三线八角[下学期]
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文档简介
【教学题目】三线八角
【教学目标】
知识与技能
1．使学生理解三线八角的意义，并能从复杂图形中识别它们．
2．通过三线八角的特点的分析，培养学生抽象概括问题的能力．
3．使学生认识图形是由简到繁组合而成，培养学生形成基本图形结构的能力．
过程与方法
通过学生探索三条直线的位置关系引入三线八角的概念，在学生探索的过程中加深学生对概念的理解，通过具体的例题使学生掌握在复杂图形中识别三线八角的方法。
情感态度与价值观
培养学生的探索归纳能力
【教学重点】
三线八角的意义
【教学难点】
能在各种变式的图形中找出这三类角
【教学过程】
复习提问
前面我们学习了相交线，两条直线相交后产生了几个角？每两个角之间的关系是什么？
(除平角外，产生四个角，对顶角相等，邻补角互补)
引入新课
三条直线之间可以有什么样的位置关系？（请你用三支笔表示三条直线，来排放一下可能存在的位置关系。）
（1）三条直线都平行（没有交点）．
（2）两条直线平行被第三条直线所截（两个交点）．
（3）三条直线两两相交（有三个交点）．
（4）三条直线交于一点（一个交点）．
前面我们对相交的两条直线所形成的四个角进行研究，今天我们就对三条直线相交后形成的八个角如图2-30(3)进行研究，简称为：三线八角．(板书课题)
新课讲解
在图2-31中，l1和l3(或l2和l3)所形成的四个角是有公共顶点的，而每两个角之间的关系从位置来分，可分为两类：对顶角和邻补角，而上面四个角和下面四个角是没有公共顶点的，那么上面的一个与下面的一个又有什么样的位置关系呢？这就是下面所要研究的问题．
（1）同位角：分别在被截直线同方向，截线的同侧，即它们的位置相同，这样的两个角叫做同位角.
问题：∠1和∠5有什么共同特点？
均在直线l3的一侧，且分别在l1和l2的上方，像这样的两个角叫作同位角．
请同学们指出：图中还有同位角吗？(答：∠2与∠6，∠4与∠8，∠3与∠7)
（2）内错角：分别在被截直线内，截线的两侧，这样的两个角叫做内错角.
（3）同旁内角：分别在被截直线内，截线同侧（同旁），这样的两个角叫做同旁内角.
提问：（1）同位角和同旁内角在位置上有什么相同点和不同点？
（2）内错角和同旁内角在位置上有什么相同点和不同点？
（3）这三类角的共同特征是什么？
小结：在截线的同旁找同位角和同旁内角，在截线的不同旁找内错角，因此在“三线八角”的图形中的主线是截线，抓住了截线，再利用图形结构特征（F、Z、U）判断问题就迎刃而解．
例题讲解：如图，直线DE、BC被直线AB所截，（1）∠l与∠2，∠1与∠3，∠1与∠4各是什么关系的角？
（2）如果∠1＝∠4，那么∠1和∠2相等吗？∠1和∠3互补吗？为什么？
变式练习
1．如图2-32，说出以下各对角是哪两条直线被第三条直线所截而得到的？∠1与∠2，∠2与∠4，∠2与∠3．
答：∠1与∠2是l2、l3被l1所截而得到的一对同旁内角．
∠2与∠4是直线l2、l1被l3所截而得到的同旁内角．
∠2与∠3是l2、l1被l3所截而得到的同位角．
2．如图2-33，找出下列图中的同位角，内错角和同旁内角．
答：同位角有：∠2与∠3，∠4与∠7，∠4与∠8；内错角有∠1与∠3，∠6与∠8，∠6与∠7；同旁内角有∠3与∠8，∠1与∠4．
说明：一看角的顶点；二看角的边；三看角的方位．这“三看”又离不开主线——截线的确定
3．如图2-34，指出图中∠1与∠2，∠3与∠4的关系．
答：∠1与∠2是内错角，∠3与∠4也是内错角．
正确识别这三类角应注意的问题：
（1）识别这三类角首先要抓住“三条线”，即：哪两条直线被哪一条直线所截．
（2）抓住“截线”，截线的同侧有哪些角、从中找同位角和同旁内角，在截线的两侧找内错角．
课堂练习
1． 找出如图2-35中的对顶角和邻补角．
答：对顶角有四对，它们是∠1与∠3，∠2与∠4，∠5与∠6，∠7与∠8；
邻补角有∠1与∠2，∠2与∠3，∠3与∠4，∠4与∠1，∠5与∠8，∠8与∠6，∠6与∠7，∠7与∠5．
(还可以找出图2-35中相等的角，即四对对顶角)
2．如图2-36，如果∠1=∠2=∠7，那么还有哪些角是相等的．
答：∠1与∠4是邻补角．∠2与∠5是邻补角，∠3与∠6是邻补角．∠7与∠8是邻补角，因为∠1=∠2=∠7，∠2=∠3(对顶角相等)，所以∠1=∠2=∠3=∠7，则∠4=∠5=∠6=∠8．(等角的补角相等)
3．如图2-37中，若∠1=∠2，证明：∠3与∠4是互补的角．
证明：因为∠1=∠3，(对顶角相等)
∠1=∠2，(已知)
所以∠2=∠3．(等量代换)
又因为∠2+∠4=180°，
所以∠3+∠4=180°．(等量代换)
即∠3与∠4是互补的角．
此题在证明的分析中，可以用以下逻辑思考的过程，即“执果索因”法．
若要证∠3与∠4互补，即证∠3+∠4=180°，但∠4与∠2的和为180°，因此需证∠3=∠2，由于∠3=∠1(对顶角相等)，∠1=∠2是已知，所以∠2=∠3．而写出证明过程时，要从先证∠2=∠3出发，最后得到∠3+∠4=180°．
以上的几何证明题的思考过程是一种常见的方法，它是从要证明结果的出发，探索要得出这个结果时，应具备的条件，只要将条件准备充足，就能得到要求的结果．
小结
（1）学了哪些相互关系的角？
答：学过六种相互关系的角．
①互为余角，②互为补角(邻补角是特殊情形)，③对顶角，④同位角，⑤内错角，⑥同旁内角．
（2）寻找同位的、内错角和同旁内角关键应准确找到什么？
答：寻找同位角，同旁内角关键在于准确找到三线中的主线——截线．(两线被第三线所截)
（3）相交直线：
板书设计
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【教学目标】
知识与技能
1．使学生理解三线八角的意义，并能从复杂图形中识别它们．
2．通过三线八角的特点的分析，培养学生抽象概括问题的能力．
3．使学生认识图形是由简到繁组合而成，培养学生形成基本图形结构的能力．
过程与方法
通过学生探索三条直线的位置关系引入三线八角的概念，在学生探索的过程中加深学生对概念的理解，通过具体的例题使学生掌握在复杂图形中识别三线八角的方法。
情感态度与价值观
培养学生的探索归纳能力
【教学重点】
三线八角的意义
【教学难点】
能在各种变式的图形中找出这三类角
【教学过程】
复习提问
前面我们学习了相交线，两条直线相交后产生了几个角？每两个角之间的关系是什么？
(除平角外，产生四个角，对顶角相等，邻补角互补)
引入新课
三条直线之间可以有什么样的位置关系？（请你用三支笔表示三条直线，来排放一下可能存在的位置关系。）
（1）三条直线都平行（没有交点）．
（2）两条直线平行被第三条直线所截（两个交点）．
（3）三条直线两两相交（有三个交点）．
（4）三条直线交于一点（一个交点）．
前面我们对相交的两条直线所形成的四个角进行研究，今天我们就对三条直线相交后形成的八个角如图2-30(3)进行研究，简称为：三线八角．(板书课题)
新课讲解
在图2-31中，l1和l3(或l2和l3)所形成的四个角是有公共顶点的，而每两个角之间的关系从位置来分，可分为两类：对顶角和邻补角，而上面四个角和下面四个角是没有公共顶点的，那么上面的一个与下面的一个又有什么样的位置关系呢？这就是下面所要研究的问题．
（1）同位角：分别在被截直线同方向，截线的同侧，即它们的位置相同，这样的两个角叫做同位角.
问题：∠1和∠5有什么共同特点？
均在直线l3的一侧，且分别在l1和l2的上方，像这样的两个角叫作同位角．
请同学们指出：图中还有同位角吗？(答：∠2与∠6，∠4与∠8，∠3与∠7)
（2）内错角：分别在被截直线内，截线的两侧，这样的两个角叫做内错角.
（3）同旁内角：分别在被截直线内，截线同侧（同旁），这样的两个角叫做同旁内角.
提问：（1）同位角和同旁内角在位置上有什么相同点和不同点？
（2）内错角和同旁内角在位置上有什么相同点和不同点？
（3）这三类角的共同特征是什么？
小结：在截线的同旁找同位角和同旁内角，在截线的不同旁找内错角，因此在“三线八角”的图形中的主线是截线，抓住了截线，再利用图形结构特征（F、Z、U）判断问题就迎刃而解．
例题讲解：如图，直线DE、BC被直线AB所截，（1）∠l与∠2，∠1与∠3，∠1与∠4各是什么关系的角？
（2）如果∠1＝∠4，那么∠1和∠2相等吗？∠1和∠3互补吗？为什么？
变式练习
1．如图2-32，说出以下各对角是哪两条直线被第三条直线所截而得到的？∠1与∠2，∠2与∠4，∠2与∠3．
答：∠1与∠2是l2、l3被l1所截而得到的一对同旁内角．
∠2与∠4是直线l2、l1被l3所截而得到的同旁内角．
∠2与∠3是l2、l1被l3所截而得到的同位角．
2．如图2-33，找出下列图中的同位角，内错角和同旁内角．
答：同位角有：∠2与∠3，∠4与∠7，∠4与∠8；内错角有∠1与∠3，∠6与∠8，∠6与∠7；同旁内角有∠3与∠8，∠1与∠4．
说明：一看角的顶点；二看角的边；三看角的方位．这“三看”又离不开主线——截线的确定
3．如图2-34，指出图中∠1与∠2，∠3与∠4的关系．
答：∠1与∠2是内错角，∠3与∠4也是内错角．
正确识别这三类角应注意的问题：
（1）识别这三类角首先要抓住“三条线”，即：哪两条直线被哪一条直线所截．
（2）抓住“截线”，截线的同侧有哪些角、从中找同位角和同旁内角，在截线的两侧找内错角．
课堂练习
1． 找出如图2-35中的对顶角和邻补角．
答：对顶角有四对，它们是∠1与∠3，∠2与∠4，∠5与∠6，∠7与∠8；
邻补角有∠1与∠2，∠2与∠3，∠3与∠4，∠4与∠1，∠5与∠8，∠8与∠6，∠6与∠7，∠7与∠5．
(还可以找出图2-35中相等的角，即四对对顶角)
2．如图2-36，如果∠1=∠2=∠7，那么还有哪些角是相等的．
答：∠1与∠4是邻补角．∠2与∠5是邻补角，∠3与∠6是邻补角．∠7与∠8是邻补角，因为∠1=∠2=∠7，∠2=∠3(对顶角相等)，所以∠1=∠2=∠3=∠7，则∠4=∠5=∠6=∠8．(等角的补角相等)
3．如图2-37中，若∠1=∠2，证明：∠3与∠4是互补的角．
证明：因为∠1=∠3，(对顶角相等)
∠1=∠2，(已知)
所以∠2=∠3．(等量代换)
又因为∠2+∠4=180°，
所以∠3+∠4=180°．(等量代换)
即∠3与∠4是互补的角．
此题在证明的分析中，可以用以下逻辑思考的过程，即“执果索因”法．
若要证∠3与∠4互补，即证∠3+∠4=180°，但∠4与∠2的和为180°，因此需证∠3=∠2，由于∠3=∠1(对顶角相等)，∠1=∠2是已知，所以∠2=∠3．而写出证明过程时，要从先证∠2=∠3出发，最后得到∠3+∠4=180°．
以上的几何证明题的思考过程是一种常见的方法，它是从要证明结果的出发，探索要得出这个结果时，应具备的条件，只要将条件准备充足，就能得到要求的结果．
小结
（1）学了哪些相互关系的角？
答：学过六种相互关系的角．
①互为余角，②互为补角(邻补角是特殊情形)，③对顶角，④同位角，⑤内错角，⑥同旁内角．
（2）寻找同位的、内错角和同旁内角关键应准确找到什么？
答：寻找同位角，同旁内角关键在于准确找到三线中的主线——截线．(两线被第三线所截)
（3）相交直线：
板书设计
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