2.5.1直线与圆的位置关系课件-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册(共26张PPT)

(共26张PPT)
2.5.1 直线与圆的位置关系
第1课时：直线与圆的位置关系
引言
l
前面我们学习了直线的方程、圆的方程，用直线的方程研究了两条直线的位置关系.
本节课我们类比用直线的方程研究两直线位置关系的方法，运用直线和圆的方程，研究直线与圆的位置关系.
新知探究
相交 相切 相离
直线与圆有哪些位置关系？
1 问题1
新知探究
相交 相切 相离
1 追问1：
新知探究
直线与圆的 位置关系 直线与圆
公共点的个数
相交 2
相切 1
相离 0
1 追问1：
新知探究
直线与圆的
位置关系
直线与圆
公共点的个数
相交
相切
相离
2
1
0
1 追问1：
新知探究
d
直线与圆的 位置关系 圆心到直线距离与半径比较
相交 d相切 d=r
相离 d>r
d
d
还有其他判断直线与圆的位置
关系的方法吗？
1 追问2：
新知探究
直线与圆的
位置关系
圆心到直线距
离与半径比较
相交
d相切
d=r
相离
d>r
2
1
0
1 追问3：
d
d
d
直线与圆的位置关系的判断方法
直线Ax+By+C=0(A,B不同时为0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)的位置关系及判断
探究新知
点睛：几何法更为简洁和常用.
新知探究
1.直线3x+4y=5与圆x2+y2=16的位置关系是(　　)
A.相交 B.相切
C.相离 D.相切或相交
答案:A
小试牛刀
新知探究
例1 已知直线方程mx-y-m-1=0,圆的方程x2+y2-4x-2y+1=0.
当m为何值时,直线与圆
(1)有两个公共点;
(2)只有一个公共点;
(3)没有公共点
思路分析:可联立方程组,由方程组解的个数判断,也可求出圆心到直线的距离,通过与半径比较大小判断.
典例解析
新知探究
解:(方法1)将直线mx-y-m-1=0代入圆的方程,化简、整理,
得(1+m2)x2-2(m2+2m+2)x+m2+4m+4=0.
新知探究
直线与圆的位置关系的判断方法
直线与圆的位置关系反映在三个方面:
一是点到直线的距离与半径大小的关系;
二是直线与圆的公共点的个数;
三是两方程组成的方程组解的个数.
因此,若给出图形,可根据公共点的个数判断;若给出直线与圆的方程,可选择用几何法或代数法,几何法计算量小,代数法可一同求出交点.解题时可根据条件作出恰当的选择.
归纳总结
新知探究
例析
例1.已知直线和圆心为的圆，判断直线与圆的位置关系；如果相交，求直线被圆所截得的弦长.
解法1：联立直线与圆的方程，得
消去，得，解得
所以，直线与圆相交，有两个公共点.
把，分别代入方程，得，.
所以，直线与圆的两个交点是，.
因此.
例析
例1.已知直线和圆心为的圆，判断直线与圆的位置关系；如果相交，求直线被圆所截得的弦长.
解法2：圆的方程可化为，
因此圆心的坐标为，半径为，圆心到直线的距离
.
所以，直线与圆相交，有两个公共点.
如图，由垂径定理，得.
新知探索
答案：×，√，√.
辨析1.判断正误.
(1)若直线与圆有公共点，则直线与圆相交.( )
(2)若直线与圆组成的方程组有解，则直线和圆相交或相切.( )
(3)若圆心到直线的距离大于半径，则直线与圆的方程联立消元后得到的一元二次方程无解.( )
答案：B.
辨析2.若直线与圆相切，则的值为( ).
A.或 B. C. D.无解
练习
题型一：直线与圆位置关系的判断
例1.求实数的取值范围，使直线与圆分别满足：(1)相交；(2)相切；(3)相离.
解：圆的方程化为标准形式为故圆心到直线的距离为，圆的半径为.
(1)若相交，则，即，所以或；
(2)若相切，则，即，所以；
(3)若相离，则，即，
所以.
练习
方法技巧：
判断直线与圆的位置关系应注意的问题
(1)利用几何法比利用代数法能更简捷地判断出直线与圆的位置关系.
(2)在解决直线与圆的位置关系问题时，应注意联系圆的几何性质，利用有关图形的几何特征尽可能简化运算.
练习
变1.已知点在圆的外部，则直线与的位置关系是( ).
A.相切 B.相离 C.相交 D.不确定
答案：C.
解：由已知，且圆心到直线的距离为，
则，故直线与圆的位置关系是相交.
练习
题型二：直线与圆相交问题
例2.求直线被圆截得的弦长.
解：法1：圆可化为，
其圆心坐标为，半径.
点到直线的距离为，，
所以截得的弦长为.
法2：设直线与圆交于，两点.由得交点，，
所以弦的长为.
练习
方法技巧：
求弦长常用的三种方法
(1)几何法：利用圆的半径，圆心到直线的距离，弦长之间的关系解题.
(2)交点坐标法：利用交点坐标，若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长.
(3)公式法：利用弦长公式，设直线，与圆的两交点，，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得弦长
.
练习
变2.过点的直线被圆截得的弦长为，求该直线方程.
解：由例题知，圆心，半径，又弦长为.
所以圆心到直线的距离.
又直线过点，知直线斜率一定存在.
可设直线斜率为，则直线方程为，
所以，解得或，
所以直线方程为或，
即或.
练习
题型三：直线与圆相切问题
例3.求与直线平行且与圆相切的直线的方程.
解：设直线的方程为，即，
的圆心坐标为，半径为.
由，得或，
所以直线的方程为或.
练习
方法技巧：
圆的切线方程的两种求解方法
(1)几何法：设出切线的方程，利用圆心到直线的距离等于半径，求出未知量的值，此种方法需要注意斜率不存在的情况，要单独验证，若符合题意则直接写出切线方程.
(2)代数法：设出直线的方程后与圆的方程联立消元，利用求未知量的值.若消元后的方程是一元一次方程，则说明要求的两条切线中有一条直线的斜率不存在，可直接写出切线的方程.
练习
变3.求与直线垂直且与圆相切的直线的方程.
解：设直线的方程为，即，
的圆心坐标为，半径为.
由，得或，
所以直线的方程为或.
课堂小结
直线与圆的位置关系及判断：
位置关系 相交 相切 相离
公共点个数 2个 1个 0个
判 定 方 法 几何法：设圆心到直线的距离
代数法：由 消元得到一元二次方程的判别式