的值为（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2022·湖南·八年级期末）已知（m＋2）x|m|﹣1＋1＞0是关于x的一元一次不等式，则m的值为（ ）
A．1 B．±1 C．2 D．±2
变式2．（2022·江苏·镇江市八年级阶段练习）已知是关于x的一元一次不等式，则该不等式的解集为_____．
变式3．（2022·广西上思·八年级期末）若（m﹣1）x|m|+3＞0是关于x的一元一次不等式，则m＝_____．
高频考点3. 不等式（组）的解（集）
【解题技巧】注意区分，不等式（组）的解和解集是两个不同的概念。
解：只要x的值满足不等式，这个值就是不等式（组）的解；
解集：必须是所有满足不等式（组）的值的集合。
即解集通常是一个取值范围，解可以是单个的值，且不唯一。
求解集方法：按照不等式的性质，解不等式（组）获得；
求解的方法：方法一：将结果代入不等式（组），若不等式（组）成立，则这个值时不等式（组）的解；
方法二：求解出不等式（组）的解集，若这个数再解集的范围内，则这个值是不等式（组）的解。
例1．（2022·山西忻州·八年级期末）下列说法错误的是（ ）
A．不等式的解集是 B．不等式的整数解有无数个
C．不等式的整数解是0 D．是不等式的一个解
变式1．（2022·湖南龙山·八年级期末）①a是正数，用不等式表示为：a≥0；②2不是不等式x+3＞6的解；③如果a＞b，则﹣4a＞﹣4b；④不等式x+3＞﹣1的解集是x＞2．以上四个说法正确的是（ ）
A．①②③④ B．①③④ C．② D．①②
变式2．（2022·浙江义乌·八年级期末）是不等式的一个解，则的值不可能是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
变式3．（2022·山东·八年级课时练习）下列说法中，错误的是（ ）
A．不等式x＜5的整数解有无数多个 B．不等式﹣2x＜8的解集是x＜﹣4
C．不等式x＞﹣5的负整数解是有限个 D．﹣40是不等式2x＜﹣8的一个解
高频考点4 不等式（组）的解集在数轴上的表示
例4．（2022·吉林·三模）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
变式1．（2022·浙江柯桥·八年级期末）不等式的解在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
变式2．（2022·重庆南开中学八年级期末）某天，孟孟与欢欢在讨论攀攀的年龄，欢欢说：“攀攀至多3岁．”而孟孟说：“攀攀的年龄一定大于1岁．”则攀攀年龄的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
变式3．（2022·宁波市八年级期中）下列不等式组的解集，在数轴上表示为如图所示的是（ ）
A． B． C． D．或
高频考点5 一元一次不等式（组）的解法
【解题技巧】1）一元一次不等式的解法与一元一次方程的解法类似，主要步骤有：去分母、去括号、移项、合并同类项和系数化为1。这些步骤中，不等式乘除负数时需要变号，这是唯一一点与解一元一次方程不同地方，其余地方完全相同。
还需要注意的点：①移项要变号；②去分母需要所有项都乘最小公倍数；③去括号，若括号前有系数，括号中每一项都要乘系数；若括号前时负号，括号中每一项都要变号。
2）首先分别求多个不等式的解集；然后将各个不等式的解集表示在数轴上；最后读取数轴上重叠部分，作为不等式组的最终解集。
口诀：①同大取大；②同小取小；③大小小大中间夹；④大大小小无解答
在确定不等式组的解集时，建议根据数轴来确定，即在数轴上标出各个不等式的解集，不等式组的解集即各个不等式解集的公共部分。
注：可取得等号时，用实心点表示；不能取等号时，用空心点表示。
例5．（2022·浙江·杭州八年级期中）（1）解不等式x+2＜6；
（2）解不等式+1≥，并把它的解集在数轴上表示出来．
变式1．（2022·湖南汉寿·八年级期末）解不等式组，并在数轴上表示它的解集．
变式2．（2022·广东宝安·一模）解不等式组，并利用数轴确定不等式组的解集．
变式3．（2022·浙江下城·八年级期中）解不等式，并把解集在数轴上表示出来．
（1）7x﹣2≤9x+2；（2）．
高频考点5 一元一次不等式（组）与框图程序
例5．（2022·福建泉州八年级期中）如图是一个运算程序：
例如：根据所给的运算程序可知，当时，，再把代入，得，则输出的结果为．（1）当时，输出的结果为_________；当时，输出结果为_________；
（2）若需要经过两次运算才能输出结果，的取值范围．
变式1．（2022·广西南宁·八年级期中）如图，是一个运算流程，若需要经过两次运算，才能运算出，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2022·湖北黄陂·八年级期末）如图是一个数据转换器，按该程序进行运算，若输入，则该程序需要运行________次才停止；若该程序只运行了次就停止了，则的取值范围是________．
变式3．（2022·武汉八年级月考）如图，是一个运算流程．
（1）分别计算：当x=150时，输出值为 ，当x=17时，输出值为 ；
（2）若需要经过两次运算流程，才能运算输出y，求x的取值范围；
（3）请给出一个x的值，使之无论运算多少次都不能输出，并请说明理由．
高频考点6 一元一次不等式（组）的整数解问题
【解题技巧】先求出不等式的解集，再根据解集确定整数解
例6．（2022·浙江嘉兴市·八年级期中）不等式组的整数解为____________．
变式1．（2022·贵州松桃·八年级期末）不等式的最大整数解是（ ）
A．0 B． C． D．
变式2．（2022·上海市蒙山中学期末）不等式的自然数解是_________．
变式3．（2022·河北保定市·九年级模拟）已知不等式：①；②；③；④，从这四个不等式中取两个，能构成正整数解是2的不等式组的是（ ）
A．①与② B．②与③ C．③与④ D．①与④
高频考点7 含绝对值的不等式的解法
【解题技巧】去绝对值：若a>0，则≤a-a≤x≤a， 或x≤-a；
方法一：采用“零点分段法”，去绝对值，具体见例1；
方法二：“数形结合”， 表示x与a点的距离，具体见例2.
例7．（2022·浙江·八年级专题练习）阅读：我们知道，于是要解不等式，我们可以分两种情况去掉绝对值符号，转化为我们熟悉的不等式，按上述思路，我们有以下解法：
解：（1）当，即时： 解这个不等式，得：
由条件，有：
（2）当，即时， 解这个不等式，得：
由条件，有：
∴如图，综合（1）、（2）原不等式的解为
根据以上思想，请探究完成下列2个小题：（1）； （2）．
变式1．（2022·浙江·八年级课时练习）解下列不等式：（1）（2）
变式2．（2022·河南·八年级期中）（1）【阅读理解】“”的几何意义是：数在数轴上对应的点到原点的距离，所以“”可理解为：数在数轴上对应的点到原点的距离不小于，则：
①“”可理解为 ；②请列举两个符号不同的整数，使不等式“”成立，列举的的值为 和 ．
我们定义：形如“，，，”（为非负数）的不等式叫做绝对值不等式，能使一个绝对值不等式成立的所有未知数的值称为绝对值不等式的解集．
（2）【理解应用】根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式．
由上图可以得出：绝对值不等式的解集是或，
绝对值不等式的解集是．则：
①不等式的解集是 ．②不等式的解集是 ．
（3）【拓展应用】解不等式，并画图说明．
变式3．（2022·北京市八年级期中）阅读下列材料：根据绝对值的定义，表示数轴上表示数x的点与原点的距离，那么，如果数轴上两点P、Q表示的数为x1，x2时，点P与点Q之间的距离为PQ＝．
根据上述材料，解决下列问题：如图，在数轴上，点A、B表示的数分别是－4，8（A、B两点的距离用AB表示），点M是数轴上一个动点，表示数m．
（1）AB＝ 个单位长度；（2）若＝20，求m的值；（写过程）
（3）若关于的方程无解，则a的取值范围是 ．
高频考点8 高次不等式的解法
例7．（2022·四川八年级期末）先阅读理解下列例题：
例题：解一元二次不等式
由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”可得有：①或 ②
解不等式组①得；解不等式组②得
∴一元二次不等式的解集是或
根据以上阅读材料，解答下列问题：
（1）求不等式的解集； （2）求不等式的解集．
变式1．（2022·辽宁八年级期末）先阅读理解下面的例题，再按要求解答：
例题：解不等式（x+3）（x﹣3）＞0
解：由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”
有①或②
解不等式组①得x＞3，解不等式组②得x＜﹣3
故原不等式的解集为：x＞3或x＜﹣3
问题：求不等式的解集．
变式2．（2022·宁夏·石嘴山八年级阶段练习）阅读下面材料：分子、分母都是整式，并且分母中含有未知数的不等式叫做分式不等式．
小亮在解分式不等式时，是这样思考的：根据两数相除，同号得正，异号得负．原分式不等式可转化为下面两个不等式组：
①或②
解不等式组①得，
解不等式组②得．
所以原不等式的解集为或．
请你参考小亮思考问题的方法，解分式不等式．
变式3．（2022·福建·八年级期中）阅读理解题：
（1）原理：对于任意两个实数、，
若，则和同号，即：或
若，则和异号，即：或
（2）分析：对不等式来说，把和看成两个数和，所以按照上述原理可知：（Ⅰ）或（Ⅱ），所以不等式的求解就转化求解不等式组（Ⅰ）和（Ⅱ）．
（3）应用：解不等式：①；②
高频考点9 不等式的含参问题
【解题技巧】
1）将字母视为常数，按照不等式组的方法解不等式，得到的结果中必然含有字母；题型中，会告知方程组解的一些关系，根据这些关系，再来探究字母的取值。
2）整体求解，往往会使得求解过程比较简洁，但不具有一般性。读者在学有余力的情况下，平时可多积累此类题型的经验。
例9．（2022·重庆·九年级专题练习）已知关于x的不等式组有解，则a的取值不可能是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
变式1．（2022·绵阳市·八年级）若不等式－1≤2－x的解集中x的每一个值，都能使关于x的不等式3（x－1）＋5＞5x＋2（m＋x）成立，则m的取值范围是（ ）
A．m＞－ B．m＜－ C．m＜－ D．m＞－
变式2．（2022·江苏·七年级专题练习）已知关于x的不等式组的解集是3≤x≤4，则a+b的值为（ ）
A．5 B．8 C．11 D．9
变式3．（2022·上海市嘉定区期末）如果不等式组的解集是，那么a的值可能是（ ）
A．-2 B．0 C．-0.7 D．
变式4．（2022·黑龙江·七年级期末）关于的不等式组无解，那么的取值范围是 （ ）
A．≤－1 B．＜1 C．－1＜≤0 D．－1≤＜0
变式5．（2022·安徽阜南·七年级期末）不等式组的整数解有4个，则a的取值范围是（ ）
A．－2≤a＜－1 B．－2＜a＜－1 C．－2≤a≤－1 D．－2＜a≤－1
高频考点10 用不等式（组）解决实际问题
例10．（2022·浙江绍兴市·八年级模拟）某家庭投资3.5万元资金建造屋顶光伏发电结，遇到晴天平均每天可发电30度，其他天气平均每天可发电5度，已知某月（按30天计）共发电600度．
信息链接：根据国家相关规定，凡是屋顶光伏发电站生产的电，家庭用电后剩余部分可以0.45元/度卖给电力公可，同时可获得政府补贴0.52元/度．（1）求这个月晴天的天数；（2）已知该家庭每月平均用电150度，若按每月发电600度计算，问至少需要几年才能收回成本？（不计其他费用，结果取整数）
变式1．（2022·山东济宁市·八年级期末）某人要完成2.1千米的路程，并要在不超过18分钟的时间内到达，已知他每分钟走90米．若跑步每分钟可跑210米，问这人完成这段路程，至少要跑( )
A．3分钟 B．4分钟 C．4.5分钟 D．5分钟
变式2．（2022·广东佛山市·八年级期末）某电信公司推出两种手机收费方案．方案A：月租费30元，本地通话话费0.15元/分；方案B：不收月租费，本地通话话费为0.3元/分．设婷婷的爸爸一个月通话时间为x分钟，婷婷的爸爸一个月通话时间为多少时，选择方案A比方案B优惠？（ ）
A．100分钟 B．150分钟 C．200分钟 D．250分钟
变式3．（2022·射阳县八年级期中）有学生若干人，住若干间宿舍，若每间住5人，则有14人无法安排住宿，若每间住8人，则最后有一间宿舍不满也不空，则学生人数为_____．
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专题05 一元一次不等式和一元一次不等式组 高频考点（精练）
一、选择题
1．（2022·浙江绍兴市·八年级模拟）若，，则以下不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用不等式的性质分别判断得出答案．
【详解】解：∵，A、不一定成立，故不符合；
B、当x＜0时，，故不符合；C、成立，故符合；
D、，但，即不一定成立，故不符合；故选C．
【点睛】此题主要考查了不等式的性质，正确把握不等式的基本性质是解题关键．
2．（2022·湖南·八年级期末）已知（m＋2）x|m|﹣1＋1＞0是关于x的一元一次不等式，则m的值为（ ）
A．1 B．±1 C．2 D．±2
【答案】C
【分析】根据一元一次不等式的定义列出方程和不等式即可确定m的值．含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式．
【详解】解：∵（m＋2）x|m|﹣1＋1＞0是关于x的一元一次不等式，
∴|m|﹣1＝1且m＋2≠0，解得m＝2.故选：C．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的定义，解题关键是根据一元一次不等式的定义列出方程和不等式，注意：未知数的系数不能为0．
3．（2022·湖北·八年级专题练习）下列说法中，正确的是（ ）
A．x＝3是不等式2x＞1的解 B．x＝3是不等式2x＞1的唯一解
C．x＝3不是不等式2x＞1的解 D．x＝3是不等式2x＞1的解集
【答案】A
【分析】对A、B、C、D选项进行一一验证，把已知解代入不等式看不等式两边是否成立．
【详解】解：A、当x＝3时，2×3＞1，成立，故A符合题意；
B、当x＝3时，2×3＞1成立，但不是唯一解，例如x＝4也是不等式的解，故B不符合题意；
C、当x＝3时，2×3＞1成立，是不等式的解，故C不符合题意；
D、当x＝3时，2×3＞1成立，是不等式的解，但不是不等式的解集，其解集为：x＞，故D不符合题意；故选：A．
【点睛】此题考查不等式中不等式的解、唯一解、解集概念之间的区别和联系，是一道好的基础题．
4．（2022·江苏·八年级专题练习）已知x＝1是不等式（x﹣5）（ax﹣3a+2）≤0的解，且x＝4不是这个不等式的解，则a的取值范围是（ ）
A．a＜﹣2 B．a≤1 C．﹣2＜a≤1 D．﹣2≤a≤1
【答案】A
【分析】根据不等式解的定义列出不等式，求出解集即可确定出a的范围．
【详解】解：∵x＝1是不等式（x﹣5）（ax﹣3a+2）≤0的解，且x＝4不是这个不等式的解，
∴ 且 ，
即﹣4（﹣2a+2）≤0且﹣（a+2）＞0，解得：a＜﹣2．故选：A．
【点睛】此题考查了不等式的解集，熟练掌握一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集是解题的关键．
5．（2022·吉林九年级期末）关于x的不等式的解集如图所示，则a的值是（ ）
A．－1 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】根据数轴可确定不等式的解集，根据解集相同列出方程求解即可．
【详解】解：根据数轴可知，不等式的解集为，
解不等式得，，故，解得，，故选：D．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解法和一元一次不等式的解集，解题关键是根据不等式的解集相同列出方程．
6．（2022·重庆·八年级期末）若关于x，y的二元一次方程组的解为正数，则满足条件的所有整数a的和为（ ）
A．14 B．15 C．16 D．17
【答案】B
【分析】先将二元一次方程组的解用a表示出来，然后再根据题意列出不等式组求出
的取值范围，进而求出所有a的整数值，最后求和即可．
【详解】解：解关于x，y的二元一次方程组，得，
∵关于x，y的二元一次方程组的解为正数，∴，∴3＜a＜7，
∴满足条件的所有整数a的和为4+5+6＝15．故选：B．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法、一元一次不等式组等知识点，根据题意求得a的取值范围是解答本题关键．
7．（2022秋·江苏盐城·九年级统考期中）如图所示，体育课上，小明的实心球成绩为9.6m，他投出的实心球落在（ ）
A．区域① B．区域② C．区域③ D．区域④
【答案】C
【分析】根据，判定区域即可．
【详解】因为，故选C．
【点睛】本题考查了不等式的应用，熟练掌握不等式解集的意义是解题的关键．
8．（2023·广东佛山·统考一模）某环保知识竞赛一共有20道题，规定：答对一道题得5分，答错或不答一道题扣1分．在这次竞赛中，小明被评为优秀（85分或85分以上），则小明至少答对了______道题．（ ）
A．17 B．18 C．19 D．16
【答案】B
【分析】设小明答对了x道题，则答错和不答的一共有道题，再根据答对一题得5分，答错或不答一道题扣1分列出不等式求解即可．
【详解】解：设小明答对了x道题，则答错和不答的一共有道题，
由题意得，，
解得，
∵x为正整数，
∴的最小值为18，
∴小明至少答对了18道题，
故选B．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的实际应用，正确理解题意找到不等关系是解题的关键．
9．（2022·浙江·八年级）如图，按下面的程序进行运算，规定：程序运行到“判断结果是否大于28”为一次运算，若运算进行了3次才停止，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据程序运算进行了3次才停止，即可得出关于x的一元一次不等式组：，解之即可得出x的取值范围．
【详解】解：依题意，得：，
由①得： ，
由②得：＞，＞ ＞，
所以不等式组的解集为：．故选：．
【点睛】本题考查了程序框图中的一元一次不等式组的应用，找准不等关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．
10．（2022·浙江·杭州八年级期中）整数a使得关于x的不等式组至少有4个整数解，且关于y的方程1﹣3（y﹣2）＝a有非负整数解，则满足条件的整数a的个数是（ ）
A．6个 B．5个 C．3个 D．2个
【答案】A
【分析】解不等式组中两个不等式得出，结合其整数解的情况可得，再解方程得，由其解为非负数得出，最后根据方程的解必须为非负整数可得的取值情况．
【详解】解：解不等式，得：，解不等式，得：，
不等式组至少有4个整数解，，解得，解关于的方程得，
方程有非负整数解，，则，所以，
其中能使为非负整数的有2，3，4，5，6，7，共6个，故选：A．
【点睛】本题考查一元一次不等式组的整数解，解题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解．
二、填空题
11．（2022·黑龙江·八年级期中）若是关于x的一元一次不等式，则m的值为________．
【答案】1
【分析】根据一元一次不等式的定义可得：且，求解即可．
【详解】解：根据一元一次不等式的定义可得：且解得答案为1
【点睛】此题考查了一元一次不等式的定义，解题的关键是掌握一元一次不等式的概念．
12．（2022·浙江嘉兴市·八年级期中）如果一个关于x的一元一次不等式组的解集在数轴上的表示如图所示，那么该不等式组的解集是_________．
【答案】x>1
【分析】根据数轴表分别表示两个不等式组的解集，确定公共部分即可求解．
【详解】解：由图示可看出，从-2出发向右画出的线且1处是空心圆，表示x＞-2；
从1出发向右画出的线且3处是空心圆，表示x>1，所以这个不等式组的解为：x>1，故答案为： x>1．
【点睛】不等式的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），再确定公共部分即为不等式组的解集．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
13．（2022·浙江余杭·八年级期末）不等式的最小负整数解______．
【答案】-3
【分析】移项，合并同类项，系数化成1，再求出不等式的最小负整数解即可．
【详解】解：，移项，得，
合并同类项，得3x＞-11，系数化成1，得x＞，
所以不等式的最小负整数解是-3，故答案为：-3．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式和不等式的整数解，能根据不等式的性质求出不等式的解集是解此题的关键．
14．（2022·陕西富县·七年级期末）对于任意实数a、b，定义一种运算：．例如，．已知不等式，则这个不等式的非负整数解共有________个．
【答案】3
【分析】根据题目中新定义运算法则列出不等式，再解不等式求出x的取值范围即可求解.
【详解】解：根据新定义运算法则可得，
因为，所以，，解得，
所以不等式的非负整数解是2，1，0共3个.故答案为：3.
【点睛】本题主要考查新定义运算和解一元一次不等式，解决本题的关键是要根据新定义运算法则列出不等式并正确解不等式.
15．（2022·成都市·八年级专题练习）如果不等式的解集是，那么a必须满足___________．
【答案】
【分析】根据两边同时除以a-2，不等号的方向改变，可得a-2＜0．
【详解】解：∵不等式（a-2）x＞a-2的解集是x＜1，
∴a-2＜0，解得，a＜2．故答案为：a＜2．
【点睛】本题考查不等式的性质．注意：不等式两边同除以同一个负数时，不等号的方向改变．同理，当不等式两边同时除以一个数后不等号的方向改变，也可以知道不等式两边同时除以的是一个负数．
16．（2022·九龙县八年级期末）已知关于x，y的方程组的解满足不等式2x+y>8，则m的值是_____．
【答案】m＜-6．
【分析】先解方程组，然后将x、y的值代入不等式解答．
【详解】解：①+②得，，解得，x=2m-1，
把x=2m-1代入②得，，解得，y=4-5m，
将x=2m-1，y=4-5m代入不等式2x+y＞8得4m-2+4-5m＞8，∴m＜-6，故答案为：m＜-6．
【点睛】本题考查了方程组与不等式，熟练解方程组与不等式是解题的关键．
17．（2022·宁波市鄞州区姜山镇实验中学八年级期中）一次生活常识知识竞赛一共有20道题，答对一题得5分，不答得0分，答错扣2分，小聪有1道题没答，竞赛成绩超过80分，则小聪至少答对了_______道题．
【答案】17
【分析】设小聪答对了x道题，根据“答对题数×5 答错题数×2＞80分”列出不等式，解之可得．
【详解】设小聪答对了x道题，根据题意，得：5x 2（19 x）＞80，解得x＞16，
∵x为整数，∴x＝17，即小聪至少答对了17道题，故答案为：17．
【点睛】本题主要考查一元一次不等式的应用，列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．
18．（2023春·陕西西安·八年级高新一中校考阶段练习）某班有住宿生若干人，分住若干间宿舍，若每间住4人，则还余10人无宿舍住：若每间住6人，则有一间宿舍不空也不满，该班住宿生有___________人．
【答案】或
【分析】设安排住宿的房间有间，则学生有人，根据“每间住4人，则还余10人无宿舍住和；每间住6人，则有一间宿舍不空也不满”列不等式组解答即可．
【详解】解：设安排住宿的房间有间，则学生有人，
根据题意，得，解得.
又因为只能取正整数，所以或
当时，.当时， 故答案为：或．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据题目中的不等关系式正确列出一元一次不等式组是解决本题的关键．
19.（2022·黑龙江·九年级期末）若不等式组无解，则m的取值范围是______．
【答案】
【分析】求得第一个不等式的解集，借助数轴即可求得m的取值范围．
【详解】解不等式，得x>2
因不等式组无解，把两个不等式的解集在数轴上表示出来如下：
观察图象知，当m≤2时，满足不等式组无解 故答案为：
【点睛】本题考查了根据不等式组解的情况确定参数的取值范围，借助数轴数形结合是关键．
20．（2022·湖北武汉·七年级期末）定义：把的值叫做不等式组的“长度”若关于的一元一次不等式组解集的“长度”为3，则该不等式组的整数解之和为______．
【答案】
【分析】解不等式组求得不等式的解集为 a≤x≤2a 3，根据题意得出2a 3 （ a）＝3，解得a＝2，即可得到不等式的解集为 2≤x≤1，进而即可求得不等式组的整数解之和为 2．
【详解】解：，由①得x≥ a，由②x≤2a 3，∴不等式组的解集为 a≤x≤2a 3，
∵关于x的一元一次不等式组解集的“长度”为3，
∴2a 3 （ a）＝3，∴a＝2，∴不等式组的解集为 2≤x≤1，
∴不等式组的整数解为 2， 1，0，1，它们的和为 2．故答案为 2．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的整数解，解一元一次方程，求得a的值是解题的关键．
21．（2022·成都外国语学校八年级期中）先阅读短文，回答后面所给出的问题：对于三个数、、中，我们给出符号来表示其中最大（小）的数，规定表示这三个数中最小的数，表示这三个数中最大的数．例如：，；，若，则的值为_______．
【答案】或
【分析】根据新定义法则，分x或x+4或x﹣4最小、2或x+1或2x最大几种情况，分别列出一元一次不等式组和一元一次方程进行解答即可．
【详解】（1）当最小时，则，即，无解，此情况不成立．
（2）当最小时，则，即，
解得，此时：，，，，即．
（3）当最小时，则，即，解得，此时无法判断，
的值，则分情况讨论如下：
①当最大时：，即，，此时：，（舍去）．
②当最大时：，即，，此时有：，．
③当最大时，，即，无解，此情况不成立．综上所述：或．
【点睛】本题考查新定义下解一元一次不等式组和一元一次方程的能力，由已知等式找到x的分界点以及准确分类讨论是解答的关键．
三、解答题
22．（2022·浙江西湖·八年级期末）已知．
(1)比较与的大小，并说明理由．(2)若，求a的取值范围．
【答案】(1)3 x＜3 y (2)a＞0
【分析】（1）根据不等式的基本性质解答即可；
（2）根据不等式的基本性质解答即可．
【解析】(1)解：∵x＞y，∴ x＜ y，∴3 x＜3 y；
(2)∵x＞y，3＋ax＞3＋ay，∴a＞0．
【点睛】本题考查的是不等式的基本性质．（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，解题关键是掌握不等式的基本性质．
23．（2022·浙江杭州市·八年级期末）解关于x的不等式组：
【答案】
【分析】分别解两个不等式，取公共解集即可．
【详解】解：
解不等式①，移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：，
解不等式②得，去分母得：，
移项合并得：，
所以该不等式组的解集为：
【点睛】本题考查解不等式组．掌握取不等式解集的口诀“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小是无解”是解题关键．
24．（2022·浙江嘉兴市·八年级期末）解下列不等式或不等式组
（1） （2）
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为1即可求解
（2）先分别求出两个不等式的解，再求其公共解即可
【详解】解：（1）去分母得：
去括号得：
移项得：
合并同类项得：
化系数为1得：
∴原不等式得解为
（2）由得：
由得： 解得：
由上可得不等式组的解为：
【点睛】本题考查了一元一次不等式的解法和一元一次不等式组的解法，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式的步骤
25．（2022·广东东莞八年级期末）如图是一个运算流程．
例如：根据所给的运算流程可知，当 x=5 时，5×3﹣1=14＜32，把 x=14 带入，14×3﹣1=41＞32，则输出值为 41．（1）填空：当 x=15 时，输出值为__________；当 x=6 时，输出值为__________-；
（2）若需要经过两次运算，才能运算出 y，求 x 的取值范围．
【答案】（1）44,50；（2）．
【分析】（1）根据运算流程分别代入、，求出输出值即可得出结论；（2）根据运算流程结合需要经过两次运算可得出关于的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论．
【详解】解：（1）当时，，输出44；
当时，，把代入，，输出50．故答案为：44；50．
（2）由题意得：，解得：．答：的取值范围是．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）根据运算流程代入数据求值；（2）根据运算流程得出关于的一元一次不等式组．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，熟练掌握一元一次不等式组的解法是关键．
26．（2022·云南盘龙·八年级期末）阅读下面材料：
小明在数学课外小组活动时遇到这样一个问题：如果一个不等式（含有不等号的式子）中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式.
求绝对值不等式的解集（满足不等式的所有解）.
小明同学的思路如下：先根据绝对值的定义，求出恰好是3时的值，并在数轴上表示为点，，如图所示.观察数轴发现，
以点，为分界点把数轴分为三部分：
点左边的点表示的数的绝对值大于3；
点，之间的点表示的数的绝对值小于3；
点B右边的点表示的数的绝对值大于3.
因此，小明得出结论，绝对值不等式的解集为：或.
参照小明的思路，解决下列问题：（1）请你直接写出下列绝对值不等式的解集.
①的解集是 ；②的解集是 .
（2）求绝对值不等式的解集.（3）直接写出不等式的解集是 ．
【答案】（1）①x＞1或x＜-1；②-2.5＜x＜2.5；（2）x＞7或x＜-1；（3）x＞2或x＜-2
【分析】（1）根据题中小明的做法可得；（2）将化为后，根据以上结论即可得；（3）求不等式的解集实际上是求|x|＞2的解集即可．
【详解】解（1）由题意可得：
①令|x|=1，x=1或-1，如图，数轴上表示如下：
∴|x|＞1的解集是x＞1或x＜-1；
②令|x|=2.5，x=2.5或-2.5，如图，数轴上表示如下：
∴|x|＜2.5的解集是-2.5＜x＜2.5；
（2），化简得，
当时，x=-1或7，如图，数轴上表示如下：
可知：的解集为：x＞7或x＜-1；
（3）不等式x2＞4可化为|x|＞2，如图，数轴上表示如下：
可知：不等式x2＞4的解集是 x＞2或x＜-2．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是熟练掌握一元一次不等式的基本步骤和绝对值的性质．
27．（2022·江苏·南京外国语学校八年级期末）阅读下列材料并解答问题：
我们知道的几何意义是在数轴上数对应的点与原点的距离：，也就是说，表示在数轴上数与数0对应点之间的距离；
这个结论可以推广为表示在数轴上数和数对应的点之间的距离；
例1解方程，容易看出，在数轴上与原点距离为2的点对应的数为，即该方程的解为．
例2解不等式，如图，在数轴上找出的解，即到1的距离为2的点对应的数为，3，则的解集为或.
例3解方程由绝对值的几何意义知，该方程表示求在数轴上与1和的距离之和为5的对应的的值.在数轴上，1和的距离为3，满足方程的对应的点在1的右边或的左边，若对应的点在1的右边，由下图可以看出；同理，若对应的点在的左边，可得，故原方程的解是或.
回答问题：（只需直接写出答案）
①解方程 ②解不等式 ③解方程
【答案】（1） x=1或x=-7;（2）x≥7，或x≤-1;（3）x= 或x=.
分析: ①根据题意可以求得方程丨x+3|=4的解；
②根据题意可以求得不等式|x-3|≥4得解集；
③讨论x的不同取值范围可以求得方程|x-3|+|x+2|=8的解．
解析:①解方程|x+3|=4，容易看出，在数轴上与 3距离为4的点的对应数为 7，1，
即该方程的解为x= 7或x=1；
②解不等式|x 3| 4，
如图3，在数轴上找出|x 3|=4的解，即到3的距离为4的点对应的数为 1，7，
则|x 3|>4的解集为x 1或x 7.
③|x 3|+|x+2|=8，
当x< 2时，3 x x 2=8，解得，x= 3.5；
当x= 2时，| 2 2|+| 2+2|=4≠8，∴x= 2不能使得|x 3|+|x+2|=8成立；
当 2在 2当x>3时，x 3+x+2=8，解得，x=4.5，；
故|x 3|+|x+2|=8的解是x= 3.5或x=4.5.
点睛:本题考查含绝对值符号的一元一次方程，弄清阅读材料中的方法，利用分类讨论思想是解本题的关键.
28．（2022·湖南八年级期末）先阅读理解下面的例题，再按要求解答：
例题：解不等式
解：由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，
得①或②
解不等式组①得，解不等式组②得，
所以不等式的解集为或．
问题：求不等式的解集．
【答案】.
【分析】仿造例题，将所求不等式变形为不等式组，后进一步求取不等式组的解集最终得出答案即可.
【详解】∵两数相乘（或相除），异号得负，∴由不等式可得：
或 ，解不等式组①得：，解不等式组②得：该不等式组无解，
综上所述，所以原不等式解集为：.
【点睛】本题主要考查了不等式组解集的求取，熟练掌握相关方法是解题关键.
29．（2022·湖南邵阳市·）一群女生住间宿舍，每间住4人，剩下18人无房住，每间住6人，有一间宿舍住不满，但有学生住．（1）用含的代数式表示女生人数．（2）根据题意，列出关于的不等式组，并求不等式组的解集．（3）根据（2）的结论，问一共可能有多少间宿舍，多少名女生？
【答案】（1）人；（2）；（3）可能10间宿舍，女生58人，或者11间宿舍女生62人
【分析】（1）根据题意直接列代数式，用含的代数式表示女生人数即可；
（2）根据题意列出关于的不等式组，并根据解一元一次不等式组的方法求解即可；
（3）根据（2）的结论可以得出或，并代入女生人数即可求出答案.
【详解】解：（1）由题意可得女生人数为：（）人.
（2）依题意可得，解得：.
（3）由（2）知，∵为正整数，∴或，
时，女生人数为（人），时，女生人数为（人），
∴可能有10间宿舍，女生58人，或者11间宿舍，女生62人.
【点睛】本题考查列代数式以及解一元一次不等式组，根据题意列出代数式以及一元一次不等式组是解题的关键.
30．（2023秋·广东广州·七年级统考期末）某企业举办职工足球比赛，准备购买一批足球运动装备，市场调查发现：甲、乙两商场以同样的价格出售同种品牌的足球队服和足球，已知每套队服比每个足球多60元，三套队服与五个足球的费用相等，经洽谈，甲商场优惠方案是：每购买十套队服，送一个足球；乙商场优惠方案是：若购买队服超过60套，则购买足球打八折．
(1)求每套队服和每个足球的价格是多少？(2)若购买100套队服和个足球，请用含y的式子分别表示出到甲商场和乙商场购买装备所花的费用；(3)在（2）的条件下，假如你是本次购买任务的负责人，你认为到哪家商场购买比较合算？
【答案】(1)每个足球的费用为元，每套队服的费用为元
(2)到甲商场购买所需费用为元，到乙商场购买所需费用为：元
(3)当购买的足球数大于10而小于时，到甲商场购买比较合算；当购买个足球时，到两个商场所花费用相同；当购买的足球数大于时，到乙商场购买比较合算
【分析】（1）设每个足球的费用为元，则每套队服的费用为元，根据三套队服与五个足球的费用相等，列出方程，求解即可；（2）根据甲、乙商场的优惠方案，列出代数式即可；
（3）求出到甲，乙两个商场所花费用相同时，所购买足球的个数，再分和，两种情况进行讨论即可．
【详解】（1）解：设每个足球的费用为元，则每套队服的费用为元，
由题意，得：，解得：，∴，
∴每个足球的费用为元，每套队服的费用为元；
（2）解：由题意，得：到甲商场购买所需费用为：（元）；
到乙商场购买所需费用为：（元）；
（3）解：当时，即：；即：当购买个足球时，到两个商场所花费用相同；
当，解得：，即：当购买的足球数大于时，到甲商场所花费用大于到乙商场所花费用，因此到乙商场购买比较合算；
当，解得：，即：当购买的足球数大于10而小于时，到甲商场所花费用小于到乙商场所花费用，因此到甲商场购买比较合算．
答：当购买的足球数大于10而小于时，到甲商场购买比较合算；当购买个足球时，到两个商场所花费用相同；当购买的足球数大于时，到乙商场购买比较合算．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用．根据题意，正确的列出方程和不等式，是解题的关键．
31．（2022·河南三门峡·七年级期末）第27届三门峡黄河文化旅游节在三门峡开幕，节会期间，全市所有A级旅游景区将实行门票五折的优惠政策．一商店抓住商机，决定购进甲，乙两种旅游节纪念品在节会期间进行销售．若购进甲种纪念品2件，乙种纪念品3件，需要340元；若购进甲种纪念品4件，乙种纪念品5件，需要620元．（1）求购进甲、乙两种纪念品每件各需多少元？（2）若该商店决定购进两种纪念品共100件，其中甲种纪念品的数量不少于38件，考虑到资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不能超过6800元，那么该商店共有几种进货方案？写出这些进货方案，并写出你的分析过程．（3）若销售甲种纪念品每件可获利润30元，乙种纪念品每件可获利润20元，在（2）中的各种进货方案中，若购进商品能全部销售，当甲种纪念品购进 件时，可获得最大利润，最大利润是 元．
【答案】（1）购进甲种纪念品每件80元，购进乙种纪念品每件60元；（2）共有三种购买方案：方案一：购进甲种纪念品38件，购进乙种纪念品62件；方案二：购进甲种纪念品39件，购进乙种纪念品61件；方案三：购进甲种纪念品40件，购进乙种纪念品60件；（3）40，2400
【分析】（1）设购进每件甲种纪念品需要x元，购进每件乙种纪念品需要y元，根据“若购进甲种纪念品2件，乙种纪念品3件，需要340元；若购进甲种纪念品4件，乙种纪念品5件，需要620元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进甲种纪念品m件，则购进乙种纪念品（100-m）件，根据“购进种纪念品的数量不少于38件，且购进这100件纪念品的资金不能超过6800元”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出各进货方案；
（3）由每件甲种纪念品的利润高于每件乙种纪念品的利润，可得出购进甲种纪念品越多，全部售完后的利润越大，结合（2）即可得出结论．
【详解】解：（1）设购进每件甲种纪念品需要x元，购进每件乙种纪念品需要y元，
依题意得：，解得：．
答：购进每件甲种纪念品需要80元，每件乙种纪念品需要60元；
（2）设购进甲种纪念品m件，则购进乙种纪念品（100-m）件，
依题意得：，解得：38≤m≤40．
又∵m为正整数，∴m可以为38，39，40，∴该商店共有3种进货方案，
方案1：购进甲种纪念品38件，乙种纪念品62件；
方案2：购进甲种纪念品39件，乙种纪念品61件；
方案3：购进甲种纪念品40件，乙种纪念品60件．
（3）∵30＞20，∴购进甲种纪念品越多，全部售完后的利润越大，
∴当甲种纪念品购进40件时，可获得最大利润，最大利润是30×40+20×60=2400（元）．
故答案为：40；2400．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）根据两种纪念品每件销售利润间的关系，找出购进甲种纪念品越多，全部售完后的利润越大．
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专题05 一元一次不等式和一元一次不等式组 高频考点（精练）
一、选择题
1．（2022·浙江绍兴市·八年级模拟）若，，则以下不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·湖南·八年级期末）已知（m＋2）x|m|﹣1＋1＞0是关于x的一元一次不等式，则m的值为（ ）
A．1 B．±1 C．2 D．±2
3．（2022·湖北·八年级专题练习）下列说法中，正确的是（ ）
A．x＝3是不等式2x＞1的解 B．x＝3是不等式2x＞1的唯一解
C．x＝3不是不等式2x＞1的解 D．x＝3是不等式2x＞1的解集
4．（2022·江苏·八年级专题练习）已知x＝1是不等式（x﹣5）（ax﹣3a+2）≤0的解，且x＝4不是这个不等式的解，则a的取值范围是（ ）
A．a＜﹣2 B．a≤1 C．﹣2＜a≤1 D．﹣2≤a≤1
5．（2022·吉林九年级期末）关于x的不等式的解集如图所示，则a的值是（ ）
A．－1 B．1 C．2 D．3
6．（2022·重庆·八年级期末）若关于x，y的二元一次方程组的解为正数，则满足条件的所有整数a的和为（ ）
A．14 B．15 C．16 D．17
7．（2022秋·江苏盐城·九年级统考期中）如图所示，体育课上，小明的实心球成绩为9.6m，他投出的实心球落在（ ）
A．区域① B．区域② C．区域③ D．区域④
8．（2023·广东佛山·统考一模）某环保知识竞赛一共有20道题，规定：答对一道题得5分，答错或不答一道题扣1分．在这次竞赛中，小明被评为优秀（85分或85分以上），则小明至少答对了______道题．（ ）
A．17 B．18 C．19 D．16
9．（2022·浙江·八年级）如图，按下面的程序进行运算，规定：程序运行到“判断结果是否大于28”为一次运算，若运算进行了3次才停止，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．（2022·浙江·杭州八年级期中）整数a使得关于x的不等式组至少有4个整数解，且关于y的方程1﹣3（y﹣2）＝a有非负整数解，则满足条件的整数a的个数是（ ）
A．6个 B．5个 C．3个 D．2个
二、填空题
11．（2022·黑龙江·八年级期中）若是关于x的一元一次不等式，则m的值为_____．
12．（2022·浙江嘉兴市·八年级期中）如果一个关于x的一元一次不等式组的解集在数轴上的表示如图所示，那么该不等式组的解集是_________．
13．（2022·浙江余杭·八年级期末）不等式的最小负整数解______．
14．（2022·陕西富县·七年级期末）对于任意实数a、b，定义一种运算：．例如，．已知不等式，则这个不等式的非负整数解共有________个．
15．（2022·成都市·八年级专题练习）如果不等式的解集是，那么a必须满足_______．
16．（2022·九龙县八年级期末）已知关于x，y的方程组的解满足不等式2x+y>8，则m的值是_____．
17．（2022·宁波市鄞州区姜山镇实验中学八年级期中）一次生活常识知识竞赛一共有20道题，答对一题得5分，不答得0分，答错扣2分，小聪有1道题没答，竞赛成绩超过80分，则小聪至少答对了_______道题．
18．（2023春·陕西西安·八年级高新一中校考阶段练习）某班有住宿生若干人，分住若干间宿舍，若每间住4人，则还余10人无宿舍住：若每间住6人，则有一间宿舍不空也不满，该班住宿生有__人．
19.（2022·黑龙江·九年级期末）若不等式组无解，则m的取值范围是______．
20．（2022·湖北武汉·七年级期末）定义：把的值叫做不等式组的“长度”若关于的一元一次不等式组解集的“长度”为3，则该不等式组的整数解之和为______．
21．（2022·成都外国语学校八年级期中）先阅读短文，回答后面所给出的问题：对于三个数、、中，我们给出符号来表示其中最大（小）的数，规定表示这三个数中最小的数，表示这三个数中最大的数．例如：，；，若，则的值为_______．
三、解答题
22．（2022·浙江西湖·八年级期末）已知．
(1)比较与的大小，并说明理由．(2)若，求a的取值范围．
23．（2022·浙江杭州市·八年级期末）解关于x的不等式组：
24．（2022·浙江嘉兴市·八年级期末）解下列不等式或不等式组
（1） （2）
25．（2022·广东东莞八年级期末）如图是一个运算流程．
例如：根据所给的运算流程可知，当 x=5 时，5×3﹣1=14＜32，把 x=14 带入，14×3﹣1=41＞32，则输出值为 41．（1）填空：当 x=15 时，输出值为__________；当 x=6 时，输出值为__________-；
（2）若需要经过两次运算，才能运算出 y，求 x 的取值范围．
26．（2022·云南盘龙·八年级期末）阅读下面材料：
小明在数学课外小组活动时遇到这样一个问题：如果一个不等式（含有不等号的式子）中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式.
求绝对值不等式的解集（满足不等式的所有解）.
小明同学的思路如下：先根据绝对值的定义，求出恰好是3时的值，并在数轴上表示为点，，如图所示.观察数轴发现，
以点，为分界点把数轴分为三部分：
点左边的点表示的数的绝对值大于3；
点，之间的点表示的数的绝对值小于3；
点B右边的点表示的数的绝对值大于3.
因此，小明得出结论，绝对值不等式的解集为：或.
参照小明的思路，解决下列问题：（1）请你直接写出下列绝对值不等式的解集.
①的解集是 ；②的解集是 .
（2）求绝对值不等式的解集.（3）直接写出不等式的解集是 ．
27．（2022·江苏·南京外国语学校八年级期末）阅读下列材料并解答问题：
我们知道的几何意义是在数轴上数对应的点与原点的距离：，也就是说，表示在数轴上数与数0对应点之间的距离；
这个结论可以推广为表示在数轴上数和数对应的点之间的距离；
例1解方程，容易看出，在数轴上与原点距离为2的点对应的数为，即该方程的解为．
例2解不等式，如图，在数轴上找出的解，即到1的距离为2的点对应的数为，3，则的解集为或.
例3解方程由绝对值的几何意义知，该方程表示求在数轴上与1和的距离之和为5的对应的的值.在数轴上，1和的距离为3，满足方程的对应的点在1的右边或的左边，若对应的点在1的右边，由下图可以看出；同理，若对应的点在的左边，可得，故原方程的解是或.
回答问题：（只需直接写出答案）
①解方程 ②解不等式 ③解方程
28．（2022·湖南八年级期末）先阅读理解下面的例题，再按要求解答：
例题：解不等式
解：由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，
得①或②
解不等式组①得，解不等式组②得，
所以不等式的解集为或．
问题：求不等式的解集．
29．（2022·湖南邵阳市·）一群女生住间宿舍，每间住4人，剩下18人无房住，每间住6人，有一间宿舍住不满，但有学生住．（1）用含的代数式表示女生人数．（2）根据题意，列出关于的不等式组，并求不等式组的解集．（3）根据（2）的结论，问一共可能有多少间宿舍，多少名女生？
30．（2023秋·广东广州·七年级统考期末）某企业举办职工足球比赛，准备购买一批足球运动装备，市场调查发现：甲、乙两商场以同样的价格出售同种品牌的足球队服和足球，已知每套队服比每个足球多60元，三套队服与五个足球的费用相等，经洽谈，甲商场优惠方案是：每购买十套队服，送一个足球；乙商场优惠方案是：若购买队服超过60套，则购买足球打八折．
(1)求每套队服和每个足球的价格是多少？(2)若购买100套队服和个足球，请用含y的式子分别表示出到甲商场和乙商场购买装备所花的费用；(3)在（2）的条件下，假如你是本次购买任务的负责人，你认为到哪家商场购买比较合算？
31．（2022·河南三门峡·七年级期末）第27届三门峡黄河文化旅游节在三门峡开幕，节会期间，全市所有A级旅游景区将实行门票五折的优惠政策．一商店抓住商机，决定购进甲，乙两种旅游节纪念品在节会期间进行销售．若购进甲种纪念品2件，乙种纪念品3件，需要340元；若购进甲种纪念品4件，乙种纪念品5件，需要620元．（1）求购进甲、乙两种纪念品每件各需多少元？（2）若该商店决定购进两种纪念品共100件，其中甲种纪念品的数量不少于38件，考虑到资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不能超过6800元，那么该商店共有几种进货方案？写出这些进货方案，并写出你的分析过程．（3）若销售甲种纪念品每件可获利润30元，乙种纪念品每件可获利润20元，在（2）中的各种进货方案中，若购进商品能全部销售，当甲种纪念品购进 件时，可获得最大利润，最大利润是 元．
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