北师大版八年级数学下册试题 1.3线段的垂直平分线（含答案）

1.3线段的垂直平分线
一、选择题
1．在的边上找一点P，使得．下面找法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，在中，，，的垂直平分线交于D，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
3．如图，在中，边上的垂直平分线分别交边于点E，交边于点D，若长为，长为，则EC的长为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，直线是边的垂直平分线，且与相交于点E，与相交于点D，连接，已知，，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在中，、的垂直平分线分别交于点、，若，则为（ ）
A．38° B．42° C．44° D．48°
6．三角形内到三个顶点的距离相等的点是（　　）
A．三条中线的交点 B．三条高的交点
C．三条角平分线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点
7．如图是按以下步骤作图：（1）在中，分别以点B，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点M，N；（2）作直线交于点D；（3）连结，若，，则的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°．分别以点A和C为圆心，以大于AC的长度为半径作弧，两弧相交于点P和点Q，作直线PQ分别交BC，AC于点D和点E．若CD=3，则BD的长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
9．如图，在中，分别以A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别相交于M，N两点，作直线，分别交线段，于点D，E，若，的周长为11，则的周长为（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
二、填空题
1．如图，、是的边上的两点，，分别垂直平分、，垂足分别为点、．若，则的度数为_______．
2．在中，，是的垂直平分线，，则______．
3.如图，在中，，，斜边的垂直平分线交于点，交于点，，则______cm．
4．如图所示，点为内一点，分别作出点关于、的对称点，，连接交于，交于，，则的周长为_______．
5．如图，在中，，，是的平分线，．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是_____．
三、解答题
1.如图，直线表示一条公路，A，表示两所大学，要在公路旁修建一个车站，使车站到两所大学的距离相等．请用尺规在图上找出点并说明理由．
2．如图，在中，平分交于点，，．
(1)请用无刻度的直尺和圆规作出线段的垂直平分线；（要求：不写作法，保留作图痕迹，使用2B铅笔作图）
(2)记（1）中所作的垂直平分线交于点E，交于点，连接．求的度数．
3．如图，已知，，与交于O，．
求证：
(1)；
(2)点O在线段的垂直平分线上．
4．如图，，，与相交于．
(1)求证：；
(2)求证：垂直平分．
5．如图，已知中，，，．
(1)作的垂直平分线，分别交、于点、；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，连接，求的周长．
6.（1）如图，已知为边上一点，请用尺规作图的方法在边上求作一点．使．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在上图中，如果，则的周长是_______．
7.已知，中，，点是的边上的点，且于．
(1)如图1，若，求证：．
(2)如图2，与不平行，连接，交于点．若恰好垂直平分，且．请先找出图中所有与相等的线段（不需另填字母），再进行证明．
8.如图，在中，，的平分线交于点，点为上一动点，过点作直线于点，分别交直线、、于点、、．
(1)如图1，当点与点重合时，求证：；
(2)如图2，当点在的延长线上时，、、之间具有怎样的数量关系？并说明理由．
9.如图，在等边中，D为边的中点，点E为线段上一点，连接，以为边构造等边（点B，E，F不共线），连接，．
(1)求证：垂直平分；
(2)如图2，作关于直线对称的线段，连接，猜想与的位置关系并说明理由．
答案
一、选择题
D．A.C.A.C．D．B．C．C．
二、填空题
1．． 2．．3．． 4．． 5．．
三、解答题
1．解：如图所示，点P是的垂直平分线与直线m的交点．
作线段的中垂线．
∵垂直平分线段，
∴（线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等）．
2．（1）解：如图所示：即为线段的垂直平分线；
（2）是的垂直平分线，
，
，
，，
，
平分，
，
．
3．（1）证明：∵，，
∴，
∴在和中，，
∴，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∴，
∴点O在线段的垂直平分线上．
4．（1）∵，，，
∴；
（2）∵，
∴．
又∵，，
∴，
∴，，
∴垂直平分．
5．（1）
如图所示，点D、H即为所求
（2）
∵DH垂直平分BC，
∴DC=DB，
∴∠B=∠DCB，
∵∠B+∠A=90°，∠DCB+∠DCA=∠ACB=90°，
∴∠A=∠DCA，
∴DC= DA，
∴△BCD的周长=DC+DB+BC=DA+DB+BC=AB+BC=8+5=13．
6．（1）作法：如图所示，
①连接（用虚线），
②作的垂直平分线交于，
③标出点即为所求，
（2）∵，
∴，
∴的周长＝9．
7.（1）证明：，，
，，
垂直平分，
，
，
，
，
，
．
（2），，
理由：垂直平分，
，，
，
又且，
，垂直平分，
，，
，
，
又，
；
，
在与中，
，
，
，
又，
，
即．
8.（1）证明：如图，连接，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下：
如图，过点C作交于点F，交于点G，连接，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
同理，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
9.（1）如图1，连接，
∵和都是等边三角形，
∴，，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴点F在线段的垂直平分线上，
∵，
∴点B在线段的垂直平分线上，
∴垂直平分，
（2）如图2，，理由如下：
由关于直线对称的线段可知：，
∵，都是等边三角形，
∴，，
∴，，
，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴．