2023年湖南省中考数学专练—一元一次不等式(组) (含解析）

专题六 一元一次不等式(组)
一、单选题(共10小题)
1.下列各数为不等式组的整数解的是( )
A. B. C. D.
2.若分式的值为正数，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
3.若关于的一元一次方程的解是负数，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
4.图表示的是四个不等式的解集，其中错误的是( )
A. B.
C. D.
5.已知关于的不等式的解都是不等式的解，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.不等式组 中的两个不等式的解集在同一个数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
7.不等式组的解集在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
8.不等式组 的整数解的个数为( )
A. B. C. D.
9.若不等式的解集为，则关于的方程的解为( )
A. B. C. D.
10.若不等式组的解集中每一个值均不在的范围内，则的取值范围是( )
A.或 B.或
C.或 D.
二、填空题(共8小题)
11.不等式的正整数解是 ．
12.若不是不等式的解，则的取值范围是 .
13.若和都是方程的解，且，则的取值范围是 ．
14.小明用元钱购买矿泉水和冰激凌，每瓶矿泉水元，每支冰激凌元，他买了瓶矿泉水和若干支冰激凌，他最多能买 支冰激凌．
15.若不等式组无解，则的取值范围是 ．
16.若关于的一元一次不等式组的解是，则的取值范围是 。
17.已知一次函数的图象经过一、二、三象限，不经过第四象限，则的取值范围是 ．
18.对实数，定义运算：&，其中，是常数．令&，&，&，如果，，那么的取值范围是 ．
三、解答题(共8小题)
19.求不等式组的整数解．
20.当为何值时，代数式 的值是非负数？
21.已知关于，的二元一次方程组当方程组的解满足时，求的取值范围.
22.若方程组的解是正数，求
(1)的取值范围；
(2)化简绝对值
23.某商店以每件元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价
元，则可卖出件，但物价局限定每件商品的利润不得超过进价的，商店计划要盈利元，每件商品应定价多少元？需要进货多少件？
24.某公司有两种型号的客车共辆，它们的载客量、每天的租金如下表所示：
型号客车 型号客车
载客量(人/辆)
租金(元/辆)
已知在辆客车都坐满的情况下，共载客人.
(1)求，两种型号的客车各有多少辆；
(2)某中学计划租用两种型号的客车共辆，送七年级师生到某教育基地参加社会实践活动.已知该中学租车的总费用不超过元，求最多能租用多少辆型号客车；
(3)在的条件下，若七年级的师生共有人，请写出所有可能的租车方案，并确定最省钱的租车方案.
25.观察下列不等式及其解集：
①的解集为或；
②的解集为或.
回答下列问题：
(1)的解集是 ;
(2)归纳：当时，不等式的解集是 ;
(3)运用中的结论解不等式．
26.为了提倡低碳经济，某公司为了更好的节约能源，决定购买台节省能源的新机器现有甲、乙两种型号的设备，其中每台的价格、工作量如下表：
节能设备 甲型 乙型
价格(万元台
产量(吨月
经调查：购买一台甲型设备万元，购买台甲型设备比购买台乙型设备少万元；
(1)求的值；
(2)经预算，该公司购买节能设备的资金不超过万元，请解答共有哪几种购买方案？
(3)在的条件下，若每月要求产量不低于吨，为了节约资金，请你为该公司设计一种最省钱的购买方案．
参考答案
1.【答案】B
【解析】解：不等式组解得：，
则整数解为，，，
故选：．
求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分确定出解集，即可求出整数解．
此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
2.【答案】D
【解析】本题主要考查了分式的值根据分式的值的符号来判断分子和分母的符号是解答此题的关键若分式的值是正数，则只需分子和分母同号．
解：分式的值为正数，， 或， 解得 ， 故选．
3.【答案】A
4.【答案】B
【解析】A．应该从表示的点出发，实心圆点向左画折线，正确．B．应该从表示的点出发，空心圆圈向右画折线，错误．C．≠应该从表示的点出发，空心圆圈向右和向左画两条折线，正确．D．应该从表示的点出发，空心圆圈向左画折线，正确．故选B
5.【答案】C
【解析】解不等式，得，
解不等式，得，
根据题意，得，解得.
故选．
6.【答案】D
【解析】 ，由①得，≥﹣，
由②得，＜，
故不等式组的解集为：﹣＜．
在数轴上表示为：
．
据此可知答案为：．
解答此题的关键在于理解一元一次不等式组的解法的相关知识，掌握解法：①分别求出这个不等式组中各个不等式的解集；②利用数轴表示出各个不等式的解集；③找出公共部分；④用不等式表示出这个不等式组的解集．如果这些不等式的解集的没有公共部分，则这个不等式组无解此时也称这个不等式组的解集为空集，以及对不等式的解集在数轴上的表示的理解，了解不等式的解集可以在数轴上表示，分三步进行：①画数轴②定界点③定方向．规律：用数轴表示不等式的解集，应记住下面的规律：大于向右画，小于向左画，等于用实心圆点，不等于用空心圆圈．
7.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了解一元一次不等式组，把每个不等式的解集在数轴上表示出来向右画；，向左画，数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集有几个就要几个在表示解时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式的解集表示在数轴上即可
【解答】
解：由，得，
由，得，
所以不等式组的解集为，
故选
8.【答案】D
【解析】 ，
解①得＜，
解②得≥．
则不等式组的解集是：＜．
则整数解是，，，，，，，，．共有个．
据此可知答案为：．
解答此题的关键在于理解一元一次不等式组的解法的相关知识，掌握解法：①分别求出这个不等式组中各个不等式的解集；②利用数轴表示出各个不等式的解集；③找出公共部分；④用不等式表示出这个不等式组的解集．如果这些不等式的解集的没有公共部分，则这个不等式组无解此时也称这个不等式组的解集为空集，以及对一元一次不等式组的整数解的理解，了解使不等式组中的每个不等式都成立的未知数的值叫不等式组的解，一个不等式组的所有的解组成的集合，叫这个不等式组的解集(简称不等式组的解．
9.【答案】B
【解析】【分析】此题考查了解一元一次方程，以及不等式的解集，熟练掌握运算法则是解本题的关键根据已知不等式解集确定出的值，代入方程计算即可求出的值．
【解答】解：不等式，即的解集为， ，
代入方程得：，
解得：，
故选
10.【答案】B
【解析】由，得，
由，得，
不等式组的解集中每一个值均不在的范围内，
则或，
解得或.
故选．
11.【答案】，，
【解析】【分析】本题考查了一元一次不等式的特殊解，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键先求出不等式的解集，找出解集中的最小整数即可．【解答】解：，
解得，
不等式的正整数解为，，
故答案，，．
12.【答案】
13.【答案】
【解析】由题意可得：
解得：



故答案为：
14.【答案】
【解析】设他买了支冰激凌，
根据题意，得：，
解得：，
为整数，
他最多能买支冰激凌，
故答案为：．
15.【答案】
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键求出第一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了即可确定的范围．
【解答】
解：解不等式，得：，
∵不等式组的解集为，
∴，
故答案为．
17.【答案】
【解析】因为关于的一次函数的图象经过第一、二、三象限，
所以，且，
解得.
18.【答案】
【解析】&，&，&，&，
，
，，
，，
，
（）（），（），（）



，
故答案为：．
19.【答案】解：
由①得：，
，
由②得：
，
不等式组的解集为：，
该不等式组的整数解为、、、、．
【解析】先求不等式组的解集，再求不等式组的整数解；解答此题的关键是求出不等式的解集，要根据解不等式组的原则解答：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小无解了
20.【答案】解：依题意得： ≥，解得： ．
答：当小于或等于 时，代数式 的值是非负数
【解析】首先列出不等式，然后解不等式．
掌握一元一次不等式的解法是解答本题的根本，需要知道步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为（特别要注意不等号方向改变的问题）．
21.【答案】解：
由①②，得，解得.
把代入②，得.
，
，
解得．
22.【答案】(1)解原方程组可得：因为方程组的解为一对正数所以有 解得：，即的取值范围为：；
(2)由可知：，所以．
【解析】(1)首先解关于，的方程组，根据解是一对正数即可得到一个关于的不等式组，从而求得的范围；
(2)根据的范围确定和的符号，然后根据绝对值的性质即可去掉绝对值符号，然后合并同类项即可求解．本题是考查已知不等式组的解集，求不等式中另一未知数的问题可以先将另一未知数当作已知处理，求出解集与已知解集比较，进而求得另一个未知数求不等式的公共解，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
23.【答案】解：由题意得
，
整理得：，
解得：，
当时，
，符合题意，
当时，
，不符合题意，应舍去，
则，件，
答：每件商品应定价元，需要进货件．
【解析】本题考查的是一元二次方程的运用等有关知识，由题意找出等量关系：商品的单件利润售价进价，然后根据商品的单价利润销售的件数总利润，设商品的售价为，列出方程求出未知数的值后，根据“物价局限定每件商品的利润不能超过进价的”将不合题意的舍去，进而解出此题的答案．
24.【答案】(1)解：设型号的客车有辆，型号的客车有辆.依题意,得，解得，答：型号的客车有辆，型号的客车有辆.
(2)设租用辆型号客车，则租用辆型号客车.依题意,得，解得.又为整数，的最大值为.答：最多能租用辆型号客车.
(3)依题意,得，解得.又，.又为整数，可以取，，，共有种租车方案：方案：租用辆獳型号客车，辆型号客车；方案：租用辆型号客车，辆型号客车；方案：租用辆型号客车，辆型号客车.选择方案所需总费用为(元)；选择方案所需总费用为(元)；选择方案所需总费用为(元).，最省钱的租车方案为方案，即租用辆型号客车，辆型号客车.
25.【答案】(1)由题意可知，的解集是或． 故答案为：或
(2)由的结论可知，当时，不等式的解集是或． 故答案为：或
(3)由可知，不等式
可化为 ① 或 ②，
解①得，解②得，
故不等式的解集为或
26.【答案】(1)解：设购买了台乙型设备，根据题意得：，解得：，则的值是；
(2)设购买节省能源的新设备甲型设备台，乙型设备台，
则：，
解得：，
取非负整数，，，，，，
有种购买方案．
(3)由题意：，，为或．当时，购买资金为：(万元，当时，购买资金为：(万元，则最省钱的购买方案为，应选购甲型设备台，乙型设备台．
【解析】(1)设购买了台乙型设备，根据购买台甲型设备比购买台乙型设备少万元，列出方程，求出的值即可得出答案；
(2)设节省能源的新设备甲型设备台，乙型设备台，根据该公司购买节能设备的资金不超过万元，列出不等式，求出的值即可得出答案；
(3)因为公司要求每月的产量不低于吨，得出，解之求出的值，确定出方案，然后进行比较即可．本题考查一元一次不等式及二元一次方程组的应用，解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的不等关系式及所求量的等量关系要会用分类的思想来讨论求得方案的问题．