八年级数学下册试题 第一章 三角形的证明单元测试卷-北师大版（含答案）

第一章 三角形的证明单元测试卷
一、选择题（本大题共14个小题，每题2分，共28分，）
1．如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，∠BAD=40°，则∠C的度数为（ ）
A．20° B．30° C．40° D．50°
2．等腰三角形的周长为，其中一边长为，则该等腰三角形的底边长为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在中，是的角平分线，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．已知中，、、分别是、、的对边，下列条件中不能判断是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，用尺规作斜边的垂直平分线，其中，现有以下结论：
①；②；③；④．其中正确的是（ ）
A．①② B．①②③ C．①③④ D．①④
6．等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在直线的夹角是40°，则这一等腰三角形的底角为（ ）
A．65° B．25° C．50° D．65°或25°
7．如图，在RtABC中，∠BAC＝90°，以点A为圆心，以AB长为半径作弧交BC于点D，再分别以点B，D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点E，如果AB＝3，AC＝4，那么线段AE的长度是（　　）
A． B． C． D．
8．已知，在中，，且，应用尺规作图中构造边上的高，下列作图中不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，已知中，，为内一点，过点的直线分别交、于点、．若在的中垂线上，在的中垂线上，则的度数为（ ）．
A．100° B．105° C．115° D．无法确定
10．如图O是内的一点，且O到三边AB、BC、CA的距离．若，则（ ）．
A．125° B．135° C．105° D．100°
11．如图，是等边三角形，是中线，延长至E，使，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
12．如图，在中，，BD是角平分线，若，，则点到的距离是（　　　）
A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm
13．将等腰Rt△ABC绕点A逆时针旋转15°得到△AB′C′，若AC=1，则图中阴影部分面积为（　　）
A． B．3 C． D．
14．如图，以△ABC的边AB、AC为边向外作等边△ABD与等边△ACE，连接BE交DC于点F，下列结论：①CD=BE；②FA平分∠DFE；③∠BFC=120°；④．其中正确的有（　　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题（本题共4个小题；每个小题3分，共12分，）
15．如图，在中，，，AD平分交BC于D，于E，若的周长是4cm，则AB的长为_________cm．
16．如图，在△ABC中，AC=BC，∠B=70°，分别以点A、C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M、N，作直线MN，分别交AC、BC于点D、E，连结AE，则∠AED的度数是______°
17．如图，为等边三角形，则的度数是_________．
18．如图，已知A（1，3），在坐标轴上找点B，使△AOB为等腰三角形，符合条件的点有____个．
三、解答题（本题共8道题，19-21每题6分，22-25每题8分，26题10分，满分60分）
19．如图，在中，是边上一点，是边的中点，作交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
20．如图所示，在图①和图②的网格中，小正方形的边长均为1．
（1）请在图①中画出端点在格点的线段和，使，，并选择其中的一个说明理由
（2）如图②，是一个格点三角形，这个三角形是直角三角形吗？为什么？
21．如图，在△ABC中，AB边的中垂线PQ与△ABC的外角平分线交于点P，过点P作PD⊥BC于点D，PE⊥AC于点E．
（1）求证：BD=AE；
（2）若BC=6，AC=4．求CE的长度．
22．问题：如图①，要在一条笔直的路边l上建一个燃气站，向l同侧的A、B两个城镇分别铺设管道输送燃气．试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短．
（1）如图②，作出点A关于l的对称点A'，线段A'B与直线l的交点C的位置即为所求，即在点C处建燃气站，所得路线ACB是最短的．
为了证明点C的位置即为所求，不妨在直线l上另外任取一点C'，连接AC'、BC'，证明AC＋CB＜AC'＋C'B．请完成这个证明．
（2）如图③，点P为∠MON内的一个定点，在OM上有一点A，ON上有一点B．请你作出点A和点B的位置，使得△PAB的周长最小．（保留作图痕迹，不写作法）在上述条件下，若∠MON＝40°，则∠APB＝ °．
23．如图，点为定角的平分线上的一个定点，，，且与互补，若在绕点旋转的过程中，其两边分别与，相交于，两点．
（1）试判断的形状，并给出证明；
（2）的值是否为定值？若是请求出这个定值，若不是，请说明理由；
（3）四边形的面积是否为定值？请说明理由．
24．（问题提出）（1）如图，与均是顶角为的等腰三角形，、分别是底边，求证：；
（类比延伸）（2）如图，与均为等边三角形，点、、在同一直线上，连接．填空：的度数为______；线段与之间的数量关系为______．
（拓展研究）（3）如图，与均为等腰直角三角形，，点、、在同一直线上，于点，连接．请求出的度数及线段、、之间的数量关系，并说明理由．
25．如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，连接OD．
（1）求证：△OCD是等边三角形；
（2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形．
26．如图，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于两点，过：x轴正半轴上一点作直线交轴正半轴于点，且．
（1）求出直线对应的函数表达式；
（2）点是线段上一动点（不与点重合），交于点，连接．判断的形状，并说明理由；
（3）若为直线上的点，为轴上的点，请问：直线上是否存在点，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案
一、选择题
D．A.C．A．D．D．A．B．C．A．D．C．D．A
二、填空题
15．4． 16．50． 17．120° 18．8．
三、解答题
19．
（1）证明：是边的中点，
．
又，
．
在与中，
；
（2）解：，
，
又，
．
是边的中点，，
．
．
．
20．
解：（1）如图MN、EF即为所求，
理由：小正方形的边长均为1，
,
（2）是直角三角形，
理由：，，
是直角三角形．
21．
（1）连接PA、PB，
∵CP是∠BCE的平分线，PD⊥BC，PE⊥AC，
∴PD=PE，
在Rt△CDP和Rt△CEP中，
，
∴Rt△CDP≌Rt△CEP（HL）
∴CD=CE，
∵PQ是线段AB的垂直平分线，
∴PA=PB，
在Rt△AEP和Rt△BDP中，
，
∴Rt△AEP≌Rt△BDP（HL），
∴AE=BD；
（2）AC+CE+CD=BD+CD=BC=6，
∴．
22．
证明：（1）如图②，连接，
∵点A，点关于l对称，点C在l上，
∴，
∴，
同理可得：，
∵＜，
∴AC＋BC＜；
（2）如图所示，点A、B即为所求，
由轴对称的性质可得：
故答案为：100°．
23．
（1）证明：如图作于，于．
，
，
，
又，
，
平分，于，于，
，
在和中，
，
，
．
又，，
，
为等边三角形．
（2）的值是定值．
理由：在和中，
，
，
，，
又，
，
．
在中，，
，
3，，
．
（3）四边形是一个定值，
理由：，
，
四边形的面积是一个定值．
24．
（1）证明：∵，
∴，即，
在和中，，
∴，
∴；
（2）∵△ABC和△ADE均是等边三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=∠ADE=∠AED=60°，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，
∴∠BAD=∠CAE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD=CE，∠ADB=∠AEC，
∵∠ADE=60°，
∴∠AEC=∠ADB=180°-∠ADE=120°，
故答案为：120°，BE=AD；
（3）解：∵和均为等腰直角三角形，
∴，，，，
∴，即，
在和中，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴；
即线段、、之间的数量关系为：．
25．
解：（1）∵△BOC≌△ADC，
∴OC＝DC．
∵∠OCD＝60°，
∴△OCD是等边三角形．
（2）△AOD是直角三角形．
理由如下：
∵△OCD是等边三角形，
∴∠ODC＝60°，
∵△BOC≌△ADC，∠α＝150°，
∴∠ADC＝∠BOC＝∠α＝150°，
∴∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝150°﹣60°＝90°，
∴△AOD是直角三角形．
（3）∵△OCD是等边三角形，
∴∠COD＝∠ODC＝60°．
∵∠AOB＝110°，∠ADC＝∠BOC＝α，
∴∠AOD＝360°﹣∠AOB﹣∠BOC﹣∠COD＝360°﹣110°﹣α﹣60°＝190°﹣α，
∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝α﹣60°，
∴∠OAD＝180°﹣∠AOD﹣∠ADO＝180°﹣（190°﹣α）﹣（α﹣60°）＝50°．
①当∠AOD＝∠ADO时，190°﹣α＝α﹣60°，
∴α＝125°．
②当∠AOD＝∠OAD时，190°﹣α＝50°，
∴α＝140°．
③当∠ADO＝∠OAD时，
α﹣60°＝50°，
∴α＝110°．
综上所述：当α＝110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形．
26．
（1）把代入得：
把代入得：，
设直线对应的函数表达式为：
把代入得：，
解得：
直线对应的函数表达式为：
是等腰直角三角形．理由如下：
又
即
即
在与中，
又
是等腰直角三角形
（3）直线上存在点，使得是以为直角顶点的等腰三角形．
在直线上，代入得：
当点在点下方时，如图一所示连接，过点作交的延长线于点
轴且点的纵坐标为
是以为直角顶点的等腰三角形
在与中，
点的纵坐标为
把代入中得：
当点在点上方时，如图二所示点作轴，过点作于点，过点作交的延长线于点．
则
点的橫坐标为，
则
是以为直角顶点的等腰三角形
在与中，
点的纵坐标为
点的纵坐标为
把代入中得：
综上所述，直线上存在点，使得是以为直角顶点的等腰三角形．且或．