2023年九年级冲刺中考数学二次函数压轴题：相似三角形问题（含答案）

相似三角形问题
1．如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，连接．

(1)求抛物线与直线的函数表达式．
(2)设是拋物线上的一个动点（不与，重合），过点作轴，垂足为，交直线于点，当时，求点的坐标．
(3)在（2）的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．
2．如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C．抛物线的对称轴是直线且经过B、C两点，与x轴的另一交点为点A．
(1)①直接写出点A的坐标；②求抛物线解析式．
(2)如图2，若点P为直线下方的抛物线上的一点，连接．求△PBC的面积的最大值，并求出此时点P的坐标．
(3)抛物线上是否存在点M，过点M作垂直x轴于点N，使得以点A、M、N为顶点的三角形与相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
3．如图，已知过坐标原点的抛物线经过两点，且是方程两根（），抛物线顶点为C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且以A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，求点E的坐标；
(3)P是抛物线上的动点，过点P作轴，垂足为M，是否存在点P使得以点P、M、O为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
4．如图，抛物线经过点，点，交轴于点．连接，．为上的动点，过点作轴，交抛物线于点，交于点．
(1)求这条抛物线的表达式；
(2)过点作，垂足为点，设点的坐标为，请用含的代数式表示线段的长，并求出当为何值时有最大值，最大值是多少？
(3)点在运动过程中，是否存在这样的点，使得以，，为顶点的三角形与△AOC相似．若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由．
5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、点，与y轴交于点，连接AC，BC．点E是线段OB上动点（不与O、B两点重合），过点E作x轴的垂线l，设直线l与BC交于点D，与抛物线交于点P．
(1)求抛物线的表达式；
(2)连接AP，当△PEA和△AOC相似时，求点P的坐标；
(3)过点Р作，垂足为F，求面积的最大值
6．如图1，直线与抛物线交于A，B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为．
(1)求a，b的值．
(2)将点A绕点C逆时针旋转得到点D．
①判断点D是否在抛物线上，并说明理由．
②如图2，将直线向下平移，交抛物线于E，F两点（点E在点F的左侧），点G在线段上．若△GEF∽△DBA，求出点G的坐标．
7．如图，已知抛物线经过和两点，直线与x轴相交于点C，P是直线上方的抛物线上的一个动点，轴交于点D．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)求线段的最大值及此时点P的坐标；
(3)若以A，P，D为顶点的三角形与△AOC相似，请求出所有满足条件的点P和点D的坐标．
8．如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于B，抛物线经过A，B两点，与x轴负半轴交于点C，连接，抛物线对称轴与x轴交于点F，P为y轴右侧抛物线上的动点，直线交对称轴于点D．

(1)求抛物线的解析式；
(2)当时，求点P的坐标；
(3)作，垂足为Q，当△BPQ与△BCO相似时，直接写出点Q的坐标．
9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点和与x轴交于点A，C两点（A在C左侧），与y轴交于点B．
(1)求抛物线M的解析式及A，C两点的坐标；
(2)将抛物线M平移后得到抛物线，已知抛物线的对称轴为直线，直线交x轴于点N，点P为抛物线的顶点，在x轴下方是否存在点P，使得与△AOB相似？若存在，请求出抛物线的表达式；若不存在，说明理由．
10．如图，抛物线与轴交于，两点（点位于点的左侧），与轴交于点，抛物线的对称轴与轴交于点，长为1的线段（点位于点的上方）在轴上方的抛物线对称轴上运动．
(1)直接写出，，三点的坐标；
(2)求的最小值；
(3)过点作轴于点，当和△QBN相似时，求点的坐标．
11．如图，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点G，抛物线的对称轴为直线，交x轴于点E，交抛物线于点F，连接．
(1)求抛物线的解析式．
(2)如图，点P是线段上一动点，过点P作轴，交抛物线于点D，问当动点P运动到什么位置时，四边形的面积最大？求出四边形的最大面积及此时P点的坐标．
(3)坐标轴上是否存在点G，使得以A，C，G为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．
12．如图，抛物线经过A（4，0），B（1，0）两点．
(1)求出抛物线的解析式；
(2)P是抛物线在第一象限上的一动点，过P作轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)若抛物线上有一点Q（点Q不与点B重合），使得点Q与点B到直线的距离相等，请直接写出点Q坐标．
13．如图，二次函数经过点，点是轴正半轴上一个动点，过点作垂直于轴的直线分别交抛物线和直线于点和点．设点的横坐标为．
(1)求二次函数的表达式；
(2)若、、三个点中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外）时，求的值．
(3)点在线段上时，
①连接、，△ABE的面积最大时，求点的坐标；
②若以、、为顶点的三角形与△FPA相似，求的值；
14．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像经过点，，与y轴交于点C，连接、．
(1)求二次函数的函数表达式；
(2)设二次函数的图像的顶点为D，求直线的函数表达式以及的值；
(3)若点M在线段上（不与A、B重合），点N在线段上（不与B、C重合），是否存在△CMN与△AOC相似，若存在，请直接写出点N的坐标，若不存在，请说明理由．
15．如图，对称轴为的抛物线与轴交于点．是抛物线上的任意一点（不与点重合），点的横坐标为，抛物线上点与点之间的部分（包含端点）记为图象．
(1)求抛物线的表达式；
(2)当符合什么条件时，图象的最大值与最小值的差为9？
(3)如果一个四边形的一条对角线把四边形分割成两个三角形，且这两个三角形相似，我们就把这条对角线叫这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形．已知为直线上的动点，过点作轴于点，连接，若四边形是以为和谐线的和谐四边形，求此时点的坐标．
参考答案：
1．（1）∵抛物线与轴交于点，，
∴，解得：，
∴抛物线的解析式为：；
∴点，
设直线的解析式为：，
∴，解得：，
∴设直线的解析式为：．
（2）∵点在抛物线，
∴设点的坐标为，
∵过点作轴，垂足为，交直线于点，
∴点，
∵，
∴，
解得：，，，
∵点不与，重合，
∴，
∴点．
（3）存在．
理由如下：
∵抛物线，
∴顶点坐标为：，
∴Q是抛物线的顶点，抛物线的对称轴为，对称轴为直线，
过点作于点，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
设点，则与是对应边，
∴，，
∴，，，
，得，
∴与是对应边，
∴，
∴，解得，
∴；
时，，
∴与是对应边，
∴，
∴，解得，
∴点．
综上所述，存在点的坐标为或，使得以点，，为顶点的三角形与相似．

2．（1）①解：当，，解得，
∴，
∵，解得，
∴；
②解：∵直线与y轴交于点C，
∴
∵抛物线过点、、，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为：；
（2）解：如图2，过点P作轴，交直线于点Q，
设，则，
∴，
∴，即，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为4，
∴；
（3）解：存在；
∵、、，
∴，，，
∵，
∴△ABC是直角三角形，且，
设，则，，，
由题意知，使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似，分和两种情况求解：
①当时，则，即，
整理得或；
解得，（舍去）或，即；
解得，（舍去）或，即；
∴为或时，以点A、M、N为顶点的三角形与相似；
②当时，则，即，
整理得或；
解得，（舍去）或，即；
解得，（舍去）或，即；
∴为或时，以点A、M、N为顶点的三角形与相似；
综上所述，存在，当为或或或时，以点A、M、N为顶点的三角形与相似．
3．（1）∵是方程的两根（），
解得原方程的两根分别是：，
∴，
设抛物线的解析式为，
则，解得：，
∴抛物线的解析式是．
（2）∵，
∴对称轴为：，
①当为边时，
∵以A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，
∴，
∵E在对称轴上，
∴D的横坐标是1或，
∴D的坐标是或，此时E的坐标是；
②当是对角线时，则和互相平分，由E在对称轴上，且线段AO的中点横坐标是，
由对称性知，符合条件的点D只有一个，即是顶点，此时，
综合上述，符合条件的点E共有两个，分别是或．
（3）假设存在，设，
∵，，
∴，
∴，
∴是直角三角形，，，
∵以P、M、O为顶点的三角形和相似，
又∵，
∴，或，
∴或，
解得：或或或，
∴存在P点，P的坐标是,,，．
4．（1）由题意得，∴
∴；
（2）设直线的表达式为，
∵过点，，
∴，∴，
∴直线的表达式为，
∴点的坐标为，点的坐标为，
∴，
∵，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∵，
∴
，
∴当时，有最大值；
（3）存在
∵，，的坐标为，，
∴①当时，，即，解得，
此时的坐标为，
②当时，，即，解得，
此时的坐标为，
所以，点坐标为或
5．（1）把点B，C的坐标代入 中，得
，解得，
∴抛物线的表达式为；
（2）令，解得，
∴．
∵，
∴，
∵轴，
∴，
∵，
∴只有当时，，
此时 ，
，
∴，
设点P的纵坐标为m，则，
∴，
∴．
将点P的坐标代入得
，
解得 (舍去)或 ，
则点 ；
（3）在中，，
轴，
，
，
，
，
，
，
即当取得最大值时，最大，
设直线的表达式为，
将B、C两点的坐标代入，得
，解得，
∴直线的表达式为，
设点 ，则点，
则，
，
∴当时，取得最大值，最大值为4，
故当时，最大，
此时，即面积的最大值为．
6．（1）解：由题意得：，解得；
（2）①如图，分别过点，作轴于点，轴于点，
由（1）知，直线的解析式为，
，
，
，，
，
，
，
，，
，
当时，，
点在抛物线上；
②由，解得或，
，
直线的解析式为，直线的解析式为，
设，
直线的解析式为，
由解得或，
，，
，，
由题意可知，，，
直线的解析式为：，
直线的解析式为：，
联立，解得，
，，
令，解得，．
7．（1）将和，代入，
，解得，
该抛物线的解析式为；
（2）设直线的解析式为，把和，代入，
，解得，
直线的解析式为，
设点的坐标为，则点坐标为，
，，
，
当时，有最大值为；
∴的坐标为
（3）当时，，解得：，
点坐标为，
①当时，
轴，，
∴轴，
点纵坐标是3，横坐标，即，解得，
点的坐标为；
轴，
点的横坐标为2，
点的纵坐标为：，
点的坐标为，点的坐标为；
②当时，
此时，
过点作于点，
，
，
设点的坐标为，则点坐标为，
则，解得：，
点坐标为，，点坐标为，，
综上，点的坐标为，点的坐标为或点坐标为，，点坐标为，．
8．（1）解：∵直线与x轴交于点A，与y轴交于B，
∴当时，，当时，
∴，，
又抛物线经过A，B两点，
把，代入得：；解得：
∴抛物线的解析式是；
（2）解：作，垂足为E，如图所示，

∴，
∴，
由（1）得：抛物线的解析式是
抛物线对称轴是，
∵，
①当P在对称轴右侧时，，
点P的横坐标是2，，
∴点P的坐标是
②当P在对称轴左侧时，，
点P的横坐标是1，，
∴点P的坐标是
∴点P的坐标是或；
（3）解：∵抛物线对称轴与x轴交于点F，对称轴是，
∴，
∵点A、C关于对称轴对称，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
设，过点P作轴，交直线于点M，过点M作轴于点N，
当点P在上方，点Q在点B的右侧时，如图所示，

则，，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
若，则，
∴，
解得：（舍），，
当时，，
∴，，
∴，
过点Q作轴于点K，
则，
∴点Q的横坐标为，纵坐标为，
∴，
若，则，
∴，
解得：（舍），，
当时，，
∴，，
∴，
同理可得：；
当点P在上方，点Q在点B的左侧时，如图所示，

则，，
∴，
同理可得：，，
∴，
若，则，
∴，
解得：（舍），，
当时，，
∴，
同理可得：；
若，则，
∴，
解得：（舍），（舍去）；
当点P在下方，对称轴左侧的抛物线上时，则，如图所示，

∴，，
∴，，
∴，
若，则，
∴，
解得：（舍），（舍），
若，则，
∴，
解得：（舍），（舍），
当点P在下方，对称轴右侧的抛物线上时，则，如图所示，

∴，，
∴，，
∴，
若，则，
∴，
解得：（舍），（舍），
若，则，
∴，
解得：（舍），（舍），
当时，，
∴，
同理可得：；
综上所述：点Q的坐标为；
9．（1）解：∵抛物线过点和，
∴，解得，
∴抛物线，
令得，解得或，
∵在左侧，
∴；
（2）解：在轴下方是否存在点，使得与相似，
∵将抛物线平移后得到抛物线，已知抛物线的对称轴为直线，抛物线，
∴设（），
∵直线交轴于点，
∴，
∵，，
∴，
令中得，
∴，
∵，
∴，
当时，如图，有即，
∴，
∴即；
当时，如图，有即，
∴，
∴即；
综上所述，抛物线的表达式为或．
10．（1）解：在中，
令得，
令得或，
，，；
（2）将向下平移至，使，连接交抛物线的对称轴于，如图：
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，，共线，
此时最小，最小值为的值，
，，
，
，
，
，
最小值为6；
（3）如图：
由在得抛物线对称轴为直线，
设，，则，，，，，
，；
，，，，
，
和相似，只需或，
①当时，，解得或，
，或，；
②当时，，解得或（舍去），
，，
综上所述，的坐标是，或，或，．
11．（1）解：∵抛物线的对称轴为直线，
∴，解
把和点代入中，得
∴抛物线的解析式；
（2）解：由（1），可知抛物线的解析式，
∴．
设直线的解析式，
把点B，C分别代中，得，解得，
∴直线的解析式为
∵点P在线段上，点D在抛物线上，轴，
∴设，则．
∴．
∴
∴当，四边形的面积最大，最大面积为，此时点P的坐标为；
（3）解：存在
连接，如图所示，
∵
∴
又∵，
∴，，，，，
∴
∴为直角三角形．
∵，，
∴，
∴．
∴当点G与点O重合时，．
∴此时点G的坐标为，
过点A作交y轴正半轴于点，
如图所示，此时．
∴，即，
∴，
∴，
∴，
过点C作交x轴负半轴于点，如图所示，此时．
∴，即，
∴，
∴，
综上所述，点G的坐标为．
12．（1）将A（4，0），B（1，0），代入解析式，得
，
，，
∴此抛物线的解析式为；
（2）解：存在．
如图，设点的横坐标为，
∵是抛物线在第一象限上一动点，
∴，则点的纵坐标为，
当时，，．
又∵，
∴①当时，，
即．
解得，（舍去），
∴P（2，1）；
②当时，，
即．
解得，（均不合题意，舍去）
∴当时，P（2，1）．
综上所述，符合条件的点P的坐标为（2，1）；
（3）设直线的解析式为，
∵直线过点,，
∴，解得，
∴直线的解析式为．
过点作交y轴于点E，设直线的解析式为，
∵直线过点，
∴，
∴直线的解析式为，
，解得(舍去)，．
∴．
将直线向下平移的长度交轴于点，则点的坐标为，
同理求得的解析式为，
；解得，，
∴，．
∴点Q的坐标为（3，1）或或．
13．（1）解：把（，）、（，）代入
得，解得
∴
（2）解：∵（，）、（，）
∴直线的解析式为
∵，则，
∴，
当为线段的中点时，则有
即：
解得（三点重合，舍去）或
∴
（3）解：①∵（，），
∴
∵，
∴
∴
∴当时，的最大值为，此时（，）
②∵，，∴
由（）可知：（，）、、
∵
∴以、、为顶点的三角形与相似，分两种情况讨论：
①当为直角时，则
∴，即：
∴，即：
解得：（舍去），
②当为直角时，则
∴，即：
∴，即：
解得，（舍去）
综上所述，的值是或．
14．（1）解：将、代入
，得
二次函数表达式为；
（2）由题意得，
二次函数的顶点式为，
二次函数的图像的顶点的坐标为．
设直线解析式为：，
将、代入得：
，解得：，
的解析式为：，
设直线与y轴交于E，过点C作点P，
当时，，
点的坐标为，即，
点是二次函数与轴的交点，
当时，，，即，
，
在中，，
；解得：，
在中，，
．
（3）存在
与相似，
是直角三角形，且，，
是直角三角形，且两直角边之比为1:2；
分情况讨论如下：
①当时：
．时，
设，，，
则；即
；解得：
在中，，
即，
解方程得：，（舍），
过点作轴交轴于点
；即；解得：，，
点的坐标为；
．当时，
同理可得：，，
在中，，
即，
解方程得：，（此时点与点重合，不合题意，故舍去），
过点作轴交轴于点
即
解得：，
点的坐标为；
②当时：
过点作轴、轴于点、，
由题意可得：
设，则，
，即，
，解得
即，
，即，
解得：
点的坐标为
③当时：
由题意得：
，即
得，点的坐标为
此时点在线段之外，
故此种情况不满足题意，舍去
点N的坐标为：，，．
15．（1）解：∵对称轴为的抛物线与轴交于点．
∴，解得，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：∵对称轴为的抛物线与轴交于点，
∴A关于对称轴的对称点为，
∵，
∴抛物线的顶点坐标为，
①当时，
∵y随x的增大而减小，
∴当时，，
当时，
∴
解得，（不符合题意，舍去）
②当时，
；
③当时，
当时，，
当时，
∴
④当时，
当时，，
当时，
∴
解得（不符合题意，舍去），（不符合题意，舍去）
综上，当或时，图象的最大值与最小值的差为9
（3）解：在直线取点，把点E绕O顺时针旋转，使E和F重合，
过E作轴于G，过F作轴于H，
则，，，，
∴，
∴，
∴
∴，，
∴，
设直线解析为，
则，解得，
∴，
联立方程组，整理得，
∴，
∴直线与抛物线没有交点，
∴不可能等于，
当M在第三象限时，
当点P在直线上方时，四边形不存在，
当点P在直线下方时，四边形不存在，
故此种情况不符合题意；
当M在第一象限时，设，
由于和不平行，则四边形中不可能等于，则，
当P在直线下方时，
在直线取点，在y轴上取点，
∴，
的中点，即，
∴直线的解析式为，平分，
联立方程组
解得，，
∴，，
当时，或，
①，，
∴，
∴，
则，
解得（负值舍去），
∴，
②∵，
∴，即，
∴，
解得（负值舍去），
∴；
当时，或，
①，，
∴，
∴，
则，
解得（负值舍去），
∴，
②∵，
∴，即，
∴，
解得（负值舍去），
∴；
当P在直线上方时，
在直线取点，在y轴上取点，
∴，
的中点，即，
∴直线的解析式为，平分，
联立方程组
解得，，
∴，，
当时，或，
①，，
∴，
∴，
则，解得（负值舍去），
∴，
②∵，
∴，即，
∴，解得（负值舍去），
∴；
当时，或，
①，，
∴，
∴，则，解得（负值舍去），
∴，
②∵，
∴，即，
∴，解得（负值舍去），
∴；
综上：M的坐标为或或或或或或或