北京课改版初中数学九年级上册 20.1 锐角三角函数——正弦函数 教案（表格式）

教学基本信息
课题 20.1锐角三角函数——正弦函数
学科 数学 学段： 7~9 年级 九年级
相关领域 锐角三角函数
教材 义务教育教科书 数学 九年级 上册 北京出版社
指导思想与理论依据
【基本理念】《数学课程标准（2011版）》指出：“数学课程应致力于实现义务教育阶段的培养目标，要面向全体学生，适应学生个性发展的需要，使得：人人都获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展。”【知识要求】锐角三角函数属于图形与几何（图形的变化）部分，课标中明确要求：“利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数（sinA，cosA， tanA）,知道30°，45°，60°角的三角函数值。”【能力培养】课标中提出在数学课程中，应注重发展学生的十个核心概念，本节内容主要围绕两个核心概念——几何直观和推理能力。一是需要学生借助几何直观把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果，可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用；二是推理，它分为合情推理和演绎推理，合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推断某些结果，演绎推理是从已有的事实（包括定义、公理、定理等）和确定的规则（包括运算的定义、法则、顺序等）出发，按照逻辑推理的法则证明和计算。在解决问题的过程中，两种推理功能不同，相辅相成，合情推理用于探索思路，发现结论，演绎推理用于证明结论。
教学背景分析
【教材分析】本节内容选自是北京出版社出版的《义务教育教科书数学九年级上册》第二十章解直角三角形主要内容本章包括锐角三角函数的概念，以及利用锐角三角函数解直角三角形等内容地位作用解直角三角形在现实生活中有着广泛的应用，例如在测量、建筑学、物理学中，常常遇到计算距离、高度、角度等问题，这些大多归结为直角三角形中的边角关系问题，这些关系就是锐角三家函数和勾股定理等内容，勾股定理的内容之前已经学习过，因此锐角三角函数的学习，是研究解直角三角形有关问题的有一重要工具.【学情分析】学生对直角三角形的相关定理（勾股定理和30°角所对直角边是斜边一半）掌握较为扎实；学生对特殊角度的直角三角形较为熟悉，从熟悉的图形入手，更易被代入思考的氛围中；学生在之前的学习过程中已经接触过方程思想，能根据勾股定理列方程解决直角三角形边长问题.
教学目标(内容框架)
【教学目标】1. 认识锐角三角函数（正弦函数）的概念，能够利用正弦函数的概念表示直角三角形的两边比；了解当∠A为锐角时，；能运用正弦函数解决简单的直角三角形中的相关问题.2. 通过探究直角三角形中边与角（∠A的对边与斜边）数量关系的问题，经历画图、测量、猜想、验证等过程，感受从特殊到一般的研究方法，体会函数变化与对应的思想.3. 通过探究直角三角形中边与角（∠A的对边与斜边）数量关系的过程，感受数学学科的严谨性，体会合作的乐趣与获得成功的喜悦.【教学重点】直角三角形中锐角（∠A）正弦的概念及运用【教学难点】探究影响sinA（0°<∠A < 90°）大小的因素及sinA的范围
问题框架(可选项)
研究直角三角形需要从哪几方面进行研究？直角三角形中角之间，边之间有怎样的数量关系？如何研究直角三角形中的边角关系？我们学习过哪些相关的定理？已知△ABC中∠C=90°，当∠A=30°，除外，边之间还有哪些数量关系？这种数量关系会不会因为三角形的大小而改变？已知△ABC中∠C=90°，当∠A=45°，的数量关系是什么？这种数量关系会不会因为三角形的大小而改变？已知△ABC中∠C=90°，当∠A=60°，的数量关系是什么？这种数量关系会不会因为三角形的大小而改变？已知△ABC中∠C=90°，当∠A=°呢？你的猜想是什么？请用你的方法验证你的猜想介绍锐角正弦函数的概念.什么因素影响了sinA的大小？当∠A为锐角时，sinA变化的范围是什么？请你从函数的角度解读正弦函数的概念
教学流程示意(可选项)
引课——复习回顾（发现问题）——合作探究——概念形成——从函数角度研究概念——例题讲解——巩固练习——课堂小结——拓展提升
教学过程(文字描述)
通过复习直角三角形中边之间，角之间的数量关系，引发学生思考：边角之间是否存在数量关系？基于学生的知识基础，学生易联想到：直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半. 教师以此作为切入口，继续探究45°和60°的直角三角形，最后过渡到一般的直角三角形，形成锐角的正弦概念，并再次从函数的角度，探究概念中变量的范围。最后运用锐角的正弦概念讲解例题. 本节的练习分为两个部分，一部分是基础练习，要求全员落实，另一部分是课下拓展，对学习有余力的学生希望能多培养.
教学过程(表格描述)
教学阶段 教师活动 学生活动 设置意图 技术应用 时间安排
引出课题 函数是初中、高中乃至大学学习的重点内容，它的模型思想应用十分广泛,例如我们之前学习的一次函数、二次函数以及反比例函数，在实际生活中都有着重要的作用，今天我们将学习一种新的函数——锐角三角函数。 学生思考：三角属于是几何知识，函数属于代数知识，它们之间有什么关系呢？ 从函数的角度引出课题，让学生再次认识到函数在生活中的重要作用. 30秒
发现问题 1.如图，已知△ABC中∠C=90°，请你说出三边之间，两锐角之间有什么数量关系？2.思考：直角三角形中，边与角之间有什么数量关系？例如：(1)当∠A=30°，边之间还有哪些数量关系？这个数量关系会不会因为直角三角形的大小发生变化？依据是什么？小小结：在直角三角形中，当锐角A的度数为30°时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比是一个固定值为.(2)当∠A=45°，的比值是多少？ 说明理由.小小结：在直角三角形中，当锐角A的度数为45°时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比是一个固定值为.(3)当∠A=60°，的比值是多少？说明理由.小小结：在直角三角形中，当锐角A的度数为60°时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比是一个固定值为.(4) 当∠A为任意一个确定的锐角时，∠A的对边与斜边的比是不是仍然具有上述性质？ 1.三边数量关系：(1)；(2)两边之差<第三边<两边之　　　　和；(学生可能会提出)两锐角数量关系：∠A+∠B=90°（互余）2.(1)当∠A=30°时，依据：直角三角形中，30°所对的直角边是斜边的一半.(2)由∠C=90°, ∠A=45°可知AC=BC，设AC=BC=x由勾股定理可得AB=,∴ (3)由∠C=90°, ∠A=60°可知∠B=30°，所以2AC=AB，设AC= x，AB= 2x由勾股定理可得BC=,∴(4)猜想：当∠A为任意一个确定的锐角时，∠A的对边与斜边的比是固定不变的. 回顾直角三角形的三边关系，两锐角之间的关系，本章是学习锐角三角函数是研究直角三角形中边与角之间的关系，让学生从整体上了解研究直角三角形的过程.从特殊的30°，45°，60°进行分析，再到∠A为任意一个确定的锐角，发现当锐角A的度数一定时，∠A的对边与斜边的比值是固定值，体现从特殊到一般的研究过程. 9分钟
探究活动一 【探究活动1】任意画两个和，使，，那么与有什么关系？你能解释一下吗？ 学生根据要求画图，再以小组为单位，探讨。 由特殊到一般，经历猜想、测量、证明的过程，体会研究问题的一般过程. 多媒体 4分钟
分享交流 教师用几何画板演示，从测量的角度验证.再从逻辑推理方面进行证明.小小结：在直角三角形中，当∠A为任意一个确定的锐角时，∠A的对边与斜边的比是固定不变的. 学生代表展示交流成果可能出现两种方法：(1)分别测量，与，计算比值，发现相等.(2)证明：∵∴△ABC∽△A’B’C’∴ 从两个方面对猜想进行验证,体会数学学科的严谨性及研究数学问题的过程. 实物投影+几何画板 6分钟
概念学习 一般地，在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作：“sinA”. 即 学生记录，并标记重点重点:∠A的对边是∠A不相邻的那条边. 强调∠A的正弦概念，学生的易错点是分不清∠A的对边是哪一条直角边，所以从图形上强化对学生“∠A的对边”的认识. 3分钟
探究活动二 【探究活动2】(1)猜想：影响sinA大小的因素是什么？ (2)∠A的范围是什么？(3)以小组为单位，交流一个问题：随着∠A的度数变大，sinA是如何变化的呢？sinA是否范围呢？说明理由. 学生独立思考，再以小组为单位，探讨。 通过前面的探究，深入探究直角三角形中，的范围，引导学生从函数的角度理解∠A的正弦概念，并认识到∠A的度数越大，sinA的值越大，为高中学习正弦函数作好铺垫. 多媒体 3分钟
分享交流 通过上面的探究活动，从函数的角度再次理解∠A的正弦概念.概念中有两个变量：一个是∠A的度数，一个是sinA的值. 当自变量∠A的度数变化时，函数sinA的值也随着变化.自变量的范围：0°<∠A < 90°函数值的范围是： 学生分享交流成果：(1) ∠A的大小(2)0°<∠A < 90°(3)随着∠A的度数变化，sinA的值也随着变化. ∠A的度数越大，sinA的值越大.当0°<∠A < 90°时，. 实物投影+几何画板 6分钟
例题讲解 例1：已知，如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，求和的值. 学生独立思考，并规范书写解题过程. 通过例题强化概念，规范书写的步骤 多媒体 4分钟
基础练习 1.已知，如图，在△ABC中， CD是AB上的高，CD=12，AD=9，BD=5，则2.在Rt△ABC中，∠C=90°，，BC=20，则AB=__________. 独立思考 ，不会的学生由组长帮忙讲解. 基础练习1题已知边求角的正弦，2题已知角的正弦求边长. 5分钟
课堂小结 通过本节的学习，选一个方面说说你的收获.(1)知识(2)研究数学的方法(3)小组交流(4)其它 选择自己较为深刻的方面进行总结.记住几个特殊角度的正弦值： 分别从知识，方法，合作等方面总结，回顾本节所学内容. 3分钟
拓展提高 1.在正方形网格中，∠a的位置如图所示，则sina的值为_______.2.如图所示，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则sinA的值为___________. 能力提升是针对学习速度较快的学生，若先完成基础练习可继续学习或课下探讨. 能力提升中的两道题，都是需要在网格中借用格点，构造直角三角形，在计算角的正弦值，2题种还需要利用勾股定理逆定理证明其为直角三角形，难度加大. 1分钟
学习效果评价设计
评价方式1. 对每名学生课堂参与度打分2. 对每名学生笔记的落实度打分3. 对学校小组合作探究环节打分4. 对课堂中回答问题或提出问题的学生赠送加分5. 将课堂中基础练习部分完成情况进行量化打分
评价量规姓名课堂参与笔记落实小组合作回答问题课堂练习其它合计
本教学设计与以往或其他教学设计相比的特点(300-500字数)
符合学生的认识规律，从学生已有的知识基础入手，引导学生发现问题，自然过度到本节课的学习内容，不生硬；通过对熟悉特殊角度的直角三角形的探究，过度到一般的直角三角形，让学生体会研究数学问题的一般方法；本节课学生经历画图，验证，猜想，证明的过程，认识到了数学学科严谨的特点；整节课的设计与实施都体现了学生的主体地位，符合课程标准的基本理念.
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