2023年九年级数学中考复习：二次函数的应用（含答案）

2023年春九年级数学中考复习《二次函数的应用》考前冲刺训练（附答案）
（共12小题，每小题10分，满分120分）
1．图1是一个倾斜角为α的斜坡的横截面．斜坡顶端B与地面的距离为3米．为了对这个斜坡上的绿地进行喷灌，在斜坡底端安装了一个喷头A，与喷头A的水平距离为6米（单位：米）（水珠的竖直高度是指水珠与水平地面的距离），水珠与喷头A的水平距离为x（单位：米），y与x之间近似满足二次函数关系，其中当水珠与喷头A的水平距离为4米时，喷出的水珠达到最大高度4米．

(1)求y关于x的函数关系式；
(2)斜坡上有一棵高1.9米的树，它与喷头A的水平距离为2米，通过计算判断从A喷出的水珠能否越过这棵树．
2．如图，一个横截面为抛物线形的公路隧道，其最大高度6米，底部宽度为12米，现以O点为原点，所在的直线为x轴建立直角坐标系．

(1)求这条抛物线的表达式；
(2)该隧道设计为双向通行道，如果规定车辆必须在中心线两侧、距离道路边缘2米的范围内行使，并保持车辆顶部与隧道有不少于米的空隙，则通过隧道车辆的高度限制应为＿ 米；
(3)在隧道修建过程中，需要搭建矩形支架（由三段组成）对隧道进行装饰，其中C、D在抛物线上，A，B在地面上，求这个支架总长Z的最大值．
3．数学活动小组通过观察投掷铅球的运行轨迹来研究二次函数的性质：在投掷铅球的实验中，该铅球运行的高度与水平距离之间的关系式是二次函数．小明投掷铅球出手时离地面的高度为，经测量铅球落地成绩刚好是（铅球成绩达到是满分）．

(1)写出的取值范围是_______；
(2)若小明投掷的铅球运行到水平距离为时，铅球达到最大高度，求该铅球运行路线的解析式；
(3)已知小红投掷铅球出手时离地面的高度为，，
①若小红投掷铅球成绩也是满分，求的取值范围；
②若小红投掷铅球成绩刚好是，求：小红投掷铅球的运行水平距离为多少米时与（2）中小明投掷铅球的运行路线的高度差最大？
4．如图（1）所示，濮阳湿地公园中，金堤河大桥是一座非常有艺术性造型的大桥．桥身是由两条抛物线钢架建造．如图（2）所示，两条抛物线有共同的对称轴，已知，过原点，两抛物线最高点的距离为．

(1)求抛物线的解析式；
(2)①求主桥长为多少米？
②过点与轴平行的直线为河面的水平线，，若要在与水面的交点、处建造两个桥墩，其中一个桥墩到岸边（轴）的距离是多少米？（说明：题中个单位长为米）
5．如图，矩形是某生态农庄的一块植物栽培基地平面图，现欲修一条笔直的小路（宽度不计）经过该矩形区域，其中，都在矩形的边界上．已知，（单位：百米），小路将矩形分成面积为，（单位：平方百米）的两部分，其中，且点在面积为的区域内，记小路的长为百米．

(1)如图1，已知，设百米．
①若，求的大小；
②求的最大值；
(2)若，点在边上，点在边上，求的取值范围．
6．人教版九年级上册的教材第118页有这样一道习题：在一块三角形余料中，它的边，高线．要把它加工成正方形零件（如图1），使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在，上．

(1)求这个正方形零件的边长；
(2)如果把它加工成矩形零件如图2，其余条件不变，矩形的面积S的最大值是多少？
7．新华书店销售一个系列的科学书刊，每套进价100元，销售定价为140元每套，一天可以销售20套，为了扩大销量，增加盈利，减少库存，书店决定采取降价措施，经过市场调研后发现，若一套书每降价1元，平均每天可多售出2套．设每套书降价x元时，书店一天可获利润y元．
(1)求出y与x的函数关系式；
(2)当每套书销售定价为多少元时，书店一天可获得最大利润？这个最大利润为多少元？
8．小王想转行开一家服装店，她将原来的店进行装修共计花费54282元，已知她代理品牌服装的进价是每件42元，经试销发现每天销量y（件）与每件的销售价x（元）之间的关系如图1，她付给员工的工资是每人每天90元．

(1)求日销量y（件）与每件销售价x（元）之间的函数关系式；
(2)若先不考虑装修成本，当某天的销售价为45元/件时，扣除员工工资后当天利润为117元，求该店的员工人数；
(3)若该店有2名员工，则该店最少需要多少天能收回装修成本，此时每件服装的售价是多少元？
9．如图1，在正方形（正方形四边相等，四个角均为直角）中，，P为线段上一点，连接，过B作，交于点Q，将沿所在的直线对折得到，延长交于点N．

(1)求证：；
(2)若，求的长；
(3)如图2，延长交的延长线于点M，若，的面积为s，求s与x之间的函数关系式．
10．某商场准备购进A、B两种商品进行销售，已知一件A种商品的进价比一件B种商品的进价多10元，且用16000元采购A种商品件数是用7500元采购B种商品件数的2倍．
(1)每件A种和B种商品的进价分别为多少元？
(2)该商场欲购进A，B两种商品共250件进行销售，其中A种商品件数不小于20件，且不大于B种商品件数．
若B种商品的售价定为210元/件，A种商品的售价与A种商品销量之间的关系如下表所示：
A种商品的销量 0 5 10 15 20 ……
A种商品的售价 240 230 220 210 200 ……
商场购进这两种商品能全部售出的前提下，请求出该商场销售这两种商品能获得的最大利润，并求出此时的进货方案．
11．某市公安局交警支队在全市范围内开展“一盔一带”安全守护行动，某商场的头盔销量不断增加，该头盔销售第天与该天销售量（件）之间满足函数关系式为：（且为整数），为减少库存，该商场将此头盔的价格不断下调，其销售单价（元）与第天成一次函数关系，当时，，当时，．已知该头盔进价为元／件．
(1)求与之同的函数关系式；
(2)求这天中第几天销售利润最大，并求出最大利润；
(3)在实际销售的前天，为配合“骑乘人员佩戴头盔专题周”活动的开展，商场决定将每个头盔的单价在原来价格变化的基上再降价元（）销售，通过销售记录发现，前8天中，每天的利润随时间（天）的增大而增大，试求的取值范围．
12．综合与探究
如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C．现有一宽度为1，长度足够长的矩形（图中阴影部分），矩形的长与y轴平行，将矩形沿x轴方向平移，矩形交抛物线于点M，N（点M在点N的左侧），交直线于点E，F（点E在点F的左侧），设点M的横坐标为m（）．

(1)求抛物线的函数表达式；
(2)在矩形平移的过程中，如果以点E，F，N，M为顶点的四边形是平行四边形，求出此时m的值；
(3)点P是直线上一动点，点Q为抛物线顶点，若，请直接写出点P的坐标．
参考答案
1．解：（1）根据题意可得：抛物线顶点坐标，且过，过，
设抛物线解析式为，
解得
关于的函数关系式为．
（2）设树的竖直高度为h，则，
得：，
当时，，
所以水珠能越过这棵树．
2．（1）解：由题意知：抛物线的顶点，
设抛物线的表达式为
将代入，得：，

抛物线表达式为：；
（2）解：把或代入中，得，
车辆顶部与隧道有不少于米的空隙，
限高为米，
故答案为：3；
（3）解：设，
矩形支架，
轴，，
与C关于直线对称，
，
，
当时，Z有最大值15，
3．（1）解：∵成绩刚好是，
∴，
∴，
故答案为：．
（2）根据题意，经过点，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为．
（3）①解：根据离地面的高度为，，得到，
∴，
∴，
∴，
解得，
故b的取值范围为：．
②设高度差为，
，
∵，
∴有最大值，且当时，取得最大值，
故铅球的运行水平距离为时与（2）中小明投掷铅球的运行路线的高度差最大．
4．（1）解：由题知：
则抛物线对称轴为，最高点
∵过原点，两抛物线最高点的距离为．
∴设抛物线的解析式为
把点代入得
∴抛物线的解析式为
（2）①令，则
解得，，
∴
答：主桥长为米
②由题知：令，则
解得：或（舍去），
，
答：其中一个桥墩E到岸边（轴）的距离是米
5．（1）解：①∵四边形是矩形，，，
∴，
∴在中，，
∵，，
∴，
∴，
∴的大小为；
②∵（当时取等号），
∴，
当时，，
∴的最大值为．
（2）如图，过点作于点，
∵四边形是矩形，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，
在矩形中，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
，
∴当时，取最小值，
当或时，取最大值，
∴的取值范围是．

6．解：（1）∵四边形为正方形，
∴，，，
∴．
∵，
∴，
即结合，可得是矩形，
∴，
设正方形零件的边长为，则，
即．
∵，，，
∴，
∴，
解得．
答：这个正方形零件的边长是；
（2）设，根据（1）可得，
∵矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴矩形面积，
当时，此时矩形面积最大，最大面积是，
即：矩形面积最大是．
7．解：（1）由题意可知：
化简为：
∴y与x的函数关系式为：
（2）由题意得
∵
∴当时，y最大为1250．此时售价为元．
答：当售价定为125元时，获利最大，利润最大为1250元．
8．解：（1）当时，设，
∴，解得，
∴，
当时，设，
∴，解得，
∴，
∴综上所述，；
（2）设该店的员工人数为m，
∴，
∴解得，
∴该店的员工人数为1．
（3）当时，
每天的利润，
∵，
∴当时，每天的利润最大为327元；
当时，
每天的利润，
∴当时，每天的利润最大为332元；
∵，
∴当时，每天的利润最大，
∴（天），
∴该店有2名员工，则该店最少需要164天能收回装修成本，此时每件服装的售价是58元．
9．解：（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在于△BCQ中，
，
∴，
∴；
（2）解：由翻折可知，，
连接，在和中，，

∴，
∴，
∵，，，
∴，，
设，则，
根据勾股定理得，，
∴，
即．
（3）解：过Q点作于G，由（1）知，．

设，则，
∴在中，，
∴，
∴，
∴．
10．（1）解：设每件A种商品的进价x元，则每件B种商品的进价为元，
根据题意，得，
解得：，
经检验：是方程的根，
，
答：每件A种商品的进价160元，每件B种商品的进价为150元.
（2）解：设销售A种商品销量m件，则销售B种商品件，
根据题意可得：，
解得，
由表格中的数据可知：A种商品的售价y与A种商品销量m满足一次函数关系，设为，
由题意可得；，解得，
∴，
设获得的利润w元，
则
，
∵，
∴当时，w随m的增大而减小，
∵，
∴当时，w有最大值为元；
此时进货方案为：A种商品进20件，B种商品进230件；
答：该商场销售这两种商品能获得的最大利润为14600元，此时的进货方案是A种商品进20件，B种商品进230件．
11．（1）解：根据题意，设，当时，，当时，，
∴，解得：，
∴与之间的函数关系式为（）．
（2）解：设总利润为元，则
，
当时，取得最大值，
∴第天利润最大，最大值为：（元）．
（3）解：由题意可设第天的销售利润为元，则
，
∴对称轴为
又知前天中，每天的利润随时间（天）的增大而增大，
∴即，
又，
∴．
12．（1）解：将，代入．
得：，解得：，
∴；
（2）当时，，∴．
设直线的表达式为，
将代入得：，
∴，∴．
∵，则，
∴，
∵矩形的宽为1，
∴点N的纵坐标为：，则F的纵坐标为：．
∵以点E，F，N，M为顶点的四边形是平行四边形，
∴，即．
解得：或，
∵，
∴m的值为1或．
（3）（3）存在，点P的坐标为，．
①当点P在直线的右侧时，
∵，
∴顶点Q的坐标为，
连接，

可得直线的解析式为，
∴直线与y轴的交点为，
∴，，，
∵，
∴设A，C，Q三点共圆，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
解方程组，得，
∴；
②当点P在直线的左侧时，此时点与点关于直线对称，
过点作直线的垂线，交于点F，取，
∵直线的解析式为，
∴设直线的解析式为，代入点，
得，解得，
∴直线的解析式为，
解方程组，得，
∴，
∵点向左平移个单位，再向下平移个单位得到点F，
∴点F向左平移个单位，再向下平移个单位得到点E，
∴，
∴直线的解析式为，
解方程组，得，
∴，
∴存在，点P的坐标为，．