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人教版九年级上册数学21.1 一元二次方程教学设计
课题 21.1 一元二次方程 单元 第21单元 学科 数学 年级 九
教材分析 本课是人教版九年级上册 21 章第 1 节一元二次方程。一元二次方程是中学数学的主要内容之一,在初中数学中占有重要地位。我们从知识的发展来看，学生通过一元二次方程的学习，可以对已学过实数、一元一次方程、整式、二次根式等知识加以巩固，同时一元二次方程又是今后学生学习可化为一元二次方程的分式方程、二次函数等知识的基础,。
核心素养分析 在解决问题中，教师创设情境导入新课，以生活中实际情境入手，列出方程，让学生结合学过的知识，得出这种方程的共同特点，再由方程命名方法得出新概念。让学生感受到数学是源自于实际生活的，便于学生理解一元二次方程的定义，有利于学生进一步学习该知识点。
学习目标 1.理解一元二次方程的概念．2.掌握一元二次方程的一般形式．3.了解一元二次方程的根的概念．
重点 掌握一元二次方程的一般形式．
难点 了解一元二次方程的根的概念．
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 问题1:有一块矩形铁皮,长100cm,宽50cm,在它的四角各切去一个正方形,然后将四周凸出部分折起,就能制作一个无盖方盒,如果要制作的方盒的底面积为3600cm2,那么铁皮各角应切去多大的正方形？问题2：要组织要组织一次排球邀请赛,参赛的每两队之间都要比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请多少个队参加比赛 问题3：小明用30 cm的铁丝围成一斜边长等于13 cm的直角三角形，求该直角三角形的两直角边长． 学生思考回答问题。 让经历实际应用题的解答过程，亲身体会一元二次方程源自于生活。
讲授新课 观察由上面的问题得到的方程有什么特点？x2 75x+350=0 x2 x 56=0 2x2 34x 120=01． 这些方程的两边都是整式；2． 方程中只含有一个未知数，未知数的最高次数是2．引出定义等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程．【总结归纳】一元二次方程的概念只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化为ax2+bx+c=0(a , b , c为常数, a≠0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是ax2+bx +c = 0(a , b , c为常数, a≠0)ax2称为二次项, a 称为二次项系数.bx称为一次项, b 称为一次项系数.c称为常数项.知识点速记检测一般地,任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理，都可以化为的形式,我们把(a,b,c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式。二次项系数为a 一次项系数为b 常数项为c【新知典例】【例1】判断下列各方程是不是一元二次方程．①x2－3xy＋4y2＝0； ②y2＝3y＋2； ③ 总结：1.判断一个方程是否是一元二次方程的依据：(1)整式方程；(2)只含有一个未知数；(3)含有未知数的项的最高次数是2.注意有些方程化简前含有二次项，但是化简后二次项系数为0，这样的方程不是一元二次方程．【新知练习】1．下列方程，一元二次方程的个数是( B )①3x2+7=0；②x3+2x=1 x2+x3；③2x2 3y+1=0；④3x2 +6=0．A．1 B．2 C．3 D．42．若方程 (m+2)x|m| 3mx+1＝0 是关于x 的一元二次方程，则 ( B )A．m≠±2 B．m＝2 C．m＝ 2 D．m＝±2【例2】 将方程3x(x－1)＝5(x＋2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．解：化为一般形式为3x2－8x－10＝0其中二次项系数为3，一次项系数为-8，常数项为-10.【新知练习】3.把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它们的二次项系数、一次项系数和常数项．（1）（2）（3）解：（1）二次项系数：1，一次项系数-4，常数项：0（2）二次项系数：1，一次项系数2，常数项：-14（3）二次项系数：2，一次项系数2，常数项：-14【新知归纳】知识点2 使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．注意：判断一个数值是不是一元二次方程的根的方法：将这个值代入一元二次方程，看方程的左右两边是否相等，若相等，则是方程的根；若不相等，就不是方程的根．试一试：下面哪些数是方程 x2 +3x – 4 = 0 的解 -4 ,-3 , -2 ,-1 ,0 ,1,2,3 ,4【新知练习】4． 下列哪些数是一元二次方程 x2-4x+3＝0 的解？ -1， 0， 1， 3． 5． 方程 x2+x－12＝0 的两个根为( D ) A．x1＝－2，x2＝6 B．x1＝－6，x2＝2 C．x1＝－3，x2＝4 D．x1＝－4，x2＝3【新知典例】【例3】已知a是方程 x2+2x－2=0 的一个实数根, 求 2a2+4a+2018的值.解：由题意得【方法点拨】求代数式的值，先把已知解代入，再注意观察，有时需运用到整体思想，求解时，将所求代数式的一部分看作一个整体，再用整体思想代入求值．【新知练习】6. 已知 a 为方程 x2－3x+1=0 的一根，求 a3－4a2+4a－1 的值．解： ∵ a 为方程 x2－3x+1=0 的一根，∴ a2－3a+1=0，∴a3－4a2+4a－1=a(a2－3a+1)－(a2－3a+1)=a×0－0=0． 学生通过观察3个方程的特点，运用已经掌握的方程命名方法，得出一元二次方程的定义。学生根据方程特点总结一元二次方程概念。学生回答巩固新知学生通过所学知识做例题。学生做针对性练习，教师订正答案，及时巩固、熟练新知。学生根据方程解的定义，归纳一元二次方程根的定义。 在教学中运用探究式教学模式，使学生体验教学再创造的思维过程，培养学生的总结归纳能力。对概念的分析和归纳,培养学生的口头表达能力和语言组织能力,同时渗透类比思想.通过多媒体直观展示答案.通过例题和针对性练习来巩固、强化课堂上所学的知识，并且培养学生综合运用所学的知识和技能解决问题的能力，培养学生的应用意识。对一元二次方程的解的运用，并对比一元一次方程的解的情况，由学生发现一元二次方程有2个根（解）.例3为运用方程的解，进行整体代入求值
课堂练习 1. 一元二次方程3x2－2x－1＝0的二次项系数、一次项系数和常数项分别是( D )A.3, 2, 1 B.3,2，－1C.3, －2, 1 D.3, －2, －12.下列数：6，－6,8，－8,12，－12,2，－2中，是方程x2－2x－48＝0的根有( B )A.1个 B.2个 C.3个 D.4个3.下列方程中，一元二次方程的个数为( D )①(x－1)(x＋2)＝1；②x2＋2x＝x2－1；③x2－＝4；④x2＝0；⑤x2－＋3＝0A.2 B.3 C.4 D.54.一元二次方程2x2＝5x＋3的一般形式是 2x2－5x－3＝0 ，其中二次项是 2x2 ，一次项是 －5x ，常数项是 －3 .5. a是方程2x =x+4的一个根，则代数式4a -2a的值是 8 . 6. 若 2n(n≠0) 是关于 x 的方程 x2－2mx+2n=0 的根，则 m－n 的值为 1/2 ． 学生做练习，教师订正答案。 通过各种形式的练习，进一步提高学生学习兴趣，使 学生的认知结构更加完善。同时强化本课的教学重点，突破教学难点。
课堂小结 本节课你学到了什么？ (1)一元二次方程的概念① 是整式方程 ② 只含有一个未知数③未知数的最高次数是2(2)一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)（3）一元二次方程的解（根） 学生总结本节课所学内容。 充分发挥学生的主体作用，有助于学生在理解新知识的基础上，及时把知识系统化，条理化。
板书 课题：21.1 一元二次方程一、一元二次方程的概念二、一元二次方程的根
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21.1 一元二次方程
人教版九年级上册
知识回顾
1.你能举例说出一元一次方程的概念吗？
只含有一个未知数
未知数的次数是 1
2.下列式子哪些是一元一次方程方程？
①x－1＝2x＋1； ②x－3；
③4x＋3y＝1； ④x2－x(x＋1)＝0.
解：2 019＋18 x＝2 020
教学目标
3．了解一元二次方程的根的概念．
1．理解一元二次方程的概念．
2．掌握一元二次方程的一般形式．
新知导入
问题1:有一块矩形铁皮,长100cm,宽50cm,在它的四角各切去一个正方形,然后将四周凸出部分折起,就能制作一个无盖方盒,如果要制作的方盒的底面积为3600cm2,那么铁皮各角应切去多大的正方形？
解：设切去的正方形的边长为xcm,则盒底的长为 cm,宽为 cm,根据方盒的底面积为3600cm2,得
化简，得
方程中未知数的个数和最高次数各是多少？
(100－2x)
(50－2x)
新知探究
问题2：要组织要组织一次排球邀请赛,参赛的每两队之间都要比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请多少个队参加比赛
由上面的方程可以得出参赛队数．
全部比赛的场数为 ．
列方程 ，
整理，得 ，
化简，得 ．
设应邀请x个队参赛，每个队要与其他 个队各赛一场，因为甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以全部比赛共 场．
解：
4×7=28
(x 1)
x（x 1）
x（x 1）=28
x x=28
x x 56=0
新知探究
问题3：小明用30 cm的铁丝围成一斜边长等于13 cm的直角三角形，求该直角三角形的两直角边长．
x
17-x
解：
由题可知，直角三角形两直角边的和为 ．
30-13=17cm
设应一条直角边为xcm,则另一直角边为 ，
(17-x) cm
由勾股定理可列方程 ，
x2+(17-x)2=132
化简，得 ．
2x2-34x-120=0
新知探究
1． 这些方程的两边都是整式；
2． 方程中只含有一个未知数，未知数的最高次数是2．
x2 x 56=0
x2 75x+350=0
观察由上面的问题得到的方程有什么特点？
等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程．
2x2 34x 120=0
新知小结
只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化为ax2+bx+c=0(a , b , c为常数, a≠0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程.
ax2+bx +c = 0(a , b , c为常数, a≠0)
一元二次方程的概念
一元二次方程的一般形式是
ax2 称为二次项, a 称为二次项系数.
bx 称为一次项, b 称为一次项系数.
c 称为常数项.
知识点1
新知小结
一般地,任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理，都可以化为 的形式,我们把
(a,b,c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式。
a x 2 + b x + c = 0
(a ≠ 0)
二次项系数
一次项系数
常数项
想一想
为什么要限制a≠0，b,c可以为零吗？
知识点2
新知典例
判断下列各方程是不是一元二次方程．
例1
①x2－3xy＋4y2＝0；
②y2＝3y＋2；
③
不是整式方程
含两个未知数
总结：1.判断一个方程是否是一元二次方程的依据：(1)整式方程；(2)只含有一个未知数；(3)含有未知数的项的最高次数是
2.注意有些方程化简前含有二次项，但是化简后二次项系数为0，这样的方程不是一元二次方程．
新知练习
2．若方程 (m+2)x|m| 3mx+1＝0 是关于x 的一元二次方程，则 ( )
A．m≠±2 B．m＝2
C．m＝ 2 D．m＝±2
1．下列方程，一元二次方程的个数是( )
①3x2+7=0；②x3+2x=1 x2+x3；③2x2 3y+1=0；④3x2 +6=0．
A．1 B．2 C．3 D．4
B
B
新知典例
将方程3x(x－1)＝5(x＋2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．
例2
3x2－8x－10＝0
解：化为一般形式为
其中二次项系数为3，一次项系数为-8，
常数项为-10.
二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都是包括符号的
新知练习
3.把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它们的二次项系数、一次项系数和常数项．
（1） ；
（2） ；
（3） ．
1 -4 0
1 2 -14
2 -3 -9
新知探究
知识点3
使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．
判断一个数值是不是一元二次方程的根的方法：
将这个值代入一元二次方程，看方程的左右两边是否相等，若相等，则是方程的根；若不相等，就不是方程的根．
新知探究
试一试：下面哪些数是方程 x2 +3x – 4 = 0 的解
-4 ,-3 , -2 ,-1 ,0 ,1,2,3 ,4
解：
-4和1.
和一元一次方程的根有什么区别？
新知练习
4． 下列哪些数是一元二次方程 x2-4x+3＝0 的解？
-1， 0， 1， 3．
5． 方程 x2+x－12＝0 的两个根为( )
A．x1＝－2，x2＝6 B．x1＝－6，x2＝2
C．x1＝－3，x2＝4 D．x1＝－4，x2＝3
D
新知典例
已知a是方程 x2+2x－2=0 的一个实数根, 求 2a2+4a+2018的值.
解：由题意得
方法点拨：求代数式的值，先把已知解代入，再注意观察，有时需运用到整体思想，求解时，将所求代数式的一部分看作一个整体，再用整体思想代入求值．
例3
新知练习
解： ∵ a 为方程 x2－3x+1=0 的一根，
∴ a2－3a+1=0，
∴a3－4a2+4a－1=a(a2－3a+1)－(a2－3a+1)=a×0－0=0．
6. 已知 a 为方程 x2－3x+1=0 的一根，求 a3－4a2+4a－1 的值．
课堂总结
一元二次方程
只含有一个未知数
未知数的最高次数是2
是整式方程
ax2+bx+c=0(a≠0)
一元二次方程的概念
一元二次方程的一般形式
一元二次方程的解（根）
课堂练习
1. 一元二次方程3x2－2x－1＝0的二次项系数、一次项系数和常数项分别是( )
A.3, 2, 1 B.3,2，－1
C.3, －2, 1 D.3, －2, －1
2.下列数：6，－6,8，－8,12，－12,2，－2中，是方程x2－2x－48＝0的根有( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
D
B
课堂练习
B
2x2－5x－3＝0
2x2
－5x
－3
课堂练习
5. a是方程2x =x+4的一个根，则代数式4a -2a的值是 .
解：∵a是方程2x =x+4的一个根，
∴2a －a=4，
∴4a －2a=2（2a －a）=2×4=8.
8
课堂练习
6. 若 2n(n≠0) 是关于 x 的方程 x2－2mx+2n=0 的根，则 m－n 的值为 ．
解： 因为 2n(n≠0) 是关于 x 的方程 x2－2mx+2n=0 的根，
所以 (2n)2－2m×2n+2n=0，
即2n(2n－2m+1)=0，
因为n≠0，
所以2n－2m+1=0，
化简得m－n= ．
谢谢
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