2023年安徽省定远县重点中学高考押题卷数学试题（含解析）

2023年定远重点中学高三押题卷数学试题
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知复数满足，且，则复数在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 设集合，，且，则集合( )
A. B. C. D.
3. 中国古代数学的瑰宝九章算术中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体是上、下底面均为扇环形的柱体扇环是指圆环被扇形截得的部分现有一个如图所示的曲池，垂直于底面，，底面扇环所对的圆心角为，弧的长度是弧长度的倍，，则该曲池的体积为( )
A. B. C. D.
4. 已知一组数据：，，，，，则下列说法错误的是( )
A. 若平均数为，则 B. 中位数可以是
C. 众数可以是 D. 总体方差最小时，
5. 已知非零向量、满足，且向量在向量方向的投影向量是，则向量与的夹角是( )
A. B. C. D.
6. 已知圆与圆相交所得的公共弦长为，则圆的半径( )
A. B. C. D.
7. 将函数的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，则( )
A. 函数的图象关于直线对称 B. 函数的图象关于点对称
C. 函数在区间上单调递增 D. 函数在区间上有两个零点
8. 如图，某同学用两根木条钉成十字架，制成一个椭圆仪．木条中间挖一道槽，在另一活动木条的处钻一个小孔，可以容纳笔尖，，各在一条槽内移动，可以放松移动以保证与的长度不变，当，各在一条槽内移动时，处笔尖就画出一个椭圆。已知，且在右顶点时，恰好在点，则的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 如图所示，边长为的等边从起始位置与轴重合绕着点顺时针旋转至与轴重合得到，在旋转的过程中，下列说法正确的是( )
A. 边所在直线的斜率的取值范围是
B. 边所在直线在轴上截距的取值范围是
C. 边与边所在直线的交点为
D. 当的中垂线为时，
10. 爆竹声声辞旧岁，银花朵朵贺新春除夕夜里小光用投影为家人进行虚拟现实表演，表演分为“燃爆竹、放烟花、辞旧岁、迎新春”个环节小光按照以上个环节的先后顺序进行表演，每个环节表演一次假设各环节是否表演成功互不影响，若每个环节表演成功的概率均为，则( )
A. 事件“成功表演燃爆竹环节”与事件“成功表演辞旧岁环节”互斥
B. “放烟花”、“迎新春”环节均表演成功的概率为
C. 表演成功的环节个数的期望为
D. 在表演成功的环节恰为个的条件下“迎新春”环节表演成功的概率为
11. 对于函数，下列说法正确的是( )
A. 在处取得极大值
B. 若在上恒成立，则
C.
D. 有且只有个零点
12. 已知三棱锥中，平面是边上一动点，则( )
A. 点到平面的距离为
B. 直线与所成角的余弦值为
C. 若是中点，则平面平面
D. 直线与平面所成的角的正切值的最大值为
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13. 已知函数是奇函数，则的值等于 ．
14. 年卡塔尔世界杯已落下帷幕，里奥梅西率领的阿根廷队获得冠军，捧得“大力神”杯据悉，从下届美加墨美国、加拿大、墨西哥世界杯开始，参赛球队将扩军至支比赛分小组赛和淘汰赛两个阶段小组赛将会分为个小组，每个小组支球队，采用单循环赛制即支队伍两两交手，小组前两名晋级强赛，第三名被淘汰，淘汰赛阶段：决赛：强分成组对阵，获胜的个队进入决赛，即所谓“强”，负者被淘汰决赛：强分成组对阵，获胜的个队进入决赛，即所谓“强”，负者被淘汰决赛：强分成组对阵，获胜的个队进入半决赛，即所谓“强”，负者被淘汰半决赛：强分成组对阵决赛：半决赛获胜两队进入决赛，失利的两队争夺第三名如按此规则，则美加墨世界杯共需举办 场比赛．
15. 若函数在区间上的最小值为，则的取值范围是 ．
16. 已知为坐标原点，为抛物线的焦点，过点作倾斜角为的直线与抛物线交于，两点其中点在第一象限若直线与抛物线的准线交于点，设，的面积分别为，，则 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
为贯彻中共中央、国务院年一号文件，某单位在当地定点帮扶某村种植一种草莓，并把这种露天种植的草莓搬到了大棚里，收到了很好的经济效益．根据资料显示，产出的草莓的箱数单位：箱与成本单位：千元的关系如下：
与可用回归方程其中，为常数进行模拟．
若农户卖出的该草莓的价格为元箱，试预测该水果箱的利润是多少元．利润售价成本
据统计，月份的连续天中农户每天可为甲地配送的草莓的箱数的频率分布直方图如图，用这天的情况来估计相应的概率．一个运输户拟购置辆小货车专门运输农户为甲地配送的草莓，一辆货车每天只能运营一趟，每辆车每趟最多只能装载箱该水果，满载发车，否则不发车．若发车，则每辆车每趟可获利元；若未发车，则每辆车每天平均亏损元．试比较和时，此项业务每天的利润平均值的大小．
参考数据与公式：设，则
线性回归直线中，，．
18. 本小题分
已知的内角，，的对边分别为，，，向量，，且．
求角
若，的面积为，求的周长．
19. 本小题分
已知数列的前项和为，是与的等差中项；数列中，，，
Ⅰ求数列与的通项公式；
Ⅱ若，证明：；
Ⅲ设，求．
20. 本小题分
在四棱锥中，底面是边长为的菱形，，，．
证明：平面；
若，在棱上是否存在点，使直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由．
21. 本小题分
已知双曲线的右焦点为为坐标原点，双曲线的两条渐近线的夹角为．
求双曲线的方程；
过点作直线交于两点，在轴上是否存在定点，使为定值？若存在，求出定点的坐标及这个定值；若不存在，说明理由．
22. 本小题分
已知函数．
求函数的图象在处的切线方程；
判断函数的零点个数，并说明理由．
答案和解析
1.
【解析】由题意可知，，
所以，解得，
因为，
所以，
所以，即复数在复平面内对应的点位于第三象限．
故选C．
2.
【解析】集合 ，
，
且，
．
故选B．

3.
【解析】设弧所在圆的半径为，弧所在圆的半径为，
因为弧的长度是弧长度的倍，所以，即，
又，则，
所以该曲池的体积：．
故选A．

4.
【解析】平均数为时，，解得，故A正确
显然，当时，中位数不可能为，
当时，中位数为，故B错误
当时，众数可以是，故C正确
设总体平均数为，
则
，
故当且仅当时，取得最小值，D正确．
故选：．

5.
【解析】因为非零向量、满足，
所以，
所以，则，
因为向量在向量方向的投影向量是，
所以，
所以，
所以，
因为，解得，
则向量与的夹角是．故选B．
6.
【解析】与两式相减得，即公共弦所在直线方程，圆方程可化为，可得圆心，，圆心到的距离为，半弦长为，则有，解得或舍，此时故选：．

7.
【解析】
【分析】
本题主要考查了函数的图象变换以及正弦函数的性质，属于基础题．
根据三角函数图象平移得的解析式，再结合正弦函数性质逐一判断即可得解．
【解答】
解：函数的图象向左平移个单位后得到，
对，当时，，，故关于对称，故A错误；
对，当时，，，故B错误；
对，当，，故在区间上不单调，C错误；
对，当，，当或时取到零点，只有两个，故D正确．
故选D．
8.
【解析】由题意知与的长度不变，已知，
设，则，
当滑动到位置处时，点在上顶点或下顶点，则短半轴长，
当在右顶点时，恰好在点，则长半轴长，
故离心率为，故选D．

9.
【解析】在处时，，则直线的倾斜角为，斜率为，
在处时，，则直线的倾斜角为，斜率为，
则在旋转过程中边所在直线的斜率取值范围是，故A正确；
直线的方程为，在轴上的截距为，
直线的方程为，在轴上的截距为，
则边所在直线在轴上截距的取值范围是，故B错误；
联立，解得，故C正确；
记中点为，当的中垂线为时，，，
又直线与的夹角为，则，
则，故D正确．
故选ACD．

10.
【解析】事件“成功表演燃爆竹环节”与事件“成功表演辞旧岁环节”可以都发生，故不互斥，A错误
“放烟花”、“迎新春”环节均表演成功的概率为，B正确
记表演成功的环节个数为，则∽，期望为，C正确
记事件“表演成功的环节恰为个”，事件“迎新春环节表演成功”，
，，
由条件概率公式，D正确故选BCD．

11.
【解析】函数，
则，，
令，即，解得，
当时，，故函数在上为单调递增函数，
当时，，故函数在上为单调递减函数，
故函数在处取得极大值，
故选项A正确；
因为在上恒成立，
则在上恒成立，
令，
故，
因为，
令，解得，
当时，，则单调递增，
当时，，则单调递减，
所以当时，，
则，
故选项B错误；
因为当时，，故函数在上为单调递减函数，
所以，
因为，
所以，
故选项C正确；
令函数，则，解得，
所以函数只有一个零点，
故选项D正确；故选ACD．
12.
【解析】对于，在平面内，过作垂直于，交的延长线于点，如下图所示：
平面，且平面，，
，，平面，
平面，
则到平面的距离为的长，
，，，
在中，，故A错误；
对于，在平面内，过作，交于点，
平面，且平面，
，，
则，，两两垂直，
如图，以为坐标原点，、、分别为、、轴建立空间直角坐标系：
则，，，，
得，，
，，，
则，
即直线与所成角的余弦值为，故B正确；
对于，作图如下：
在中，，为的中点，则，
平面，平面，
，
，平面，
平面，
平面，
平面平面，故C正确；
对于，作图如下：
平面，
直线与平面所成角为，
平面，平面，，
则在中，，
当取得最小值时，取得最大值，
当为的中点时，由可知，，取得最小值为，
则取得最大值为，故D正确．
故选BCD．

13.或
【解析】若，则，此时无意义，是奇函数，
则，
若，则，即有意义，
是奇函数，
函数的定义域关于原点对称，
则，即，得，
当时，是奇函数，满足条件，
则，
综上或．
故答案为：或．

14.
【解析】小组赛共场，
决赛共场，
决赛共场，
决赛共场，
半决赛共场，
决赛共场，
总共场比赛．
故答案为：．

15.
【解析】对函数求导得：，令，可得，
即时，此时单调递减，
当时，，单调递增．
而，
，即．

16.
【解析】由题意可知，直线的方程为，
代入，整理得，
设点、的坐标分别为，，
则，，
因为点位于轴上方，
所以可得，，
则，
所以直线的方程为，
由，得，
所以轴，
所以，
，
所以．
故答案为：．
17.解：根据题意，，
所以，
所以．
又，所以．
所以时，千元，
即该草莓箱的成本为元，
故该草莓箱的利润为元．
根据频率分布直方图，可知该农户每天可配送的草莓的箱数的概率分布表为：
箱数
设该运输户购辆车和购辆车时每天的利润分别为，元．
则的可能取值为，，，其分布列为：
故 E．
的可能取值为，，，，其分布列为：
故．
故E，
即购置辆小货车的利润平均值大于购置辆小货车的利润平均值．
18.解：由可知，
由正弦定理，得，
即．
所以，
又，
所以
由知，
所以，
又，
所以，
所以，即，
所以的周长为．
19.Ⅰ解：是与的等差中项，
，
当时，，；
当时，，即，
综上，数列是以为首项，为公比的等比数列，；
数列中，，，
1

Ⅱ，
．
；
Ⅲ，
即，
，
，
．
【解析】本题考查数列的通项和求和，注意解题方法的积累，属于中档题．
Ⅰ通过是与的等差中项，分、讨论即得；通过，计算即得结论；
Ⅱ利用，并项相加即可；
Ⅲ利用错位相减法即得结论．
20.解：证明：连接交于，连接，
因为底面是边长为的菱形，所以，
因为是中点，，
所以，
因为，、平面，
所以平面，
因为平面，
所以，
因为，，、平面，
所以平面；
取线段的中点，连接，
因为底面是边长为的菱形，，
所以，是等边三角形，又是的中点，
所以，
所以，则，
因为平面，、平面，
所以，，
则以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴，建立如图的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，
设，
则，
设平面的法向量为，
由，得，取，得，，则，
设直线与平面所成的角为，
则，
化简得，则，所以此方程无解，
所以满足条件的点不存在．
21.解：双曲线 的渐近线方程为，
又 ，即 ，故渐近线 的倾斜角小于 ，
而双曲线 的两条渐近线的夹角为 ，
则渐近线 的倾斜角为 ，
则 ，即 ，
又 ，则 ，
所以双曲线 的方程是 ；
当直线 不与 轴重合时，设直线 的方程为 ，
代入 ，得 ，即 ，
设点 ，则 ，
设点 ，则
，
令 ，得 ，
此时 为定值，此时 ；
当直线 与 轴重合时，则 为双曲线的两顶点，
不妨设点 ，
对于点 ，有．
综上所述，存在定点 ，使 为定值．
22.解：，
所以切线斜率为，
，则切点坐标为，
所以函数的图象在处的切线方程为；
有两个零点，理由如下：
令，可得，
判断函数的零点个数，即判断与图象
交点的个数，
因为为单调递增函数，，
当无限接近于时，无限接近于，且，
由，令，解得，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以，，
，，
且当无限接近于时无限接近于，
所以与的图象在时有一个交点，在时有一个交点，
综上函数有个零点．