2023年中考数学高频压轴题突破——实际问题与二次函数（含解析）

2023年中考数学高频压轴题突破——实际问题与二次函数
1．如图是一块美术小组使用剩余的画布，将其放置在平面直角坐标系中，底部边缘在x轴上，且，外轮廓线是抛物线的一部分，对称轴为y轴，高度，美术小组计划进行裁剪：
(1)若裁剪成正方形，要求一边在底部边缘上且面积最大，求此正方形的边长；
(2)若裁剪成矩形，要求一边在底部边缘上且周长最大，求此矩形的周长；
(3)若裁剪成圆，判断能否裁剪出半径为的圆，请说明理由．
2．建大棚种植蔬菜是农民致富的一条好途径．经市场调查发现：搭建一个面积为（为整数）公顷的大棚，前期准备所需总费用由建设费用和内部设备费用两部分组成，其中建设费用与成正比例，内部设备费用与成正比例，部分数据如下：
大棚面积/公顷 3 8
前期准备所需总费用/万元 21 134
(1)求前期准备所需总费用与之间的函数关系式．
(2)若种植1公顷蔬菜需种子、化肥、农药的开支0.4万元，收获1公顷的蔬菜年均可卖9.4万元．设当年收获蔬菜的总收益（扣除修建和种植成本）为万元，写出与之间的函数关系式．
(3)求种植的面积为多少公顷时，当年收获蔬菜的总收益最大，最大值为多少？
3．乌馒头是江北慈城地方特色点心，用麦粉发酵，再掺以白糖黄糖，蒸制而成．因其用黄糖，颜色暗黄，所以称之谓“乌馒头”．某商店销售乌馒头，通过分析销售情况发现，乌馒头的日销售量（盒）是销售单价（元/盒）的一次函数，销售单价、日销售量的部分对应值如下表，已知销售单价不低于成本价且不高于20元，每天销售乌馒头的固定损耗为20元，且销售单价为18元/盒时，日销售纯利润为1180元．
销售单价（元/盒） 15 13
日销售量（盒） 500 700
(1)求乌馒头的日销售量（盒）与销售单价（元/盒）的函数表达式；
(2)“端午乌馒重阳粽”是慈城的习俗．端午节期间，商店决定采用降价促销的方式回馈顾客．在顾客获得最大实惠的前提下，当乌馒头每盒降价多少元时，商店日销售纯利润为1480元？
(3)当销售单价定为多少时，日销售纯利润最大，并求此日销售最大纯利润．
4．国庆假期期间，某酒店有20个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为100元时，房间恰好全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，酒店需对每个房间每天支出20元的各种费用，设每间房间定价x元（）．
(1)每天有游客居住的房间数为 　 　（用含有x的式子表示）；
(2)当每间房价为多少时，酒店当天的利润为1870元，且总支出最少？
(3)当每间房价定为多少元，酒店的利润W（元）最大，最大利润是多少？
5．如图1所示的某种发石车是古代一种远程攻击的武器，将发石车置于山坡底部处，以点为原点，水平方向为轴方向，建立如图所示的平面直角坐标系，将发射出去的石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线的一部分，山坡上有一堵防御墙，其竖直截面为，墙宽米，与轴平行，点与点的水平距离为米、垂直距离为米．
(1)若发射石块在空中飞行的最大高度为米，
①求抛物线的解析式；
②试通过计算说明石块能否飞越防御墙；
(2)若要使石块恰好落在防御墙顶部上（包括端点、），求的取值范围，
6．某商场经营某种商品，该商品的进价为30元/件，根据市场调查发现，该商品每周的销售量y（单位：件）与售价x（单位：元/件）（x为正整数）之间满足一次函数的关
系，下表记录的是某三周的有关数据．
x（元/件） 50 60 70
y（件） 1000 900 800
(1)求y关于x的函数关系式（不求自变量的取值范围）；
(2)若某周该商品的销售量不少于700件，求这周该商场销售这种商品获得的最大利润；
(3)规定这种商品的售价不超过进价的2倍，若商品的进价每件提高m元（）时，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大，请直接写出m的取值范围．
7．科学研究表明：一般情况下，在一节45分钟的课堂中，学生的注意力随教师讲课的时间变化而变化．经过实验分析，学生的注意力呈直线上升，学生的注意力指数y与时间x（分钟）满足，8分钟以后，学生的注意力指数y与时间x（分钟）图像呈抛物线形，到第16分钟时学生的注意力指数y达到最大值92，而后学生的注意力开始分散
(1)当x＝8时，注意力指数y为 　 　，8分钟以后，学生的注意力指数y与时间x（分钟）的函数关系式是 　 　；
(2)若学生的注意力指数不低于80，称为“理想听课状态”，则在一节45分钟的课中学生处于“理想听课状态”所持续的时间有多长？（精确到1分钟）
(3)现有一道数学压轴题，教师必须持续讲解24分钟，为了使效果更好，则该教师上课后从第几分钟开始讲解这道题？（精确到1分钟）（参考数据：
8．某商店销售卡塔尔世界杯的吉祥物，经市场调查发现：该商品的月销售量（件）是售价（元/件）的一次函数，其售价与月销售量的部分对应值如表：
售价（元/件）
月销售量（件）
(1)①求关于的函数表达式；
②该商品的进价为元，当售价是多少元时，月销售利润(元)最大？并求出最大利润； [注：月销售利润月销售量(售价进价)]
(2)利润不低于时候的售价最少需要多少？
9．如图1，某公园有一个圆形喷水池，喷水池中心有一个垂直于地面自动升降的喷头，喷出的水柱形状呈抛物线．如图2，以喷水池中心O为原点，水平方向为x轴，1米为1个单位长度建立平面直角坐标系，喷头A的坐标为
．设抛物线的函数表达式中二次项系数为a．
(1)当水柱都满足水平距离为4米时，达到最大高度为6米．
①若时，求第一象限内水柱的函数表达式．
②用含t的代数式表示a．
(2)为了美化公园，对公园及喷水设备进行升级改造，a与t之间满足，且当水平距离为6米时，水柱达到最大高度．
①求改造后水柱达到的最大高度．
②若水池的直径为25米，要使水柱不能落在水池外，求t的取值范围．
10．某公司推出一款手机，每部手机的成本价为2500元，经试销发现，这款手机的日销售量（部）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，与的几组对应值如下表：
销售单价元 2700 2900 3200 3300
日销售量部 80 60 30
(1)求关于的函数解析式（不要求写出的取值范围）．
(2)请根据以上信息填空：
①表格中，______；
②当______时，日销售利润（元）最大，最大利润是______元．
注：日销售利润日销售量（销售单价成本单价）
(3)该公司决定从每天的销售利润中捐赠1000元给希望工程，为了保证捐赠后每天剩余的利润不低于20000元，求的取值范围．
11．在一条笔直的滑道上有黑、白两个小球同向运动，黑球在处开始减速，此时白球在黑球前面处，小聪测量黑球减速后的运动速度（单位：cm/s）、运动距离（单位：cm）随运动时间t（单位：s）变化的数据，整理得下表．小聪探究发现，黑球的运动速度v与运动时间t之间成一次函数关系，运动距离y与运动时间t
之间成二次函数关系．
运动时间t（s） 0 4 8 12 …
运动速度v（cm/s） 10 8 6 4 …
运动距离y（cm） 0 36 64 84 …
(1)直接写出v关于t的函数表达式和y关于t的函数表达式；（不要求写出自变量的取值范围）
(2)当黑球减速后运动距离为时，求它此时的运动速度；
(3)若白球一直以3cm/s的速度匀速运动，问黑球在运动过程中会不会触到白球？若不能，请求出两球之间距离的最小值；若能，请求出运动时间t．
12．教师节前夕，某花店采购了一批鲜花礼盒，成本价为50元/件，物价局要求，销售该鲜花礼盒获得的利润率不得高于．分析教师节同期的鲜花礼盒销售情况，发现每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）（x为整数）近似的满足一次函数关系，数据如右表：
销售单价（元/件） 60 70 75
每天销售量（件） 240 180 150
（注：利润率=利润/成本）
(1)求y与x的函数关系式；
(2)试确定销售单价取何值时，花店销售该鲜花礼盒每天获得的利润最大？并求出最大利润；
(3)花店承诺：每销售一件鲜花礼盒就捐赠元（）给“希望工程”．若扣除捐赠后的日利润随着销售单价的增大而增大，请直接写出的取值范围是 ．
13．在“乡村振兴”行动中，某企业用A，B两种农作物为主要原料开发了一款有机产品，A原料的单价是B的1.5倍，用相同资金9000元收购A原料比B原料少1000kg．生产1件产品需A原料2kg和B原料4kg，每件还需其他成本9元．市场调查发现：产品每件售价是60元时，每天可销售500件；每降价1元，每天多销售20件．
(1)求每件产品的成本；
(2)求每天的利润W（元）与产品的售价单价是x（整数元）的函数解析式（不用写自变量的取值范围）；
(3)若每件产品的售价为n元（不低于成本，不高于60的常数、整数），确认每天的最大利润．
14．某商场新进一批商品，每个成本价25元，销售一段时间发现销售量y（个）与销售单价x（元/个）之间成一次函数关系．
x（元/个） 30 40 50
y（个） 190 170 150
(1)根据表中提供的数据，求y与x之间的函数关系式；
(2)若该商品的销售单价在45元~80元之间浮动．
①销售单价定为多少元时，销售利润最大？此时销售量为多少？
②商店想要在这段时间内获得4550元的销售利润，销售单价应定为多少元？
15．如图1，某公园在入园处搭建了一道“气球拱门”，拱门两端落在地面上．若将拱门看作抛物线的一部分，建立如图2所示的平面直角坐标系．拱门上的点距地面的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足函数关系．
(1)拱门上的点的水平距离与竖直高度的几组数据如下：
水平距离 2 3 6 8 10 12
竖直高度 4 5.4 7.2 6.4 4 0
根据上述数据，直接写出“门高”（拱门的最高点到地面的距离），并求出拱门上的点满足的函数关系．
(2)一段时间后，公园重新维修拱门．新拱门上的点距地面的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足函数关系，若记“原拱门”的跨度（跨度为拱门底部两个端点间的距离）为，“新拱门”的跨度为，则__________填“”、“”或“”）．
16．单板滑雪大跳台时北京冬奥会比赛项目之一，举办场地为首钢滑雪大跳台，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足函数关系（）．
(1)第一次训练时，该运动员的水平距离与竖直高度的几组数据如下：
水平距离
竖直高度
根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系（）；
(2)第二次训练时，该运动员的竖直高度与水平距离近似满足函数关系，记该运动员第一次训练着陆点的水平距离为；第二次训练的着陆点的水平距离为，则____（填“”“”或“”）．
17．某商店出售一款成本价每件40元的商品，据市场调查反映，该商品的日销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，其部分对应数据如下表：
销售单价x（元） 50 65
日销售量y（件） 300 150
(1)求y关于x的函数关系式；
(2)每件商品售价多少元时才能使每天的销售利润最大？最大销售利润是多少元？
(3)若该商店每天需要支付房租等其它费用共600元，为保证支付后剩余的利润每天不低于3150元，请求该商品销售单价x的取值范围．[备注：销售利润＝（销售单价－成本单价）×销售量]
18．某批发商以24元/箱的进价购进某种蔬菜，销往零售超市，已知这种蔬菜的标价为
45元/箱，实际售价不低于标价的八折，且不高于标价．批发商通过分析销售情况，发现这种蔬菜的日销售量y（箱）与当天的售价x（元/箱）满足一次函数关系，下表是其中的两组对应值．
售价x（元/箱） … 36 38 …
销售量y（箱） … 128 124 …
(1)直接写出y与x的函数关系式： ；
(2)若某天该批发商销售这种蔬菜获利1920元，则当天这种蔬菜售价为多少元/箱？
(3)批发商搞优惠活动，购买一箱这种蔬菜，赠送成本为6元的土豆，这种蔬菜的售价定为多少元/箱时，可使得日销售利润最大，最大日销售利润是多少元？
参考答案：
1．(1)；
(2)10dm；
(3)能，理由见解析．
【分析】（1）先把二次函数解析式求出来，设正方形在二次函数图像上的顶点坐标，利用抛物线的对称性列方程求解；
（2）由（1）中所设点的坐标，根据对称性求出矩形各边长度，建立新的二次函数，并求最大值即可；
（3）设半径为的圆与相切，并与抛物线相交，设交点为N，求出交点N的坐标，并计算点N是⊙M与抛物线在y轴右侧的切点即可．
【解析】（1）解：（1）如图1，由题意得：，，，
设抛物线的解析式为：，把代入得：，
解得：，
抛物线的解析式为：，
四边形是正方形，且抛物线关于轴对称，
，
设，
，
解得：，（舍），
此正方形的边长为；
故答案为：；
（2）如图2，由（1）知：设，
矩形的周长
，
当时，矩形的周长最大，且最大值；
故答案为：；
（3）若裁剪成圆，能裁剪出半径为的圆，
如图3，N为⊙M上一点，也是抛物线上一点，过N作⊙M的切线交y轴于Q，
连接，过点N作轴于P，则，，
设，由勾股定理得：，
，
解得：，（舍），
，
，
，
，
，
设QN的解析式为：，代入、
解得QN的解析式为：，
联立QN的解析式和抛物线解析式： ，
可得：，
即：，
，即此时N为圆M与抛物线在y轴右侧的唯一公共点，
若切割成圆，能切得半径为的圆．
【点评】本题考查了二次函数与几何结合，熟练掌握各图形的性质，能灵活运用坐标与线段长度之间的转换是解题的关键．
2．(1)
(2)
(3)种植的面积为2公顷时，当年收获蔬菜的总收益最大，最大值为7.6万元
【分析】（1）由题意可设，再利用待定系数法即可求解；
（2）由蔬菜的总收益等于总售价扣除修建和种植成本，即可求解；
（3）将配成顶点式即可求解．
【解析】（1）根据题意可设，
∵，；，，
∴，解得．
∴．
（2）由（1）得，
∴．
（3），
∵为整数，，
∴当时，，当时，，
∴万．
答：种植的面积为2公顷时，当年收获蔬菜的总收益最大，最大值为7.6万元．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用以及求二次函数的最大（小）值，读懂题意，列出函数关系是解决问题的关键．
3．(1)
(2)当乌馒头每盒降价3元时，商店每天获利为1480元
(3)当销售单价定为16元/盒时，日销售纯利润最大，最大纯利润为1580元
【分析】（1）设，根据表格即可求解；
（2）根据：销售量单件利润损耗费用销售总利润，列出方程即可求解；
（3）设日销售纯利润为元，根据：销售量单件利润损耗费用销售总利润，列出函数关系式，并在求最值即可．
【解析】（1）解：设，由题意得
，
解得，
∴．
（2）解：当时，，
即销售200盒的纯利润为1180元，
成本价为：（元），
，
解得：（舍），，
（元）．
答：当乌馒头每盒降价3元时，商店每天获利为1480元．
（3）解：设日销售纯利润为元，由题意得
，
，，
当时，有最大值1580元，
答：当销售单价定为16元/盒时，日销售纯利润最大，最大纯利润为1580元．
【点评】本题考查了一次函数，一元二次方程，二次函数在销售利润中的应用，掌握销售问题中的等量关系式是解题的关键．
4．(1)
(2)这天每间房的定价是190元
(3)当每间房价定为160元，宾馆的利润W最大为1960元
【分析】根据题意列方程即可求解；
根据利润=房间个数×每个房间的利润，即可求解；
根据第（2）问的式子化简求出最大值
【解析】（1）解：根据题意知，每间房间定价x元时，每天有游客居住的房间数为；
故答案为：；
（2）解：∵该天利润为1870元，
∴，
解得：或，
要使总支出最少，游客居住的房间数要最少，即最小，
∵，的值随的增大而减小，
∴时，的值最小，
答：这天每间房的定价是190元；
（3）解：根据题意得： ，
∵，
∴当时，W取最大值，最大值为1960元；
答：当每间房价定为160元，宾馆的利润W最大为1960元．
【点评】本题考查了一元二次方程的利润问题和二次函数利润问题，灵活运用所学知识是解题关键．
5．(1)；②石块能飞越防御墙；
(2)
【分析】（1）①根据题意得抛物线解析式为：，待定系数法求解析式即可求解；
②根据题意，得出，将代入解析式计算，即可求解．
（2）依题意得出，进而根据以及原点分别待定系数法求解析式即可求解．
【解析】（1）解：①∵发射石块在空中飞行的最大高度为米，
∴抛物线解析式为：，
将点代入得，，
解得：，
∴抛物线解析式为，
∴，
②∵点与点的水平距离为米、垂直距离为米．
∴，
当时，，
∴石块能飞越防御墙；
（2）∵，，
∴
当经过点，时，
，解得：.
当经过点，时，
，解得：
∴要使石块恰好落在防御墙顶部上（包括端点、），的取值范围为
【点评】本题考查了二次函数的实际应用，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键．
6．(1)
(2)35000元
(3)
【分析】（1）根据待定系数法直接进行求解即可得到答案；
（2）设这周该商场销售这种商品获得的利润为w元，根据题意可得，得到，根据利润的公式可得，利用（1）的结论可得，求出对称轴为，利用抛物线的性质即可得到答案；
（3）每间商品的利润为，重新得到，从
而得到对称轴为，结合这种商品的售价不超过进价的2倍得到不等式，解不等式即可得到答案．
【解析】（1）解：设y与x的函数关系式为，将，分别代入，
可得，
解得，
答：y关于x的函数关系式为．
（2）解：设这周该商场销售这种商品获得的利润为w元
根据题意可得，
解得．
．
∵，
∴在对称轴直线的左侧，函数值随自变量的增大而增大，且，
故当时，w有最大值，最大值为35000．
答：这周该商场销售这种商品获得的最大利润为35000元．
（3）解：∵进价为，这种商品的售价不超过进价的2倍，
∴，
∵，
∴抛物线的对称轴为：
∴当时，商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大，
∵这种商品的售价不超过进价的2倍，
∴，
∴，
∴．
【点评
】本题考查一次函数和二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握二次函数图像的性质．
7．(1)84，
(2)20分钟
(3)第4分钟
【分析】（1）根据题意把8代入题目求解即可，再根据顶点式写出抛物线表达式，再代入即可得到解析式；
（2）根据对两个函数列出不等式，求解即可；
（3）设出未知数，根据条件列出方程，解方程即可．
【解析】（1）根据题意，把代入可得：，
由题意可知，抛物线的顶点坐标为
∴可设抛物线的解析式为：，
把代入可得：，
解得：，
∴，
故答案为：84，；
（2）由学生的注意力指数不低于80，即，
当时，由可得：；
当时，则，即，
整理得：，解得：，
∴（分钟），
答：在一节45分钟的课中学生处于“理想听课状态”所持续的时间约有20分钟；
（3）设教师上课后从第t分钟开始讲解这道题，
由于，
要使学生的注意力指数在这24分钟内的最低值达到最大，
则当和当时对应的函数值相同，
即，整理得：
解得：（舍）
∴
答：教师上课后从第4分钟开始讲解这道题，能使学生的注意力指数在这24分钟内的最低值达到最大．
【点评】本题考查是二次函数的应用，解题关键是利用顶点式求出解析式，利用条件列出不等式，求出根据和当时对应的函数值相同求出t的值．
8．(1)①；②当该商品的售价是元件时，月销售利润最大，最大利润是元
(2)55元
【分析】（1）利用表格中的数据，用待定系数法求一次函数的解析式；用给出的月销售利润月销售量(售价进价)来建立二次函数，再转化为顶点式即可，
（2）代入二次函数的解析式，解一元二次方程即可．
【解析】（1）设为常数，，
根据题意得，
，
解得，
∴
设当该商品的售价是元件时，月销售利润为元，
根据题意得：
，
当时有最大值，最大值为，
答：当该商品的售价是元件时，月销售利润最大，最大利润是元；
（2）当元时，，
解得：，
答：利润不低于时候的售价最少需要元．
【点评】本题考查了二次函数的实际应用和一次函数的实际应用，确定函数的解析式是解题的关键．
9．(1)①；②
(2)①水柱达到的最大高度8米；②
【分析】（1）①设第一象限内水柱的函数表达式为，当时，把代入函数表达式即可得解，②把代入即可得解；
（2）①设第一象限内水柱的函数表达式为，利用得出a与t的关系，将代入，即可得解②把代入，得，要使水柱不能落在水池外，即可确定a的取值范围，再利用等量代即可得出t的取值范围．．
【解析】（1）①设第一象限内水柱的函数表达式为．
当时，把代入函数表达式，得．
第一象限内水柱的函数表达式为．
②把代入，得得
（2）①设第一象限内水柱的函数表达式为．
．
把代入，得，
．
水柱达到的最大高度8米．
②把代入，得．
要使水柱不能落在水池外，则a的取值范围为．
，
，解得．
．
【点评】本题考查了二次函数的实际应用以及二次函数的性质，理解题意，利用数形结合思想解题是关键．
10．(1)
(2)①20；②3000，25000
(3)
【分析】（1）设一次函数解析式，根据待定系数法，求出一次函数解析式，即可解答；
（2）①将值代入一次函数解析式，即可解答；②根据题意，根据日销售利润日销售量（销售单价成本单价），可得与x的关系式，根据二次函数的性质，即可解答；
（3）根据题意，列出不等式，再根据二次函数的性质，即可解答．
【解析】（1）解：设关于的函数解析式为，
将，分别代入，
得，解得
故．
（2）①当时，；
②根据题意，可得，
当时，W取最大值，最大值为25000；
（3）解：由题意得：，
当令，得，
解得或3200．
函数的图象开口向下，
故当捐赠后每天剩余的利润不低于20000元时，的取值范围为．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数，二次函数的性质，二次函数在销售过程中的应用，理清题中的数量关系是解题的关键．
11．(1)，
(2)
(3)黑球在运动过程中不会础到白球，两球最小距离为6
【分析】（1）利用待定系数法，分别设，代入数值计算求值即可；
（2）将代入解析式求出时间，再根据与的函数解析式求出速度即可；
（3）以点为原点，可得白球与原点的距离与时间的函数解析式为：，结合黑球移动距离与时间的函数解析式可求出两者距离的与时间的函数解析式即可判断并计算．
【解析】（1）解：设
由题意得：当时，，当时，分别代入得：
解得：
∴关于的函数解析式为：
设
当时，，当时，，当时，代入得：
解得：
∴关于的函数解析式为：
（2）解：将代入得：
解得：
当时，
当时，（舍去）
∴此时的速度为：
（3）解：由题意得：设点为原点，
白球与原点的距离与时间的解析式为：
∴两者的距离为：
即
∴黑球在运动过程中不会触到白球，
∴当时，有最小值，最小值为
【点评】本题主要考查二次函数以及一次函数，熟练掌握待定系数法求函数解析式以及利用顶点式求二次函数的最值是解决本题的关键．
12．(1)
(2)当销售单价为75元/件时，利润最大为3750元
(3)
【分析】（1）设y与x的函数关系式为，用待定系数法求函数解析式即可；
（2）设每天获得的利润为w元，根据总利润=单价利润×销售量列出函数解析式，再利用二次函数的性质求解即可；
（3）设表示扣除捐款后的日利润，根据题意，列出函数解析式，利用在范围内，随x的增大而增大，进而求解即可．
【解析】（1）解：设，
由题意得：当时，，当时，，
∴，
解之得，
∴；
（2）解：设每天利润为w元，由题意得
，
又∵，
∴，
∴
∵，
∴当时，，
答：当销售单价为75元/件时，利润最大为3750元；
（3）解：设表示扣除捐款后的日利润，
，
∵在（x为整数）范围内，随x的增大而增大，开口向下，对称轴是直线，
∴，
解得，
∵，
∴．
【点评】本题主要考查了求一次函数的解析式、二次函数的应用及二次函数的最值问题，正确列出解析式，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
13．(1)30元
(2)
(3)当时，每天的最大利润为15120元．当时，每天的最大利润为元
【分析】（1）根据题意列分式方程先求出两种原料的单价，再根据成本=原料费+其他成本，计算每件产品的成本即可；
（2）根据利润=售价-成本求解即可；
（3）根据二次函数的性质求解即可．
【解析】（1）解：设B原料单价为m元，则A原料单价为1.5m元．
由题意，得．
解得．
经检验，是分式方程的解，且符合题意．
∴．
∴每件产品的成本为（元）．
（2）解：由（1），每天利润
；
（3）解：由（2），
．
抛物线开口向下，对称轴为．
∴当时，或58时有最大利润，此时．
即每天的最大利润为15120元．
当时，W随x的增大而增大，
∴当时，每天的最大利润为元．
【点评】本题考查了分式方程及二次函数的应用，列二次函数关系式，利用函数的性质求最大利润，解题关键是理解二次函数的最值．
14．(1)
(2)①75元；5000元；100个；②60元
【分析】（1）利用待定系数法求解析式．设，把点分别代入可求得日销售量y与销售单价x之间的关系式；
（2）①设每天的利润为W，把每天的利润W与销售单价x之间的函数关系式化为二次函数顶点式的形式，由此关系式即可得出结论；②获得4550元的销售利润时，根据①列出方程求解即可．
【解析】（1）设，由题意得，
，
解得：．
∴．
（2）①设该商品的利润为W，
∴
∵，
∴当时，W最大，最大值为5000元；此时的销售量为：（个）．
②当获得4550元的销售利润时，
解得：，，
∵该商品的销售单价在45元～80元之间浮动，
∴．
答：销售单价应定为60元．
【点评】本题考查的是二次函数的应用，根据题意列出一次函数以及二次函数关系式是解答此题的关键．
15．(1)
(2)
【分析】（1）由表格得当时，，当时，，从而可求顶点坐标，即可求解；
（2）由表格可以直接求出，由可求出，进行比较即可．
【解析】（1）解：由表格得：
，
顶点坐标为，
，
，
解得：，
．
（2）解：由表格得
当时，，
原拱门中：（）；
新拱门中：
当时，
解得：，，
（），
，
．
故答案：．
【点评】本题考查了二次函数的实际应用，理解函数中自变量和应变量的实际意义是解题的关键．
16．(1)；
(2)
【分析】（1）根据表格数据可知抛物线顶点，得出该运动员竖直高度的最大值，进而待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据抛物线的开口大小进行判断即可求解．
【解析】（1）解：根据表格可知，抛物线对称轴为直线，
∴顶点，即该运动员竖直高度的最大值为；
将顶点，代入，
∴
∵过点，
∴
解得：，
∴解析式为：
（2）解：依题意，第一次训练满足解析式：，顶点坐标为，
第二次满足解析式：，顶点坐标为
∵，
∴第二次飞行路线的开口比第一次飞行路线的开口较小，顶点位置更低，着陆点离对称轴更近，
∴，
故答案为：．
【点评】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
17．(1)
(2)每件商品售价元时才能使每天的销售利润最大，最大销售利润是元
(3)不低于元，不超过元
【分析】（1）设，利用待定系数法代入求解即可；
（2）设每天销售利润为W元，列出函数关系式，然后化为顶点式即可得出结果；
（3）设除去支出后每天的利润为元，列出函数关系式求解即可．
【解析】（1）解：设，，据题意可得：
，
解得
；
（2）设每天销售利润为W元，则
∵，
∴当时，；
故每件商品售价60元时才能使每天的销售利润最大，最大销售利润是4000元；
（3）设除去支出后每天的利润为元，则
当时，有：，
整理得：，
解得：，
∵，
对称轴为：，
∴当时，不低于3150元，
故除去支出后每天的利润不低于3150元，销售单价为不低于55元，不超过65元．
【点评】题目主要考查一次函数及二次函数的应用，理解题意，列出函数关系式求解是解题关键．
18．(1)
(2)当获利为1920元时，当天这种蔬菜的售价为40元/箱
(3)售价为45元/箱，可获得最大日利润为1650元
【分析】（1）根据题意和表格中的数据可以求得y与x的函数关系式，；
（2）根据（1）中的函数关系式和题意，可以列出关于x的方程，从而可以解答本题，注意x的取值范围；
（3）根据题意可以得到利润关于x的函数关系式，然后利用二次函数的性质即可解答本题．
【解析】（1）设y与x之间的函数关系为，将，和，代入表达式，
得，解得．
∴
故答案为：
（2）依题意可得
整理方程，得
解得，
∵这种蔬菜售价不低于，且不高于标价，
∴
所以84不满足题设要求
∴满足题设
答：所以当获利为1920元时，当天这种蔬菜的售价为40元/箱．
（3）设日获得利润为W元，
∵
∴抛物线开口向下．
∴当时，W的值随x值的增大而增大
∵这种蔬菜售价不低于，且不高于标价,即
∴当时，（元）
答：这种蔬菜的售价为45元/箱，可获得最大日利润为1650元．
【点评】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，待定系数法求一次函数解析式，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．