初三第一轮复习
函数在实际中的应用
函数在中考中具有重要的地位，近几年中考中出现很多与实际问题相结合的函数题目，注意实际问题和函数的转化。
例1．如图，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离为3.05米。
（1）建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的解析式。
（2）该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？
分析：（1）已知，顶点（0，3.5）过一点（1.5，3.05）用顶点式。
（2）已知横坐标－2.5，求出纵坐标，就是抛出点的高度。
解：（1）由题意知抛物线顶点坐标为（0，3.5）且过（1.5，3.05）点，
∴设y=a(x-0)2+3.5
即y=ax2+3.5，
将（1.5, 3.05）代入，3.05=2.25a+3.5
2.25a=-0.45
a=-
∴y=-x2+3.5
（2）当x=-2.5时，
y=-0.2×(-2.5)2+3.5=2.25
2.25-1.8-0.25=0.20(m)
答：球出手时，他距离地面高度是0.20m。
说明：求抛物线的解析式时，一定要正确找到抛物线上的点，并注意根据坐标系的位置，确定坐标的符号。
例2．某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示坐标系上经过原点O的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件）。
在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距离水面10米，入水处距池边的距离为4m，同时，运动员在距水面高度为5m以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误。
（1）求这条抛物线的解析式。
（2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是图中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为3m，问此次跳水会不会失误？并通过计算说明理由。
分析：挖掘已知条件，由已知条件和图形可以知道抛物线过（0，0）（2，-10），顶点的纵坐标为。
解：（1）如图，在给定的直角坐标系下，设最高点为A，入水点为B，抛物线的解析式为y=ax2+bx+c
由题意知，O、B两点的坐标依次为（0，0）（2，-10），且顶点A的纵坐标为。
∴ ∴
∵抛物线对称轴在y轴右侧，
∴>0，
又∵抛物线开口向下，∴a<0, b>0，
∴a=-，b=，c=0
∴抛物线的解析式为：y=-x2+x
（2）当运动员在空中距池边的水平距离为3时，即x=3-2=时，
y=(-)×()2+×=-，
∴此时运动员距水面高为：10-=<5，
因此，此次试跳会出现失误。
例3. （香港）今有网球从斜坡O点外抛出，网球的抛物路线方程是y=4x-x2, 斜坡的方程是y=x，其中y是垂直高度（米），x是与O点的水平距离（米）
（1）网球落地时撞击斜坡的落点为A，写出A点的垂直高度，以及A点与O点的水平距离。
（2）在图象中，标出网球所能达到的最高点B，并求OB与水平线OX之间夹角的正切。
分析：（1）实际上是求A点的坐标；（2）求出顶点坐标是关键。
解：由方程组， ∴
∴ A（7，3.5）
∴ A点的垂直高度为3.5米，A点与O点的水平距离为7米。
（2）由y=4x-x2=-(x-4)2+8
∴ B(4,8), tanα==2.
例4．已知斜坡PQ的坡度i=1∶，在坡面上点O处有一根1m高且垂直于水平面的水管OA，顶端A处有一旋转式喷头向外喷水，水流在各个方向沿相同的抛物线落下，水流的最高点M比点A高出1m，且在点A测得点M的仰角为30°，以O为原点，OA所在直线为y轴，过点O垂直于OA的直线为x轴建立坐标系，求水喷到斜坡上的最低点B与最高点C的距离。
分析：直线PQ是正比例，需一个条件确定k，用i=1∶，求线段BC应求出B、C坐标，即抛物线与直线交点。
解：过M作MH⊥x轴于H，过A作AG⊥MH于G，
Rt△AGM中，∠MAG=30°，MG=1，∴AG=，MH=2，
∴M（，2）
∵M′与M点关于y轴对称，
∴M′(-，2），
设以M为顶点的抛物线解析式为y=a(x-)2+2
以M′为顶点的抛物线解析式为
y′=a′(x+)2+2
∵均过A（0，1），
∴a=-，a′=-，
∴y=-x2+x+1
y′=-x2-x+1，
设直线PQ的解析式为y=kx，
∵i=1∶，C在PQ上，∴设C（m, m），
∴m=mk，∴k=，
∴y=x，
∴ ∴C（）舍去负值。
∴B（）舍去正值。
∴CD=，OC=2CD=1+
OB=2||=3+，
∴BC=4++。
例5．（1）一辆宽2米的货车要通过跨度为8米，拱高为4米的单行抛物线隧道（从正中通过），为保证安全，车顶离隧道顶部至少要0.5米的距离，求货车的限高为多少？
（2）若将（1）中的单行道改为双行道，即货车必须从隧道中线的右侧通过，求货车的限高应是多少？
分析：题中已知条件有一条抛物线，要确定这条抛物线必须建立适当的坐标系。为使计算量小，可以过抛物线的对称轴建立坐标系。
解：建立如图所示坐标系，∵抛物线的顶点坐标是（0，4），
∴可设抛物线的方程为y=ax2+4.
又抛物线过（4，0）点，∴ 0=a×42+4,
∴ a=-.
∴ y=-x2+4 (-4≤x≤4)
(1)当x=1时，y=3.75.
∴货车限高为3.75-0.5=3.25(m)
(2)当x=2时，y=3
故货车限高为3-0.5=2.5米。
例6．一个运动员推铅球，铅球刚出手时离地面1米，铅球落地点距离铅球刚出手时相应的地面上的点10米，铅球运行中最高点离地面3米，已知铅球走过的路线是抛物线，求这个抛物线的解析式。
分析：这是一个物理问题，由于铅球的运动路线是抛物线，因此要运用二次函数的知识去解决问题。
解：根据题意，建立直角坐标系，如图
可知抛物线经过(0, )和(10, 0)；抛物线顶点的纵坐标为3，根据题意，
设抛物线的解析式为y=a(x-h)2+3 (0≤x≤10)
将(0, )和(10, 0)代入解析式，得
由①，得a=-，
代入②，得-(10-h)2+3=0
去分母，整理得h2+16h-80=0
解出h1=-20, h2=4
当h=-20时，y=a(x+20)2+3，抛物线顶点为(-20, 3)，此时当x=-20时，铅球运行中的最高点为3米，不符合
0≤x≤10的要求，舍去。
当h=4时，a=-，抛物线的解析式为y=-(x-4)2+3
即y=-x2+x+(0≤x≤10)。
例7．A市场和B市场分别有库存某种机器12台和6台，现决定支援给C市10台，D市8台，已知从A市调运一台机器到C市、D市的运费分别为4百元和8百元；从B市调运一台机器到C市、D市的运费分别为3百元和5百元。
（1）设B市运往C市机器x台，求总运费W关于x的函数关系式；
（2）若要求总运费不超过9千元，问共有几种调运方案？
（3）求出总运费最低的调运方案，最低运费是多少元？
分析：本题属于规划调运问题，根据题意可建立问题的函数模型，讨论自变量的取值范围，并由函数的性质，讨论问题的最小值，本题是函数知识的灵活运用。
解：（1）因为B市场运往C市机器x台，所以B市场运往D市(6-x)台，A市运往C市(10-x)台，A市场运往D市(2+x)台；运费依次为：3x百元、5(6-x)百元、4(10-x)百元、8(2+x)百元.
总运费为W=3x+5(6-x)+4(10-x)+8(2+x)=2x+86
所求函数的表达式为W=2x+86
（2）由题意，得2x+86≤90， ∴x≤2
又∵B市可总共支援外地6台， ∴0≤x≤6，
∴0≤x≤2，故x可取0、1、2三个数，
所以要求总运费不超过9千元，共有三种调运方案。
（3）∵0≤x≤2，由一次函数性质，得
当x=0时，W的值最小，W最小值=86，
此时的调运方案是:
B市场运至C市0台，运至D市6台； A市场运至C市10台，运至D市2台。 最低总运费为8600元。
- 7 -初三第一轮复习
中考阅读题分类解析
中考阅读题，在各省市中考中屡屡出现，这类题型顺应了新课标的要求，成为中考命题的一种重要形式。
依据阅读材料考察知识和培养能力的不同，可将阅读题进行下面分类：
一、考察基础知识中的容易疏忽或混淆的易错点。
这类题的形式，一般以学生所学的基本概念，定理为基础，提供给学生一题的解题过程，判断题中某步正误并改正。这就要求同学们要扎实掌握基本的概念，定理及易错知识点，为阅读纠错奠定好基础。
例１（2004浙江湖州）若关于x的一元二次方程x2+(m+1)x+m+4=0两实根的平方和为2，求m的值.
解：设方程的两实根为x1，x2，那么
x1+x2=m+1，x1x2＝m+4.
∴=( x1+x2)2-2x1x2=(m+1)2-2(m+4)=m2-7=2，即m2=9，
解得m=3.
答：m的值是3.
请把上述解答过程的错误或不完整之处，写在横线上，并给出正确解答.
答：错误或不完整之处有：______．正确解________________________．
点拨：联想关于一元二次方程的基本知识：两根之和，两根之积与系数的关系。（要求公式掌握要清晰）本题容易忽略的隐含条件是：用判别式判定方程有无实根。
答案： 错误或不完整之处有：
①x1+x2=m+1；②m=3；③设有用判别式判定方程有无实根。
解：设方程的两实数根为x1，x2，那么
x1+x2=-(m+1)，x1x2＝m+4.
∴，
m2=9， 解得m=±3。
当m=3时，Δ=16-28<0，方程无实数根，m=3(舍去)
当m=-3时，Δ=4-4=0，
∴m=-3
答：m的值是-3.
二、考察学生学习能力及运用能力，掌握材料提供的方法解决类似问题。
例2 （2004常州）仔细阅读下列材料，然后解答问题。
某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的80%出售。同时当顾客在该商场消费满一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券：
消费金额（元）的范围 …
获得奖卷的金额（元） 30 60 100 130 …
根据上述促销方法，顾客在商场内购物可以获得双重优惠。例如，购买标价为450元的商品，则消费金额为元，获得的优惠额为元。设购买该商品得到的优惠率=购买商品获得的优惠额÷商品的标价。
（1）购买一件标价为1000元的商品，顾客得到的优惠率是多少？
（2）对于标价在500元与800元之间（含500元和800元）的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可以得到的优惠率？
点拨：(1)本类题要求学生通过对材料提供的文字，图表的有效阅读，掌握题中提供的消费金额，获得的优惠额，购买该商品得到的优惠率的计算方法。对照购买标价为450元的商品的消费金额及获得的优惠额的算法即可解得（１）.
解：（1）购买一件标价为1000元的商品消费金额为：元
获得的优惠额为元
购买该商品得到的优惠率=330÷1000=33%
点拨：（２）需要同学们把题中提供的知识发散，深入，分类讨论。标价在500元与800元之间（含500元和800元）的商品的优惠额为400元与640元之间（含400元和640元）。其优惠率要分两种情况——优惠额在400元（含400）与500元之间时和优惠额在500元（含500）与700元之间时分类讨论。
解：（2）元， 元
对于标价在500元与800元之间（含500元和800元）的商品的优惠额为：
400元与640元之间（含400元和640元）
设顾客购买标价为x元的商品，可以得到的优惠率。
当优惠额在400元（含400）与500元之间时：=
x= 450 ，不合题意舍去。
当优惠额在500元（含500）与700元之间时：=，x= 750
答：顾客购买标价为750元的商品，可以得到的优惠率。
三、考察着力探索，积极创新能力，通过有效阅读材料，探求规律。
例3 （2003甘肃省）阅读以下材料并填空。
平面上有n个点（n≥2），且任意三个点不在同一直线上，过这些点作直线，一共能作出多少条不同的直线？
（1）分析：当仅有两个点时，可连成1条直线；当有3个点时，可连成3条直线；
当有4个点时，可连成6条直线；当有5个点时，可连成10条直线；
。。。。。。
（２）归纳：考察点的个数n和可连成直线的条数S，发现（表一）：
（3）推理：平面上有n个点，两点确定一条直线，取第一个点A有n种取法，取第二个点B有(n-1)种取法，所以一共可连成n(n-1)条直线，但AB与BA是同一条直线，故应除以2，既S=
（4）结论：S=.
试探究以下问题：
平面上有n个点( n≥3)，任意三点不在同一直线上，过任意三点作三角形，一共能作出多少个不同的三角形？
（1）分析： 当有3个点时，可作__________个三角形；当有4个点时，可作__________个三角形；当有5个点时，可作__________个三角形；
。。。。。。
（2）归纳：考察点的个数和可作出三角形的个数S发现（表二）：
（3）推理：________________________ ;
（4）结论：_______________________.
点拨：解决这类问题，就要求同学要有一定的学习探索能力，探求其内部规律。对材料 “（3）推理：平面上有n个点。。。。。。故应除以2，既S=”中所蕴含的内在规律，形成科学的思维策略，体会蕴涵其中的数学方法。再进行知识类比，深入拓展思维，探索出“平面上有n个点( n≥3)。。。。。。可作出三角形的个数S”的相关规律。
答案 ：
（1）1，4，10。。。。。。
（2），，，。。。，.
（3）推理：平面上有n个点，过不在同一条直线上的三点可以确定一个三角形，取第一个点A有n种取法，取第二个点B有(n-1)种取法，取第三个点C有(n-2)种取法，所以一共可以作n(n-1)(n-2)个三角形，但△ABC，△ACB，△BAC，△BCA，△CAB，△CBA 是同一个三角形，故应除以6，既S=,
（4）S=.
练习：
1.（2004年镇江）先阅读下列一段文字，然后解答问题.
修建润扬大桥，途经镇江某地，需搬迁一批农户，为了节约土地资源和保护环境，政府决定统一规划建房小区，并且投资一部分资金用于小区建设和补偿到政府规划小区建房的搬迁农户.建房小区除建房占地外，其余部分政府每平方米投资100元进行小区建设；搬迁农户在建房小区建房，每户占地100 平方米，政府每户补偿4万元，此项政策，吸引了搬迁农户到政府规划小区建房，这时建房占地面积占政府规划小区总面积的20%.
政府又鼓励非搬迁户到规划小区建房，每户建房占地120平方米，但每户需向政府交纳土地使用费2.8万元，这样又有20户非搬迁户申请加入.此项政策，政府不但可以收取土地使用费，同时还可以增加小区建房占地面积，从而减少小区建设的投资费用.若这20户非搬迁户到政府规划小区建房后，此时建房占地面积占政府规划规划小区总面积的40%.
（1）设到政府规划小区建房的搬迁农户为x户，政府规划小区总面积为y平方米.可得方程组_________________ 解得_____;
（2）在20户非搬迁户加入建房前，请测算政府共需投资 __________万元 在20户非搬迁户加入建房后，请测算政府将收取的土地使用费投入后，还需投资__________万元.
（3）设非搬迁户申请加入建房并被政府批准的有z户，政府将收取的土地使用费投入后，还需投资p万元.
①求p与z的函数关系式.
②当p不高于140万元，而又使建房占地面积不超过规划小区总面积的35%时，那么政府可以批准多少户非搬迁户加入建房？
2．（广西03）
阅读下列一段话，并解决后面的问题 .
观察下面一例数：
1，2，4，8，……
我们发现，这一列数从第2项起，每一项与它前一项的比都等于2 .
一般地，如果一列数从第2项起，每一项与它前一项的比都等于同一个常数，这一列数就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比 .
（1）等比数列5，－15，45，……的第4项是 ；
（2）如果一列数，，，，……是等比数列，且公比为q，那么根据上述的规定，有
，，，……
所以，
，
，
……
.（用与q的代数式表示）
（3）一个等比数列的第2项是10，第3项是20，求它的第1项与第4项 .
答案：
1.（1）
（2）192…………………………………5分
112…………………………………6分
（3）①
………………………………7分
②由题意得
解得
∴政府可批准13、14或15户非搬迁户加入建房.………10分
2．（1）－135 （2分） （2）（5分）
3
4
点的个数
5
2
。。。
n
可连成直线条数
。。。
表二
3
4
点的个数
5
。。。
n
可连成直线条数
。。。
表一
- 6 -初三第一轮复习
2005年中考动点问题
1. 已知：如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3厘米，CB＝4厘米．两个动点P、Q分别从A、C两点同时按顺时针方向沿△ABC的边运动．当点Q运动到点A时，P、Q两点运动即停止．点P、Q的运动速度分别为1厘米/秒、2厘米/秒，设点P运动时间为（秒）．
（1）当时间为何值时，以P、C、Q三点为顶点的三角形的面积（图中的阴影部分）等于2厘米2；
（2）当点P、Q运动时，阴影部分的形状随之变化．设PQ与△ABC围成阴影部分面积为S（厘米2），求出S与时间的函数关系式，并指出自变量的取值范围；
（3）点P、Q在运动的过程中，阴影部分面积S有最大值吗？若有，请求出最大值；若没有，请说明理由．
2. 如图，已知矩形ABCD的边长AB=2，BC=3，点P是AD边上的一动点（P异于A、D），Q是BC边上的任意一点. 连AQ、DQ，过P作PE∥DQ交AQ于E，作PF∥AQ交DQ于F.
（1）求证：△APE∽△ADQ；
（2）设AP的长为x，试求△PEF的面积S△PEF关于x的函数关系式，并求当P在何处时，S△PEF取得最大值？最大值为多少？
（3）当Q在何处时，△ADQ的周长最小？（须给出确定Q在何处的过程或方法，不必给出证明）
3. 已知正方形ABCD的边长AB=k（k是正整数），正△PAE的顶点P在正方形内，顶点E在边AB上，且AE=1. 将△PAE在正方形内按图1中所示的方式，沿着正方形的边AB、BC、CD、DA、AB、……连续地翻转n次，使顶点P第一次回到原来的起始位置.
（1）如果我们把正方形ABCD的边展开在一直线上，那么这一翻转过程可以看作是△PAE在直线上作连续的翻转运动. 图2是k=1时，△PAE沿正方形的边连续翻转过程的展开示意图. 请你探索：若k=1，则△PAE沿正方形的边连续翻转的次数n= 时，顶点P第一次回到原来的起始位置.
（2）若k=2，则n= 时，顶点P第一次回到原来的起始位置；若k=3，则
n= 时，顶点P第一次回到原来的起始位置.
（3）请你猜测：使顶点P第一次回到原来的起始位置的n值与k之间的关系（请用含k的代数式表示n）.
4. 已知，点P是正方形ABCD内的一点，连PA、PB、PC.
（1）将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置（如图1）.
①设AB的长为a，PB的长为b（b
②若PA=2，PB=4，∠APB=135°，求PC的长.
（2）如图2，若PA2+PC2=2PB2，请说明点P必在对角线AC上.
5. 如图，有一块边长为4的正方形塑料模板ABCD，将一块足够大的直角三角板的直角顶点落在A点，两条直角边分别与CD交于点F，与CB延长线交于点E．则四边形AECF的面积是 ．
6. 如图一，平面直角坐标系中有一张矩形纸片OABC，O为坐标原点，A点坐标为(10，0)，C点坐标为(0，6)，D是BC边上的动点(与点B，C不重合)，现将△COD沿OD翻折，得到△FOD；再在AB边上选取适当的点E，将△BDE沿DE翻折，得到△GDE，并使直线DG、DF重合。
(1)如图二，若翻折后点F落在OA边上，求直线DE的函数关系式；
(2)设D(a，6)，E(10，b)，求b关于a的函数关系式，并求b的最小值；
(3)一般地，请你猜想直线DE与抛物线的公共点的个数，在图二的情形中通过计算验证你的猜想；如果直线DE与抛物线始终有公共点，请在图一中作出这样的公共点。
7.（1）如图一，等边△ABC中，D是AB上的动点，以CD为一边，向上作等边△EDC，连结AE。求证：AE//BC；
（2）如图二，将(1)中等边△ABC的形状改成以BC为底边的等腰三角形。所作△EDC改成相似于△ABC。请问：是否仍有AE//BC？证明你的结论。
8. 如图，正方形ABCD的边长为5cm，Rt△EFG中，∠G＝90°，FG＝4cm，EG＝3cm，且点B、F、C、G在直线上，△EFG由F、C重合的位置开始，以1cm/秒的速度沿直线按箭头所表示的方向作匀速直线运动．
（1）当△EFG运动时，求点E分别运动到CD上和AB上的时间；
（2）设x（秒）后，△EFG与正方形ABCD重合部分的面积为y（cm），求y与x的函数关系式；
9. 如图12，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝16，DC＝12，AD＝21。动点P从点D出发，沿射线DA的方向以每秒2两个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，点P，Q分别从点D，C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动。设运动的时间为t（秒）。
（1）设△BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式；
（2）当t为何值时，以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？
（3）当线段PQ与线段AB相交于点O，且2AO＝OB时，求∠BQP的正切值；
（4）是否存在时刻t，使得PQ⊥BD？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由。
10. 如图1，中，,,,点在边上，且.
(1)动点在边上运动，且与点，均不重合，设
①设与的面积之比为，求与之间的函数关系式（写出自变量的取值范围）；
②当取何值时， 是等腰三角形？写出你的理由。
（2）如图2，以图1中的为一组邻边的矩形中，动点在矩形边上运动一周，能使是以为顶角的等腰三角形共有多少个（直接写结果，不要求说明理由）？
11. 如图，正方形ABCD的边长为4cm，点P是BC边上不与点B、C重合的任意一点，连结AP，过点P作PQ⊥AP交DC于点Q，设BP的长为xcm，CQ的长为ycm。
（1）求点P在BC上运动的过程中y的最大值；
（2）当cm时，求x的值。
12.如图1，Rt△PMN中，∠P＝90°，PM＝PN，MN＝8cm，矩形ABCD的长和宽分别为8cm和2cm，C点和M点重合，BC和MN在一条直线上。令Rt△PMN不动，矩形ABCD沿MN所在直线向右以每秒1cm的速度移动（如图2），直到C点与N点重合为止。设移动x秒后，矩形ABCD与△PMN重叠部分的面积为y。求y与x之间的函数关系式。
13. 如图，在Rt△ABC中，已知AB＝BC＝CA＝4cm，AD⊥BC于D，点P、Q分别从B、C两点同时出发，其中点P沿BC向终点C运动，速度为1cm/s；点P沿CA、AB向终点B运动，速度为2cm/s，设它们运动的时间为x(s)。
⑴ 求x为何值时，PQ⊥AC；
⑵ 设△PQD的面积为y(cm2)，当0＜x＜2时，求y与x的函数关系式；
⑶ 当0＜x＜2时，求证：AD平分△PQD的面积；
⑷ 探索以PQ为直径的圆与AC的位置关系。请写出相应位置关系的x的取值范围(不要求写出过程)
14. 有一根直尺的短边长2㎝，长边长10㎝，还有一块锐角为45°的直角三角形纸板，它的斜边长12cm..如图12，将直尺的短边DE放置与直角三角形纸板的斜边AB重合，且点D与点A重合.将直尺沿AB方向平移(如图13)，设平移的长度为xcm(0≤x≤10)，直尺和三角形纸板的重叠部分(图中阴影部分)的面积为S㎝2.
(1)当x=0时(如图12)，S=_____________；当x = 10时，S =______________.
(2) 当0＜x≤4时(如图13)，求S关于x的函数关系式；
(3)当4＜x＜10时，求S关于x的函数关系式，并求出S的最大值(同学可在图14、图15中画草图).
15. 如图16，已知直线y = 2x(即直线)和直线(即直线)，与x轴相交于点A。点P从原点O出发，向x轴的正方向作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时点Q从A点出发，向x轴的负方向作匀速运动，速度为每秒2个单位。设运动了t秒.
(1)求这时点P、Q的坐标(用t表示).
(2)过点P、Q分别作x轴的垂线，与、分别相交于点O1、O2(如图16).
①以O1为圆心、O1P为半径的圆与以O2为圆心、O2Q为半径的圆能否相切？若能，求出t值；若不能，说明理由.
②以O1为圆心、P为一个顶点的正方形与以O2为中心、Q为一个顶点的正方形能否有无数个公共点？若能，求出t值；若不能，说明理由.(同学可在图17中画草图)
16. 如图,已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90o，∠C=60o，AD=3cm，BC=9cm．⊙O1的圆心O1从点A开始沿A—D—C折线以1cm/s的速度向点C运动，⊙O2的圆心O2从点B开始沿BA边以cm/s的速度向点A运动，如果⊙O1半径为2cm，⊙O2的半径为4cm，若O1、O2分别从点A、点B同时出发，运动的时间为ts
（1）请求出⊙O2与腰CD相切时t的值；
（2）在0s17. 如图，在矩形ABCD中，AD=8,点E是AB边上的一点，AE=,过D,E两点作直线PQ，与BC边所在的直线MN相交于点F。
（1） 求tan∠ADE的值；
（2） 点G是线段AD上的一个动点（不运动至点A,D），GH⊥DE垂足为H，设DG为x，四边形AEHG的面积为y，请求出y与x之间的函数关系式；
（3） 如果AE=2EB，点O是直线MN上的一个动点，以O为圆心作圆，使⊙O与直线PQ相切，同时又与矩形ABCD的某一边相切。问满足条件的⊙O有几个？并求出其中一个圆的半径。
图1
图2
图1
图2
A
B
C
D
M
6
5
图1
A
B
C
D
M
6
5
图2
E
不妨用直尺和三角板做一做模拟实验，问题就容易解决了！
(图12)
(D)
E
F
C
B
A
x
F
E
G
A
B
C
D
(图13)
A
B
C
(图14)
A
B
C
(图15)
A
O
y
x
P
Q
O1
O2
2
EMBED Equation.3 1
(图16)
(图17)
A
O
y
x
P
Q
O1
O2
2
EMBED Equation.3 1
- 9 -初三第一轮复习
探索型问题的解法和分类
一、内容综述：
1、探索存在型问题共有三种解法
① 直接解法：从已知条件出发，推导出所要求的结论。
② 假设求解法：假设某一命题成立―――相等或矛盾，通过推导得出相反的结论。
③ 寻求模型法
2、探索型问题分类
① 结论探索型问题：
一般是由给定的已知条件探求相应的结论，解题中往往要求充分利用条件进行大胆而合理的猜想，发现规律，得出结论。
② 条件探索型问题：
条件探索型问题，一般是由给定的结论反思探索命题，应具备的条件。
二、例题精讲：
例1．已知点A(0, 6), B(3,0), C(2,0), M(0,m)，其中m<6，以M为圆心，MC为半径作圆，则（1）当m为何值时，⊙M与直线AB相切
（2）当m=0时，⊙M与直线AB有怎样的位置关系？
当m=3时，⊙M与直线AB有怎样的位置关系？
（3）由第（2）题验证的结果，你是否得到启发，从而说出在什么范围内取值时，⊙M与直线AB相离？相交？
（（2），（3）只写结果，不要过程）（江苏常州）
分析：如图（1）只需d=r。作 MD⊥AB ,当MD=MC，直线和圆相切，MD用相似可求。
（2）d与r比较
（3）（1）是三种位置关系中的临界位置
说明：在解有关判定直线与圆的位置这类问题时，一般应先求出这一直线与圆位置 相切时应满足的条件，然后再辅以图形运动，分别考察相离，相交的条件。
解：（1）连MC，MC=，
过M作MD⊥AB于D，∴ RtΔADM∽RtΔAOB，
∴ ，
∴ ，∴ DM=(6-m)
若⊙M与AB相切，∴ CM=DM，
∴ (6-m)
∴ m2+3m-4=0
∴ m=-4或m=1，经检均是，
∵ m<6, ∴ m=1或m=-4时，直线AB与⊙M相切。
（2）当m=0时，MC=2，MD=，∴ MD＞MC，AB与⊙M相离，
当m=3时，MC=，MD=，∴ MD＜MC，AB与⊙M相交。
（3）由（1），（2）知，当-4 当1 说明：判断探索性的问题：是指几何图形的形状，大小的判定，图形与图形的位置关系判定，方程（组）解的判定等一类问题。
例2．已知a,b,c分别是ΔABC的∠A，∠B，∠C的对边(a>b)，二次函数y=(x-2a)x-2b(x-a)+c2的图象，顶点在x轴上，且sinA,sinB是关于x的方程(m+5)x2-(2m-5)x+m-8=0的两个根。
（1）判断ΔABC的形状，并说明理由。
（2）求m的值
（3）若这个三角形的外接圆面积为25π，求ΔABC的内接正方形（四个顶点都在三角形三边上）的边长。
分析：（1）顶点在x轴上，判别式Δ＝0，可得a,b,c的关系，从而得到三角形的形状;
（2）再利用同角的关系得m ;
（3）需分类来求。
解：（1）由已知二次函数化简，整理得：
y=x2-2(a+b)x+c2+2ab
顶点在x轴上，所以：=0，
整理得：a2+b2=c2, ∴ ΔABC是RtΔ.
（2）∵ ΔABC为RtΔ，∠C=90°，
∴ ∠A+∠B=90°，
∴ sinB=cosA,
∴ sinA,cosA为已知方程的两根，
∴
又∵ sin2A+cos2A=1
∴ (sinA+cosA)2-2sinAcosA=1,
∴ ()2-=1
m2-24m+80=0
∴ m1=20或m2=4，经检验是原方程的根。，
但：当m=20时，sinA+cosA>0, sina·cosA>0
当m=4时，sinA+cosA>0, sina·cosA<0，舍去，
∴ m=20.
（3）解：外接圆的面积为25π，∴ R＝5，则斜边c=10,
m=20时，原方程变为25x2-35x+12=0
x1=, x2=,
所以；a=8, b=6, 设正方形边长为x。
图① 。
图② CH=， ，
= ,x=.
例3．如图，已知ΔABC是等腰直角三角形，∠C=90°
（1）操作并观察，如图，将三角板的45°角的顶点与点C重合，使这个角落在∠ACB的内部，两边分别与斜边AB交于E、F两点，然后将这个角绕着点C在∠ACB的内部旋转，观察在点E、F的位置发生变化时，AE、EF、FB中最长线段是否始终是EF？
写出观察结果。
（2）探索：AE、EF、FB这三条线段能否组成以EF为斜边的直角三角形（即能否有EF2=AE2+BF2）？如果能，试加以证明。
分析：操作、观察不是重点，探索、猜测才是整个题目的重点，是难点，也就是说，从操作中获取信息是探索问题的过程中最重要的。
（1）中只须旋转∠ECF中用刻度尺量一量或观察，即可得到。
（2）要判断EF2=AE2+EF2，思路是把AE、EF、FB搬到一个三角形中，通常用平移、翻折、旋转等方法，此题目用翻折的方法，出现和线段AE、BF相等的线段，并且和EF在一个三角形中。
解：（1）观察结果是：当45°角的顶点与点C重合，并将这个角绕着点C在重合，并将这个角绕着点C在∠ACB内部旋转时，AE、EF、FB中最长的线段始终是EF。
（2）AE、EF、FB三条线段能构成以EF为斜边的直角三角形，证明如下：
如图在∠ECF的内部作∠ECG=∠ACE，
使CG=AC，连结EG，FG，
∴ ΔACE≌ΔGCE，
∴ ∠A=∠1，同理∠B=∠2，
∵ ∠A+∠B=90°，∴ ∠1+∠2=90°，
∴ ∠EGF=90°，EF为斜边。
例4．（北京朝阳区，最后一题）如图，一个圆形街心花园，有三个出口A，B，C，每两个出口之间有一条60米长的道路，组成正三角形ABC，在中心点O处有一亭子，为使亭子与原有的道路相通，需再修三条小路OD，OE，OF，使另一出口D、E、F分别落在ΔABC分成三个全等的多边形，以备种植不同品种的花草。
（1）请你按以上要求设计两种不同的方案，将你的设计方案分别画在图1，图2中，并附简单说明。
（2）要使三条小路把ΔABC分成三个全等的等腰梯形，应怎样设计？请把方案画在图3中，并求此时三条小路的总长。
（3）请你探究出一种一般方法，使得出口D不论在什么位置，都能准确地找到另外两个出口E、F的位置，请写明这个方法。
（4）你在（3）中探究出的一般方法适用于正五边形吗？请结合图5予以说明，这种方法能推广到正n边形吗？
解：
（1）方案1：D，E，F与A，B，C重合，连OD，OE，OF，
方案2：OD，OE，OF分别垂直于AB，BC，AC
（2）OD∥AC，OE∥AB，OF∥BC， 如图（3）
作OM⊥BC于M，连OB，
∵ ΔABC是等边Δ，∴ BM=BC=30，且∠OBM=30°，
∴ OM=10，
∵ OE∥AB，∴ ∠OEM=60°，OE==20，
又OE=OF=OD，∴ OE+OF+OD=3OE=60，答：略。
（3）如图（4）方法1：在BC，CA，AB上分别截取BE=CF=AD，连结OD，OE，OF
方法2：在AB上任取一点D，连OD，逆时针旋转OD 120°两次，得E，F。
（4）设M1为A1A2上任一点，在各边上分别取A2M2=A3M3=A4M4=A5M5=A1M1，连OM1……OM5即可，∴ 可推广到正n边形。
例5．某房地产公司要在一块地（图中矩形ABCD）上规划建造一个小区公园（矩形GHCK），为了使文物保护区ΔAEF不被破坏，矩形公园的顶点G不能在文物保护区内，已知AB=200m, AD=160m, AE=60m, AF=40m。
（1）求矩形小区公园的顶点G恰是EF的中点时，公园的面积。
（2）当G在EF上什么位置时，公园面积最大？
分析：第一问比较容易，求出矩形GHCK的长和宽，注意利用ΔAEF的条件。
第二问是个探索性的问题，求面积的最大值，常用的办法是将面积表示成长（或者宽）的函数。
解：延长HG交AD于H1，延长KG交AB于K1，
∵ ABCD与GHCK都是矩形，
∴ GH∥AB， KG∥AD，
（1）当顶点G恰在EF的中点时，
∵ H1G∥AE，K1G∥AF，
∴ H1G=AE=30， K1G=AF=20，
∴ GH=HH1-H1G=200-30=170，
KG=KK1-K1G=160-20=140。
故公园的面积为GH×KG=170×140=23800(m2).
（2）设H1G=x(m), H1A=y(m)
∵ ΔFH1G∽ΔFAE
∴ , 即，
∴ y=40-x,
∴ 公园面积为S=(200-x)(160-40+x)
=-x2+x+24000
=-(x2-20x-36000)
=-(x2-20x+100-36100)
=-(x-10)2+
∴ 当x=10时，Smax=,
即G在EF上，且到AD的距离为10m时公园面积最大。
说明：对于探索某一个量最大、最小的问题，利用函数思想是首选的方法，可以设置适当的变量，所求的量用它来表示，从而用函数的最大最小来求。
例6．某校的教室A位于工地O的正西方向，且OA=200米，一部拖拉机从O点出发，以每秒5米的速度沿北偏西53°方向行驶，设拖拉机的噪声污染半径为130米，试问教室A是否在拖拉机的噪声污染范围内？若不在，请说明理由；若在，求出教室A受污染的时间有几秒？（已知：sin53°≈0.80, sin37°≈0.60, tan37°≈0.75）（福州）
解：过A作AD⊥OM，
AD=200·sin37°≈200×=120(米)
∵ AD=120<130米，
∴ 教室A在拖拉机的噪声污染范围内，设当拖拉机到达点C时，教室A受污染，即AC=130.
在RtΔADC中，DC==50（米）
从C到D所用时间t=50÷5=10秒，
在经过这样一段时间A才能脱离污染，共20秒。
说明：这种问题在近几年各地的中考题目中出现较多。 要求：
1、要能准确画出辅助方位图；
2、完成从实际问题到几何模型的转化，转成解直角三角形的问题。
例7．如图的曲线表示一辆自行车离家的距离与时间的关系，骑车者九点离开家，十五点回家，根据这个曲线图，请你回答下列问题。
（1）到达离家最远的地方是什么时间？
（2）何时开始第一次休息？休息多长时间？
（3）第一次休息时，离家多远？
（4）11：00到12：00，他骑了多少千米？
（5）他在9：00～10：00和10：00～10：30的平均速度各是多少？
（6）他在何时至何时停止前进并休息用午餐？
（7）他在停止前进后返回，骑了多少千米？
（8）返回时的平均速度是多少？
（9）11：30和13：30时，分别离家多远。
（10）何时距离家22千米？
分析：这个曲线图，与课本上函数图象的不同点在于横轴表示的时间不是从0开始的，而是从9开始，横、纵轴上的数值代表着截然不同的实际含意。
解：（1）12点，30千米
（2）10点半，半小时
（3）离家17千米
（4）11：00到12：00，他骑了13千米
（5）9：00～10：00的平均速度为10千米/时，
10：00～10：30的平均速度是14千米/时
（6）12点到13点
（7）返回骑了30千米
（8）2小时，15km/h.
（9）首先确定直线段DE所在直线的解析式，设其为：S=kt+b ，将D(11,17),E(12,30)代入
得到
∴
∴ S=13t-126 当t=11.5时，S=23.5(km)
同理：确定FG所在的直线，设为L=mt+n,将F（13，30）、G（15，0）代入
得到：∴ ∴ L＝－15t+225
当t=13.5时，L＝22.5km
（10）DE所在直线: S=13t-126, 代入S=13t-126＝22, 得到t≈11.4,就是 11点24分距离家22千米
另外：13点到15点的时速为15km/h，从F点到22km处走了8千米，故需小时(即32分钟)故13点32分距离家也是22千米。
例8．有一批货，如果月初售出，可获利1000元，并可得本利和再去投资，到月末获利1.5%；如果月末售出这批货，可获利1200元，但要付50元保管费，请问这批货在月初还是月末售出好？
解：设这批货成本为a元，月初出售到月末可获利润
P1=1000+(a+1000)×1.5%=0.015a+1015
月末出售可获利润P2=1200-50=1150元
P1-P2=0.015(a-9000)
故为a>9000时，月初出售好；
当a=9000时，月初，月末出售相同；
当a<9000时，月末出售好。
例9．某水库的闸板如图所示，它的形状是由一个半圆和一个矩形组合而成，为了周围封得好，周长应尽可能小，但为了使水的流量越大越好，希望面积尽可能地大，问当周长一定时半圆半径r和矩形高度h应怎样取才好呢？
分析：在周长一定的条件下，面积的大小即与r有关又与h有关，即S是r和h的函数，在含两个自变量的函数关系式中，通常由一个变量表示另一个，转化为含一个的再求最值。
解：设周长为P，面积为S，则有
由(1)得：h=................(3)
将(3)代入(2)得：S=pr2+2r·，
S=(-p-2)r2+Pr
当r=时，
S最大=，
此时h==,
∴ 当r=h=时，闸板面积最大。
说明：利用函数关系式求最值问题，在生活实际中有着广泛的应用，诸如周长最小，面积最大材料最省，效益最好等等，往往可以通过建立适当的函数关系式，通过求函数的最值来解决。
- 11 -初三第一轮复习
如何解答数学实际问题
在义务教育初中数学教学大纲中，对学生能力的培养提出了较高的要求，特别是强调提高学生运用所学数学知识，解决现代社会中实际问题的能力。为了考查检验学生的能力，近几年许多省市的中考数学试题中，结合现代社会实践，以及市场经济的一些实际问题，出现了许多新型的实际问题应用题。这些实际问题，其特点是贴近日常生活，反映市场经济规律，解法灵活，思路开阔，不拘泥于旧的条框限制，能很好的体现试题的选拔功能，对学生的能力要求比较高。因此，指导学生如何解答此类问题显尤为重要。实际上数学中的实际问题就相当于语文中的阅读分析，阅读与理解是其关键所在，然后在阅读与理解的基础上去寻找问题的解决方法。
一、方案决策类问题
此类问题主要是借助于我们学习的数学知识，对现实生活中的一些应用问题提供解决的方法，或对不同的解决方案做出最优化的选择。此类问题的知识点主要有方程、不等式、一次函数在一定范围内比较大小、二次函数的极值等。
例1 某公司在甲、乙两仓库分别有农用车12辆和6辆，现需调往A县10辆，调往B县8辆，已知从甲仓库调运一辆农用车到A县和B县的运费分别为40元和80元，从乙仓库调运一辆农用车到A县和B县的费用分别为30元和50元。
（1）设从乙仓库调往A县农用车x辆，求总运费y关于x关系式。
（2）若要求总运费不超过900元，问共有几种调运方案？
（3）求出总运费最低的调运方案，最低费用是多少元？
分析：
原有车辆 调住A县一辆车的费用(元) 调往B县一辆车的费用(元)
甲仓库 12 40 80
乙仓库 6 30 50
简解:
(1)y=30x+50(6-x)+80(8-6+x)+40(12-2-x)
=20x+860
(2)20x+860≤900
∴x ≤2 ∴共有三种调运方案
(3)x=0时，y最小=860（元）
此时的调运方案是：乙仓库的6辆车全部运往B县，甲仓库的2辆运往B县，10辆运往A县。
总结： 此类问题的难度主要不在数学知识本身，而在数学知识的灵活运用。
二、函数类实际问题
此类主要利用已知量和未知量的联系列方程（组），通过解方程（组）使问题获得解决或运用运动和变化的观点，把问题中的数量关系用函数的形式表示出来，应用函数知识进行分析、研究，使问题获解。
例1 某百货商店服装柜台在销售中发现，“乐乐”牌童装平均每天可售20件，每件赢利40元，为了迎接“六一”儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加赢利，减少库存。经市场调查发现：如果每件童装降价4元，那么平均每天可多售8件，要想平均每天在销售这种童装上赢利1200元，那么每件童装应降价多少元？？
分析：销售童装的赢利=每价赢利的款额×销售件数设每件降价X元，则每天可多卖出2X件，每件赢利的款数为(40-x)元，销售件数为(20+2x)件.
解简解：设每件童装应降价x元，根据题意，得
（40－x）( 20+2x)=1200
整理，得x2－30x+200=0
解得：x1=10, x2=20( 因要尽快减少库存，故X取20，)
答：每件童装应降价20元。
例2 公路上有A、B、C三站，一辆汽车在上午8时从离A站10千米的P地出发向C站匀速前进，15分钟后离A站20千米。
(1)设出发x小时后，汽车离A站y千米，写出y与x之间的函数关系式。
(2)当汽车行驶到离A站150千米的B站时，接到通知要在中午12点前赶到离B站30千米的C站，汽车若按原速能否按时到达？若能是在几点几分，若不能，车速最少应提高到多少？
分析：根据已知可确定车速为40千米/时，故（1）便可解决：y=40x+10,由已知可知从P地到C站，须在4小时内走完，而实际这段路程需4.25小时，所以按原速度不能按时到达；从P地到B站，用去时间3.5小时，故剩下的30千米，必须在0.5小时内走完。
简解: (1)y=40x+10
(2)当y=150+30=180(千米)时， 则汽车按原速不能按时到达。
当y=150（千米）时，
设提速后车速为v,则[(12-8)-3.5]v=30
v=60（千米/时）
答：车速应至少提高到60千米/时，才能在12点前到达C站。
三、 图表信息问题
此类问题指通过函数图像、表格、几何图形等提供信息的题型，这类问题来源广泛，形式灵活，突出对考生收集、整理和加工信息能力的考查。解决此类题目，要从提供的图表信息出发，捕捉有效信息，对其加工整理，并且利用数形转换、数学转换等方法找出解决途径。
例1 一骑自行车者和一骑摩托车者沿相同路线由甲地到乙地，行驶过程的函数图象如图，两地间的距离是80千米，请你根据图象解决下面的问题：
（1）谁出发较早？早多长时间？谁到达乙地较早，早到多长时间？
（2）两人在途中行驶的速度分别是多少？
（3）请你分别求出表示自行车和摩托车行驶过程的函数解析式。
（4）指出在什么时间段内两车均行驶在途中（不包括端点），在这一时间段内，请你分别按下列条件列出关于时间x的方程或不等式（不要化简也不要求解）：
①自行车行驶在摩托车前面；②自行车与摩托车相遇；③自行车行驶在摩托车后面。
解简解：
（1）由图可以看出：自行车出发较早，早3个小时；摩托车 到达乙地较早，早3个小时。
（2）对自行车而言：行驶80千米耗时8小时，故速度为(80 ÷8)=10（千米/时）
对摩托车而言：行驶80千米耗时2小时，故速度为80÷2=40（千米/时）
（3）设：表示自行车行驶过程的函数解析式为y=kx
∵ 当x=8时，y=80
∴80=8k ∴ k=10
所以 表示自行车行驶过程的函数的解析式为y=10x
设表示摩托车行驶过程的函数的解析式为y=ax+b
∵ 当x=3时，y=0； x=5时，y=80
∴ 0=3a+b ，80=5a+b
解得：a=40，b=﹣120
∴表示摩托车行驶过程的函数解析式为：y=40x－120
(4)在340x－120,
两车相遇：10x=40x－120
自行车在摩托车后面：10x<40x－120
例2 某瓜果基地市场部为指导该基地某种蔬菜的生产和销售，在对历年市场行情的生产情况进行了调查的基础上，对今年这种蔬菜上市后市场售价和生产成本进行了预测，提供了两个方面的信息，如图甲，乙（注：甲，乙两图中的每个实心黑点对应的纵坐标分别指相应月份的售价和成本）生产成本6月份最低。请根据图象提供的信息说明: （1） 3月份出售这种蔬菜每千克收益多少元 (2)几月出售这种蔬菜每千克收益最大 最大多少元
解简解：（1）3月份出售这种蔬菜每千克收益为1元
(2)设图甲的函数的解析式为=kx+b
设图乙的函数的解析式为=a(x－h)2+k
每千克收益为y元，由图可知点(3,5),(6,3)在=kx+b的图象上
这样可以求出在=-x+7
同理,抛物线=a(x－h)2+k的顶点为(6,1),又过点(3,4),
所以可以求出=(x－6)2+1,
此时可设这种蔬菜的收益为y,
所以y=－=-x+7－(x－6)2－1
即y=-(x－5)2+
所以当x=5时,y有最大值,最大值为7/3
总之，数学实际问题就如同语文中的阅读分析题,所以在解决数学实际问题时要认真分析题目，彻底理解题意，找出此题的“中心思想”,并挖掘题目中的隐含条件，沟通已知条件和未知条件之间的联系，从而获得正确的解题途径。
- 5 -初三第一轮复习
中考数学创新题
-------折叠剪切问题
折叠剪切问题是考察学生的动手操作问题，学生应充分理解操作要求方可解答出此类问题.
一．折叠后求度数
【1】将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BC、BD为折痕，则∠CBD的度数为（ ）
A．600 B．750 C．900 D．950
答案：C
【2】如图,把一个长方形纸片沿EF折叠后,点D、C分别落在D′、C′的位置，若∠EFB＝65°，则∠AED′等于（ ）
A．50° B．55° C．60° D．65°
答案：A
【3】 用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图（1）所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图（2）所示的正五边形ＡＢＣＤＥ，其中∠ＢＡＣ＝ 度.
答案：36°
二．折叠后求面积
【4】如图,有一矩形纸片ABCD,AB=10,AD=6,将纸片折叠，使AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED以DE为折痕向右折叠，AE与BC交于点F，则△CEF的面积为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
答案：C
【5】如图，正方形硬纸片ABCD的边长是4，点E、F分别是AB、BC的中点，若沿左图中的虚线剪开，拼成如下右图的一座“小别墅”，则图中阴影部分的面积是
A．2 B．4 C．8 D．10
答案：B
【6】如图a，ABCD是一矩形纸片，AB＝6cm，AD＝8cm，E是AD上一点，且AE＝6cm。操作：
（1）将AB向AE折过去，使AB与AE重合，得折痕AF，如图b；（2）将△AFB以BF为折痕向右折过去，得图c。则△GFC的面积是（ ）
A.1cm2 B.2 cm2 C.3 cm2 D.4 cm2
答案：B
三．折叠后求长度
【7】如图，已知边长为5的等边三角形ABC纸片，点E在AC边上，点F在AB边上，沿着EF折叠，使点A落在BC边上的点D的位置，且，则CE的长是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
答案：D
四．折叠后得图形
【8】将一张矩形纸对折再对折（如图），然后沿着图中的虚线剪下，得到①、②两部分，将①展开后得到的平面图形是（ ）
A．矩形 B．三角形 C．梯形 D．菱形
答案：D
【9】在下列图形中，沿着虚线将长方形剪成两部分，那么由这两部分既能拼成平行四边形又能拼成三角形和梯形的是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
【10】小强拿了张正方形的纸如图（1），沿虚线对折一次如图（2），再对折一次得图（3），然后用剪刀沿图（3）中的虚线（虚线与底边平行）剪去一个角，再打开后的形状应是( )
答案：D
【11】如图，把矩形ABCD对折，折痕为MN（图甲），再把B点叠在折痕MN上的处。得到（图乙），再延长交AD于F，所得到的是（ ）
A. 等腰三角形 B. 等边三角形
C. 等腰直角三角形 D. 直角三角形
答案：B
【12】将一圆形纸片对折后再对折，得到图1，然后沿着图中的虚线剪开，得到两部分，其中一部分展开后的平面图形是（ ）
答案：C
【13】如图1所示，把一个正方形三次对折后沿虚线剪下，则所得的图形是（ ）
答案：C
【14】 如图，已知BC为等腰三角形纸片ABC的底边，AD⊥BC，AD=BC. 将此三角形纸片沿AD剪开，得到两个三角形，若把这两个三角形拼成一个平面四边形，则能拼出互不全等的四边形的个数是（ ）
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
答案：D
五．折叠后得结论
【15】亲爱的同学们，在我们的生活中处处有数学的身影.请看图，折叠一张三角形纸片，把三角形的三个角拼在一起，就得到一个著名的几何定理，请你写出这一定理的结论：“三角形的三个内角和等于_______°.”
答案：180
【16】如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则与 之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是（ ）
A. B.
C. D.
答案：B
【17】从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形(如图1)，然后将剩余部分剪拼成一个矩形(如图2)，上述操作所能验证的等式是（ ）
A.a2 – b2 =(a +b)(a -b) Ｂ.(a – b)2 = a2 –2ab+ b2
Ｃ.(a + b)2 = a2 +2ab+ b2 Ｄ.a2 + ab = a (a +b)
答案：A
【18】如图，一张矩形报纸ABCD的长AB＝a cm，宽BC＝b cm，E、F分别是AB、CD的中点，将这张报纸沿着直线EF对折后，矩形AEFD的长与宽之比等于矩形ABCD的长与宽之比，则a∶b等于（ ）．
A． B． C． D．
答案：A
六．折叠和剪切的应用
【19】将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的点M重合，折痕交AD于E，交BC于F，边AB折叠后与BC边交于点G（如图）.
（1）如果M为CD边的中点，求证：DE∶DM∶EM=3∶4∶5；
（2）如果M为CD边上的任意一点，设AB=2a，问△CMG的周长是否与点M的位置有关？若有关，请把△CMG的周长用含DM的长x的代数式表示；若无关，请说明理由.
答案：（1）先求出DE=，，后证之.
（2）注意到△DEM∽△CMG，求出△CMG的周长等于4a，从而它与点M在CD边上的位置无关.
【20】同学们肯定天天阅读报纸吧 我国的报纸一般都有一个共同的特征:每次对折后,所得的长方形和原长方形相似,问这些报纸的长和宽的比值是多少
答案：∶1.
【21】用剪刀将形状如图1所示的矩形纸片ABCD沿着直线CM剪成两部分,其中M为AD的中点.用这两部分纸片可以拼成一些新图形,例如图2中的Rt△BCE就是拼成的一个图形.
(1)用这两部分纸片除了可以拼成图2中的Rt△BCE外,还可以拼成一些四边形.请你试一试,把拼好的四边形分别画在图3、图4的虚框内.
(2)若利用这两部分纸片拼成的Rt△BCE是等腰直角三角形,设原矩形纸片中的边AB和BC的长分别为a厘米、b厘米,且a、b恰好是关于x的方程的两个实数根,试求出原矩形纸片的面积.
答案：（1）如图
（2）由题可知AB＝CD＝AE，又BC＝BE＝AB＋AE
∴BC＝2AB， 即
由题意知 是方程的两根
∴
消去a，得
解得 或
经检验：由于当，，知不符合题意，舍去.
符合题意.
∴
答：原矩形纸片的面积为8cm2.
【22】电脑CPU蕊片由一种叫“单晶硅”的材料制成，未切割前的单晶硅材料是一种薄型圆片，叫“晶圆片”。现为了生产某种CPU蕊片，需要长、宽都是1cm 的正方形小硅片若干。如果晶圆片的直径为10.05cm。问一张这种晶圆片能否切割出所需尺寸的小硅片66张？请说明你的方法和理由。（不计切割损耗）
答案：可以切割出66个小正方形。
方法一：
（1）我们把10个小正方形排成一排，看成一个长条形的矩形，这个矩形刚好能放入直径为10.05cm 的圆内，如图中矩形ABCD。
∵AB＝1 BC＝10
∴对角线＝100＋1＝101＜
（2）我们在矩形ABCD的上方和下方可以分别放入9个小正方形。
∵新加入的两排小正方形连同ABCD的一部分可看成矩形EFGH，矩形EFGH的长为9，高为3，对角线＜。但是新加入的这两排小正方形不能是每排10个，因为：
＞
（3）同理：＜
＞
∴可以在矩形EFGH的上面和下面分别再排下8个小正方形，那么现在小正方形已有了5层。
（4）再在原来的基础上，上下再加一层，共7层，新矩形的高可以看成是7，那么新加入的这两排，每排都可以是7个但不能是8个。
∵＜
＞
（5）在7层的基础上，上下再加入一层，新矩形的高可以看成是9，这两层，每排可以是4个但不能是5个。
∵＜
＞
现在总共排了9层，高度达到了9，上下各剩下约0.5cm 的空间，因为矩形ABCD的位置不能调整，故再也放不下一个小正方形了。
∴10＋2×9＋2×8＋2×7＋2×4＝66（个）
方法二：
学生也可能按下面的方法排列，只要说理清楚，评分标准参考方法一。
可以按9个正方形排成一排，叠4层，先放入圆内，然后：
（1）上下再加一层，每层8个，现在共有6层。
（2）在前面的基础上，上下各加6个，现在共有8层。
（3）最后上下还可加一层，但每层只能是一个，共10层。
这样共有：4×9＋2×8＋2×6＋2×1＝66（个）
【23】在一张长12cm、宽5cm的矩形纸片内，要折出一个菱形.李颖同学按照取两组对边中点的方法折出菱形EFGH（见方案一），张丰同学沿矩形的对角线AC折出∠CAE=∠DAC，∠ACF=∠ACB的方法得到菱形AECF（见方案二），请你通过计算，比较李颖同学和张丰同学的折法中，哪种菱形面积较大？
答案：（方案一）
（方案二）
设BE=x，则CE=12-x
由AECF是菱形，则AE2=CE2
比较可知，方案二张丰同学所折的菱形面积较大.
【24】正方形提供剪切可以拼成三角形。方法如下：
仿上面图示的方法，及韦达下列问题：
操作设计：
（1）如图（2），对直角三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原三角形等面积的矩形。
（2）如图（3）对于任意三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个原三角形等面积的矩形。
答案：（1）
（2）略。
【25】如图，⊙O表示一圆形纸板，根据要求，需通过多次剪裁，把它剪成若干个扇形面，操作过程如下：第1次剪裁，将圆形纸板等分为4个扇形；第2次剪裁，将上次得到的扇形面中的一个再等分成4个扇形；以后按第2次剪裁的作法进行下去.
(1)请你在⊙O中，用尺规作出第2次剪裁后得到的7个扇形(保留痕迹，不写作法).
(2)请你通过操作和猜想，将第3、第4和第n次裁剪后所得扇形的总个数(S)填入下表.
等分圆及扇形面的次数(n) 1 2 3 4 … n
所得扇形的总个数(S) 4 7 …
(3)请你推断，能不能按上述操作过程，将原来的圆形纸板剪成33个扇形？为什么？
答案：(1)由图知六边形各内角相等.
(2) 七边形是正七边形.
(3)猜想：当边数是奇数时(或当边数是3，5，7，9，…时)，各内角相等的圆内接多边形是正多边形.
【26】如图，若把边长为1的正方形ABCD的四个角(阴影部分)剪掉，得一四边形A1B1C1D1.试问怎样剪，才能使剩下的图形仍为正方形，且剩下图形的面积为原正方形面积的，请说明理由(写出证明及计算过程).
答案：剪法是：当AA1=BB1=CC1=DD1=或时，
四边形A1B1C1D1为正方形，且S=.
在正方形ABCD中，
AB=BC=CD=DA=1，
∠A=∠B=∠C=∠D=90°.
∵AA1=BB1=CC1=DD1，
∴A1B=B1C=C1D=D1A.
∴△D1AA1≌△A1BB1≌△B1CC1≌△C1DD1.
∴D1A1=A1B1=B1C1=C1D1，
∴∠AD1A1=∠BA1B1=∠CB1C1=∠DC1D1.
∴∠AA1D+∠BA1B1=90°，即∠D1A1B1=90°.
∴四边形A1B1C1D1为正方形.设AA1=x，
则AD1=1－x.
∵正方形A1B1C1D1的面积=，
∴S△AA1D1=
即x(1－x)=，
整理得9x2－9x+2=0.
解得x1=，x2=.
当AA1=时，AD1=，
当AA1=时，AD1=.
∴当AA1=BB1=CC1=DD1=或时，
四边形A1B1C1D1仍为正方形且面积是原面积的.
图1
第14题图
F
E
D
C
B
A
方法一： 方法二：
第24题答案图（1） 第24题答案图（2）
第24题图（2） 第24题图（3）
第24题图（1）
第23题图
第21题答案图
第21题图
第19题图
（2）
第17题图
（1）
第12题图
第10题图
第9题图
第8题图
第7题图
第6题图
图c
图b
图a
F
F
F
D
D
D
G
C
C
C
B
B
B
A
第15题图
A
A
第3题图
图（1）
图 （2）
A
B
E
D
C
E
E
图4
图3
M
E
C
M
A
B
C
A
B
图2
图1
图4
图3
M
D
C
M
A
B
C
A
B
E
A
D
E
F
B
C
（方案二）
A
D
E
H
F
B
C
G
（方案一）
第25题图
O
PAGE
- 12 -初三第一轮复习
图形运动问题的分析
随着新课程标准的实施，其基本理念对近几年数学命题的改革产生了重大的影响。新课程标准下的初中数学教材删去了原三角形全等部分的知识，增加了图形运动的内容，使数字更贴近生活，解题方法更灵活多变。
在这一理念的引导下，这一部分的分值比前两年大幅度提高。常见的图形运动有三种：旋转 、平移和翻折。运动变化问题正是利用它们变化图形的位置，引起条件或结论的改变，或者把分散的条件集中，以利于解题。这类问题注重培养学生用动态的观点去看待问题，有利于学生空间想象能力和动手操作能力的锻炼，这类问题的解题关键在于如何“静中取动”或“动中求静”。
平移、旋转和翻折是几何变换中的三种基本变换。所谓几何变换就是根据确定的法则，对给定的图形(或其一部分)施行某种位置变化，然后在新的图形中分析有关图形之间的关系。这类实体的特点是：结论开放，注重考查学生的猜想、探索能力；便于与其它只是相联系，解题灵活多变，能够考察学生分析问题和解决问题的能力；其中所含的数学思想和方法丰富，有数型结核方程的思想及数字建模，函数的思想，分类讨论的思想方法等。
为帮助广大考生把握好平移，旋转和翻折的特征，巧妙利用平移，旋转和翻折的知识来解决相关的问题，下面已近三年上海市毕业考，中考，中考预测卷为例说明其解法，供大家参考。
一、平移
在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。“一定的方向”称为平移方向，“一定的距离”称为平移距离。
例1在直角坐标平面内，点O为坐标原点，二次函数y=x2+(k-5)x-(k+4)的图象交x轴于点A(x1,0)点B(x2,0)，且(x1+1)(x2+1)=8。
(1)求二次函数的解析式(2)将上述二次函数图像沿x轴向右平移两个单位，设平移后的图象与y轴交点为C，顶点为P，求△POC的面积。
分析：抛物线的运动问题只需抓住顶点和开口方向这两个要素的变化规律即可。一般地总是先配方使之成为顶点式后再求解。关于平移的变化规律是：平移-顶点改变("左加右减，上加下减")，开口不变。
解：⑴由题意知x1,x2是方程x2+(k-5)x-(k+4)=0的根，则x1+x2=5-k，x1·x2=-(k+4)，由(x1+1)(x2+1)=-8，即x1x2+(x1+x2)=-9，得-(k+4)+(5-k)=-9
解k=5，则所求二次函数解析式为y=x2-9
⑵由题意，平移后的函数解析式为y=(x-2)2-9，则点C的坐标为(0，-5)，顶点P的坐标为(2,-9)，所以△POC的面积S=×5×2=5。
二、翻折
翻折是指把一个图形按某一直线翻折180﹤后所形成的新的图形的变化。
关于翻折还有二个基础知识点：
1、一个图形沿一条直线翻折，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就叫做这个图形的对称轴。
2、平面上的两个图形，将其中一个图形沿着一条直线翻折过去，如果它能够与另一个图形重合，那么说这两个图形关于这条直线对称，这条直线就是对称轴。解这类题抓住翻折前后两个图形是全等的，弄清翻折后不变的要素。
翻折在三大图形运动中是比较重要的，考查得较多。另外，从运动变化得图形得特殊位置探索出一般的结论或者从中获得解题启示，这种由特殊到一般的思想对我们解决运动变化问题是极为重要的，值得大家留意。比如2004年毕业考最后一题中函数和几何的综合题中的求定义域的问题，这里的特殊位置实际上就是运动中的一种"静态"要素。
三、旋转
在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度成为与原来相等的图形，这样的图形运动叫做图形的旋转，这个定点叫做旋转中心，图形转动的角叫做旋转角。图形旋转时，图形中的每一点旋转的角都相等，都等于图形的旋转角。
一个图形绕着某一点旋转180°，如果旋转后的图形与原来的图形重合，那么这个图形叫中心对称图形，这个点叫做对称中心。
例2如果一个正方形绕着它的中心旋转后与原图形s重合，那么小于360°的一个旋转角是_____________度.
解析：此题较为简单，属考查概念的基本题.=72，为72度
由此看出，近几年上海市中考，重点突出，试题贴近考生，贴近初中数学教学，在思想方面的考察上尤其突出。特别是2004年中考，图形运动的思想(图形的旋转、翻折、平移三大运动)都一一考查到了。因此在平时抓住这三种运动的特征和基本解题思路来指导我们的复习，将是一种事半功倍的好方法。平移中，直线平移K不变，抛物线平移，a不变；翻折中，翻折前后二个图形全等及其推出的性质；旋转中，抓住旋转角。
- 3 -初三第一轮复习
涉及高中知识的阅读理解中考题
阅读理解型问题是中考的一个重要考点，涉及高中知识的中考题各地中考试卷中频繁出现，值得重视。本文就这类题的特点及解法举例说明。
例1（2003年·广西）阅读下列一段话，并解决下面的问题。
观察这样一列数：1，2，4，8，……我们发现这一列数从第2项起，每一项与它前一项的比都等于2。一般地，如果一列数从第2项起，每一项与它前一项的比都等于同一个常数，这一列数就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比。
（1）等比数列5，－15，45，……的第4项是______________；
（2）如果一列数a1，a2，a3，a4，…是等比数列，且公比为q，那么根据上述的规定，有
所以，，，…
an＝_________。（用a1与q的代数式表示）
（3）一等比数列的第2项是10，第3项是20，求第1项与第4项。
解：（1）－135；（2）
（3）因，，故
因，故，
评析：本题取材于高中代数中的等比数列，既能考查学生的理解运用能力，又能够锻炼学生的自学能力，引导学生养成良好的探索习惯。
例2 （2003年·甘肃省）平面上有n个点（），且任意3点不在同一直线上，过这些点作直线，一共能作出多少条不同的直线？
分析：当仅有2个点时，可连成1条直线；有3个点时，可连成3条直线；有4个点时，可连成6条直线；有5个点时，可连成10条直线；……
归纳：考察点的个数n和可连成直线的条数Sn，发现规律如表1。
表1
点的个数 可连成直线条数
2
3
4
5
… …
n
推理：平面上有n个点，两点确定一条直线。取第一个点A有n种取法，取第二个点B有（n－1）种取法，所以一共可连成n（n－1）条直线，但AB与BA是同一条直线，故应除以2，即。
结论：
试探究以下问题：平面上有n（）个点，任意3个点不在同一直线上，过任意3点作三角形，一共能作出多少个不同的三角形？
（1）分析：当仅有3个点时，可作___________个三角形；当有4个点时，可作______个三角形；当有5个点时，可作________个三角形；…
（2）归纳：考察点的个数n和可作三角形的个数，填写表2：
表2
点的个数 可作三角形的个数
3
4
5
… …
n
（3）推理：_______________________；
（4）结论：________________________。
解：（1）通过画图探索可知，分别依次应填1，4，10。
（2）通过画图探索可知如下规律：
。
（3）平面上有n个点，过不在同一条直线上的3个点可以确定一个三角形，取第一个点A有n种取法，取第二个点B有（n－1）种取法，取第三个点C有（n－2）种取法，所以一共可以作个三角形，但、、、、、是同一个三角形，故应除以6，即
（4）
评析：这是高中数学中学的数列求和问题，出现在中考试卷中并没有超纲的感觉。这道题的命题方式在这类题中有代表性，应仔细研究。
- 3 -初三第一轮复习
图形折叠型问题解法浅析
折叠型问题是近年中考的热点问题，通常是把某个图形按照给定的条件折叠，通过折叠前后图形变换的相互关系来命题。折叠型问题立意新颖，变幻巧妙，对培养学生的识图能力及灵活运用数学知识解决问题的能力非常有效。下面我们一起来探究这种题型的解法。
折叠的规律是:折叠部分的图形，折叠前后，关于折痕成轴对称，两图形全等。
1.（2000，福建福州试卷）
如图，长方形ABCD沿AE折叠，使D落在边BC上的F点处，如果∠BAF=60°，则
∠DAE=___。
答案：A，15°
分析 根据折叠的规律：可证△ADE≌△AFE,从而
∠DAE=∠FAE=(90°-60°)÷2=150
A.15° B.30° C.45° D.60°
2.（济南市2000年中考试题）
如图，折叠矩形纸片ABCD，先折出折痕（对角线）BD，再折叠，使AD落在对角线BD上，得折痕DG，若AB = 2，BC = 1，求AG.
答案：AG =
分析 折叠后的图形（如图一），
设A点落在BD上的位置为A1，
则 A 点关于直线 DG 的对称点为点 A1，
连结 A1G，（如图二）
可知△ADG ≌ △A1DG，AG = A1G，
AD = A1D。∵矩形ABCD，AB = 2，
BC = 1，∴BD ==，
BA1 = –1，∵∠ BA1G = ∠ A = 90°。
设AG = A1G= X，在Rt△BA1G中，
利用勾股定理列出方程：x2 +(–1)2 = ( 2 – x )2,
∴ x = ，即：AG =.
3.（2002，宁夏回族自治区 ）如图将矩形纸片ABCD沿直线BD
折叠一次（折痕与折叠后得到的图形用虚线表示）将得到的所有
全等三角形（包括实线虚线在内）用符号写出来.
答案：
△ABD≌△CDB △DBE≌△BDA △DBC≌△DBE
△ABF≌△EDF
（如图∠1=∠2，∠A=∠E，AB=ED，所以△ABF≌△EDF）
4.（2004黑龙江哈尔滨市）
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°∠A<∠B，CM是斜边AB的中线，将△ACM沿直线CM折叠，点A落在D处，如果CD恰好与AB垂直，那么∠A等于_____.
答案：30°
解析：
根据折叠规律：可知△CMA≌ △CMD，
∴ ∠ 1 = ∠ 2，∵CM为斜边AB的中线，
∴ CM = AM ，∴ ∠ A= ∠ 1。设∠ A= x
∵ CD ⊥ AB于点E ，∴∠ A+ ∠ 1+∠ 2=90°
∴ x + 2x = 90° ，
∴ x = 30°，即∠A = 30°。
同类变式：
5.如图，折叠长方形的一边AD，点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm, BC=10cm ,
求EC的长.
答案：3cm。
分析：设，EC=x,则EF=DE=8-x
在Rt△ABF中，AF=AD=10，
AB=8，所以BF=6，FC=4
在Rt△EFC中，由勾股定理，得，
解得x=3(cm)
6.用一张矩形纸，如图，矩形ＡＢＣＤ纸对折，设折痕为ＭＮ，再把Ｂ点叠在折痕线上，得到Rt△ＡＢＥ，沿着ＥＢ线折叠，得到△ＥＡＦ（如图二）。判断△ＥＡＦ的形状。
答案：△ＥＡＦ为等边三角形。
分析：根据图一折叠情况，可知，N为CD中点，PN//AD
∴点P是AE的中点，
∴在Rt△ABE中，PA=PB
∴∠ 2 = ∠ 3
又∵PN//AD ∴ ∠ 1 = ∠3
根据折叠规律（图三）：∠4= ∠ 2
∴∠ 1 = ∠ 2 = ∠ 4=30°
∴∠ EAF=60°=∠ AEF
∴△ＥＡＦ为等边三角形。
练习
1. （03海淀）如图，把纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则与之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是（ ）
A. B.
C. D.
2．（03绍兴）如图,有一矩形纸片ABCD,AB=10,AD=6,将纸片折叠，使AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED以DE为折痕向右折叠，AE与BC交于点F，则△CEF的面积为（ C ）
A．4 B．6 C．8 D．10
A
B
C
D
F
E
E
F
D
C
B
A
D
C
B
A
M
E
F
D
B
A
C
D
C
AA
B
D
C
B
A
Ｎ
F
Ｎ
Ｍ
P
E
如图二
C
如图一
B
1
1
2
1
2
E
2
1
3
4
P
如图二
3
2
1
E
F
Ｎ
D
C
B
A
4
如图一
如图三
C
B
A
D
A1
G
A
D
A1
G
- 3 -购物策略与包装的学问
知识目标：
1. 面对购物中各种不同的优惠策略，学会通过计算，比较作出最优选择。
2. 通过对各种不同的包装形式的分析，表面积的计算，比较，能找到最省包装纸的包装方法。
能力目标：
1. 培养学生对不同的实际问题的分析，计算，比较的能力。
2. 培养学生画立体图形的能力
情感目标：
通过运用数学知识解决身边生活中的实际问题，感受数学的重要性。
知识要点：
1. 比较常见的优惠策略：
⑴打折；⑵买一赠一；⑶有奖销售；⑷赠购物券；⑸限额，限量优惠
2. 包装的学问这一节的实质：就是如何摆放物体最后使整体的表面积最小的问题。
3. 规范解题的思路和书写过程：
凡是题中最后提到一个“最”字的，如最省钱，最省包装纸，等等，在思考问题和书写解题过程时一般要坚持“有计算，有比较，有选择”的原则。
【例题分析】
例1：为了促销同一品牌的巧克力，其中大块500克，售价18元；小块100克，售价3元。国庆期间三家超市打出“促销优惠大酬宾”的招牌，分别推出了优惠策略。
甲超市：买一大块巧克力，送一小块巧克力；
乙超市：此新品牌的巧克力一律按八五折优惠；
丙超市：累计达到30元，超过部分按八折优惠。
⑴要买两大块巧克力和两小块巧克力，去哪个超市较为合算？为什么？
⑵要买六块大巧克力和六块小巧克力，去哪个超市合算？为什么？
分析：这是一个面对不同的超市推出的不同的优惠策略，作为一个消费者如何选择的问题。那么如何选择呢？就要根据消费者购买巧克力的多少，分别计算出三家超市的钱数进行比较，根据比较的结果作出最后的选择，所以在书写解题过程时一定要坚持“有计算，有比较，有结论”的原则。
解：⑴甲超市：18×2=36（元）
乙超市：（18+3）×2×0.85=35.7（元）
丙超市：（18+3）×2=42（元）
∵35.7＜36＜42 ∴去乙超市较为合算
⑵甲超市：18×6=108（元）
乙超市：（18+3）×6×0.85=107.1（元）
丙超市：［（18+3）×6-30］×0.8+30=106.8（元）
∵106.8＜107.1＜108 ∴去丙超市较为合算
例2：有四种规格的蜂蜜：每瓶200克的3元，每瓶300克的4.4元，每瓶500克的7元，每瓶1000克的13元。
⑴要买900克的蜂蜜有多少种买法？
⑵要买1200克的蜂蜜最少应花多少钱？
分析：由于蜂蜜的规格不一样，所以要购买一定数量的蜂蜜可能有多种不同的买法，这里面体现了“穷举法”的思想，也就是说一件事情可能有许多种情况都要一一列举出来，作到不重不漏。对于第二问提到花钱最少，那么就要把各种买法所花的钱数都算出来，通过比较得出结论。
解：⑴要买900克蜂蜜可以有下列3种买法：
①2瓶200克和1瓶500克
②3瓶200克和1瓶300克
③3瓶300克
⑵要买1200克蜂蜜可以有下列五种买法：
①1瓶200克和2瓶500克
3+7×2=17（元）
②1瓶200克和1瓶1000克
3+13=16（元）
③2瓶200克和1瓶300克和1瓶500克
3×2+4.4+7=17.4（元）
④3瓶200克和2瓶300克
3×3+4.4×2=17.4（元）
⑤6瓶200克
3×6=18（元）
⑥4瓶300克
4.4×4=17.6（元）
∵16＜17＜17.4＜17.6＜18
∴买1瓶200克和1瓶1000克花钱最少，最少花16元。
注意：
1. 题中说的“要买900克”的意思是说必须买900克，不能多买，也不能少买。
2. 在列举不同的买法时最好按照一定的顺序，这样容易作到不重不漏。
3. 通过本例同学们不难发现对于不同包装的商品大包装的要比小包装的商品单价低,所以要想省钱应该尽量多的购买大包装的商品较合算,以后解题时要注意应用这一规律。
例3：太阳岛公园的门票是每位10元，20人以上（含20人）的团体票8折，现有18人应该买普通票还是买20人的团体票？
分析：这道题是一道限额优惠的题目，把额度限定在20人以上，只有达到了这个人数才能享受到8折优惠，目的是鼓励团体多人消费。
解：普通票：18×10=180（元）
团体票：20×10×0.8=160（元）
∵180＞160 ∴应该购买团体票。
例4：小王和小李是邻居，一个月里两人去同一家商店买各买了两次酱油，两次价格分别为3元/斤和2元/斤，其中小王每次买一斤，小李每次只买1元钱，问哪种购买方式合算？
分析：那种购买方式合算，只要比较一下两个人购买的酱油的单价就可以了。
解：小王买的酱油的单价：（3+2）÷2=2.5（元/斤）
小李买的酱油的单价：（1+1）÷（1/3+1/2）=2.4（元/斤）
∵2.4＜2.5
∴小李的购买方式合算。
例5：“五一”期间，由某校4位教师和若干名学生组成的旅游团到牡丹江镜泊湖去旅游，甲旅行社用餐收费标准是：如果买4份全餐费，则其余人按七折优惠；乙旅行社的收费标准是：5人以上（含5人）用餐可按原价的八折优惠。这两家旅行社的全餐价格均为每人300元。问：若有10名学生参加旅游，应该选哪家旅行社在用餐方面更省钱？
分析：这是一个面对不同的优惠策略如何选择的问题，这种类型题近几年在中考中经常出现同学们应该引起重视，那么到底选择哪家旅行社是由参加旅游的人数决定的，所以应该根据具体的人数经过计算，比较得出结论。
解：甲旅行社：300×4+300×0.7×10=3300（元）
乙旅行社：300×0.8×14=3360（元）
∵3300＜3360 ∴应选甲旅行社在用餐方面更省钱。
注意：在计算人数时不要忘了要把4名教师加进去，这一点容易出错，要小心。
例6：由3个同样的长为1厘米，宽为2厘米，高为3厘米的小长方体，拼成一个大长方体，可能有几种不同的拼法？如果用包装纸把他们包起来，哪种情况最省包装纸？
分析：大家很容易想到3种常见的拼法，但是不是只有着3钟拼法呢？经过尝试我们注意到每个小长方形的长、宽、高的尺寸，不难发现还有一种特殊的拼法。那就是把其中的两个长方形横着上下拼在一起，另一个竖者拼在一起。至于用包装纸把它们包起来，表面积最小的那一个应该最省包装纸。
解：
表面积：（6×3+3×1+1×6）×2=54
表面积：（2×9+2×1+9×1）×2=58
表面积：（2×3+3×2+3×3）×2=42
表面积：（2×3+3×2+3×3）×2=42
∵42＜46＜58 ∴图3和图4最省包装纸。
注意：要想让最后的大长方体表面积最小，就要让最大的面尽量多的重合。
例7：将12盒火柴包成一包，火柴盒长5，宽3 ，厚1。怎样包最节省包装纸？
分析：本题中12盒火柴包成一包，怎样包最省包装纸？这个问题就比较复杂了，因为包装的方法比较多。下面我讲一种数学的方法来尽快的找到不同的包法：首先，把12分解因数：先分解成两个数的积（可以看成二维的）12=1×12=2×6=3×4，然后再分解成三个数的积（可以看成三维的）：12=2×2×3。这样从大体上我们得到4大类不同的包法；其次在每类大的包法里面又有几种小的不同包装方法，这时我们注意到通过上一个题已经得出的结论：几个小长方体拼成一个比较大的长方体，只要尽量多的让最大的面重合，那么拼成的大长方体的表面积就会越小。由此对于每类大的包装方法里的各种小的包装方法我们不必要一一列举出来，我们只要根据以上结论，通过理智的数学分析找到每类大的方法里面，哪种小的包装方法最省包装纸即可。具体可以这样做：在火柴盒最多的那一行中让最大面重合，其次在不同的两行之间让第二大的面重合，这样就作到了尽量多的让最小面漏在了外面，那么这种包法的表面积一定是这类大的包法里面最小的。例如：2×6这种包法，我们看成是2行6列，在每一行的6盒火柴让最大面重合，然后在两行之间让第二大的面重合，这种包法一定是2×6这种包法里最省包装纸的包法。
所以综上所述，对于本题的解法我们只要分别找到4类不同的包法中表面积最小的四种不同的包装方法，然后比较它们表面积的大小即可得出结论。
解：∵12=1×12=2×6=2×6=2×2×3
∴一共有4类不同的包法。
∵尽量多的让最大面重合，包装后的物体表面积最小
∴有4中情况：
表面积最小图形：1×12
最小表面积：（12×5+12×3+5×3）×2=222
表面积最小图形：2×6
最小表面积：（6×5+6×6+6×5）×2=192
表面积最小图形：3×4
最小表面积：（4×5+4×9+9×5）×2=202
表面积最小图形：2×2×3
最小表面积：（3×10+3×6+6×10）×2=216
∵192＜202＜216＜302 ∴如图按照第二种包法最省包装纸.
题后反思：通过观察我们发现，包装后的立体图形哪一种越是接近正方体，哪一种包装方法越省包装纸。另外通过以上2个例题的讲解同学们发现画立体图形是我们应会的重要能力。
同 步 测 试
一. 填空题
1. 一台电脑标价6000元，电脑公司9折销售，购买一台电脑须花（ ）元。
2. 一条西裤原价170元，现价119元，这条西裤打（ ）折。
3. 棱长比是1：3的两个正方体，面积比是（ ）。
4. 用48厘米的铁丝做一个尽可能大的正方体框架，然后在它的表面糊上纸，至少需要（ ）平方厘米的纸（接缝处不计）
5. 某商品的进价为150元，售价是180元，则此商品的利润为（ ），利润率为（ ）。
6. 一筒茶叶原价300元，提价25%后要恢复原价，应降低的百分率为（ ）。
7. 一个水果花篮在成本价的基础上加价20%，现售108元，它的成本价是（ ）。
8. 某商场将一件商品按标价的9折出售，仍可获利10%，标价为33元，该商品的进价为（ ）元。
9. 做两个无盖的长方体水筒，长是35厘米，宽是26厘米，高是50厘米，则至少需要（ ）平方厘米的铁皮。
10. 用3个长5厘米，宽4厘米，高2厘米的长方体拼成一个大长方体,若使拼成的大长方体的表面积最大，最大是（ ），若使拼成的大长方体表面积最小，最小是（ ），两种拼法的表面积相差（ ）。
二. 解答题
1. 小名的妈妈要买色拉油，价格如下；10升的每桶27元，4升的每桶11元，2升的每桶6元。问：小名的妈妈要买24升色拉油，怎么买合算？
2. 某同学暑假乘火车去上海旅游，路上需饮矿泉水2升，商店里该种矿泉水有3种包装：2升装每瓶3.4元，1升装每瓶1.8元，500毫升装每瓶1元，
⑴请问，他有几种购买方案？
⑵哪一种购买方案最省钱，说明理由。
3. 10盒火柴，有几种不同的包装方法？请画图说明。怎样包装最省包装纸？
【参考答案】
一. 1. 5400 2. 7 3. 1:9 4. 96 5. 30 20% 6. 20%
7. 90 8. 27 9. 14020 10. 212 188 24
二. 1. 因为大包装的商品单价比较低,所以应尽量多的购买大桶的油
所以买2桶10升和1桶4升应该较合算,
钱数：27×2+11=65(元)
答:买2桶10升和1桶4升应该较合算.
2. ⑴有4种方案：
买1瓶2升
买2瓶1升
买1瓶1升和2瓶500毫升
买4瓶500毫升
⑵买1瓶2升的最省钱
因为大瓶水的单价低,所以尽量多的买大瓶省钱
3. 10=1×10=2×5
有2大类,其中每类里面又有3种不同的包装方法.所以一共应该有6中包装方法
哪种包装方法最省包装纸可以参照例7，画出图形，经过计算，即可得出结论(图形和计算略)
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- 1 -初三第一轮复习
动点问题
动点题是近年来中考的的一个热点问题，解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解。一般方法是抓住变化中的“不变量”，以不变应万变，首先根据题意理清题目中两个变量X、Y的变化情况并找出相关常量，第二，按照图形中的几何性质及相互关系，找出一个基本关系式，把相关的量用一个自变量的表达式表达出来，然后再根据题目的要求，依据几何、代数知识解出。第三，确定自变量的取值范围，画出相应的图象。
一、例题:
如图，在平行四边形ABCD中，AD=4 cm，∠A=60°，BD⊥AD. 一动点P从A出发，以每秒1 cm的速度沿A→B→C的路线匀速运动，过点P作直线PM，使PM⊥AD .
(1) 当点P运动2秒时，设直线PM与AD相交于点E，求△APE的面积；
(2) 当点P运动2秒时，另一动点Q也从A出发沿A→B→C的路线运动，且在AB上以每秒1 cm的速度匀速运动，在BC上以每秒2 cm的速度匀速运动. 过Q作直线QN，使QN∥PM. 设点Q运动的时间为t秒(0≤t≤10)，直线PM与QN截平行四边形ABCD所得图形的面积为S cm2 .
① 求S关于t的函数关系式；② (附加题) 求S的最大值。
解题思路：
第（1）问比较简单，就是一个静态问题当点P运动2秒时，AP=2 cm，
由∠A=60°，知AE=1，PE=.
∴ SΔAPE=
第（2）问就是一个动态问题了，题目要求面积与运动时间的函数关系式，这就需要我们根据题目，综合分析，分类讨论.
P点从A→B→C一共用了12秒，走了12 cm，
Q 点从A→B用了8秒，B→C用了2秒，
所以t的取值范围是 0≤t≤10
不变量：P、Q 点走过的总路程都是12cm，P点的速度不变，所以AP始终为：t+2
若速度有变化，总路程 =变化前的路程+变化后的路程=变化前的速度×变化点所用时间+变化后的速度×（t－变化点所用时间）.
如当8≤t≤10时，点Q所走的路程AQ=1×8+2（t－8）=2t-8
① 当0≤t≤6时，点P与点Q都在AB上运动，
设PM与AD交于点G，QN与AD交于点F，
则AQ=t，AF=，QF=，AP=t+2，AG=1+，PG=.
∴ 此时两平行线截平行四边形ABCD是一个直角梯形，
其面积为（PG + QF）×AG÷2 S=.
当6≤t≤8时，点P在BC上运动，点Q仍在AB上运动.
设PM与DC交于点G，QN与AD交于点F，
则AQ=t，AF=，DF=4-（总量减部分量），
QF=，AP=t+2，BP=t-6（总量减部分量），
CP=AC- AP=12-（t+2）=10-t（总量减部分量），
PG=，而BD=，
故此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为
平行四边形的面积减去两个三角形面积S=.
当8≤t≤10时，点P和点Q都在BC上运动.
设PM与DC交于点G，QN与DC交于点F，
则AQ=2t-8，CQ= AC- AQ= 12-（2t-8）=20-2t，（难点）
QF=(20-2t)，CP=10-t，PG=.
∴ 此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为S=.
②(附加题)当0≤t≤6时，S的最大值为；
当6≤t≤8时，S的最大值为；
当8≤t≤10时，S的最大值为；
所以当t=8时，S有最大值为 .
二、练习：
1.如图，正方形ABCD的边长为5cm，Rt△EFG中，∠G＝90°，FG＝4cm，EG＝3cm，且点B、F、C、G在直线上，△EFG由F、C重合的位置开始，以1cm/秒的速度沿直线按箭头所表示的方向作匀速直线运动．
（1）当△EFG运动时，求点E分别运动到CD上和AB上的时间；
（2）设x（秒）后，△EFG与正方形ABCD重合部分的面积为y（cm），求y与x的函数关系式；
（3）在下面的直角坐标系中，画出0≤x≤2时（2）中函数的大致图象；如果以O为圆心的圆与该图象交于点P（x，），与x轴交于点A、B（A在B的左侧），求∠PAB的度数．
2.已知，如图，在直角梯形COAB中，CB∥OA，以O为原点建立平面直角坐标系，A、B、C的坐标分别为A（10，0）、B（4，8）、C（0，8），D为OA的中点，动点P自A点出发沿A→B→C→O的路线移动，速度为每秒1个单位，移动时间记为t秒，
（1）动点P在从A到B的移动过程中，设△APD的面积为S，试写出S与t的函数关系式，指出自变量的取值范围，并求出S的最大值
（2）动点P从出发，几秒钟后线段PD将梯形COAB的面积分成1：3两部分？求出此时P点的坐标
3.如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A、B的坐标分别为（3，0），（3，4）。动点M、N分别从O、B同时出发，以每秒1个单位的速度运动。其中，点M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动。过点N作NP⊥AC，交AC于P，连结MP。已知动点运动了x秒。
（1）P点的坐标为（ ， ）；（用含x的代数式表示）
（2）试求 ⊿MPA面积的最大值，并求此时x的值。
（3）请你探索：当x为何值时，⊿MPA是一个等腰三角形？你发现了几种情况？写出你的研究成果。
4.如图，在中，，，厘米，质点P从A点出发沿线路作匀速运动，质点Q从AC的中点D同时出发沿线路作匀速运动逐步靠近质点P，设两质点P、Q的速度分别为1厘米/秒、厘米/秒（），它们在秒后于BC边上的某一点E相遇。（1）求出AC与BC的长度；（2）试问两质点相遇时所在的E点会是BC的中点吗？为什么？（3）若以D、E、C为顶点的三角形与△ABC相似，试分别求出与的值；
5.在三角形ABC中, .现有动点P从点A出发,沿射线AB向点B方向运动;动点Q从点C出发,沿射线CB也向点B方向运动.如果点P的速度是/秒,点Q的速度是/秒,它们同时出发,求:(1)几秒钟后,ΔPBQ的面积是ΔABC的面积的一半 (2)在第(1)问的前提下,P,Q两点之间的距离是多少
6.如图,已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90o，∠C=60o，AD=3cm，BC=9cm．⊙O1的圆心O1从点A开始沿A—D—C折线以1cm/s的速度向点C运动，⊙O2的圆心O2从点B开始沿BA边以cm/s的速度向点A运动，如果⊙O1半径为2cm，⊙O2的半径为4cm，若O1、O2分别从点A、点B同时出发，运动的时间为ts
（1）请求出⊙O2与腰CD相切时t的值；
（2）在0s7.如图，已知直角坐标系内的梯形AOBC（O为原点），AC∥OB，OC⊥BC，AC，OB的长是关于x的方程x2－(k+2)x+5=0的两个根，且S△AOC：S△BOC=1：5。
（1）填空：0C=________，k=________；
（2）求经过O，C，B三点的抛物线的另一个交点为D，动点P，Q分别从O，D同时出发，都以每秒1个单位的速度运动，其中点P沿OB由O→B运动，点Q沿DC由D→C运动，过点Q作QM⊥CD交BC于点M，连结PM，设动点运动时间为t秒，请你探索：当t为何值时，△PMB是直角三角形。
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- 6 -初三第一轮复习
探索型与开放型问题的解题切入点
一. 常见的问题的类型：
1. 条件探索型——结论明确，而需探索发现使结论成立的条件的题目。
2. 结论探索型——给定条件，但无明确结论或结论不惟一。
3. 存在探索型——在一定条件下，需探索发现某种数学关系是否存在。
4. 规律探索型——发现数学对象所具有的规律性与不变性的题目。
二. 常用的解题切入点：
1. 利用特殊值（特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置）进行归纳、概括，从而得出规律。
2. 反演推理：根据假设进行推理，看推导出矛盾的结果还是能与已知条件一致。
3. 分类讨论：当命题的题设和结论不惟一确定时，则需对可能出现的情况做到既不重复，也不遗漏，分门别类地加以讨论求解，将不同结论综合归纳得出正确结论。
三．同步练习
（一）填空题（每空4分，共48分）
1. 请你写出：（1）一个比-1大的负数：____________；（2）一个二次三项式：____________。
2. 请你写出：（1）经过点（0，2）的一条直线的解析式是________________________；（2）经过点（0，2）的一条抛物线的解析式是________________________。
3. 如果菱形的面积不变，它的两条对角线的长分别是x和y，那么y是x的____________m函数。（填写函数名称）
4. 如图，△ADE和△ABC有公共顶点A，∠1＝∠2，请你添加一个条件：___________，使△ADE∽△ABC。
5. 有一列数：1，2，3，4，5，6，……，当按顺序从第2个数数到第6个数时，共数了_______个数；当按顺序从第m个数数到第n个数（）时，共数了_______个数。
6. 请你在“2，-3，4，-5，6”中任意挑选4个数，添加“＋，－，×，÷”和括号进行运算，使其计算结果为24，这个算式是_____________________。
7. 已知三个数，请你再添上一个数，写出一个比例式_________________。
8. 观察下列各式：；……请你将猜想到的规律用自然数表示出来：____________________________。
9. 下面是按照一定规律画出的一列“树型图”：
经观察可以发现：图（2）比图（1）多出2个“树枝”，图（3）比图（2）多出5个“树枝”，图（4）比图（3）多出10个“树枝”，照此规律，图（7）比图（6）多出_______个“树枝”。
（二）选择题（每小题4分，共20分）
10. 下面四个图形每个均由六个相同的小正方形组成，折叠后能围成正方体的是（ ）
11. 某种细胞每过30分钟便由1个分裂成2个，经过两小时，这种细胞由1个能分裂成（ ）
A. 8个 B. 16个 C. 4个 D. 32个
12. 1～54这54个自然数排列如下：
1 2 3 4 5 6
7 8 9 10 11 12
13 14 15 16 17 18
……
49 50 51 52 53 54
在这张数表中任意圈出一个竖列上相邻的3个数，和不可能是（ ）
A. 66 B. 39 C. 40 D. 57
13. 一张长方形的餐桌四周可坐6人（如图1），现有35人需围成一圈，开个茶话会，如果按如图2方式将桌子拼在一起，那么至少需要餐桌（ ）
A. 14张 B. 15张 C. 16张 D. 32张
14. 观察下列两组算式：
（1），
（2），……
根据你发现的规律写出的末位数字是（ ）
A. 2 B. 4 C. 8 D. 6
（三）解答题（第15－21题，每题10分，第22题12分，共82分）
15. 如图，AB＝AE，∠ABC＝∠AED，BC＝ED，点F是CD的中点。
（1）求证：AF⊥CD。
（2）在你连结BE后，还能得出什么新的结论？请写出三个（不要求证明）
16. 如图，有一块半圆形的木板，现要把它截成三角形板块。三角形的两个顶点分别为A、B，另一顶点在上，问怎样截取才能使截出的三角形的面积最大？（要求画出示意图并说明理由）
17. 已知：如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，A是的中点，过A点的切线与CB的延长线交于点E。
（1）求证：AB·DA＝CD·BE；
（2）若点E在CB的延长线上运动，点A在上运动，使切线EA变为割线EFA，问具备什么条件时，原结论成立？（要求画出示意图，注明条件，不要求证明）
18. 某单位搞绿化，要在一块圆形空地上种四种颜色的花。为了便于管理且美观，相同颜色的花集中种植，且每种颜色的花所占的面积相同。现征集设计方案，要求设计的图案成轴对称图形或中心对称图形。请在下面圆中画出两种设计方案。（只画示意图，不写作法）
19. 如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD。
（1）P是上一点（不与C、D重合），求证：∠CPD＝∠COB；
（2）当点P’在劣弧上（不与C，D重合）时，∠CP’D与∠COB有什么数量关系？请证明你的结论。
20. 已知钝角△ABC（如图）。你能否将△ABC分割成三个三角形，使其中之一是等腰三角形，另外的两个三角形相似？若能，请画出分割图并证明；若不能，请说明理由。
21. 如图，△ABC内部有若干个点，用这些点以及△ABC的顶点A，B，C把原三角形分割成一些三角形（互相不重叠）。
（1）填写下表：
△ABC内点的个数 1 2 3 4 …… n
分割成的三角形的个数 3 5 ……
（2）原△ABC能否被分割成2004个三角形？若能，求此时△ABC内部有多少个点？若不能，请说明理由。
22. 如图，直径为13的⊙O’经过原点O，并且与x轴，y轴分别交于A，B两点，线段OA，OB（OA＞OB）的长分别是方程的两根。
（1）求线段OA，OB的长；
（2）已知点C在劣弧上，连结BC交OA于D，当时，求C点的坐标；
（3）在（2）的条件下，问：⊙O’上是否存在点P，使？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。
试题答案
一. 填空题。 1. 2. 3. 反比例 4. ∠D＝∠B 5. 5，
6. 7. 8. 9. 80
二. 选择题。 10. C 11. B 12. C 13. C 14. D
三. 解答题。 15. 证：（1）连结AC、AD
（2）AF⊥BE，AF平分BE，BE∥CD
16. 解：作OC⊥AB交于点C，连结AC、BC
此时的面积最大
证明：在上任取一点C’（与C不重合），过C’作CH⊥AB于H
连AC’、BC’，设BH＝x，则（圆半径为R）
当时，的最大值为，C’H最大为R
∴必有
17. 证：（1）连结AC
AE切⊙O于A
A是的中点
ABCD内接于⊙O
（2）具备条件：（或BF＝DA，或∠BAF＝∠DCA，或FA∥BD等）
就能使原结论成立
18.
AB⊥CD于O点
AB⊥CD于O，分别以半径为直径画半圆。
19. 证：（1）
（2）互补
证：CP’DP是⊙O的内接四边形
已证：∠CPD＝∠COB
20. 解：能，作∠CAE＝∠B，∠BAD＝∠C
则△ABD∽△CAE
∴∠1＝∠2
∴△ADE为等腰三角形
21. （1）
△ABC内点的个数 1 2 3 4 …… n
分割成的三角形的个数 3 5 7 9 …… 2n+1
（2）若△ABC能被分割成2004个三角形
则
不是整数
∴故原三角形不能被分割成2004个三角形
22. 解：（1）连结AB
∵∠AOB为Rt∠
∴AB为直径
又OA、OB是方程的两根
又
解<2>、<3>式得：
（OA＞OB）
（2）连结O’C交OA于E
∴O’C⊥OA
∴C点坐标（6，-4）
（3）P不存在
若假设存在 则由C（6，-4），B（0，5）
得BC直线的解析式为
又∵⊙O’上到x轴距离的最大值为9 ∴点P不在⊙O’上
∴不存在点P
使.
- 1 -初三第一轮复习
中考图表信息问题的解题思路
一次函数的图象和性质是各地中考命题的一个热点，是中考中重点考查的知识，纵观近年来的中考试题，从能力层面上加强了对一次函数考查的力度，它往往结合实际知识，用一次函数的有关知识解决应用问题。通过对近几年中考试题的进一步研究,发现：在一次函数应用题中,把反映数量关系的图象作为已知条件,进行分析解答的试题不断增多,成为中考命题的又一新趋势。试题可以有填空、选择和解答题等各种形式。下面仅以各地中考题为例加以说明.
一、填空题
例1（辽宁大连）在空中,自地面算起,每升高1千米,气温下降若干度（℃）.某地空中气温t (℃)与高度h（千米）间的函数的图象如图1所示,观察图象可知：该地地面气温为______℃,当高度h______千米时,气温低于0℃.
分析:题中地面高度可视为0千米,观察图形可发现：当h=0（千米）时,t=24(℃),即地面气温为24℃.当气温t=0（℃）时,h=4（千米），即距离地面4千米处气温为0℃.由此结合图象可知：当h>4（千米）时,气温低于0℃.
二、选择题
例2 （重庆）如图是某蓄水池的横断面示意图，分为深水池和浅水池， 如果这个蓄水池以固定的流量注水，下面能大致表示水的最大深度h与时间t之间的关系的图像是( )
分析：该题有两个变化过程，因为单位时间内注水量一定，所以蓄水池内水量在单位时间内的变化是一定的。由于深水池部分体积较小，所以随着时间t的增加，高度h变化较快。注浅水池时，体积增大，所以随着时间t的增加，高度h变化较慢。故选C。
三、解答题
例3 （河北） 图10表示一骑自行车者和一骑摩托车者沿相同路线由甲地到乙地行驶过程的函数图像（分别为正比例函数和一次函数）．两地间的距离是80千米．请你根据图像回答或解决下面的问题：
图10
（1）谁出发的较早？早多长时间？谁到到达乙地较早？早到多少时间？
（2）两人在途中行驶的速度分别是多少？
（3）请你分别求出表示自行车和摩托车行驶过程的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
（4）指出在什么时间段内两车均行驶在途中（不包括端点）；在这一时间段内，请你分别按下列条件列出关于时间x的方程或不等式（不要化简，也不要求解）：①自行车行驶在摩托车前面；②自行车与摩托车相遇；③自行车行驶在摩托车后面．
分析：该题是图表问题的综合题。重点考察了学生通过识图，捕捉数学信息的能力。
解：（1）由图可以看出：自行车出发较早，早3个小时；
摩托车到达乙地较早，早3个小时．
（2）对自行车而言：行驶的距离是80千米，耗时8个小时，
所以其速度是：80÷8＝10（千米/时）；
对摩托车而言：行驶的距离是80千米，耗时2个小时，
所以其速度是：80÷2＝40（千米/时）；
（3）设表示自行车行驶过程的函数解析式为：y＝kx，
∵ x＝8时，y＝80，
∴ 80＝8k，解得k＝10，
∴ 表示自行车行驶的函数解析式为y＝10x；
设表示摩托车行驶过程的函数解析式为：y＝ax＋b，
∵ x＝3时，y＝0，而且x＝5时，y＝80；
∴ ，解得．
∴ 表示摩托车行驶过程的函数解析式为y＝40x－120．
（4）在3＜x＜5时间段内两车均行驶在途中，
自行车在摩托车前面：10x＞40x－120，
两车相遇：10x＝40x－120，
自行车在摩托车的后面：10x＜40x－120．
通过对以上各题的研究，我们得到了解图表问题的一般步骤:
（1）观察图象，捕捉有效信息；
（2）对已获信息进行加工，分清变量之间的关系；
（3）处理信息，作出合理的推断，并加以解决。
- 3 -中位线与面积
〖知识点〗
平行线等分线段、三角形、梯形的中位线、三角形、平行四边形、矩形、矩形、正方形、梯形的面积、等积变形、几何变换（平移、旋转、翻折）
〖考查要求〗
1． 掌握平行线等分线段定理，三角形、梯形中位线定理，三角形一边中点 且平行另一边的直线平分第三边，过梯形一腰的中点且平行底的直线平分另一腰的定理；
2． 使学生了解面积的概念，掌握三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形的面积公式，等底等高的三角形面积相等的性质，会用面积公式解决一些几何中的简单问题；
3． 使学生掌握几何证题中的平移、旋转、翻折三种变换。
〖考查重点与常见题型〗
1． 考查中位线、等分线段的性质，常见的以选择题或填空题形式，也作为基础知识应用，如：
一个等腰梯形的周长是100cm，已知它的中位线与腰长相等，则这个题型的中位线是
2． 考查几何图形面积的计算能力，多种题型出现，如：
三角形三条中位线的长分别为5厘米，12厘米，13厘米，则原三角形的面积是 厘米2
3． 考查形式几何变换能力，多以 中档解答题形式出现
〖预习练习〗
1．顺次连结对角线相等的四边形各边中点所得的四边形是（ ）
（A） 矩形 （B）等腰梯形 （C）菱形 （D）正方形
2．在四边形ABCD中，AC＝BD，厘米顺次连结四边形ABCD各边中点所得的四边形一定是（ ）
（A）平行四边形 （B）矩形 （C）正方形 （D）菱形
3．正方形的对角线的长为6cm，则正方形的面积是 cm2
4．菱形的两条对角线之比是2：3，面积是15厘米2，则两条对角线的长分别是 厘米和 厘米
5．一个三角形和一个梯形的面积相等，它们的高也相等，已知三角形德国底边为18厘米，厘米梯形的中位线的长等于 厘米
6．△ABC中，若D是BC边的中点，则S△ACD＝ ＝ ；若BD：DC＝3：2，则S△ABD：S△ACD＝
考点训练：
1．等腰三角形腰长为2，面积为1，则顶角大小是（ ）
(A) 90° (B) 30° (C) 60° (D) 45°
2．如图，G是△ABC的重心（三角形中线的交点），
若S△ABC＝6，则的面积是（ ）
(A) (B) 1 (C) 2 (D)
3．如图，AB∥DC,ED∥BC,AE∥BD,则图中和△ABD面积相等的三角形个数（不包括△ABD）为（ ）
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
4. 矩形两邻边的长是4cm，6cm，顺次连结它的四边中点所得的四边形面积是______cm2 .
5．若等边三角形的边长为a，则它的面积为____________.
6．菱形的边长为5cm，一条对角线长为8cm，则它的面积是__________.
7．等腰梯形的中位线长为m，且对角线互相垂直，则此梯形的面积为____.
8．四边形ABCD为平行四边形，P,Q分别是AD,AB上的任意点，则S△PBC与S△QCD有什么关系？它们与原平行四边形的面积之间有什么关系？
9．在△ABC中，AB＝10，BC＝5，AC＝5，求∠A的平分线的长。
10．如图,在△ABC中，AD为角平分线，CE⊥AD，F为BC中点，
求证：EF＝(AB – AC).
解题指导：
1．已知：如图，△ABC中，AD是BC上的中线，E是AD中点，BE的延长线交AC于F。求证：EF＝BE.
2．已知：如图，△ABC中，BD,CE分别平分∠B和∠C，P是DE中点，过点P作BC,CA,AB的垂线，垂足分别为L,M,N，求证：PL＝PM+PN.
3．证明以梯形一腰的中点及另一腰的两个端点为顶点的三角形面积等于原梯形面积的一半。
4. 如图，在△ABC中，D是BC中点，N是AD中点，M是BN中点，P是MC的中点。求证：S△MNP＝S△ABC.
独立训练：
1． 如图，△ABC中，DE∥BC,且S△ADE∶S△ABC＝1∶2，
则AD∶DB等于（ ）。
(A) (B) EQ \F(1,) (C) – 1 (D) + 1
2．已知三角形的一边长为2，这边上的中线长为1，另外两边和为1＋，
则此三角形面积为（ ）。
(A) (B) EQ \F(,2) (C) EQ \F(,2) (D)
3．矩形ABCD中，AD＝5，AB＝12，O为对角线AC,BD的交点，E为BC延长线上一点，且CE＝AC，则S△OCE＝____________.
4. 已知∠POQ内有一点A，求作△ABC，使△ABC的周长最小，且顶点B,C分别在OP,OQ上。
5.如图，AB＝DE，直线AE,BD相交于点O，∠B与∠D相等，
求证：AO＝EO.
6．如图，ABCD为正方形，E为CD的中点，过E作EF，使∠AEF＝∠BAE，EF交BC于，求证：CF＝2BF.
7．如图，在平行四边形ABCD中,E是BC的中点，DE,AB的延长线交于点F，求证：S△ABE＝S△EFC.