2023年湖南省中考数学专练—三角形（含答案）

专题七 三角形
一、单选题(共10小题)
1.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则该等腰三角形的底角的度数为( )
A. B. C.或 D.或
2.如图，，点在线段上，，则的度数是( )

A. B. C. D.
3.如图，，，则下列结论错误的是( )

A. B.
C. D.
4.如图所示，，，下列结论中错误的是( )

A.是的角平分线 B.是的角平分线
C. D.是的角平分线
5.如图，的直径垂直于弦，垂足为，，，的长为( )．

A. B. C. D.
6.如图所示的边上的高是( )

A.线段 B.线段 C.线段 D.线段
7.如图所示，，相交于点，，．下列结论正确的是( )

A.≌ B.≌
C. D.
8.如图，点在线段上，点在的延长线上，，平分，平分，若，则下列结论中不正确的是( )

A. B.
C. D.平分
9.如图，等边的边长为，则点的坐标为

A. B. C. D.
10.三角形的两边，的夹角为,且满足方程，则第三边的长是( )
A. B. C. D.
二、填空题(共8小题)
11.如图所示,若,则 .

12.的对角线、的长分别为和，则边的长的取值范围为 ．
13.已知甲、乙两人从同一地点出发，甲往东走，乙往南走了，这时甲、乙两人相距 ．
14.如图 ，的顶点是正方形网格的格点，则的值为 ．

15.如图，将绕点按顺时针方向旋转到的位置，已知斜边，，设的中点是，连接，则 ．

16.如图，在中，，，.以边所在直线为轴将旋转一周得到一个圆锥，则这个圆锥的侧面积是 .

17.如图，梯形中，，对角线与中位线交于点，若，，那么 ．

18.正方形，，是中点，，点、为线段上的动点，，求四边形周长的最小值

三、解答题(共8小题)
19.如图，在中，是钝角，请按下列要求画图：

(1)的平分线用尺规作图，并保留作图痕迹；
(2)边上的中线；
(3)边上的高．
20.如图，矩形中，，，动点沿着的方向运动至点停止，设点运动的路程为，的面积为

(1)当点在上运动时，请写出与的关系式
(2)当时，
(3)当点在上运动时，请写出与的关系式
(4)当时，
21.如图，甲、乙两艘轮船同时从港口出发，甲轮船以海里/时的速度向南偏东
方向航行，乙轮船向南偏西方向航行．已知它们离开港口两小时后，两艘轮船相距海里，则乙轮船平均每小时航行多少海里？

22.如图，在坐标系中，是等腰直角三角形，，，，，，抛物线的图象过点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)平移该抛物线的对称轴所在直线．当移动到何处时，恰好将的面积分为相等的两部分？
(3)点是轴上的一点，是否存在一点使是等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由．
23.已知：如图在中，是上一点，且，，求
的度数．

24.如图，在正方形中，，.
求证：.

25.如图，在中，点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.过点作于点连接.设点运动的时间是.

(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)当 时，为直角三角形
26.如图，是的直径，是的弦，，垂足是点，过点作直线分别与，的延长线交于点，，且．
(1)求证：是的切线；
(2)如果，，
①求的长；
②求的面积．
参考答案
1.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了三角形有关高问题有两种情况的理解和掌握，能否利用三角形的内角和定理和等腰三角形的性质，知三角形的一个角能否求其它两角．
先知三角形有两种情况，求出每种情况的顶角的度数，再利用等边对等角的性质(两底角相等和三角形的内角和定理，即可求出底角的度数
【解答】
解：有两种情况；
如图当是锐角三角形时，于，

则，
已知，
，
，
；
如图，当是钝角三角形时，于，

则，
已知，
，
，
，
，
综合得：等腰三角形的底角是或
故选
2.【答案】A
【解析】，
，，，
，
中，，
，
故选：．
3.【答案】C
4.【答案】D
【解析】由，，
根据角平分线的定义，可知是的角平分线，是的角平分线，
故选项A，B正确；因为，＋，
所以，
故选项C正确；
因为三角形的角平分线是三角形的内角平分线与对边相交，角的顶点与对边交点之间的线段，
所以不是的角平分线，故选项D错误．
故选D.
5.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了圆周角定理，等腰直角三角形的性质和垂径定理．根据圆周角定理得，由于的直径垂直于弦，根据垂径定理得，且可判断为等腰直角三角形，所以，然后利用进行计算．
【解答】
解：取的中点，连接，

，
，
，
，
的直径垂直于弦，
，为等腰直角三角形，
，
．
故选．
6.【答案】C
7.【答案】A
【解析】根据题意，，有两组对边相等，结合选项进行证明.
8.【答案】C
【解析】，
，，，
平分，平分，
，，
，
，，
，
，
平分，故正确；
，
，故正确；
，故正确；
，故不正确；
故选：．
9.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查了等边三角形的性质以及勾股定理的运用，解题的关键是作辅助线构造直角三角形先过作于，则根据等边三角形的性质，即可得到以及的长，进而得出点的坐标
【解答】
解：如图所示，过作于，

是等边三角形，
，
，
中，，
，
故选
10.【答案】A
【解析】∵，
∴，
∴，．
如图，不妨设中，，，．作′，垂足为′．
∵′中，，
∴′．又，
∴与′重合，
∴.
∴．
∴选项正确．

11.【答案】
12.【答案】
【解析】【分析】首先由的对角线和相交于点，若，，根据平四边形的性质，可求得与的长，再由三角形的三边关系，求得答案．
此题考查了平行四边形的性质以及三角形的三边关系．注意平行四边形的对角线互相平分．
【解答】解：如图所示：

的对角线和相交于点，，，
，，
边的长的取范围是：．
故答案为．
13.【答案】
【解析】【分析】此题主要考查学生对勾股定理的理解及实际生活中的运用因为甲向东走，乙向南走，其刚好构成一个直角两人走的距离分别是两直角边，则根据勾股定理可求得斜边即两人的距离．
【解答】解：如图，

，，
．
14.【答案】
15.【答案】
【解析】【分析】
根据旋转的性质，结合勾股定理和中位线定理解答作于，根据中位线定理可得的大小，又因为，；计算可得的值，根据勾股定理可得的大小．
【解答】
解：作于，

因为为的中点，故，
又因为，则，，
又因为，所以，
．
故答案为．
16.【答案】
17.【答案】
【解析】∵是梯形的中位线，
∴，
∴，
∴ ，
∴．
故答案是：．
利用梯形的中位线对题目进行判断即可得到答案，需要熟知梯形的中位线平行于梯形的两底并等于两底和的一半．
18.【答案】
【解析】 【分析】
此题主要考查了正方形的性质，轴对称之最短路径问题，勾股定理，得出，的位置是解题关键在上取一点使，连接，作点关于的对称点，连接，交于点，连接，过点作，交于点，此时四边形的周长最小，根据轴对称的性质，勾股定理进行计算即可得出结论．
【解答】

解：如图，在上取一点使，连接，作点关于的对称点，连接，交于点，连接，过点作，交于点，此时四边形的周长最小，
，，
，
正方形，，是中点，，
，，
，，
由辅助线的作法易得，，，
又，
四边形时平行四边形，
，，
四边形的周长．
故答案为．
19.【答案】(1)如图，即为所求作的的平分线；
(2)如图，即为所求作的边上的中线；
(3)如图，即为所求作的边上的高．
【解析】(1)以点为圆心，以任意长为半径画弧与边、两边分别相交于一点，再以这两点为圆心，以大于这两点距离的为半径画弧相交于一点，过这一点与点作出角平分线即可；
(2)作线段的垂直平分线，垂足为，连接即可；
(3)以为圆心，以任意长为半径画弧交的延长线于两点，再以这两点为圆心，以大于这两点间的长度的为半径画弧，相交于一点，然后作出高即可
20.【答案】(1)
(2)
(3)解：如图，∵四边形是矩形，∴，，由运动知，∴，∵点在上，∴∴ ；
(4)或．
【解析】(1)由题意可求出的长，利用三角形的面积公式即可得到求与的关系式； 由运动知，，∴ ，故答案为.
(2)根据函数式，代入求得答案；
当时，；
故答案为；
(3)先确定出，再利用面积公式即可得出函数关系式；
(4)当时，即或，
解得：或．
故答案为或．
21.【答案】 ∵甲轮船以海里/时的速度向南偏东方向航行，乙轮船向南偏西方向航行， ∴． ∵甲轮船以海里/时的速度向南偏东方向航行了小时，∴海里)． ∵海里， ∴在中，海里)， ∴乙轮船平均每小时航行海里)
【解析】∵甲轮船以海里/时的速度向南偏东方向航行，乙轮船向南偏西方向航行， ∴． ∵甲轮船以海里/时的速度向南偏东方向航行了小时，∴海里)． ∵海里， ∴在中，海里)， ∴乙轮船平均每小时航行海里)
22.【答案】(1)解：如图所示，过点作轴于点，则．∵∵，∵∴，∴，．在与中，∵，∴．∴，．∴．∴，．∵点，在抛物线上，∴，解得：．∴抛物线的解析式为：线．
(2)在中，，，由勾股定理得：，∴，设直线的解析式为，∵，，，，∴，解得，∴直线的解析式为，同理求得直线的解析式为：，如图所示，设直线与、分别交于点、，则，在中，边上的高，由题意得：，即：，∴，整理得：，解得或(不合题意，舍去，∴当直线解析式为时，恰好将的面积分为相等的两部分；
(3)如图，分四种情况：
①当时，，
∴，；
②当时，，
∴，；
③当时，，
∴，；
④当时，过作于，
∴，
∵，
∴，
，
∴，
，
∴，
由勾股定理得：，
∴，
∴，；
综上所述，点的坐标为，或，或，或，．

【解析】(1)如图，抛物线的解析式中有一个字母系数，需要找一个抛物线上的点代入求解，因此只要求点的坐标即可；证明，则，，可得点，，代入抛物线解析式即可；

(2)如图，先求的面积，分别求和的解析式，表示的长，根据面积一半列等式，可求得的横坐标，即直线的解析式；

(3)如图，分别以三边为腰分情况进行讨论，依次求的坐标即可．
本题是二次函数的综合题，难度适中，考查了利用待定系数法求二次函数和一次函数的解析式、等腰直角三角形的性质、三角形全等的性质和判定、同角的三角函数、勾股定理等知识，注意第三问中利用数形结合的思想，分类讨论，属于常考查题型，本题还利用解析式表示线段的长，这在函数的综合题中经常运用，要熟练掌握．
23.【答案】解：，，
，
，
，
，
，
．
【解析】本题主要考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理和三角形的外角性质的知识点，关键是根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理解答．
根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理解答即可．
24.【答案】设正方形的边长为，
则，，.
在中，


.
在中，


.
∴.
连结，在中，


.
∴.
∴.
∴.

【解析】连结，设正方形的边长为，利用勾股定理分别求出、、的长，再根据勾股定理的逆定理证明即可.
25.【答案】(1)证明：.由题意，得.,.四边形是平行四边形.
(2)或
【解析】(2)若如图①.又,即解得.若如图②.四边形是平行四边形.又即解得.综上所述，当或时，为直角三角形.故答案为或.
26.【答案】(1)证明：连接，如图，是的直径，，．，．，．，．．是的半径，是的切线；
(2)解：①，是的直径，，．，，．；②过点作，交的延长线于点，如图，，，．设，则，，，．解得．．的面积．
【解析】(1)连接，利用圆周角定理，垂径定理，同圆的半径相等，等腰三角形的性质和圆的切线的判定定理解答即可；
(2)①利用勾股定理和相似三角形的判定定理与性质定理解答即可；②过点作，交的延长线于点，设，则，利用相似三角形的判定与性质和平行线分线段成比例定理求得，再利用三角形的面积公式解答即可．