高一物理下学期期中期末模型方法大单元综合专练
期中03 必刷计算题（30道）
1．如图所示，河宽，设小船（视为质点）在静水中行进的速度为，河水的流速为。小船从A点出发，若出发时船头指向河对岸上游的B点，经过10min，小船恰好到达河正对岸的C点；若出发时船头指向河正对岸的C点，经过8min，小船到达C点下游的D点。求：
（1）小船在静水中行进的速度的大小；
（2）河水的流速的大小；
（3）C、D两点的距离。
2．跑酷是时下风摩全球的时尚极限运动，以日常生活的环境为运动场所，依靠自身的体能，快速、有效、可靠地驾驭任何已知与未知环境的运动艺术。一名跑酷运动员，在水平高台上水平向右跑到高台边缘，以的速度从上边缘的A点水平向右跳出，运动一段时间后落在一倾角为53°的斜面上的B点，速度方向与斜面垂直。此时运动员迅速转身并调整姿势，以v0的速度从B点水平向左蹬出，刚好落到斜面的底端C点。D点为平台的下边缘点，假设该运动员可视为质点，不计空气阻力，取，。求：
（1）运动员从高台边缘A点跳出到斜面上B点所用的时间；
（2）水平高台AD的高度H；
（3）若运动员迅速转身以的速度从B点水平向左蹬出，判断运动员落点的位置。
3．跳台滑雪是一种勇敢者的滑雪运动，运动员穿专用滑雪板，在滑雪道上获得一定速度后从跳台飞出，在空中飞一段距离后着落。如图所示，现有某运动员从跳台A处沿水平方向飞出，在斜坡B处着落，测得AB间的距离是75m，斜坡与水平方向的夹角为37°，不计空气阻力（，，），求：
（1）运动员在空中飞行的时间；
（2）运动员到B处的速度大小；
（3）运动员在空中离坡面的最大距离。
4．类比法是物理学习中经常用到的一种方法。我们可以尝试用类比法分析以下情景（如图1），质量为的某滑雪运动员以一定初速度由点水平（即）滑到一倾斜平台上，平台与水平面成角，运动员最终在点落地。已知点距水平面的高度为，试分析：
（1）忽略滑板与平台间的摩擦，忽略空气阻力，请在图2中对运动员在平台上的运动进行受力分析并求出加速度的大小和方向。
（2）类比平抛运动的分析方法，可以以方向为轴，方向为轴建立坐标轴（如图1），将运动员的实际运动分解为、两方向的分运动。请说明两分运动的运动性质，并求出运动员的落地时间。
（3）根据你的分析请说明，如果要使该运动员不从平台落地，而从侧面飞出，可以采取哪些措施（至少说两项措施）？
5．如图甲所示，A点距水平地面的高度，地面上的B点位于A点的正下方，现从A点将质量的小球以的速度水平向右抛出，g取。
（1）若不计空气阻力，求小球从抛出至落到水平面的时间t及小球落地点距A点的距离L。
（2）若小球抛出的同时还受到如图乙所示的恒定水平风力，要使小球恰落在B点，求作用在小球上的风力大小F。
6．某娱乐节目的场地设施示意图如图所示．AB为水平直轨道，上面安装有电动悬挂器，可以带动人运动，下方水面上漂浮着一个半径、铺有海绵垫的转盘，转盘轴心到平台边缘的水平距离，平台与转盘平面的高度差，A点位于平台边缘的正上方，水平直轨道与平台间的高度差可忽略不计。人抓住悬挂器后，按动开关，在电动机的带动下从A点沿轨道做初速度为零、加速度大小的匀加速直线运动，适当时机松手即可落到转盘上，已知人在运动过程中可看成质点，人与转盘间的动摩擦因数．设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，不计空气阻力，取重力加速度大小，，。
（1）人落到转盘上的瞬间，相对转盘的速度立即变为零，为保证他落在转盘的任何位置上都不会被甩下转盘，求转盘的角速度的范围；
（2）为了使人不掉入水中，求人拉着悬挂器运动的时间范围。（结果保留两位有效数字）
7．如图所示，某同学正对篮板起跳投篮，球出手后斜向上抛出，出手时速度的方向与水平方向的夹角，篮球恰好垂直击中篮板，反弹后速度沿水平方向，而后进入篮圈。球刚出手时，球心点离地的高度，篮球击中篮板的位置离地的高度为、离篮圈的高度为，篮圈的直径，篮板与篮圈的最小距离，篮球的直径，不考虑空气阻力和篮球的转动。已知篮板平面保持竖直且与篮圈所在平面垂直，重力加速度，，，求：
（1）篮球击中篮板时的速度大小；
（2）球在点时的速度大小；
（3）要使篮球落入篮圈而进球（即球心下降到篮圈所在平面时，球未与篮圈接触），球打板后反弹的速度范围。
8．如图所示，足够大的水平圆台中央固定一光滑竖直细杆，原长为L的轻质弹簧套在竖直杆上，质量均为m的光滑小球A、B用长为L的轻杆及光滑铰链相连，小球A穿过竖直杆置于弹簧上、让小球B以不同的角速度绕竖直杆匀速转动，弹簧始终在弹性限度内，劲度系数为k，重力加速度为g，求：
（1）小球A、B均静止时：
①轻杆中的力的大小；
②弹簧的长度。
（2）小球B刚好离开台面，当转动的角速度为时：
①此时弹簧对小球A的弹力大小。
②转动的角速度为多少？
9．游乐园中“空中飞椅”的游戏设施如图甲所示，它的基本装置是将绳子上端固定在转盘的边缘上，绳子的下端连接座椅，人坐在座椅上随转盘旋转而在空中飞旋。若将人和座椅看成一个质点，则可简化为如图乙所示的物理模型，其中为处于水平面内的转盘，可绕竖直转轴转动，设绳长，质点的质量，转盘静止时质点与转轴之间的距离，转盘逐渐加速转动，经过一段时间后质点与转盘一起做匀速圆周运动，此时绳与竖直方向的夹角不计空气阻力及绳重，且绳不可伸长，，，）求质点与转盘一起做匀速圆周运动时，求：
（1）绳子拉力的大小；
（2）转盘角速度的大小。
10．清代乾隆的《冰嬉赋》用“躄躠”（可理解为低身斜体）二字揭示了滑冰的动作要领。短道速滑世界纪录由我国运动员武大靖创造并保持。在其创造纪录的比赛中，
（1）武大靖从静止出发，先沿直道加速滑行，前用时。该过程可视为匀加速直线运动，求此过程加速度大小；
（2）武大靖途中某次过弯时的运动可视为半径为的匀速圆周运动，速度大小为。已知武大靖的质量为，求此次过弯时所需的向心力大小；
（3）武大靖通过侧身来调整身体与水平冰面的夹角，使场地对其作用力指向身体重心而实现平稳过弯，如图所示。求武大靖在（2）问中过弯时身体与水平面的夹角的大小。（不计空气阻力，重力加速度大小取，、、、）
11．如图所示，竖直平面内有一光滑圆弧轨道，其半径为，平台与轨道的最高点等高，一质量的小球从平台边缘的A处水平射出，恰能沿圆弧轨道上P点的切线方向进入轨道内侧，A、P两点间的竖直高度，轨道半径与竖直线的夹角为53°，已知，，g取，求：
（1）小球从平台上的A点射出时的速度大小；
（2）小球从平台上的射出点A到圆轨道入射点P之间的水平距离L；
（3）小球沿轨道通过圆弧的最高点Q时的速度，则小球对轨道的内壁还是外壁有弹力？并求出该弹力的大小和方向？
12．游乐场过山车的运动情况可以抽象为如图所示的模型：弧形轨道AB的下端B点与半径为R的竖直圆轨道平滑连接，质量为m的小球从弧形轨道上离水平地面高度为h的A点由静止开始滚下，小球进入竖直圆轨道后顺利通过圆轨道最高点C，不考虑空气阻力和摩擦，重力加速度为g。求：
（1）小球位于A点时的重力势能（以水平地面为参考平面）；
（2）小球从A点运动到C点的过程中，重力所做的功；
（3）要使小球从弧形轨道AB上某点（未画出）静止释放，恰能使小球完成完整的圆周运动，则释放点到水平面的高度为多少？
13．浙江某旅游景点有座新建的凹凸形“如意桥”，刚柔并济的造型与自然风光完美融合。如图乙所示，该桥由两个凸弧和一个凹弧连接而成，两个凸弧的半经，最高点分别为A、C；凹弧的半径，最低点为B。现有一剧组进行拍摄取景，一位质量的特技演员，驾驶质量的越野摩托车穿越桥面，穿越过程中可将车和演员视为质点，试求：
（1）当摩托车以的速率到达凸弧最高点A时，桥面对车的支持力大小；
（2）当摩托车以的速率到达凹弧面最低点B时，质量的驾驶员对座椅的压力；
（3）为使得越野摩托车始终不脱离桥面，过A点和C点的最大速度。
14．2021年2月10日，天问一号探测器成功实现近火制动开始绕火星运行。天问一号在绕火星运动过程中由于火星遮挡太阳光，也会出现类似于地球上观察到的日全食现象，如图所示。已知天问一号绕火星做匀速圆周运动的轨道半径为r，火星质量为M，引力常量为G，天问一号相对于火星的张角为α（用弧度制表示），天问一号、火星和太阳的球心在同一平面内，太阳光可看作平行光。试求：
（1）火星的第一宇宙速度v；
（2）天问一号每次经历日全食的时间t。
15．2021年6月11日，天问一号探测器成功着陆火星，一次完成探测火星“绕、落、巡”三步试验。假设未来中国字航员登上火星后，进行了如下实验：一根轻绳穿过光滑的细直管，一端连接力传感器，另一端系一质量为m的小球（视为质点），如图所示，小球静止时到细直管左端之间的绳长为l并保持不变。现给小球一个水平初速度v0，使小球在竖直面内做圆周运动，测出小球经过最低点和最高点时力传感器的读数之差F，已知引力常量为G。则
（1）火星表面的重力加速度多大？
（2）为了实验成功，初速度v0多大？
（3）已知火星半径为R，火星的质量多大？
16．《流浪地球2》中太空电梯非常吸引观众眼球。太空电梯通过超级缆绳连接地球赤道上的固定基地与配重空间站，它们随地球以同步静止状态一起旋转，如图所示。图中配重空间站比同步卫星更高，距地面高达。若地球半径为R，自转周期为T，重力加速度为g，求：
（1）通过缆绳连接的配重空间站速度大小为多少；
（2）若配重空间站没有缆绳连接，在该处其速度大小又为多少；若缆绳断裂，空间站是被甩出去，还是掉落回地球？
17．假设一个宇航员在半径为R的某星球表面做实验，宇航员将光滑细管竖直固定放置，轻质细线穿过细管，两端分别与小球和物块相连，让小球在水平面内做匀速圆周运动，物块处于静止状态（不与星球接触），物块的质量是小球质量的2倍，如图所示。不计细线与细管之间的摩擦，宇航员测得小球做圆周运动的周期为T，细线倾斜部分的长度为L，忽略星球的自转，引力常量为G，求；
（1）该星球表面的重力加速度；
（2）该星球的质量及其第一宇宙速度。
18．2019年1月3日，我国“嫦娥四号”探测器在月球背面软着陆，实现了人类首次探测月球背面，如图所示。假设“嫦娥四号”在软着陆的最后阶段，关闭了反冲发动机，从距月球表面高度处由静止开始自由下落，经时间落地，已知月球的半径为，引力常量为，忽略月球自转。求：
（1）月球表面的重力加速度；
（2）月球的质量；
（3）若在月球表面上水平抛出一个物体，使该物体不再落回月球表面，则物体至少需要多大的初速度？
19．公交站点1与站点2之间的道路由水平路面段、段及倾角为的斜坡段组成，全程，其中长为，全程限速。一辆公交车（可忽略其大小）额定功率为，载人后总质量为。该车从静止开始，速率每秒增加，达到额定功率后经一段时间公交车匀速行驶。当该车到达C点，关闭发动机自由滑行，结果该车正好停在了D点（站点2）。若在整个行驶过程中，它在每一个路段的运动都可看成直线运动，B、C处圆弧连接，速率不突变。公交车受到由地面、空气等产生的阻力大小不变。已知，。求：
（1）公交车在段的最大功率为多少；
（2）公交车从站点1到站点2克服重力做功多少？
20．在平直公路上，质量的汽车以速度匀速行驶，此时发动机的功率，然后遇到平直的爬坡车道（每沿坡道前进1km，上升0.05km的高度），在坡底驾驶员加大油门，发动机功率立即增为1.5P，（假设汽车在平路转变为上坡的过程中速度大小不变）并保持该功率继续爬坡行驶。假设汽车行驶过程中所受的阻力大小始终不变，重力加速度，求：
（1）汽车在斜坡上匀速运动时的速度；
（2）汽车在刚上坡时的加速度；
（3）若爬坡车道长330m，且认为汽车到达坡顶之前已达到最大速率，则汽车从坡底到坡顶需多长时间。
21．某同学参照过山车情景设计了如图所示的模型：光滑的竖直圆轨道半径R=2m，入口的平直轨道AC和出口的平直轨道CD均是粗糙的，质量为m=2kg的小滑块（可视为质点）与水平轨道之间的动摩擦因数均为μ=0.5，滑块从A点由静止开始受到水平拉力F=60N的作用，在B点撤去拉力，AB的长度为L=5m，不计空气阻力，若滑块恰好通过圆轨道的最高点，g=10m/s2。求：
（1）当滑块再回到圆轨道最低点时圆轨道对它的弹力大小；
（2）滑块沿着出口的平直轨道CD能滑行的最大距离；
（3）平直轨道BC段的长度。
22．如图所示，可视为质点的小物块静止在水平桌面OA的左端，桌面OA的长度，物块与桌面间的动摩擦因数，桌子右侧的斜面BC与水平方向的夹角为，斜面下端点B在桌子右边缘A的正下方。物块在水平拉力F作用下向右运动，拉力F与x之间的关系如右图所示，x表示桌面上某点到O点的距离。物块离开桌面后平抛落到斜面上，物块到达斜面时速度与斜面垂直。已知物块质量为，重力加速度g取10m/s2。
（1）求物块平抛的初速度；
（2）求桌面的高度；
（3）其他量不变，将斜面BC向右平移距离d，同时改变桌面的动摩擦因数，保证物块到达斜面时速度与斜面垂直，求d的最大值及这种情形下的动摩擦因数。
23．如图为某游戏装置的示意图。AB、CD均为四分之一圆弧，E为圆弧DEG的最高点，各圆弧轨道与直轨道相接处均相切。GH与水平夹角为，底端H有一弹簧，A、、、D、、H在同一水平直线上。一质量为0.01kg的小钢球（其直径稍小于圆管内径，可视作质点，从距A点高为h处的O点静止释放，从A点沿切线进入轨道，B处有一装置，小钢球向右能无能量损失的通过，向左则不能通过且小钢球被吸在B点。若小钢球能够运动到H点，则被等速反弹。各圆轨道半径均为，BC长，水平直轨道BC和GH的动摩擦因数，其余轨道均光滑，小钢球通过各圆弧轨道与直轨道相接处均无能量损失。某次游戏时，小钢球从O点出发恰能第一次通过圆弧的最高点E。（，，）求：
（1）小钢球第一次经过C点时的速度大小；
（2）小钢球第一次经过圆弧轨道最低点B时受到的支持力大小；
（3）若改变小钢球的释放高度h，求出小钢球在斜面轨道上运动的总路程s与h的函数关系。
24．如图所示，质量M=2kg的滑块套在光滑的水平轨道上，质量m=1kg的小球通过长L=0.5m的轻质细杆与滑块上的光滑轴O连接，小球和轻杆可在竖直平面内绕O轴自由转动，开始轻杆处于水平状态，现给小球一个竖直向上的初速度v0=4m/s，g取10m/s2。
（1）若锁定滑块，试求小球通过最高点P时对轻杆的作用力大小和方向。
（2）在满足（1）的条件下，小球在最高点P突然离开轻杆沿水平方向飞出，试求小球落到水平轨道位置到轴O的距离。
25．如图是检验某种防护罩承受冲击能力的装置，为半径、固定于竖直平面内的光滑半圆弧轨道，、分别是轨道的最低点和最高点；为防护罩，它是一个竖直固定的圆弧，其半径，圆心位于点。在放置水平向左的弹簧枪，可向轨道发射速度不同的质量均为的小钢珠可视为质点，弹簧枪可将弹性势能完全转化为小钢珠的动能。假设某次发射的小钢珠沿轨道恰好能经过点（即弹力恰好为零），水平飞出后落到的某一点上，取。求：
（1）钢珠在点的速度大小；
（2）发射该钢珠前，弹簧的弹性势能；
（3）钢珠从圆弧轨道点飞出至落到防护罩上所用的时间。
26．如图所示，一个半径为R的圆周的轨道，O点为圆心，B为轨道上的一点，OB与水平方向的夹角为37°。轨道的左侧与一固定光滑平台相连，在平台上一轻质弹簧左端与竖直挡板相连，弹簧原长时右端在A点。现用一质量为m的小球（与弹簧不连接）压缩弹簧至P点后释放。已知重力加速度为g，不计空气阻力。
（1）若小球恰能击中B点，求刚释放小球时弹簧的弹性势能；
（2）改变释放点的位置，求小球落到轨道时动能的最小值。
27．物体A的质量为，圆环B的质量为，通过绳子跨过定滑轮连接在一起，圆环套在光滑的竖直杆上，开始时连接圆环的绳子处于水平，如图所示，长度。现从静止释放圆环，不计定滑轮和空气的阻力，g取。求：
（1）若则圆环能下降的最大距离h；
（2）若圆环下降时的速度大小为，则物体A的质量与圆环B的质量的比值？
28．为测试某玩具赛车（可视为质点）的性能，某同学设计了如图所示的轨道模型，该轨道由粗糙水平轨道OA、AC和光滑圆弧轨道组成，BC间有一固定在C点的弹簧，弹簧的劲度系数为。让小车从O点以额定功率从静止启动，经过到达A点，然后关闭发动机，小车由于惯性继续运动，恰好能通过圆弧最高点。已知圆弧轨道的半径为，AB间的距离，小车的质量，小车与水平轨道间的动摩擦因数为，取，试求：
（1）小车第一次经过最低点A时对轨道的压力；
（2）OA之间的距离；
（3）小车最终停在AB段，求小车最终与A之间的距离（弹簧的弹性势能与弹簧形变量之间的关系为）。
29．如图所示，AB为倾角θ=37°的斜面轨道，其中轨道的AC部分光滑，CB部分粗糙，BP部分为圆心角θ2=143°、半径R=0.5m的竖直光滑圆弧形轨道，两轨道相切于B点，O点为圆弧的圆心，P、O两点在同一竖直线上，轻弹簧一端固定在A点，另一端自由仲长至斜面上C点处，现将一质量m=1kg的小物块（可视为质点）在B点以沿斜面向下v0=3m/s初速度射出，物块沿斜面向下运动，当物块压缩弹簧到D点时速度恰好为零。已知斜面B、C两点间距x1=1m，C、D两点间距x2=0.1m，小物块与斜面BC部分间的动摩擦因数μ=0.25，g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8，求：
（1）弹簧被压缩到D点时的弹性势能Ep；
（2）小物块再次回到B点时对轨道的压力；
（3）若改变小物块在B点沿斜面向下的初速度v0，要使小物块在轨道上运动的过程中不脱离轨道，则v0的取值范围为多少？
30．如图所示，有一个质量为m=1kg的小物块（可视为质点），从光滑平台上的A点以v0=3m/s的初速度水平抛出，到达C点时，恰好沿切线方向进入固定在水平地面上的光滑圆弧轨道CD，最后小物块滑上紧靠轨道末端D点的长木板。已知长木板质量为M=3kg，放在光滑的水平地面上，长木板上表面与小物块间的动摩擦因数μ=0.3，且与圆弧轨道末端切线相平，圆弧轨道的半径为R=0.5m，半径OC与竖直方向的夹角θ=53°，不计空气阻力，求；（g=10m/s2，sin53°=0.8，cos53°=0.6）
（1）小物块到达C点时的速度大小；
（2）小物块刚要到达圆弧轨道末端D点时对轨道的压力；
（3）要使小物块不滑出长木板，木板的最小长度。高一物理下学期期中期末模型方法大单元综合专练
期中03 必刷计算题（30道）
1．如图所示，河宽，设小船（视为质点）在静水中行进的速度为，河水的流速为。小船从A点出发，若出发时船头指向河对岸上游的B点，经过10min，小船恰好到达河正对岸的C点；若出发时船头指向河正对岸的C点，经过8min，小船到达C点下游的D点。求：
（1）小船在静水中行进的速度的大小；
（2）河水的流速的大小；
（3）C、D两点的距离。
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）小船从A点出发，若船头指向河正对岸的C点，则此时方向的位移为d，有
（2）设与河岸上游成角，由题意可知，此时恰好到达河正对岸的C点，故沿河岸方向的分速度大小恰好等于河水的流速的大小，即此时渡河时间为所以
故
（3）C、D两点的距离
2．跑酷是时下风摩全球的时尚极限运动，以日常生活的环境为运动场所，依靠自身的体能，快速、有效、可靠地驾驭任何已知与未知环境的运动艺术。一名跑酷运动员，在水平高台上水平向右跑到高台边缘，以的速度从上边缘的A点水平向右跳出，运动一段时间后落在一倾角为53°的斜面上的B点，速度方向与斜面垂直。此时运动员迅速转身并调整姿势，以v0的速度从B点水平向左蹬出，刚好落到斜面的底端C点。D点为平台的下边缘点，假设该运动员可视为质点，不计空气阻力，取，。求：
（1）运动员从高台边缘A点跳出到斜面上B点所用的时间；
（2）水平高台AD的高度H；
（3）若运动员迅速转身以的速度从B点水平向左蹬出，判断运动员落点的位置。
【答案】（1）0.6s；（2）5m；（3）恰好落在D点
【详解】（1）运动员垂直落在斜面上，则解得
（2）运动员从A点落到B点，竖直方向运动员从B点落到C点做平抛运动，设时间为t2，水平和竖直位移分别为；又解得则
（3）假设从B点蹬出落在AD上，设飞行时间为t3，水平位移；解得
因为所以恰好落在D点。
3．跳台滑雪是一种勇敢者的滑雪运动，运动员穿专用滑雪板，在滑雪道上获得一定速度后从跳台飞出，在空中飞一段距离后着落。如图所示，现有某运动员从跳台A处沿水平方向飞出，在斜坡B处着落，测得AB间的距离是75m，斜坡与水平方向的夹角为37°，不计空气阻力（，，），求：
（1）运动员在空中飞行的时间；
（2）运动员到B处的速度大小；
（3）运动员在空中离坡面的最大距离。
【答案】（1）；（2）；（3）9m
【详解】（1）设AB长度为s，根据平抛运动规律，运动员在竖直方向上的位移大小在竖直方向上的分运动为自由落体运动，有运动员在空中的飞行时间为
（2）运动员在水平方向上的位移大小在水平方向上的分运动为匀速直线运动，有
运动员在A处水平飞出的速度大小为运动员到B处竖直速度大小为
运动员到B处的速度大小为
（3）取沿斜坡向下方向（x方向）与垂直于斜坡向上方向（y方向）分析运动员的运动，则在垂直于斜坡方向上有；当运动员垂直于斜坡方向速度为0时，运动员在空中离坡面的距离最大，则有
4．类比法是物理学习中经常用到的一种方法。我们可以尝试用类比法分析以下情景（如图1），质量为的某滑雪运动员以一定初速度由点水平（即）滑到一倾斜平台上，平台与水平面成角，运动员最终在点落地。已知点距水平面的高度为，试分析：
（1）忽略滑板与平台间的摩擦，忽略空气阻力，请在图2中对运动员在平台上的运动进行受力分析并求出加速度的大小和方向。
（2）类比平抛运动的分析方法，可以以方向为轴，方向为轴建立坐标轴（如图1），将运动员的实际运动分解为、两方向的分运动。请说明两分运动的运动性质，并求出运动员的落地时间。
（3）根据你的分析请说明，如果要使该运动员不从平台落地，而从侧面飞出，可以采取哪些措施（至少说两项措施）？
【答案】（1），沿斜面向下；（2）见解析，；（3）增大初速度，减小斜面倾角
【详解】（1）根据题意，对运动员受力分析，如图所示
垂直斜面方向上，由平衡条件有沿斜面方向上，由牛顿第二定律有
解得方向沿斜面向下。
（2）根据题意，由力的等效性可知，运动员等效只受沿斜面向下的力，大小为，运动员沿斜面水平方向以滑出，即力的方向与方向垂直，则在方向做匀速直线运动，沿斜面向下做初速度为0，加速度为的匀加速直线运动，根据图1，由几何关系可知，运动员在沿斜面方向上的位移为
又有解得
（3）根据题意可知，如果要使该运动员不从平台落地，而从侧面飞出，即在方向上的位移变大，由于在方向上，运动员做匀速运动，则有要使变大，可以增大初速度，也可以增大时间，即减小斜面倾角。
5．如图甲所示，A点距水平地面的高度，地面上的B点位于A点的正下方，现从A点将质量的小球以的速度水平向右抛出，g取。
（1）若不计空气阻力，求小球从抛出至落到水平面的时间t及小球落地点距A点的距离L。
（2）若小球抛出的同时还受到如图乙所示的恒定水平风力，要使小球恰落在B点，求作用在小球上的风力大小F。
【答案】（1）0.4s，1m；（2）
【详解】（1）小球做平抛运动，在竖直方向有可得在水平方向有
小球落地点距A点的距离解得
（2）小球在竖直方向上仍做自由落体运动，下落的时间仍为，小球在水平方向上做匀减速直线运动，设加速度大小为a，小球恰落在B点时水平位移为0，则根据牛顿第二定律得风力大小为解得
6．某娱乐节目的场地设施示意图如图所示．AB为水平直轨道，上面安装有电动悬挂器，可以带动人运动，下方水面上漂浮着一个半径、铺有海绵垫的转盘，转盘轴心到平台边缘的水平距离，平台与转盘平面的高度差，A点位于平台边缘的正上方，水平直轨道与平台间的高度差可忽略不计。人抓住悬挂器后，按动开关，在电动机的带动下从A点沿轨道做初速度为零、加速度大小的匀加速直线运动，适当时机松手即可落到转盘上，已知人在运动过程中可看成质点，人与转盘间的动摩擦因数．设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，不计空气阻力，取重力加速度大小，，。
（1）人落到转盘上的瞬间，相对转盘的速度立即变为零，为保证他落在转盘的任何位置上都不会被甩下转盘，求转盘的角速度的范围；
（2）为了使人不掉入水中，求人拉着悬挂器运动的时间范围。（结果保留两位有效数字）
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）设人落在转盘边缘处时恰好不被甩下，此时最大静摩擦力提供向心力，则有
解得故为保证人落在转盘的任何位置上都不会被甩下转盘，转盘的角速度应满足。
（2）设人拉着悬挂器运动的时间为，加速阶段，运动的距离松手时人的水平速度大小
人做平抛运动的过程，竖直方向的位移大小水平位移大小当人落在转盘左侧时，有解得当人落在转盘右侧时，有解得所以，为了不掉入水中，人拉着悬挂器运动的时间范围为。
7．如图所示，某同学正对篮板起跳投篮，球出手后斜向上抛出，出手时速度的方向与水平方向的夹角，篮球恰好垂直击中篮板，反弹后速度沿水平方向，而后进入篮圈。球刚出手时，球心点离地的高度，篮球击中篮板的位置离地的高度为、离篮圈的高度为，篮圈的直径，篮板与篮圈的最小距离，篮球的直径，不考虑空气阻力和篮球的转动。已知篮板平面保持竖直且与篮圈所在平面垂直，重力加速度，，，求：
（1）篮球击中篮板时的速度大小；
（2）球在点时的速度大小；
（3）要使篮球落入篮圈而进球（即球心下降到篮圈所在平面时，球未与篮圈接触），球打板后反弹的速度范围。
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）依题意，可以把篮球的运动看成平抛模型，有又解得
（2）根据解得
（3）球打板后反弹，做平抛运动，有篮球反弹速度最小时，有篮球反弹速度最大时，有球打板后反弹的速度范围为联立，可得
8．如图所示，足够大的水平圆台中央固定一光滑竖直细杆，原长为L的轻质弹簧套在竖直杆上，质量均为m的光滑小球A、B用长为L的轻杆及光滑铰链相连，小球A穿过竖直杆置于弹簧上、让小球B以不同的角速度绕竖直杆匀速转动，弹簧始终在弹性限度内，劲度系数为k，重力加速度为g，求：
（1）小球A、B均静止时：
①轻杆中的力的大小；
②弹簧的长度。
（2）小球B刚好离开台面，当转动的角速度为时：
①此时弹簧对小球A的弹力大小。
②转动的角速度为多少？
【答案】（1）①0；②；（2）①；②
【详解】（1）① 小球A、B均静止时，对B受力分析可知轻杆中的力为0；
② 对A根据受力平衡可得解得弹簧的压缩量为则弹簧的长度为
（2）① 小球B刚好离开台面，当转动的角速度为时，对AB整体，竖直方向根据受力平衡可得，弹簧对小球A的弹力大小
② 设轻杆与竖直细杆夹角为，对B根据牛顿第二定律可得对AB有
又联立解得
9．游乐园中“空中飞椅”的游戏设施如图甲所示，它的基本装置是将绳子上端固定在转盘的边缘上，绳子的下端连接座椅，人坐在座椅上随转盘旋转而在空中飞旋。若将人和座椅看成一个质点，则可简化为如图乙所示的物理模型，其中为处于水平面内的转盘，可绕竖直转轴转动，设绳长，质点的质量，转盘静止时质点与转轴之间的距离，转盘逐渐加速转动，经过一段时间后质点与转盘一起做匀速圆周运动，此时绳与竖直方向的夹角不计空气阻力及绳重，且绳不可伸长，，，）求质点与转盘一起做匀速圆周运动时，求：
（1）绳子拉力的大小；
（2）转盘角速度的大小。
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）根据题意，对人和座椅受力分析，如图所示
由平衡条件有解得
（2）根据题意，由牛顿第二定律有由几何关系可知解得
10．清代乾隆的《冰嬉赋》用“躄躠”（可理解为低身斜体）二字揭示了滑冰的动作要领。短道速滑世界纪录由我国运动员武大靖创造并保持。在其创造纪录的比赛中，
（1）武大靖从静止出发，先沿直道加速滑行，前用时。该过程可视为匀加速直线运动，求此过程加速度大小；
（2）武大靖途中某次过弯时的运动可视为半径为的匀速圆周运动，速度大小为。已知武大靖的质量为，求此次过弯时所需的向心力大小；
（3）武大靖通过侧身来调整身体与水平冰面的夹角，使场地对其作用力指向身体重心而实现平稳过弯，如图所示。求武大靖在（2）问中过弯时身体与水平面的夹角的大小。（不计空气阻力，重力加速度大小取，、、、）
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）设武大靖运动过程的加速度大小为，根据解得
（2）根据解得过弯时所需的向心力大小为
（3）设场地对武大靖的作用力大小为，受力如图所示
根据牛顿第二定律可得解得可得
11．如图所示，竖直平面内有一光滑圆弧轨道，其半径为，平台与轨道的最高点等高，一质量的小球从平台边缘的A处水平射出，恰能沿圆弧轨道上P点的切线方向进入轨道内侧，A、P两点间的竖直高度，轨道半径与竖直线的夹角为53°，已知，，g取，求：
（1）小球从平台上的A点射出时的速度大小；
（2）小球从平台上的射出点A到圆轨道入射点P之间的水平距离L；
（3）小球沿轨道通过圆弧的最高点Q时的速度，则小球对轨道的内壁还是外壁有弹力？并求出该弹力的大小和方向？
【答案】（1）3m/s；（2）1.2m；（3）外壁，6.4N，竖直向上
【详解】（1）小球从A到P根据可得时间为从A到P是平抛运动，小球恰能沿圆弧轨道上P点的切线方向进入轨道内侧，则有解得
（2）从A到P是平抛运动，水平方向做匀速直线运动，有联立解得
（3）小球沿轨道通过圆弧的最高点Q时的速度在Q点根据牛顿第二定律有
解得根据牛顿第三定律可知小球对外壁有压力，方向竖直向上，大小为6.4N。
12．游乐场过山车的运动情况可以抽象为如图所示的模型：弧形轨道AB的下端B点与半径为R的竖直圆轨道平滑连接，质量为m的小球从弧形轨道上离水平地面高度为h的A点由静止开始滚下，小球进入竖直圆轨道后顺利通过圆轨道最高点C，不考虑空气阻力和摩擦，重力加速度为g。求：
（1）小球位于A点时的重力势能（以水平地面为参考平面）；
（2）小球从A点运动到C点的过程中，重力所做的功；
（3）要使小球从弧形轨道AB上某点（未画出）静止释放，恰能使小球完成完整的圆周运动，则释放点到水平面的高度为多少？
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）以水平地面为参考平面，小球在A点具有的重力势能为
（2）小球从A点运动到C点的过程中，重力所做的功为
（3）若小球恰好能完成完整的圆周运动，设其通过C点时的速度大小为vC，则根据牛顿第二定律有设释放点到水平面的高度为H，对小球从释放点到C点的过程，根据机械能守恒定律有
解得
13．浙江某旅游景点有座新建的凹凸形“如意桥”，刚柔并济的造型与自然风光完美融合。如图乙所示，该桥由两个凸弧和一个凹弧连接而成，两个凸弧的半经，最高点分别为A、C；凹弧的半径，最低点为B。现有一剧组进行拍摄取景，一位质量的特技演员，驾驶质量的越野摩托车穿越桥面，穿越过程中可将车和演员视为质点，试求：
（1）当摩托车以的速率到达凸弧最高点A时，桥面对车的支持力大小；
（2）当摩托车以的速率到达凹弧面最低点B时，质量的驾驶员对座椅的压力；
（3）为使得越野摩托车始终不脱离桥面，过A点和C点的最大速度。
【答案】（1）；（2），方向竖直向下；（3）
【详解】（1）当摩托车以的速率到达凸弧最高点A时，根据牛顿第二定律可得
可得桥面对车的支持力大小为
（2）当摩托车以的速率到达凹弧面最低点B时，以驾驶员为对象，根据牛顿第二定律可得
解得驾驶员受到的支持力大小为根据牛顿第三定律可知，驾驶员对座椅的压力大小为，方向竖直向下。
（3）设越野摩托车过A点和C点时刚好不脱离桥面，则有解得过A点和C点的最大速度为
14．2021年2月10日，天问一号探测器成功实现近火制动开始绕火星运行。天问一号在绕火星运动过程中由于火星遮挡太阳光，也会出现类似于地球上观察到的日全食现象，如图所示。已知天问一号绕火星做匀速圆周运动的轨道半径为r，火星质量为M，引力常量为G，天问一号相对于火星的张角为α（用弧度制表示），天问一号、火星和太阳的球心在同一平面内，太阳光可看作平行光。试求：
（1）火星的第一宇宙速度v；
（2）天问一号每次经历日全食的时间t。
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）火星的半径为根据可得火星的第一宇宙速度
（2）根据天问一号每次经历日全食的时间
15．2021年6月11日，天问一号探测器成功着陆火星，一次完成探测火星“绕、落、巡”三步试验。假设未来中国字航员登上火星后，进行了如下实验：一根轻绳穿过光滑的细直管，一端连接力传感器，另一端系一质量为m的小球（视为质点），如图所示，小球静止时到细直管左端之间的绳长为l并保持不变。现给小球一个水平初速度v0，使小球在竖直面内做圆周运动，测出小球经过最低点和最高点时力传感器的读数之差F，已知引力常量为G。则
（1）火星表面的重力加速度多大？
（2）为了实验成功，初速度v0多大？
（3）已知火星半径为R，火星的质量多大？
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】考查运用牛顿第二定律、机械能守恒定律、万有引力定律解决圆周运动实际问题的能力。
【详解】（1）设小球在最高点时的速度为v，细绳拉力为F，根据牛顿第二定律有设小球在最低点时细绳拉力为F0，根据牛顿第二定律有根据机械能守恒定律有
联立解得F = F0－F = 6mg所以火星表面的重力加速度
（2）要实验成功，小球必须能通过最高点，F ≥ 0，综上联立解得
（3）不考虑火星的自转，有所以火星的质量
16．《流浪地球2》中太空电梯非常吸引观众眼球。太空电梯通过超级缆绳连接地球赤道上的固定基地与配重空间站，它们随地球以同步静止状态一起旋转，如图所示。图中配重空间站比同步卫星更高，距地面高达。若地球半径为R，自转周期为T，重力加速度为g，求：
（1）通过缆绳连接的配重空间站速度大小为多少；
（2）若配重空间站没有缆绳连接，在该处其速度大小又为多少；若缆绳断裂，空间站是被甩出去，还是掉落回地球？
【答案】（1）；（2），见解析
【详解】（1）配重空间站绕地心转动的周期与地球自转的周期相同，通过缆绳连接的配重空间站速度大小为
（2）若配重空间站没有缆绳连接，由万有引力提供向心力得地面的物体
解得由于若缆绳断裂，空间站做离心运动，被甩出去。
17．假设一个宇航员在半径为R的某星球表面做实验，宇航员将光滑细管竖直固定放置，轻质细线穿过细管，两端分别与小球和物块相连，让小球在水平面内做匀速圆周运动，物块处于静止状态（不与星球接触），物块的质量是小球质量的2倍，如图所示。不计细线与细管之间的摩擦，宇航员测得小球做圆周运动的周期为T，细线倾斜部分的长度为L，忽略星球的自转，引力常量为G，求；
（1）该星球表面的重力加速度；
（2）该星球的质量及其第一宇宙速度。
【答案】（1）；（2），
【详解】（1）设小球，物块的质量分别为m、2m，对小球进行受力分析，细线的拉力与小球所受重力的合力沿水平方向，充当向心力，设细线与竖直方向的夹角为θ，由牛顿第二定律可得
对物块由二力平衡可得解得
（2）在星球表面解得物体环绕星球表面运行时解得
18．2019年1月3日，我国“嫦娥四号”探测器在月球背面软着陆，实现了人类首次探测月球背面，如图所示。假设“嫦娥四号”在软着陆的最后阶段，关闭了反冲发动机，从距月球表面高度处由静止开始自由下落，经时间落地，已知月球的半径为，引力常量为，忽略月球自转。求：
（1）月球表面的重力加速度；
（2）月球的质量；
（3）若在月球表面上水平抛出一个物体，使该物体不再落回月球表面，则物体至少需要多大的初速度？
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）根据自由落体运动公式解得月球表面的重力加速度为
（2）物体在月球表面受到的万有引力等于重力，则有解得
（3）要使抛出的物体不再落回月球表面，物体的最小初速度应满足解得
19．公交站点1与站点2之间的道路由水平路面段、段及倾角为的斜坡段组成，全程，其中长为，全程限速。一辆公交车（可忽略其大小）额定功率为，载人后总质量为。该车从静止开始，速率每秒增加，达到额定功率后经一段时间公交车匀速行驶。当该车到达C点，关闭发动机自由滑行，结果该车正好停在了D点（站点2）。若在整个行驶过程中，它在每一个路段的运动都可看成直线运动，B、C处圆弧连接，速率不突变。公交车受到由地面、空气等产生的阻力大小不变。已知，。求：
（1）公交车在段的最大功率为多少；
（2）公交车从站点1到站点2克服重力做功多少？
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）由题可知车的加速度大小。设牵引力为，根据牛顿第二定律有
带入数据解得车在段做匀加速直线运动，则在B点的功率最大。设到达B点时速度为，则有解得公交车在段的最大功率为
（2）该车在BC段匀速行驶时牵引力满足根据题意知，匀速行驶时的速度满足解得该车在CD段做匀减速直线运动，加速度为；
解得由题得可得BC两点的高度差为
则克服重力做功为
20．在平直公路上，质量的汽车以速度匀速行驶，此时发动机的功率，然后遇到平直的爬坡车道（每沿坡道前进1km，上升0.05km的高度），在坡底驾驶员加大油门，发动机功率立即增为1.5P，（假设汽车在平路转变为上坡的过程中速度大小不变）并保持该功率继续爬坡行驶。假设汽车行驶过程中所受的阻力大小始终不变，重力加速度，求：
（1）汽车在斜坡上匀速运动时的速度；
（2）汽车在刚上坡时的加速度；
（3）若爬坡车道长330m，且认为汽车到达坡顶之前已达到最大速率，则汽车从坡底到坡顶需多长时间。
【答案】（1）10m/s；（2），方向沿斜面向下；（3）13s
【详解】（1）在爬坡车道上匀速时有，解得
（2）汽车在平直公路上匀速前进时，受力平衡，假设阻力为f，牵引力为F，则有，
解得在斜坡上有，解得
方向沿斜面向下
（3）根据动能定理可得解得t=13s
21．某同学参照过山车情景设计了如图所示的模型：光滑的竖直圆轨道半径R=2m，入口的平直轨道AC和出口的平直轨道CD均是粗糙的，质量为m=2kg的小滑块（可视为质点）与水平轨道之间的动摩擦因数均为μ=0.5，滑块从A点由静止开始受到水平拉力F=60N的作用，在B点撤去拉力，AB的长度为L=5m，不计空气阻力，若滑块恰好通过圆轨道的最高点，g=10m/s2。求：
（1）当滑块再回到圆轨道最低点时圆轨道对它的弹力大小；
（2）滑块沿着出口的平直轨道CD能滑行的最大距离；
（3）平直轨道BC段的长度。
【答案】（1）120N；（2）10m；（3）15m
【详解】（1）滑块恰好通过最高点，滑块只受到重力，此时重力提供向心力，根据牛顿第二定律可得
滑块从C点到最高点过程由动能定理可得在C点，对滑块由牛顿第二定律可知解得；
（2）平直轨道CD上滑行时，由动能定理可得解得滑行距离
（3）对AC过程由动能定理可得解得BC长度
22．如图所示，可视为质点的小物块静止在水平桌面OA的左端，桌面OA的长度，物块与桌面间的动摩擦因数，桌子右侧的斜面BC与水平方向的夹角为，斜面下端点B在桌子右边缘A的正下方。物块在水平拉力F作用下向右运动，拉力F与x之间的关系如右图所示，x表示桌面上某点到O点的距离。物块离开桌面后平抛落到斜面上，物块到达斜面时速度与斜面垂直。已知物块质量为，重力加速度g取10m/s2。
（1）求物块平抛的初速度；
（2）求桌面的高度；
（3）其他量不变，将斜面BC向右平移距离d，同时改变桌面的动摩擦因数，保证物块到达斜面时速度与斜面垂直，求d的最大值及这种情形下的动摩擦因数。
【答案】（1）3m/s；（2）1.7m；（3）2.55m，
【详解】（1）图线下方的面积表示功，由图像可得水平拉力F做的功为
物块在桌面上运动过程由动能定理得解得物块平抛的初速度为
（2）由于物块到达斜面时速度与斜面垂直，则物块落到斜面上时速度的竖直分量为
又物块做平抛运动的时间为物块下落的高度、水平位移分别为；
由几何关系可得则桌面的高度为联立解得
（3）由于桌面高度一定，物块平抛到达斜面时速度的竖直分量最大为物块到达斜面时速度与斜面垂直，这种情形下平抛初速度为由动能定理可得
解得由题意知，动摩擦因数为0时，物块平抛的初速度最大，即便落到地面处也无法满足物块到达斜面时速度与斜面垂直，综上所述，物块平抛刚好落到地面处时到达斜面底端，速度与斜面垂直，此时d有最大值。；代入数据可得这种情形下动摩擦因数为。
23．如图为某游戏装置的示意图。AB、CD均为四分之一圆弧，E为圆弧DEG的最高点，各圆弧轨道与直轨道相接处均相切。GH与水平夹角为，底端H有一弹簧，A、、、D、、H在同一水平直线上。一质量为0.01kg的小钢球（其直径稍小于圆管内径，可视作质点，从距A点高为h处的O点静止释放，从A点沿切线进入轨道，B处有一装置，小钢球向右能无能量损失的通过，向左则不能通过且小钢球被吸在B点。若小钢球能够运动到H点，则被等速反弹。各圆轨道半径均为，BC长，水平直轨道BC和GH的动摩擦因数，其余轨道均光滑，小钢球通过各圆弧轨道与直轨道相接处均无能量损失。某次游戏时，小钢球从O点出发恰能第一次通过圆弧的最高点E。（，，）求：
（1）小钢球第一次经过C点时的速度大小；
（2）小钢球第一次经过圆弧轨道最低点B时受到的支持力大小；
（3）若改变小钢球的释放高度h，求出小钢球在斜面轨道上运动的总路程s与h的函数关系。
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）小钢球在E点处做圆周运动，当其恰好通过E点时，小钢球与轨道间无压力作用，设此时其速度为vE，根据向心力公式有则此时小钢球的动能为从C到E的运动过程，根据动能定理有解得
（2）设小钢球通过B点时的速度为vB，从B到C的运动过程，摩擦力做功为
根据动能定理有小钢球经过B点时，根据向心力公式有两式联立，解得
（3）设小钢球恰好能经过E点时，其释放的高度为h1，从O到E的运动过程，根据动能定理有
解得当小钢球的释放高度时，小钢球将无法通过E点，所以其在GH斜面轨道上运动的总路程s为零。根据几何关系可知，斜面轨道GH的长度小钢球在斜面GH上运动时，所受摩擦力大小为小钢球在斜面轨道上完成从G到H的运动，摩擦力做功
可知，小钢球完成从H到G的运动，摩擦力做功也为-0.032J。设小钢球释放高度为h2时，其能够运动到H点，并被反弹，且恰好能够再次经过E点，根据动能定理有
解得当小钢球的释放高度时，小钢球再次通过E点后，将向D、C方向运动，并不再返回，所以其在GH斜面轨道上运动的总路程小钢球重力沿斜面向下的分力大小为
因为，所以当小钢球的释放高度时，小钢球第一次通过E点后，无法再次经过E点，它将会在斜面轨道上反复运动，最终停在H点。根据动能定理有
解得综上可的
24．如图所示，质量M=2kg的滑块套在光滑的水平轨道上，质量m=1kg的小球通过长L=0.5m的轻质细杆与滑块上的光滑轴O连接，小球和轻杆可在竖直平面内绕O轴自由转动，开始轻杆处于水平状态，现给小球一个竖直向上的初速度v0=4m/s，g取10m/s2。
（1）若锁定滑块，试求小球通过最高点P时对轻杆的作用力大小和方向。
（2）在满足（1）的条件下，小球在最高点P突然离开轻杆沿水平方向飞出，试求小球落到水平轨道位置到轴O的距离。
【答案】（1）2N，方向竖直向上；（2）
【详解】（1）设小球能通过最高点，且此时的速度为。在上升过程中，因只有重力做功，小球的机械能守恒。则代入数据求得设小球到达最高点时，轻杆对小球的作用力为F，方向向下，则求得由牛顿第三定律可知，小球对轻杆的作用力大小为2N，方向竖直向上。
（2）离开后小球做平抛运动，由；得
25．如图是检验某种防护罩承受冲击能力的装置，为半径、固定于竖直平面内的光滑半圆弧轨道，、分别是轨道的最低点和最高点；为防护罩，它是一个竖直固定的圆弧，其半径，圆心位于点。在放置水平向左的弹簧枪，可向轨道发射速度不同的质量均为的小钢珠可视为质点，弹簧枪可将弹性势能完全转化为小钢珠的动能。假设某次发射的小钢珠沿轨道恰好能经过点（即弹力恰好为零），水平飞出后落到的某一点上，取。求：
（1）钢珠在点的速度大小；
（2）发射该钢珠前，弹簧的弹性势能；
（3）钢珠从圆弧轨道点飞出至落到防护罩上所用的时间。
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）在B处对小钢珠应用牛顿第二定律 得
（2）从发射钢珠到上升至B点过程，由机械能守恒定律 得
（3）钢珠做平抛运动，竖直方向 水平方向 由几何关系 联立解得
26．如图所示，一个半径为R的圆周的轨道，O点为圆心，B为轨道上的一点，OB与水平方向的夹角为37°。轨道的左侧与一固定光滑平台相连，在平台上一轻质弹簧左端与竖直挡板相连，弹簧原长时右端在A点。现用一质量为m的小球（与弹簧不连接）压缩弹簧至P点后释放。已知重力加速度为g，不计空气阻力。
（1）若小球恰能击中B点，求刚释放小球时弹簧的弹性势能；
（2）改变释放点的位置，求小球落到轨道时动能的最小值。
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）设小球从O点抛出时的速度大小为v，从O到B运动的时间为t，根据平抛运动规律有 ①
②根据几何关系可知 ③ ④联立①②③④解得 ⑤
根据机械能守恒定律可知刚释放小球时弹簧的弹性势能为 ⑥
（2）设小球在轨道上落点与O点连线与水平方向的夹角为θ，则 ⑦ ⑧
设小球落到轨道时的动能为Ek，根据动能定理有 ⑨
联立⑦⑧⑨解得 ⑩
根据数学知识可知，当时，Ek有最小值，为
27．物体A的质量为，圆环B的质量为，通过绳子跨过定滑轮连接在一起，圆环套在光滑的竖直杆上，开始时连接圆环的绳子处于水平，如图所示，长度。现从静止释放圆环，不计定滑轮和空气的阻力，g取。求：
（1）若则圆环能下降的最大距离h；
（2）若圆环下降时的速度大小为，则物体A的质量与圆环B的质量的比值？
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）圆环下降到最低点时，物体A上升到最高点，根据系统机械能守恒，有
根据几何关系解得
（2）①根据运动的合成与分解；联立解得
②根据系统机械能守恒，有由几何关系得
联立解得
28．为测试某玩具赛车（可视为质点）的性能，某同学设计了如图所示的轨道模型，该轨道由粗糙水平轨道OA、AC和光滑圆弧轨道组成，BC间有一固定在C点的弹簧，弹簧的劲度系数为。让小车从O点以额定功率从静止启动，经过到达A点，然后关闭发动机，小车由于惯性继续运动，恰好能通过圆弧最高点。已知圆弧轨道的半径为，AB间的距离，小车的质量，小车与水平轨道间的动摩擦因数为，取，试求：
（1）小车第一次经过最低点A时对轨道的压力；
（2）OA之间的距离；
（3）小车最终停在AB段，求小车最终与A之间的距离（弹簧的弹性势能与弹簧形变量之间的关系为）。
【答案】（1），方向竖直向下；（2）；（3）
【详解】（1）小车恰好过最高点，则有从A点到最高点过程，根据动能定理可得
小车过A点时，根据牛顿第二定律可得联立解得
根据牛顿第三定律可知，小车第一次经过最低点A时对轨道的压力大小为，方向竖直向下；
（2）从O到A过程，根据动能定理可得代入数据解得
（3）设小车第一次压缩弹簧最大压缩量为，根据能量守恒定律可得
解得小车从压缩弹簧最短到停止运动过程，根据能量守恒定律可得
解得则小车最终与A之间的距离为
29．如图所示，AB为倾角θ=37°的斜面轨道，其中轨道的AC部分光滑，CB部分粗糙，BP部分为圆心角θ2=143°、半径R=0.5m的竖直光滑圆弧形轨道，两轨道相切于B点，O点为圆弧的圆心，P、O两点在同一竖直线上，轻弹簧一端固定在A点，另一端自由仲长至斜面上C点处，现将一质量m=1kg的小物块（可视为质点）在B点以沿斜面向下v0=3m/s初速度射出，物块沿斜面向下运动，当物块压缩弹簧到D点时速度恰好为零。已知斜面B、C两点间距x1=1m，C、D两点间距x2=0.1m，小物块与斜面BC部分间的动摩擦因数μ=0.25，g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8，求：
（1）弹簧被压缩到D点时的弹性势能Ep；
（2）小物块再次回到B点时对轨道的压力；
（3）若改变小物块在B点沿斜面向下的初速度v0，要使小物块在轨道上运动的过程中不脱离轨道，则v0的取值范围为多少？
【答案】（1）；（2）10N；（3）或
【详解】（1）物块从B到D的过程，由能量守恒定律可知
解得
（2）物体从B再次回到B的过程，由动能定理可知由牛顿第二定律可知
解得由牛顿第三定律可知，物体对轨道压力为10N。
（3）若物块由弹簧反弹上升到与O等高点时的初速度为零，从将物块从B点射出到运动到与O点等高点整个过程。由能量守恒可知解得若小物体返回后恰能到达P点从将物块从B点射出到运动到P点整个过程应用动能定理解得要使小物块在轨道上运动过程中不脱离轨道，的取值范围为或。
30．如图所示，有一个质量为m=1kg的小物块（可视为质点），从光滑平台上的A点以v0=3m/s的初速度水平抛出，到达C点时，恰好沿切线方向进入固定在水平地面上的光滑圆弧轨道CD，最后小物块滑上紧靠轨道末端D点的长木板。已知长木板质量为M=3kg，放在光滑的水平地面上，长木板上表面与小物块间的动摩擦因数μ=0.3，且与圆弧轨道末端切线相平，圆弧轨道的半径为R=0.5m，半径OC与竖直方向的夹角θ=53°，不计空气阻力，求；（g=10m/s2，sin53°=0.8，cos53°=0.6）
（1）小物块到达C点时的速度大小；
（2）小物块刚要到达圆弧轨道末端D点时对轨道的压力；
（3）要使小物块不滑出长木板，木板的最小长度。
【答案】（1）5m/s；（2）68N，方向竖直向下；（3）3.625m
【详解】（1）小物块平抛运动至C点时，对速度进行分解，如图所示
因小物块恰好沿切线方向进入固定在水平地面上的光滑圆弧轨道CD，则有
（2）小滑块从C运动到D的过程中由动能定理，可得解得
小物块在圆弧轨道末端D点，由牛顿第二定律，可得联立方程，解得
由牛顿第三定律可知，对轨道的压力大小为68N，方向竖直向下
（3）小物块滑上长木板后做匀减速直线运动，由牛顿第二定律可得小物块的加速度大小为
长木板做匀加速直线运动，由牛顿第二定律可得可得长木板的加速度大小为要使小物块不滑出长木板，则小物块滑至长木板最右端时，二者恰好共速，此时长木板最短，设经过t时间二者共速，则有；对物块和长木板组成的系统，由能量守恒定律得
联立方程，解得即木板的最小长度为3.625m
