2.2.3直线的一般式方程课件-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册(共26张PPT)

(共26张PPT)
2.2.3 直线的一般式方程
问题1 四种表示直线的方程
区别：应用条件不同；表达形式不同；
联系：
点斜式方程 斜截式方程 两点式方程 截距式方程
，它们有怎样的区别与联系？
直线上任意点的几何特征
直线的代数表示：直线上点的横纵坐标x，y的关系
复习回顾
l
追问1：以上四种方程在表示直线时有怎样的局限性？
×
×
×
×
×
×
×
√
√
√
√
√
复习回顾
l
问题： 由下列各条件,写出直线的方程,并画出图形.
(1)斜率是1,经过点A(1,8);
(2)在x轴和y轴上的截距分别是-7,7;
(3)经过两点P1(-1,6),P2(2,9);
(4)在y轴上的截距是7,倾斜角是45°.
问题导学
同学们,请根据前面我们学习的直线方程形式,分别利用点斜式、截距式、两点式和斜截式,求出对应的4个直线方程；
新知探究
发现:这4条直线是重合的.事实上,它们的方程都可以化简为x-y+7=0.这样前几种直线方程就有了统一的形式,这就是本节我们要学习的直线的一般式方程.
如果我们画出这4条直线的图象，你有什么发现？
新知探究
二元一次方程
一条直线
探究新知
新知探究
2.直线的一般式方程与其他形式的互化
新知探究
1.在方程Ax+By+C=0(A,B不同时为零)中,A,B,C为何值时,方程表示的直线
(1)平行于x轴;(2)平行于y轴;(3)与x轴重合;(4)与y轴重合.
小试牛刀
新知探究
2.直线方程2x+3y+1=0化为斜截式为　　　　　　　　;
化为截距式为 　 .
新知探究
3.两条直线的位置关系
新知探究
新知探究
l
例析
例5.已知直线过点，斜率为，求直线的点斜式和一般式方程.
解：经过点，斜率为的直线的
点斜式方程是，
化为一般式，得.
例析
例6.把直线的一般式方程化为斜截式，求出直线的斜率以及它在轴与轴上的截距，并画出图形.
解：把直线的一般式方程化为斜截式.
因此，直线的斜率，它在轴上的截距是.
在直线的方程中，令，得，
即直线在轴上的截距是.
由上面可得直线与轴、轴的交点分别为，，
过，两点作直线，就得直线(如图).
练习
题型一：直线的一般式方程
例1.根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程：
(1)斜率是，且经过点；
(2)斜率是，在轴上的截距为；
解：(1)由点斜式，得直线方程为，
即.
(2)由斜截式，得直线方程为，
即.
练习
例1.根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程：
(3)经过点两，点；
(4)在轴，轴上的截距分别为，；
(5)经过点，且平行于轴.
解：(3)由两点式，得直线方程为，
即.
(4)由截距式，得直线方程为，
即.
(5).
练习
方法技巧：
求直线一般式方程的策略
(1)当时，方程可化为，只需求的值；若，则方程可化为，只需确定，的值.因此，只要给出两个条件，就可以求出直线方程.
(2)在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选用四种特殊形式之一求方程，然后可以转化为一般式.
练习
变1.已知直线经过点，，求直线的点斜式、斜截式和一般式方程，并根据方程指出直线在轴、轴上的截距.
解：∵，所以点斜式方程为，
斜截式方程为，
一般式方程为，
直线在轴上的截距为，在轴上的截距为.
练习
题型二：一般式下的平行与垂直问题
例2.(1)已知直线与直线平行，求的值；
解：(1)由，知：
①当时，显然与不平行；
②当时，，需.
解得或，
∴的值为或.
练习
例2.(2)当为何值时，直线与直线互相垂直？
解：(2)由题意知，直线.
①若1，即时，直线与直线显然垂直.
②若1即时，直线与直线不垂直.
③若1且，则直线，的斜率都存在，
，.当时，即解得综上可知，当或时，直线.
练习
方法技巧：
(1)直线：，直线：，
①若且(或).
②若.
(2)与直线平行的直线方程可设为，与直线垂直的直线方程可设为.
练习
变2.已知直线的方程为求满足下列条件的直线的方程.
(1)过点，且与平行；
(2)过点，且与垂直.
解：(1)由与平行，可设的方程为.
将点代入上式得.
∴所求直线的方程为.
(2)由与垂直，可设的方程为.
将点代入上式得.
∴所求直线的方程为.
练习
题型三：含参数的一般式方程问题
例3.已知直线.
(1)求证：不论为何值，直线总经过第一象限；
(1)证明：将直线的方程整理为，
∴直线的斜率为，且过定点，
而点在第一象限内，故不论为何值，恒过第一象限.
练习
例3.已知直线.
(2)为使直线不经过第二象限，求的取值范围.
(2)解：直线的斜率为.
如图所示，要使不经过第二象限，需斜率，
∴，即的取值范围为.
练习
方法技巧：
直线恒过定点的求解策略
(1)将方程化为点斜式，求得定点的坐标；
(2)将方程变形，把，看作参数的系数，因为此式子对于任意的参数的值都成立，故需系数为零，解方程组可得，的值，即为直线过的定点.
练习
变3.已知直线.若直线不经过第二象限，求的取值范围.
解：①当，即时，直线方程为，该直线不经过第二象限，满足要求.
②当，即时，直线化为截距式方程，
因为直线不过第二象限，故该直线的斜率大于等于零，且在轴的截距小于等于零，即解得所以.
由①②可得，的取值范围为.
课堂小结
直线的一般式方程
(1)定义：关于的二元一次方程(其中不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式.
(2)适用范围：平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一般式表示.
【注】系数的几何意义：
(1)当时，则(斜率)，(轴上的截距)；
(2)当，时，则(轴上的截距)，此时斜率不存在.