2.4.2圆的一般方程课件-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册(共23张PPT)

(共23张PPT)
2.4.2 圆的一般方程
问题1 直线方程有哪些形式？
直线的一般式方程
直线的倾斜角和斜率
直线的两
点式方程
直线的点斜式方程
过两点的直线斜率公式
斜截式方程
截距式方程
复习引入
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追问： 圆的方程是否也有一般式呢？
前面我们已讨论了圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,现将其展开
可得：x2+y2-2ax-2bx+a2+b2-r2=0.可见,任何一个圆的方程都可以变形x2+y2+Dx+Ey+F=0的形式.
请大家思考一下,形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程表示的曲线是不是圆 下面我们来探讨这一方面的问题.
问题导学
新知探究
例如,对于方程对其进行配方，得,因为任意一点的坐标 都不满足这个方程，所以这个方程不表示任何图形，所以形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程不一定能通过恒等变换为圆的标准方程，这表明形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程不一定是圆的方程.
问题思考
新知探究
探究新知
将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0，配方可得
一、圆的一般方程
新知探究
3.二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆需要满足哪些条件
小试牛刀
1.圆x2+y2-6x=0的圆心坐标是　　　　　.
答案:(3,0)
2. 若方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示以(2,-4)为圆心,以4为半径的圆,
则F=　　　　　.
答案:4
答案:(1)A=C,且均不为0; (2)B=0;(3)D2+E2-4AF>0.
小练
二元二次方程表示圆的判断方法
任何一个圆的方程都可化为x2+y2+Dx+Ey+F=0的形式,但形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程不一定表示圆.判断它是否表示圆可以有以下两种方法:
(1)计算D2+E2-4F,若其值为正,则表示圆;若其值为0,则表示一个点;若其值为负,则不表示任何图形.
归纳总结
新知探究
问题 圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点呢？
标准方程 一般方程
方程
代数特征 平方和 特殊的二元二次方程
系数
圆心 （a,b）
半径 r
新知探究
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新知探索
答案：√，×，√.
辨析1.判断正误.
(1)圆的一般方程可以化为圆的标准方程.( )
(2)二元二次方程一定是某个圆的方程.( )
(3)方程表示圆.( )
答案：D.
辨析2.圆的圆心坐标是( ).
A. B. C. D.
例析
例4.求过三点，的圆的方程，并求出这个圆的圆心坐标和半径.
解：设圆的方程是.①
∵，，三点都在圆上，所以它们的坐标都是方程①的解.把它们的坐标依次代入方程①，得到关于的一个三元一次方程组
解这个方程组，得
所以，所求圆的方程是.
由前面的讨论可知，所求圆的圆心坐标是，
半径.
问题 什么是待定系数法？如何运用待定系数法求圆的方程呢？
一般先写出含有未知系数的解的形式（如一种类型的方程、算式或表达式），然后再根据问题所给的条件解得所设的未知系数．由于其中的系数是未知和待定的，这类方法就被称为待定系数法．
新知探究
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（1）根据题意，选择标准方程或一般方程；
（2）根据条件列出关于 或 的方程组；
（3）解出 或 ，得到标准方程或一般方程.
例析
例5.已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程.
解：设点的坐标是，点的坐标是.由于点的坐标
是，且是线段的中点，所以
于是有，. ①
因为点在圆上运动，所以点的坐标满足圆的
方程，即. ② 把①代入②，
得，整理，得.
这就是点的轨迹方程，它表示以为圆心，半径为的圆.
练习
题型一：对圆一般方程的理解
例1.若方程表示圆，求：
(1)实数的取值范围；
(2)圆心坐标和半径.
解：(1)据题意知，
即，解得，
故的取值范围为.
(2)将方程写成标准方程为，
故圆心坐标为，半径.
练习
方法技巧：
方程表示圆的判断方法
(1)配方法.对形如的一元二次方程可以通过配方变形成“标准”形式后，观察是否表示圆.
(2)运用圆的一般方程的判断方法求解.即通过判断是否为正，确定它是否表示圆.
练习
变1.已知，方程表示圆，则圆心坐标为________，半径为________.
答案：，.
解：由圆的一般方程的形式知，解得或.
当时，该方程可化为，
∵，∴不符合题意.
当时，方程可化为，即，
∴圆心坐标为，半径为.
练习
题型二：求圆的一般方程
例2.已知一圆过，两点，且在轴上截得的线段长为，求圆的方程.
解：设圆的方程为，将的坐标分别代入上式，
得令，得，③
由已知，其中，是方程③的两根.
∴.④
联立解得，或
故所求圆的方程为或.
练习
方法技巧：
待定系数法求圆的一般方程的步骤
(1)根据题意设所求的圆的一般方程为；
(2)根据已知条件，建立关于的方程组；
(3)解此方程组，求出的值；
(4)将所得的值代回所设的圆的方程中，就得到所求的圆的一般方程.
练习
变2.求圆心在直线上，且过点和的圆的一般方程.
解：设所求圆的一般方程为，则圆心为.
∵圆心在直线上，∴.
又∵点和在圆上，
∴.
.③
解③组成的方程组，得.
∴所求圆的一般方程为.
练习
题型三：与圆有关的轨迹方程问题
例3.已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上.
(1)求圆的方程；
解：(1)设点为线段的中点，直线为线段的垂直平分线，则.
又，所以，
所以直线的方程为，即.
由得圆心，
则半径，
所以圆的方程为.
练习
例3.已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上.
(2)线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程.
解：(2)设
∵点的坐标为，∴即
又点在圆上运动，
∴，即.
整理得.
即所求线段的中点的轨迹方程为.
练习
方法技巧：
求轨迹方程的三种常用方法
(1)直接法：根据题目条件，建立坐标系，设出动点坐标，找出动点满足的条件，然后化简、证明.
(2)定义法：当动点的运动轨迹符合圆的定义时，可利用定义写出动点的轨迹方程.
(3)代入法：若动点依赖于某圆上的一个动点而运动，把用表示，再将点的坐标代入到已知圆的方程中，得点的轨迹方程.
练习
变3.点是圆上的定点，点是圆内一点，为圆上的动点.
(1)求线段的中点的轨迹方程；
(2)若，求线段的中点的轨迹方程.
解：(1)设线段的中点为，由中点公式得点坐标为.
∵点在圆上，∴，
故线段的中点的轨迹方程为.
(2)设线段的中点为，在中，.
设为坐标原点，连接，则，
∴，
∴，
故线段的中点的轨迹方程为.
课堂小结
1.圆的一般方程的概念：
当时，二次方程叫做圆的一般方程.
.圆的一般方程对应的圆心和半径
圆的一般方程表示的圆以为圆心，以为半径长.