2023年九年级数学中考复习解直角三角形及其应用考前冲刺训练（含答案）

2023年春九年级数学中考复习《解直角三角形及其应用》考前冲刺训练（附答案）
（共12小题，每小题10分，满分120分）
1．如图杨帆同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树的高度，他在点C处测得大树顶端A点的仰角为，再从C点出发沿斜坡走到点D处，测得大树顶端A点的仰角为，D点到地面的距离是5m．若斜坡的坡度i=1：2 （点E，C， B在同一水平线上）．求大树的高度．（结果精确到0.1m，参考数据：，斜坡坡度：指斜坡的铅直高度与水平宽度的比）
2．我市一4A级风景区（如图1）为了缅怀在宿北大战中献身的革命先烈，在山顶建有一座“宿北大战纪念碑亭”．学完了三角函数知识后，某校“数学社团”的小明和小华同学决定用自己学到的知识测量“宿北大战纪念碑亭”的高度．如图2，已知，斜坡的坡度为，斜坡的水平长度为24米，在坡顶A处的同一水平面上矗立着“宿北大战纪念碑亭”，在斜坡底P处测得该碑亭的亭顶B的仰角为，在坡顶A处测得该碑亭的亭顶B的仰角为．求：
(1)坡顶A到地面的距离；
(2)求碑亭的高度（结果保留根号）．
3．如图所示，某数学活动小组选定测量小河对岸大树的高度，他们在斜坡上
处测得大树顶端的仰角是，朝大树方向下坡走米到达坡底处，在处测得大树顶端的仰角是，若斜坡的坡度（参考数据：，，，，，，）
(1)求∠的大小，
(2)求大树的高度．（结果保留整数）
4．如图1是小明在健身器材上进行仰卧起坐锻炼时的情景，图2是小明锻炼时上半身由位置运动到底面垂直的位置时的示意图，已知米，米，（参考数据：，）
(1)求的长；
(2)若米，求M、N两点的距离（精确到0.1米）.
5．如图，一艘渔船以每小时海里的速度自东向西航行，在B处测得补给站C在北偏西
方向，继续航行2小时后到达A处，测得补给站C在北偏东方向．
(1)求此时渔船与补给站C的距离；（结果保留根号）
(2)此时渔船发现在A点北偏西方向的D点处有大量鱼群，渔船联系了补给站，决定调整方向以原速前往作业，与此同时补给站C测得点D在北偏西方向，并立即派出补给船给渔船补给食物和淡水，若两船恰好在D处相遇，求补给船的速度．（精确到十分位，参考数据：，，）．
6．如图1，凌云塔又名连珠塔、宝塔，位于宣恩县城珠山镇明珠山山顶，塔为七层六角楼阁式，全塔未用一砖一木，纯系青石垒砌，结构严谨，古朴雅致，别具风格，是宣恩县城的标志.如图2，县民族实验中学数学兴趣小组运用“解直角三角形”的知识来计算凌云塔的高度，先将无人机垂直上升至与塔底端B相对高度为的点P处，在点P处测得凌云塔顶端A的俯角为，再将无人机沿水平方向继续飞行到达点Q，在点Q处测得塔底端B的俯角为，求凌云塔的高度.（结果保留一位小数，参考数据：，，，）
7．如图，在中，半径直径，与相切于点，连接交于点，交
于点，连接并延长交圆于点，连接，．
(1)求证：；
(2)若，求证：四边形是平行四边形
8．已知四边形是菱形，点E，F分别在边，上，，．
(1)如图1，当时，易证：（不需证明）；
(2)当时，如图2；当，如图3，线段，，之间有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，并对图3加以证明．
9．如图1，在中，，于点D，．
(1)求；
(2)当时，E为边上一点，连接，F为上一点，且．若，求的长；
(3)如图，延长到点G，使，连接，则　 　．
10
．定义，若四边形的一条对角线平分这个四边形的面积，则称这个四边形为倍分四边形，这条对角线称为这个四边形的倍分线.如图①，在四边形中，若，则四边形为倍分四边形，为四边形的倍分线．
(1)判断：若是真命题请在括号内打√，若是假命题请在括号内打×．
①平行四边形是倍分四边形（ ）
②梯形是倍分四边形（ ）
(2)如图①，倍分四边形中，是倍分线，若，，，求；
(3)如图②，中，以为直径的分别交、于点、，已知四边形是倍分四边形．
①求；
②连结，交于点，取中点，连结交于（如图③），若，求．
11．综合与实践
【问题提出】
（1）如图①，点A为上一点，点D为外一点，(点A、点D在直线的同侧)，则与的大小关系为：________ (填“”、“”、“”)
【探究】
（2）如图②，已知线段，点B为上一点，且，过点A作直线于点A，经过B、C两点的恰好与l相切于点P，连接，求．
【问题解决】
（3）我们把摄像头拍摄某一线段时，拍摄视角最大时拍摄点的位置称为“鹰眼点”，此时视角的余弦值称为“鹰眼值”．
如图③，在四边形中，为一个导轨，为一段铁轨，，．米，米，米，摄像头E从点D出发沿导轨滑动拍摄铁轨，求摄像头E到达“鹰眼点”时的移动距离及“鹰眼值”．
12．如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线解析式；
(2)如图2，M是抛物线顶点，的外接圆与x轴的另一交点为D，与y轴的另一交点为E．
①求；
②若点N是第一象限内抛物线上的一个动点，在射线上是否存在点P，使得与相似？如果存在，请求出点P的坐标；
点Q是拋物线对称轴上一动点，若为锐角，且，请直接写出点Q纵坐标的取值范围．
参考答案
1．解：过点作于点，作于点，
斜坡的坡度，
到地面的距离是5m，即m，
m，
设大树的高为m，
，
在中，m，
m，
m，
在中，，
，即，
解得．
经检验：是原方程的根且符合题意．
m．
答：大树的高度是25.5m．
2．（1）解：如图，过点A作于点D，
∵斜坡的坡度为，斜坡的水平长度为24米，
∴米，
即坡顶A到地面的距离10米；
（2）解：过点C作于点E，则米，
设米，
在中，，
即，
解得：，
在中，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
即，
解得：，
即碑亭的高度为米．
3．（1）解：∵斜坡的坡度 ，
∴，
∴；
（2）解：过点作于点，于点，
则四边形是矩形，
，则，
设大树的高度为米，
在斜坡上处测得大树顶端的仰角是，
，
，
在中，，
，
∴，
解得：．
即树高约米．
4．（1）解：如图，过作于，则四边形为矩形，
∴米，米，
∴（米）
在中，
∵
∴（米）；
（2）如图，过作交射线于点，则，
∴，
∵米，
∴，
∵米，
∴米，
∴，
∴，
在中，（米），
∴M，N两点的距离约为米．
5．（1）.解：由题意得：
（海里），
，，
∴，
在中，（海里），
∴此时渔船与补给站C的距离为海里；
（2）如图：过点A作，垂足为E，
∴，
由题意得：
，，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，海里，
∴（海里），
（海里），
在中，（海里），
∴（海里），
∴海里，
∴（小时），
∴补给船的速度
（海里时）．
6．解：延长交于点C，
由题意得：，，，
在中，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴凌云塔的高度约为．
7．解：（1）∵与相切于点D，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）∵，
∴，
设⊙O的半径为r，
在中，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形．
8．:解：（1）如图，过点B作于点N，过点F作于点M．
四边形是菱形，
，，
即
（SAS）
是等边三角形
，
又
，
在菱形中，
（2）图2：．
证明：如图，过点B作于点N，过点F作于点M．
四边形是菱形，
，，
即
（SAS）
，
，
又
，
在菱形中，
图3：．
如图，过点B作于点N，过点F作于点M．
四边形是菱形，
，，
即
（SAS）
，
，
又
，
在菱形中，
9．（1）解：如图1，∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又，
∴，
同理，，
∵，
∴，
∴ ，
设，则，，
∴；
（2）解：如图2，分别过E，F作的垂线，垂足分别为N，Q，
过C作于D，
∵，，
∴，
过C作于D，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
设D，则，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在直角中，，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
∵，
∴，
∴；
（3）解：如图3，过G作交其延长线于H，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，，
由（1）可得，，
∴设，则，
∴，，
∴，
故答案为．
10．（1）解：①平行四边形是倍分四边形（√ ）
②梯形是倍分四边形（×）
故答案为：①√；②×．
（2）解：∵倍分四边形中，AC是倍分线，
∴
如图所示，过点作于点，
∵，，，
∴，
在中，，
∴，
在中，
（3）①如图所示，连接，，， 设交于点，
∵为直径，
∴，
∵，
∴，即是的中点，
∴，
∵四边形是倍分四边形．
若是倍分线，则点到的距离相等，
而是的角平分线，点到的距离相等，点不重合，故不是倍分线，
∴是倍分线，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
又∵，
∴，
∴；
过点作于点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，则，
在中，，
在中，
∴
②如图所示，设交于点，连接，过点作交于点，
由①可得，则四边形是平行四边形，
∵点是的中点，
∴，则，
在中，∵
∴，则
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
∴，
∵
∴，
∴
即
∴
∴．
11．解：（1）连接，
∵，
∴；
（2）连接， 过作于点，连接，
∵，
∴，
∵恰好与l相切于点P，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，
∴，
∴在中，
，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）以为弦，作切于直线，
连接延长交于点，连接，
由（1）可知，当在线段上运动时，
在如图位置时最大，
∵，，
∴，
∵直线切于，
∴，
∴四边形是矩形，
∴．
∴，
∴，
∴，
∵米，米，米，
∴．
设，则，
∴在中，
即，解得米．
∴米，米，
∵，
∴
∴．
答：摄像头E到达“鹰眼点”时的移动距离米，“鹰眼值”．
12．（1）解：将A，B两点坐标直接代入解析式有，
解得，，
∴拋物线的解析式为．
（2）解：①法一：∵抛物线解析式为，
∴，
把代入，得，
∴，
∵，
∴，，，
∴，
∴，
∴是外接圆的直径，
设的中点为F，
∴圆心，
∵，，
∴点F在垂直平分线上，即点F的纵坐标于中点的纵坐标相同
∴，
∴，
过E作于H，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
∴在中，；
法二：设外接圆与x轴的另一交点为D，
同法一：可得是外接圆的直径，，，
∴
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵是直径，
∴，
∴．
②，，，，
在中，，
在中，
∴，
∴，
又∵点N在射线上，
∴为锐角，要使得与相似，
情况1：，
∴，
∴，
∴在中，，
∴，
∴：，
又∵与相似，
∴或
∴或，
∴或，
∴或，
过点P作轴于Q，
∴，即，
由勾股定理得，
∴或，
解得或，
当时，，则，
∴；
当时，，则，
∴；
情况2：，
∴，
∴，
又∵与相似，
∴或
∴或，
∴或
∴或，
同理可得或．……
综上所述，点P的坐标为或或或．
（3）解：由（2）得抛物线对称轴为直线，取点，
∴，，
∴，
∴是等腰直角三角形，即，
∴当时，点Q在以K为圆心，为半径的圆上，
∴此时，
∴，
同理可得当取时，是直角三角形，即，
∵为锐角，且，
∴，
∴或．