12 机械能守恒定律-2023年高考物理考前冲刺高频考点知识点突破练习（含解析）

12机械能守恒定律-2023年高考物理考前冲刺高频考点知识点突破练习
一．选择题（共9小题）
1．（2022 密云区一模）2021年2月24日，“天问一号”火星探测器经过200多天的飞行，成功进入椭圆形的轨道绕火星运动，开展对火星的观测，并为着陆火星做好准备。如图所示，在“天问一号”沿椭圆轨道由“远火点”向“近火点”运动的过程中，下列说法正确的是（　　）
A．探测器受到火星的引力增大
B．探测器的速度逐渐减小
C．引力对探测器做负功，探测器的势能逐渐减小
D．引力对探测器做正功，探测器的机械能逐渐增大
2．（2022 西城区一模）2022年2月5日，中国短道速滑运动员在混合团体接力决赛中为中国队拿下北京冬奥会首金，这也是这一新增项目的奥运历史首金。短道速滑接力比赛中运动员在直道上采用推接方式进行替换（如图）。若忽略推接过程中冰面对运动员的摩擦力，则在甲运动员用力将乙运动员推出的过程中，以下说法一定正确的是（　　）
A．甲对乙的作用力大于乙对甲的作用力
B．甲的速度变化量的大小等于乙的速度变化量的大小
C．甲、乙运动员组成的系统机械能守恒
D．甲、乙运动员组成的系统动量守恒
3．（2022 房山区一模）由于空气阻力的影响，炮弹的实际飞行轨迹不是抛物线，而是“弹道曲线”，如图中实线所示。图中虚线为不考虑空气阻力情况下炮弹的理想运动轨迹，O、a、b、c、d为弹道曲线上的五点，其中点O为发射点，d点为落地点，b点为轨迹的最高点，a、c为运动过程中经过的距地面高度相等的两点，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　）
A．炮弹到达最高点b的机械能大于它在a点的机械能
B．炮弹到达最高点b时的加速度为g
C．炮弹经过a点时的速度大于经过c点时的速度
D．炮弹由O点运动到b点的时间与由b点运动到d点的时间相等
4．（2022 平谷区一模）质量均为m的两个物体，分别在地球表面和月球表面以相同的初速度v0竖直上抛，不计空气阻力，已知月球表面的重力加速度约为地球表面的重力加速度的，下列说法正确的是（　　）
A．物体在地球表面比在月球表面的惯性大
B．从抛出到运动至最高点的过程中，重力的平均功率相等
C．从最高点落回至抛出点，物体重力势能的变化量相等
D．落回抛出点时，重力的瞬时功率相等
5．（2022 平谷区一模）如图所示，质量为M的小车静止在光滑的水平桌面上，小车的上表面是半径为R的光滑半圆形轨道。小车两侧距离桌面边缘的水平距离均为R。质量为m的小球从小车上圆形轨道右侧的最高点由静止释放，已知M＞m。下列说法正确的是（　　）
A．小球由静止释放后，小球的机械能守恒
B．小球由静止释放后，小球和小车组成的系统的动量守恒
C．小球到达圆弧轨道左侧最高处时，小车的速度为零
D．小车的左边外侧始终不会伸出桌面左边缘，小车的右边外侧会伸出桌面右边缘
6．（2023 西城区一模）跳台滑雪主要分为4个阶段，助滑阶段、起跳阶段、飞行阶段和落地阶段．在飞行阶段，运动员会采取一种身体向前倾，同时滑雪板向前分开呈“V”字型的经典姿势，如图所示．这种姿势能够加大运动员与下方空气接触的面积，并且还可以让身体和雪板与水平方向呈最为理想的夹角，就像飞机起飞一样，从而获得较大的空气托举力．关于运动员在飞行阶段采用“V”字型姿势，下列说法正确的是（　　）
A．可以增加水平方向的飞行速度
B．可以增加竖直方向的加速度
C．可以增加运动员的机械能
D．可以获得更长的飞行时间
7．（2023 朝阳区一模）如图所示，竖直轻弹簧下端固定在水平面上，一小球从弹簧正上方某一高度处由静止开始自由下落，接触弹簧后把弹簧压缩到一定程度（在弹性限度内）。不计空气阻力。则（　　）
A．从接触弹簧到运动至最低点的过程中，小球的加速度不断增大
B．从接触弹簧到运动至最低点的过程中，小球的速度先增大后减小
C．从接触弹簧到运动至最低点的过程中，小球的机械能守恒
D．小球在最低点时所受的弹力大小等于其所受的重力大小
8．（2023 平谷区一模）如图，细绳一端固定于悬挂点P，另一端系一小球。在悬挂点正下方Q点处钉一个钉子。小球从A点由静止释放，摆到最低点O的时间为t1，从O点向右摆到最高点B（图中未画出）的时间为t2。摆动过程中，如果摆角始终小于5°，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　）
A．t1＝t2，摆球经过O点前后瞬间，小球的速率不变
B．t1＞t2，摆球经过O点前后瞬间，小球的速率变大
C．t1＝t2，摆球经过O点前后瞬间，摆线上的拉力大小不变
D．t1＞t2，摆球经过O点前后瞬间，摆线上的拉力变大
9．（2023 平谷区一模）如图所示，质量分别为m1和m2（m2＞3m1）的两个小球叠放在一起，从高度为h处由静止释放，它们一起下落。已知h远大于两球半径，碰撞前后小球都沿竖直方向运动，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　）
A．在下落过程中，两个小球之间存在相互作用的弹力
B．释放后至弹起的过程中，两小球的动量守恒
C．若所有的碰撞都没有机械能损失，且碰撞后m2弹起的最大高度h2＜0.5h，则碰撞后m1弹起的最大高度h1一定大于2.5h
D．若两球接触处涂有粘胶，从地面弹起后两球粘在一起向上运动，则两球弹起的最大高度为h
二．计算题（共4小题）
10．（2022 丰台区一模）如图所示，半径为R的光滑半圆轨道固定在竖直平面内，半圆与光滑水平地面相切于最低点A。质量为m的小球以初速度v0从A点冲上竖直圆环，沿轨道运动到B点飞出，最后落在水平地面上的C点，重力加速度为g，不计空气阻力。
（1）求小球运动到轨道末端B点时的速度大小v；
（2）求A、C两点间的距离x；
（3）若半圆形轨道不光滑，小球仍以初速度v0从A点冲上半圆轨道后，恰好能沿轨道运动到B点飞出，落在水平地面上D点。请你在图中标出D点的大致位置；并求出小球落在C点时动能与落在D点时动能的差值ΔEk。
11．（2023 海淀区一模）图1中过山车可抽象为图2所示模型：弧形轨道下端与半径为R的竖直圆轨道平滑相接，B点和C点分别为圆轨道的最低点和最高点。质量为m的小球（可视为质点）从弧形轨道上距B点高4R的A点静止释放，先后经过B点和C点，而后沿圆轨道滑下。忽略一切摩擦，已知重力加速度g。
（1）求小球通过B点时的速度大小vB。
（2）求小球通过C点时，轨道对小球作用力的大小F和方向。
（3）请分析比较小球通过B点和C点时加速度的大小关系。
12．（2023 东城区一模）如图所示，轻弹簧的一端固定，另一端与水平地面上的物块1接触（但未连接）。在外力作用下物块1静止，此时弹簧的压缩量为10cm，之后撤去外力，物块1开始向左运动，离开弹簧后与静止在水平地面上的物块2发生碰撞，碰撞时间极短，碰后二者粘在一起。
已知两物块质量均为m＝1kg，弹簧的劲度系数k＝400N/m，当弹簧形变量为x时弹簧具有的弹性势能为kx2，弹簧始终在弹性限度内。不计空气阻力及切摩擦。求：
（1）刚撤去外力时，弹簧弹力的大小；
（2）两物块碰撞前，物块1的速度大小。
（3）两物块碰撞过程中损失的总机械能。
13．（2023 石景山区一模）如图所示，长为l的轻绳上端固定在O点，下端系一质量为m的小球（可视为质点）。重力加速度为g。
（1）在水平拉力的作用下，轻绳与竖直方向的夹角为θ，小球保持静止。请画出此时小球的受力示意图，并求所受水平拉力的大小F；
（2）由图示位置无初速释放小球，不计空气阴力。当小球通过最低点时，求：
①小球动量的大小p；
②轻绳对小球拉力的大小FT。
三．解答题（共3小题）
14．（2023 海淀区一模）反冲是常见的现象。
（1）静止的铀核（U）放出1个动能为E的未知粒子后，衰变为1个钍核（Th）。
a．请写出上述衰变过程的核反应方程；
b．求反冲的钍核的动能Ek。（计算中可忽略质子和中子质量的差异，不考虑相对论效应）
（2）如图1所示，用轻绳连接的滑块A和B（均可视为质点）静止在光滑水平面上，其间有一被轻绳束缚而处于压缩状态的轻质弹簧，已知滑块A的质量为m，弹簧的弹性势能为Ep。请证明：滑块B的质量M越大，剪断轻绳，当弹簧恢复原长时，滑块A获得的动能就越大。
（3）如图2所示，以地心为参考系，质量为M的卫星只在地球引力的作用下沿与赤道面共面的椭圆轨道运动。卫星的发动机短暂点火可使卫星变更轨道：将质量为Δm的气体在极短时间内一次性向后喷出。假设无论发动机在什么位置短暂点火，点火后喷出气体相对点火后卫星的速度大小u都相同。如果想使点火后卫星的动能尽可能大，请通过分析，指出最佳的点火位置。
15．（2023 延庆区一模）如图所示，小球A质量为m，系在细线的一端，线的另一端固定在O点，绳AO长为L，O点到光滑水平面的距离为L。物块B和C的质量分别是3m和2m，B与C用轻弹簧拴接，置于光滑的水平面上，且B物块位于O点正下方。现拉动小球使细线水平伸直，小球由静止释放，运动到最低点时与物块B发生正碰（碰撞时间极短），反弹后上升到最高点时到水平面的高度为L。小球与物块均视为质点，不计空气阻力，重力加速度为g，求：
（1）小球A运动到最低点与B碰撞前细绳拉力F的大小；
（2）碰撞过程B物块受到的冲量大小I；
（3）物块C的最大速度的大小vM，并在坐标系中定量画出B、C两物块的速度随时间变化的关系图像。（画出一个周期的图像）
16．（2023 丰台区一模）能量守恒定律是普遍、和谐、可靠的自然规律之一。根据能量守恒定律，物理学发现和解释了很多科学现象。
（1）经典力学中的势阱是指物体在场中运动，势能函数曲线在空间某一有限范围内势能最小，当物体处于势能最小值时，就好像处在井里，很难跑出来。如图所示，设井深为H，若质量为m的物体要从井底至井口，已知重力加速度为g，求外力做功的最小值W。
（2）金属内部的电子处于比其在外部时更低的能级，电势能变化也存在势阱，势阱内的电子处于不同能级，最高能级的电子离开金属所需外力做功最小，该最小值称为金属的逸出功。如图所示，温度相同的A、B两种不同金属逸出功存在差异，处于最高能级的电子电势能不同，A、B金属接触后电子转移，导致界面处积累正负电荷，稳定后形成接触电势差。已知A金属逸出功为WA，B金属逸出功为WB，且WA＜WB，电子电荷量为﹣e。
a.请判断界面处A、B金属电性正负；
b.求接触电势差UAB。
（3）同种金属两端由于温度差异也会产生电势差，可认为金属内部电子在高温处动能大，等效成电子受到非静电力作用往低温处扩散。如图有一椭球形金属，M端温度为T1，N端温度为T2（T1＞T2），沿虚线方向到M端距离为L的金属内部单个电子所受非静电力大小F满足：，非静电力F沿虚线方向，比例系数μ为常数，与垂直于温度变化方向的金属横截面积大小有关，电子电荷量为﹣e，求金属两端的电势差UMN。
12机械能守恒定律-2023年高考物理考前冲刺高频考点知识点突破练习
参考答案与试题解析
一．选择题（共9小题）
1．（2022 密云区一模）2021年2月24日，“天问一号”火星探测器经过200多天的飞行，成功进入椭圆形的轨道绕火星运动，开展对火星的观测，并为着陆火星做好准备。如图所示，在“天问一号”沿椭圆轨道由“远火点”向“近火点”运动的过程中，下列说法正确的是（　　）
A．探测器受到火星的引力增大
B．探测器的速度逐渐减小
C．引力对探测器做负功，探测器的势能逐渐减小
D．引力对探测器做正功，探测器的机械能逐渐增大
【答案】A
【解答】解：A、“天问一号”沿椭圆轨道由“远火点”向“近火点”运动的过程中，r减小，根据万有引力表达式F＝可知，万有引力增大，故A正确；
BCD、由“远火点”向“近火点”运动的过程中，引力对探测器做正功，势能减小，根据动能定理可知，探测器的动能增加，速度增加，机械能守恒，故BCD错误。
故选：A。
2．（2022 西城区一模）2022年2月5日，中国短道速滑运动员在混合团体接力决赛中为中国队拿下北京冬奥会首金，这也是这一新增项目的奥运历史首金。短道速滑接力比赛中运动员在直道上采用推接方式进行替换（如图）。若忽略推接过程中冰面对运动员的摩擦力，则在甲运动员用力将乙运动员推出的过程中，以下说法一定正确的是（　　）
A．甲对乙的作用力大于乙对甲的作用力
B．甲的速度变化量的大小等于乙的速度变化量的大小
C．甲、乙运动员组成的系统机械能守恒
D．甲、乙运动员组成的系统动量守恒
【答案】D
【解答】解：A、甲对乙的作用力与乙对甲的作用力是一对相互作用力，大小相等，故A错误；
BD、甲、乙运动员祖成的系统所受合外力为零，系统动量守恒，由Δv＝＝，可知，甲乙的质量未知，二者速度变化量的大小无法比较，故B错误，D正确；
C、在乙推甲的过程中，乙的肌肉对系统做功，甲、乙运动员组成的系统机械能不守恒，故C错误；
故选：D。
3．（2022 房山区一模）由于空气阻力的影响，炮弹的实际飞行轨迹不是抛物线，而是“弹道曲线”，如图中实线所示。图中虚线为不考虑空气阻力情况下炮弹的理想运动轨迹，O、a、b、c、d为弹道曲线上的五点，其中点O为发射点，d点为落地点，b点为轨迹的最高点，a、c为运动过程中经过的距地面高度相等的两点，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　）
A．炮弹到达最高点b的机械能大于它在a点的机械能
B．炮弹到达最高点b时的加速度为g
C．炮弹经过a点时的速度大于经过c点时的速度
D．炮弹由O点运动到b点的时间与由b点运动到d点的时间相等
【答案】C
【解答】解：A、从a到b的过程中，由于空气阻力做负功，机械能减少，所以炮弹到达最高点b的机械能小于它在a点的机械能，故A错误；
B、由于在最高点b，除了受重力外还受到向后的空气阻力，根据牛顿第二定律可知加速度大于g，故B错误；
C、取地面为零势能面，从a到c的过程中，由空气阻力做负功，机械能减少，而炮弹在两点的重力势能相等，因此经过a点时的动能大于经过c点时的动能，故C正确；
D、炮弹从O到b过程中，竖直方向的阻力向下，竖直方向的加速度大小大于g，从b到d过程中，竖直方向的阻力向上，竖直方向的加速度小于g，根据H＝可知，从O到b的时间小于从b到d的时间，故D错误。
故选：C。
4．（2022 平谷区一模）质量均为m的两个物体，分别在地球表面和月球表面以相同的初速度v0竖直上抛，不计空气阻力，已知月球表面的重力加速度约为地球表面的重力加速度的，下列说法正确的是（　　）
A．物体在地球表面比在月球表面的惯性大
B．从抛出到运动至最高点的过程中，重力的平均功率相等
C．从最高点落回至抛出点，物体重力势能的变化量相等
D．落回抛出点时，重力的瞬时功率相等
【答案】C
【解答】解：A.两物体的质量相同，则惯性相同，即物体在地球表面与在月球表面的惯性同样大，故A错误；
B.根据可得，从抛出到运动至最高点的过程中，重力的平均功率，因地球和月球表面的重力加速度不同，则重力的平均功率不相等，故B错误；
C.从最高点落回至抛出点，物体重力势能的变化量，则物体重力势能的变化量相等，故C正确；
D.落回抛出点时，速度大小仍为v0，则重力的瞬时功率PG＝mgv0，因地球和月球表面的重力加速度不同，则重力的瞬时功率不相等，故D错误。
故选：C。
5．（2022 平谷区一模）如图所示，质量为M的小车静止在光滑的水平桌面上，小车的上表面是半径为R的光滑半圆形轨道。小车两侧距离桌面边缘的水平距离均为R。质量为m的小球从小车上圆形轨道右侧的最高点由静止释放，已知M＞m。下列说法正确的是（　　）
A．小球由静止释放后，小球的机械能守恒
B．小球由静止释放后，小球和小车组成的系统的动量守恒
C．小球到达圆弧轨道左侧最高处时，小车的速度为零
D．小车的左边外侧始终不会伸出桌面左边缘，小车的右边外侧会伸出桌面右边缘
【答案】C
【解答】解：A、小球由静止释放后，除重力做功外，小车对小球也做功，所以小球的机械能不守恒，故A错误；
B、小球由静止释放后，小球和小车组成的系统水平方向合力为零，所以水平方向的动量守恒，竖直方向的动量不守恒，所以小球和小车组成的系统的动量不守恒，故B错误；
C、由动量守恒定律可知，系统水平方向动量守恒，初状态水平方向动量为零，当小球到达圆弧轨道左侧最高处时，相对小车静止，系统的末动量也为零，所以小车的速度为零，故C正确；
D、由水平方向的动量守恒可得小球从小车上圆形轨道右侧的最高点由静止释放，运动到最低点时，有：Mv1＝mv2
则有Mx1＝mx2
可得
且x1+x2＝R
则可得
则小球运动到左侧做高点时，小车向右移动的距离为
所以小车的右边外侧不会伸出桌面右边缘，由动量守恒定律可得，小球从圆形轨道左侧的最高点由静止释放，运动到右侧做高点时，小车回到原来的位置，所以小车的左边外侧始终不会伸出桌面左边缘，故D错误。
故选：C。
6．（2023 西城区一模）跳台滑雪主要分为4个阶段，助滑阶段、起跳阶段、飞行阶段和落地阶段．在飞行阶段，运动员会采取一种身体向前倾，同时滑雪板向前分开呈“V”字型的经典姿势，如图所示．这种姿势能够加大运动员与下方空气接触的面积，并且还可以让身体和雪板与水平方向呈最为理想的夹角，就像飞机起飞一样，从而获得较大的空气托举力．关于运动员在飞行阶段采用“V”字型姿势，下列说法正确的是（　　）
A．可以增加水平方向的飞行速度
B．可以增加竖直方向的加速度
C．可以增加运动员的机械能
D．可以获得更长的飞行时间
【答案】D
【解答】解：ABD、运动员在飞行阶段采用“V”字型姿势，是为了增加身体与下方空气的接触面积，从而增加空气对身体的托举力，根据牛顿第二定律可知，运动员在竖直方向做加速运动的加速度将减小，从而延长了在空中飞行的时间，故AB错误，D正确；
C、空气托举力对运动员做负功，则运动员的机械能减少，故C错误。
故选：D。
7．（2023 朝阳区一模）如图所示，竖直轻弹簧下端固定在水平面上，一小球从弹簧正上方某一高度处由静止开始自由下落，接触弹簧后把弹簧压缩到一定程度（在弹性限度内）。不计空气阻力。则（　　）
A．从接触弹簧到运动至最低点的过程中，小球的加速度不断增大
B．从接触弹簧到运动至最低点的过程中，小球的速度先增大后减小
C．从接触弹簧到运动至最低点的过程中，小球的机械能守恒
D．小球在最低点时所受的弹力大小等于其所受的重力大小
【答案】B
【解答】解：AB、小球从接触弹簧到运动至最低点的过程中，受重力和弹簧弹力作用，弹力从零逐渐增大，开始阶段弹力小于重力，小球合力向下，做加速运动，后阶段弹力大于重力，合力向上，小球做减速运动，故小球加速度先减小后增大、速度先增大后减小，故A错误，B正确；
C、小球从接触弹簧到运动至最低点的过程中，弹簧弹力对小球做负功，小球机械能不守恒，故C错误；
D、小球在最低点时，其加速度竖直向上，其所受的弹力大小大于其所受的重力大小，故D错误。
故选：B。
8．（2023 平谷区一模）如图，细绳一端固定于悬挂点P，另一端系一小球。在悬挂点正下方Q点处钉一个钉子。小球从A点由静止释放，摆到最低点O的时间为t1，从O点向右摆到最高点B（图中未画出）的时间为t2。摆动过程中，如果摆角始终小于5°，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　）
A．t1＝t2，摆球经过O点前后瞬间，小球的速率不变
B．t1＞t2，摆球经过O点前后瞬间，小球的速率变大
C．t1＝t2，摆球经过O点前后瞬间，摆线上的拉力大小不变
D．t1＞t2，摆球经过O点前后瞬间，摆线上的拉力变大
【答案】D
【解答】解：因摆角始终小于5°，则小球在钉子两边摆动时均可看作简谐运动因为在左侧摆动时摆长较长，根据
可知，左侧周期较大，因摆球在钉子两边摆动的时间均为所在摆周期的，可知
细绳碰钉子的瞬间，小球的速率不变；摆球经过O点时，有
摆球经过O点碰钉子后，做圆周运动的半径r减小，则绳子拉力变大。
故ABC错误；D正确；
故选：D。
9．（2023 平谷区一模）如图所示，质量分别为m1和m2（m2＞3m1）的两个小球叠放在一起，从高度为h处由静止释放，它们一起下落。已知h远大于两球半径，碰撞前后小球都沿竖直方向运动，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　）
A．在下落过程中，两个小球之间存在相互作用的弹力
B．释放后至弹起的过程中，两小球的动量守恒
C．若所有的碰撞都没有机械能损失，且碰撞后m2弹起的最大高度h2＜0.5h，则碰撞后m1弹起的最大高度h1一定大于2.5h
D．若两球接触处涂有粘胶，从地面弹起后两球粘在一起向上运动，则两球弹起的最大高度为h
【答案】C
【解答】解：A．在下落过程中，两个小球都做自由落体运动，故两个小球之间无相互作用力，故A错误；
B．释放后至弹起的过程中，两小球所受合力不为0，故动量不守恒，故B错误；
C．整个过程中两小球根据机械能守恒定律（m1+m2）gh＝m1gh1+m2gh2
由题知m2＞3m1
h2＜0.5h
解得h1＞2.5h
故C正确；
D．若两球接触处涂有粘胶，从地面弹起后两球粘在一起向上运动，属于完全非弹性碰撞，有一部分机械能转化为内能，根据机械能守恒定律可知两球弹起的最大高度为应小于h，故D错误。
故选：C。
二．计算题（共4小题）
10．（2022 丰台区一模）如图所示，半径为R的光滑半圆轨道固定在竖直平面内，半圆与光滑水平地面相切于最低点A。质量为m的小球以初速度v0从A点冲上竖直圆环，沿轨道运动到B点飞出，最后落在水平地面上的C点，重力加速度为g，不计空气阻力。
（1）求小球运动到轨道末端B点时的速度大小v；
（2）求A、C两点间的距离x；
（3）若半圆形轨道不光滑，小球仍以初速度v0从A点冲上半圆轨道后，恰好能沿轨道运动到B点飞出，落在水平地面上D点。请你在图中标出D点的大致位置；并求出小球落在C点时动能与落在D点时动能的差值ΔEk。
【答案】（1）小球运动到轨道末端B点时的速度大小为；
（2）A、C两点间的距离为；
（3）图中标出D点的大致位置见解析；小球落在C点时动能与落在D点时动能的差值为。
【解答】解：（1）选AC所在平面为零势能面，从A到B由机械能守恒定律得：
解得：；
（2）由平抛运动的规律得：，x＝vt
联立解得：；
（3）若轨道不光滑，小球恰好能沿轨道运动到B点飞出，在B点，重力提供向心，根据牛顿第二定律得：
从B点飞出后，根据平抛运动规律：，xAD＝vBt
解得：xAD＝2R
在图上位置如图所示：
在C点时，根据动能定理得：
落在D点时，根据动能定理得：
解得：
则。
答：（1）小球运动到轨道末端B点时的速度大小为；
（2）A、C两点间的距离为；
（3）图中标出D点的大致位置见解析；小球落在C点时动能与落在D点时动能的差值为。
11．（2023 海淀区一模）图1中过山车可抽象为图2所示模型：弧形轨道下端与半径为R的竖直圆轨道平滑相接，B点和C点分别为圆轨道的最低点和最高点。质量为m的小球（可视为质点）从弧形轨道上距B点高4R的A点静止释放，先后经过B点和C点，而后沿圆轨道滑下。忽略一切摩擦，已知重力加速度g。
（1）求小球通过B点时的速度大小vB。
（2）求小球通过C点时，轨道对小球作用力的大小F和方向。
（3）请分析比较小球通过B点和C点时加速度的大小关系。
【答案】（1）小球通过B点时的速度大小为。
（2）小球通过C点时，轨道对小球作用力的大小为3mg，方向竖直向下。
（3）小球通过B点和C点时加速度的大小关系为aB＞aC。
【解答】解：（1）小球从A到B由机械能守恒定律可得：
4mgR＝
解得：
（2）小球从A到C由机械能守恒定律可得：
解得小球通过C点时的速度大小
在C点由牛顿第二定律可得：
解得小球通过C点时，轨道对小球作用力的大小F＝3mg
方向竖直向下。
（3）小球在B点的加速度大小为
小球在C点的加速度大小为
所以aB＞aC
答：（1）小球通过B点时的速度大小为。
（2）小球通过C点时，轨道对小球作用力的大小为3mg，方向竖直向下。
（3）小球通过B点和C点时加速度的大小关系为aB＞aC。
12．（2023 东城区一模）如图所示，轻弹簧的一端固定，另一端与水平地面上的物块1接触（但未连接）。在外力作用下物块1静止，此时弹簧的压缩量为10cm，之后撤去外力，物块1开始向左运动，离开弹簧后与静止在水平地面上的物块2发生碰撞，碰撞时间极短，碰后二者粘在一起。
已知两物块质量均为m＝1kg，弹簧的劲度系数k＝400N/m，当弹簧形变量为x时弹簧具有的弹性势能为kx2，弹簧始终在弹性限度内。不计空气阻力及切摩擦。求：
（1）刚撤去外力时，弹簧弹力的大小；
（2）两物块碰撞前，物块1的速度大小。
（3）两物块碰撞过程中损失的总机械能。
【答案】（1）刚撤去外力时，弹簧弹力的大小为40N；
（2）两物块碰撞前，物块1的速度大小为2m/s；
（3）两物块碰撞过程中损失的总机械能为1J。
【解答】解：弹簧的压缩量为x＝10cm＝0.1m
（1）根据胡克定律可得弹簧弹力：F＝kx＝400×0.1N＝40N
（2）根据功能关系可得：＝
代入数据解得：v0＝2m/s
（3）两物块碰撞过程中水平方向动量守恒，取向左为正方向，根据动量守恒定律可得：mv0＝2mv
代入数据解得：v＝1m/s
此过程中损失的总机械能：ΔE＝﹣2mv2
代入数据解得：ΔE＝1J
答：（1）刚撤去外力时，弹簧弹力的大小为40N；
（2）两物块碰撞前，物块1的速度大小为2m/s；
（3）两物块碰撞过程中损失的总机械能为1J。
13．（2023 石景山区一模）如图所示，长为l的轻绳上端固定在O点，下端系一质量为m的小球（可视为质点）。重力加速度为g。
（1）在水平拉力的作用下，轻绳与竖直方向的夹角为θ，小球保持静止。请画出此时小球的受力示意图，并求所受水平拉力的大小F；
（2）由图示位置无初速释放小球，不计空气阴力。当小球通过最低点时，求：
①小球动量的大小p；
②轻绳对小球拉力的大小FT。
【答案】（1）小球的受力示意图见解析，所受水平拉力的大小为mgtanθ；
（2）①小球动量的大小为；
②轻绳对小球拉力的大小为mg（3﹣2cosθ）。
【解答】解：（1）对小球受力分析如图
可得F＝mgtanθ
（2）①小球从释放到通过最低点，机械能守恒
小球在最低点的速度大小
小球在最低点的动量大小
②小球在最低点受到重力和绳子拉力作用，根据牛顿第二定律
小球在最低点，受到绳子的拉力大小FT＝mg（3﹣2cosθ）
答：（1）小球的受力示意图见解析，所受水平拉力的大小为mgtanθ；
（2）①小球动量的大小为；
②轻绳对小球拉力的大小为mg（3﹣2cosθ）。
三．解答题（共3小题）
14．（2023 海淀区一模）反冲是常见的现象。
（1）静止的铀核（U）放出1个动能为E的未知粒子后，衰变为1个钍核（Th）。
a．请写出上述衰变过程的核反应方程；
b．求反冲的钍核的动能Ek。（计算中可忽略质子和中子质量的差异，不考虑相对论效应）
（2）如图1所示，用轻绳连接的滑块A和B（均可视为质点）静止在光滑水平面上，其间有一被轻绳束缚而处于压缩状态的轻质弹簧，已知滑块A的质量为m，弹簧的弹性势能为Ep。请证明：滑块B的质量M越大，剪断轻绳，当弹簧恢复原长时，滑块A获得的动能就越大。
（3）如图2所示，以地心为参考系，质量为M的卫星只在地球引力的作用下沿与赤道面共面的椭圆轨道运动。卫星的发动机短暂点火可使卫星变更轨道：将质量为Δm的气体在极短时间内一次性向后喷出。假设无论发动机在什么位置短暂点火，点火后喷出气体相对点火后卫星的速度大小u都相同。如果想使点火后卫星的动能尽可能大，请通过分析，指出最佳的点火位置。
【答案】（1）a、衰变过程的核反应方程为；
b、反冲的钍核的动能为；
（2）见解析；
（3）最佳的点火位置是速率最大的近地点处点火喷气。
【解答】解：（1）a．根据质量数和质子数守恒，则铀核衰变方程为：
b．设质子和中子的质量均为m，衰变后氦核的速度为v1，钍核的速度为v2，选氦核的运动方向为正方向，根据动量守恒定律得：
4mv1﹣234mv2＝0
解得：
又
则反冲的钍核的动能为：
（2）滑块A和B系统动量守恒，设弹簧恢复原长时，滑块A和B的速度分别为vA和vB，选取滑块A运动方向为正方向，则根据动量守恒定律可得mvA﹣MvB＝0
又由能量守恒定律可知，弹簧弹性势能为：
则滑块A获得的动能为：
m和Ep均为定值，因此滑块B的质量M越大，剪断轻绳，当弹簧恢复原长时，滑块A获得的动能就越大。
（3）卫星喷气的过程中，可认为卫星和喷出的气体所组成的系统动量守恒，设喷气前卫星沿椭圆轨道运动的速度为v0，喷出后卫星的速度为v，以喷气前卫星运动方向为正方向，根据动量守恒定律，有
Mv0＝（M﹣Δm）v+Δm（v﹣u）
解得
由上式可知，卫星在椭圆轨道上运动速度v0大的地方喷气，喷气后卫星的动能为：
也就越大，因此卫星应该在其速率最大的近地点处点火喷气。
答：（1）a、衰变过程的核反应方程为；
b、反冲的钍核的动能为；
（2）见解析；
（3）最佳的点火位置是速率最大的近地点处点火喷气。
15．（2023 延庆区一模）如图所示，小球A质量为m，系在细线的一端，线的另一端固定在O点，绳AO长为L，O点到光滑水平面的距离为L。物块B和C的质量分别是3m和2m，B与C用轻弹簧拴接，置于光滑的水平面上，且B物块位于O点正下方。现拉动小球使细线水平伸直，小球由静止释放，运动到最低点时与物块B发生正碰（碰撞时间极短），反弹后上升到最高点时到水平面的高度为L。小球与物块均视为质点，不计空气阻力，重力加速度为g，求：
（1）小球A运动到最低点与B碰撞前细绳拉力F的大小；
（2）碰撞过程B物块受到的冲量大小I；
（3）物块C的最大速度的大小vM，并在坐标系中定量画出B、C两物块的速度随时间变化的关系图像。（画出一个周期的图像）
【答案】（1）小球A运动到最低点与B碰撞前细绳拉力F的大小为3mg；
（2）碰撞过程B物块受到的冲量大小为；
（3）物块C的最大速度的大小为，B、C两物块的速度随时间变化的关系图像见解析。
【解答】解：（1）根据题意可知，小球A运动到最低点过程中机械能守恒，设小球A运动到最低点的速度为vA，由机械能守恒定律有：mgL＝
解得：vA＝
在最低点，由牛顿第二定律有：F﹣mg＝m
解得：F＝3mg
（2）根据题意可知，小球A与物块B发生正碰（碰撞时间极短），则碰撞过程A、B组成的系统动量守恒，设碰撞后小球A的速度为vA′，物块B的速度为vB，规定向右为正方向，由动量守恒定律有：mvA＝3mvB﹣mvA′
对A由机械能守恒定律有：＝mg
联立解得：vB＝
对物块B，取向右为正方向，由动量定理有：I＝3mvB＝
（3）根据题意可知，B与C用轻弹簧拴接，开始时，物块B压缩弹簧，B做加速度增大的减速运动，C做加速度增大加速运动，当B、C速度相等时，弹簧压缩最短，取向右为正方向，由动量守恒定律有：
3mvB＝（3m+2m）v共
解得：v共＝
之后C的速度大于B的速度，弹簧开始恢复，则C做加速度减小的加速运动，B做加速度减小的减速运动，当弹簧恢复到原长，C的速度最大，B的速度最小，取向右为正方向，由动量守恒定律和机械能量守恒定律有：
3mvB＝3mvB′+2mvM
3＝3mvB′2+2
联立解得：vM＝，vB′＝
之后C拉开弹簧，开始做加速度增大的减速运动，B做加速度增大的加速运动，当速度相等时，弹簧伸长最长，之后C的速度小于B的速度，C做加速度减小的减速运动，B做加速度减小的加速运动，当弹簧恢复原长，B的速度最大为，C的速度最小为0，之后重复开始运动过程，即完成一个运动周期。由上述分析可知，B、C两物块的速度随时间变化的关系图像，如图所示：
答：（1）小球A运动到最低点与B碰撞前细绳拉力F的大小为3mg；
（2）碰撞过程B物块受到的冲量大小为；
（3）物块C的最大速度的大小为，B、C两物块的速度随时间变化的关系图像见解析。
16．（2023 丰台区一模）能量守恒定律是普遍、和谐、可靠的自然规律之一。根据能量守恒定律，物理学发现和解释了很多科学现象。
（1）经典力学中的势阱是指物体在场中运动，势能函数曲线在空间某一有限范围内势能最小，当物体处于势能最小值时，就好像处在井里，很难跑出来。如图所示，设井深为H，若质量为m的物体要从井底至井口，已知重力加速度为g，求外力做功的最小值W。
（2）金属内部的电子处于比其在外部时更低的能级，电势能变化也存在势阱，势阱内的电子处于不同能级，最高能级的电子离开金属所需外力做功最小，该最小值称为金属的逸出功。如图所示，温度相同的A、B两种不同金属逸出功存在差异，处于最高能级的电子电势能不同，A、B金属接触后电子转移，导致界面处积累正负电荷，稳定后形成接触电势差。已知A金属逸出功为WA，B金属逸出功为WB，且WA＜WB，电子电荷量为﹣e。
a.请判断界面处A、B金属电性正负；
b.求接触电势差UAB。
（3）同种金属两端由于温度差异也会产生电势差，可认为金属内部电子在高温处动能大，等效成电子受到非静电力作用往低温处扩散。如图有一椭球形金属，M端温度为T1，N端温度为T2（T1＞T2），沿虚线方向到M端距离为L的金属内部单个电子所受非静电力大小F满足：，非静电力F沿虚线方向，比例系数μ为常数，与垂直于温度变化方向的金属横截面积大小有关，电子电荷量为﹣e，求金属两端的电势差UMN。
【答案】（1）外力做功的最小值为mgH；
（2）a、A金属侧带正电，B金属侧带负电；
b、接触电势差为；
（3）金属两端的电势差为。
【解答】解：（1）根据能量守恒定律可知，质量为m的物体要从井底至井口，外力做功最小值为mgH。
（2）a.界面处A金属电子处于比B金属电子更高的能级，电子从A侧向B侧转移，A金属侧带正电，B金属侧带负电。
b.金属两侧正负电荷在界面处激发的电场阻碍电子继续从A向B侧移动，最终达到平衡。设无穷远处电子电势能为0，则初状态A侧电子能量为﹣WA，B侧为﹣WB，末状态A侧界面电势为φA，B侧界面电势为φB，界面两侧A、B电子能量相等，有﹣WA+（﹣eφA）＝﹣WB+（﹣eφB）UAB＝φA﹣φB
联立可得A、B间电势差为：
（3）由于与垂直于温度变化方向的金属横截面积大小相关，在沿虚线方向取极短距离△L，则非静电力做功为ΔW＝FΔL，累加后可得WF＝μ（T2﹣T1）
根据电动势的定义式，可得WF为非静电力做功。断路状态下MN两端电势差大小数值上等于电动势。联立以上两式，可得金属两端电势差UMN为：
答：（1）外力做功的最小值为mgH；
（2）a、A金属侧带正电，B金属侧带负电；
b、接触电势差为；
（3）金属两端的电势差为。