北师大版八年级数学下册试题 第三章 图形的平移与旋转测试卷（含答案）

第三章 图形的平移与旋转测试卷
一、选择题（本大题共14个小题，每题2分，共28分）
1． 2020年4月7日，中国邮政发行了《众志成城 抗击疫情》邮票一套两枚（图1），以此纪念在抗击新冠肺炎疫情的过程中，中国人民所展现出的“中国精神、中国力量、中国担当”．两枚邮票用一个“众”字型的背景图案巧妙相连，从几何的角度看，这个图案（图2）（　　）
A．是中心对称图形而不是轴对称图形
B．是轴对称图形而不是中心对称图形
C．既是轴对称图形又是中心对称图形
D．既不是轴对称图形，又不是中心对称图形
2．在平面直角坐标系中，把点向右平移1个单位后所得的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
3．在下列四种图形变换中，如图图案包含的变换是（ ）
A．平移、旋转和轴对称 B．轴对称和平移
C．平移和旋转 D．旋转和轴对称
4．点关于原点的对称点的坐标是（ ）
A．（﹣2，﹣3） B．（2，﹣3） C．（2，3） D．（3，﹣2）
5．如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中沿着点到的方向平移到的位置，，平移距离为，则的面积为（ ）
A．6 B．12 C．18 D．24
6．如图，经过平移后得到，下列说法：
①
②
③
④和的面积相等
⑤四边形和四边形的面积相等，其中正确的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
7．在平面直角坐标系中，将直线沿坐标轴方向平移后，得到直线与关于坐标原点中心对称，则下列平移作法正确的是（ ）
A．将向右平移4个单位长度 B．将向左平移6个单位长度
C．将向上平移6个单位长度 D．将向上平移4个单位长度
8．如图，在中，．将绕点按顺时针方向旋转 度后得到，此时点在边上，斜边交边于点，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．27 B．9 C． D．
9．如图，已知OAB是正三角形，OP⊥OB，OP＝OA，将OAB绕点O按顺时针方向旋转，使得OA与OP重合，得到OPQ，则旋转的角度是（　　）
A．60° B．90° C．120° D．150°
10．如图，在方格纸中，三角形ABC经过变换得到三角形DEF，正确变换的是（ ）
A．把三角形ABC向下平移4格，再绕着点C逆时针方向旋转
B．把三角形ABC向下平移5格，再绕着点C顺时针方向旋转
C．把三角形ABC绕着点C逆时针方向旋转，再向下平移2格
D．把三角形ABC绕着点C顺时针方向旋转，再向下平移5格
11．如图，点为角平分线交点，，，，将平移使其顶点与重合，则图中阴影部分的周长为（ ）．
A．4 B．6 C．8 D．10
12．如图，在中，将绕点逆时针旋转得到使点落在边上，连接，则的长度是（ ）
A． B． C． D．
13．如图，，点B和点C是对应顶点，，记，，将绕点A顺时针旋转，当时，与之间的数量关系为（ ）
A． B． C． D．
14．如图，在中，是斜边上两点，且，将绕点顺时针旋转后，得到，连接，下列结论中：①；②≌；③平分；④；正确的有（ ）个
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本题共4个小题；每个小题3分，共12分，）
15．在平面直角坐标系中，将点向左平移个单位后得到点的坐标为____．
16．如图，将就点C按逆时针方向旋转后得到，若，则的度数为__________．
17．如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为，，，一个电动玩具从坐标原点O出发，第一次跳跃到点，使得点与点O关于点A成中心对称；第二次跳跃到点，使得点与点关于点B成中心对称；第三次跳跃到点，使得点与点关于点C成中心对称，第四次跳跃到点，使得点与点关于点A成中心对称；第五次跳跃到点，使得点与点关于点B成中心对称……照此规律重复下去，则点的坐标为_________．
18．如图在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，将△ABC绕C点按逆时针方向旋转α角（0°＜α＜90°），得到△A′B′C，设A′C交AB边于D，连结AA′，若△AA′D是等腰三角形，则旋转角α的度数为_____．
三、解答题（本题共8道题，19-21每题6分，22-25每题8分，26题10分，满分60分）
19．如图，在中，，，．将绕点逆时针旋转一个角，得到，点恰好在边上．
（1）求的度数；
（2）求的长．
20．如图①，将线段A1A2向右平移2个单位到B1B2，得到封闭图形A1A2B2B1（即阴影部分），在图②中，将折线A1A2A3向右平移2个单位到B1B2B3，得到封闭图形A1A2A3B3B2B1（即阴影部分）．
（1）在图③中，请你类似地画一条有两个折点的折线，同样向右平移2个单位，从而得到一个封闭图形，并用阴影表示；
（2）请你分别写出上述三个图形中阴影部分的面积（设长方形水平方向长均为a，竖直方向长均为b）：S1=_______，S2=____________，S3=__________；
（3）如图④，一块长方形草地，长为20米，宽为10米，草地上有一条弯曲的小路（小路任何地方的宽度都是2米），请你写出小路部分所占的面积是多少米2；
（4）如图⑤，若在（3）中的草地又有一条横向的弯曲小路（小路任何地方的宽度都是1米），请你写出小路部分所占的面积是多少米2．
21．在平面直角坐标系中，的顶点坐标，．
（1）在图中作出关于轴对称的图形；
（2）在轴上找一点，使最短，在图中标出点的位置（请保留作图痕迹）．
（3）将向下平移4个单位长度，得到，点的对应点为点，点的对应点为点，直接写出线段与轴交点的坐标．
22．将矩形ABCD绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜360°），得到矩形AEFG．
（1）如图①，当点E在BD上时，求证：FD＝CD；
（2）当α为何值时，GC＝GB？
23．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（，0），（3，0）．现将线段AB向上平移2个单位，再向右平移1个单位，得到线段AB的对应线段CD，连接AC，BD．
（1）点C，D的坐标分别为_______， ________，并求出四边形ABDC的面积S四边形ABDC；
（2）在y轴上存在一点P，连接PA，PB，且S△PAB =S四边形ABDC，求出满足条件的所有点P的坐标．
（3）若点Q为线段BD上一点（不与B，D两点重合），则的值______（填“变”或“不变”）．
24．如图所示，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是．
（1）作出与关于原点O成中心对称的；
（2）若点B关于x轴的对称点为点，将点向右平移a个单位长度后落在的内部（不包括顶点和边）．
①写出点坐标_________；
②写出a的取值范围为___________．
25．（1）问题发现：
如图1，和均为等边三角形，当旋转至点A，D，E在同一直线上，连接．
①填空：的度数为______．
②线段、之间的数量关系是_______．
（2）拓展研究：
如图2，和均为等腰三角形，且，点A、D、E在同一直线上，若，，求的长度．
（3）探究发现：
图1中的和，在旋转过程中当点A，D，E不在同一直线上时，设直线与相交于点O，试在备用图中探索的度数，直接写出结果，并说明理由．
26．如图1，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，点D在AB边的延长线上，且CD＝AB．
（1）求BD的长度；
（2）如图2，将△ACD绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜360°）得到△A'CD'．
①若α＝30°，A'D'与CD相交于点E，求DE的长度；
②连接A'D、BD'，若旋转过程中A'D＝BD'时，求满足条件的α的度数．
（3）如图3，将△ACD绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜360°）得到△A'CD'，若点M为AC的中点，点N为线段A'D'上任意一点，直接写出旋转过程中线段MN长度的取值范围．
答案
一、选择题
B.D.D．B．A．A．D.D．D．D．C．B．C．C．
二、填空题
15．(0,4)． 16．50°． 17.（-2,0）． 18．20°或40°．
三、解答题
19．
解：（1）由旋转得到：
∴ ,,
∴
∴,即
（2）在中，
∴=
20．（1）如图．
（2）三个图形中阴影部分的面积都可看作是以b为长，2为宽的长方形的面积，故S1=2b，S2=2b，S3=2b；
（3）小路部分所占的面积是2×10=20米2；
（4）小路部分所占的面积是10×2+20×1-2×1=38米2．
21．
解（1）过点A、B、C作y轴的对称点A1、B1、C1，
顺次连结A1B1、B1C1、C1A1，
则△A1B1C1为所求；
（2）如图，连结AB1交y轴于点P，
则BP=B1P，AP+BP=AP+B1P=AB1，
由两点之间，线段最短，
则点即为所求；
(3) 将向下平移4个单位长度，得到，如图，
∵，
∴点D（-1，1）E（-3，-3）F（-4，-1）．
设DF解析式为y=kx+b，
代入得：，
解得：，
DF解析式为，
当y=0时，x=，
Q(，0)．
22．
（1）由旋转可得，AE＝AB，∠AEF＝∠ABC＝∠DAB＝90°，EF＝BC＝AD，
∴∠AEB＝∠ABE，
又∵∠ABE+∠EDA＝90°＝∠AEB+∠DEF，
∴∠EDA＝∠DEF，
又∵DE＝ED，
∴△AED≌△FDE（SAS），
∴DF＝AE，
又∵AE＝AB＝CD，
∴CD＝DF；
（2）如图，当GB＝GC时，点G在BC的垂直平分线上，
分两种情况讨论：
①当点G在AD右侧时，取BC的中点H，连接GH交AD于M，
∵GC＝GB，
∴GH⊥BC，
∴四边形ABHM是矩形，
∴AM＝BH＝AD＝AG，
∴GM垂直平分AD，
∴GD＝GA＝DA，
∴△ADG是等边三角形，
∴∠DAG＝60°，
∴旋转角α＝60°；
②当点G在AD左侧时，同理可得△ADG是等边三角形，
∴∠DAG＝60°，
∴旋转角α＝360°﹣60°＝300°．
23．
解：（1）∵将线段AB向上平移2个单位，再向右平移1个单位得到点C、D
又∵点A，B的坐标分别为（，0），（3，0）
∴C（0，2），D（4，2）．
由题意可知：四边形ABDC为平行四边形，
∴S四边形ABDC=OC×AB=2×4=8．
（2）当点P在y轴正半轴时，设点P的纵坐标为a，图形如下
根据题意，得×4=8．
解得:a=4
同理当点P在y轴负半轴时，a=－4
∴P（0，4）或P（0，－4）．
（3）不变．
图形如下，过点Q作QM∥CD
∵CD是AB平移得到，∴AB∥CD
∵QM∥CD，∴QM∥AB
∴∠DCQ=∠CQM，∠MQO=∠QOB
∴∠DCQ+∠QOB=∠CQM+∠MQO=∠CQO
∴，比值始终不变
24．
解：（1）如图，△A′B′C′即为所求．
（2）①B1（﹣2，1）．
②∵A′（3，﹣2），C′（4，2），
∴直线A′C′的解析式为y＝4x﹣14，
当y＝1时，x=，
，
∴a的取值范围为．
故答案为：．
25．
（1）①如图1，
∵和均为等边三角形，
∴，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵为等边三角形，
∴，
∵点A，D，E在同一直线上，
∴，
∴，
∴．
故答案为：60°．
②∵，
∴，
故答案为：．
（2）∵和均为等腰直角三角形，
∴，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵为等腰直角三角形，
∴，
∵点A，D，E在同一直线上，
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）如图3，由（1）知，
∴，
∵，
∴，
∴，
如图4，同理求得，
∴，
∵的度数是60°或120°．
26．解：（1）如图1，过点C作CH⊥AB于H，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，CH⊥AB，
∴AB＝CD＝6，CH＝BH＝AB＝3，∠CAB＝∠CBA＝45°，
∴DH＝，
∴BD＝DH﹣BH＝3﹣3；
（2）①如图2，过点E作EF⊥CD'于F，
∵将△ACD绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜360°）得到△A′CD′，
∴CD＝CD'＝6，
∵图1中CD=2CH，
∴∠DCD'＝30°＝∠CDA＝∠CD'A'，
∴CE＝D'E，
又∵EF⊥CD'，
∴CF＝D'F＝3，EF＝，CE＝2EF＝2，
∴DE＝DC﹣CE＝6﹣2；
②如图2﹣1，
∵∠ABC＝45°，∠ADC＝30°，
∴∠BCD＝15°，
∴∠ACD＝105°，
∵将△ACD绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜360°）得到△A′CD′，
∴AC＝A'C，CD＝CD'，∠ACA'＝∠DCD'＝α，
∴CB＝CA'，
又∵A′D＝BD′，
∴△A'CD≌△BCD'（SSS），
∴∠A'CD＝∠BCD'，
∴105°﹣α＝15°＋α，
∴α＝45°；
如图2﹣2，
同理可证：△A'CD≌△BCD'，
∴∠A'CD＝∠BCD'，
∴α﹣105°＝360°﹣α﹣15°，
∴α＝225°，
综上所述：满足条件的α的度数为45°或225°；
（3）如图3，当A'D'⊥AC时，N是AC与A'D'的交点时，MN的长度最小，
∵∠A'＝45°，A'D'⊥AC，
∴∠A'＝∠NCA'＝45°，
∴CN＝A'N＝3，
∵点M为AC的中点，
∴CM＝AC＝3，
∴MN的最小值＝NC﹣CM＝3﹣3；
如图4，当点A，点C，点D'共线，且点N与点D'重合时，MN有最大值，
此时MN＝CM＋CN＝6＋3，
∴线段MN的取值范围是3﹣3≤MN≤6＋3．