异面直线角度的计算[上学期]
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课件15张PPT。异面直线所成角的计算复习定义探索方法归纳小结反馈练习例题1例题2练习1练习3练习2ab′bO一.定义:注意：异面直线所成角的范围是 直线a、b是异面直线，经过空间任意一点 O ,分别引直线a′∥a , b′∥ b。我们把直线a′和b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a和b所成的角.（0， ]a′★求角的步骤：1. 确定角2. 求角求异面直线所成角的步骤有哪些？想一想例2：长方体ABCD-A1B1C1D1，AB=AA1=2 cm， AD=1cm，求异面直线A1C1与BD1所成角的余弦值。取BB1的中点M，连O1M，则O1M??D1B，如图，连B1D1与A1C1 交于O1，于是?A1O1M就是异面直线A1C1与BD1所成的角（或其补角）O1M解：为什么？由余弦定理得?A1C1与BD1所成角的余弦值为方法归纳：平移法连A1M，在?A1O1M中即根据定义，以“运动”的观点，用“平移转化”的方法，使之成为相交直线所成的角。解法二：方法归纳：补形法把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、长方体等，其目的在于易于发现两条异面直线的关系。 在?A1C1E中，由余弦定理得?A1C1与BD1所成角的余弦值为 如图，补一个与原长方体全等的并与原长方体有公共面连结A1E，C1E，则?A1C1E为A1C1与BD1所成的角(或补角)，BC1的方体B1F，
正方体ABCD- A1B1C1D1中,AC、BD交于O,则OB1与A1C1所成的角的度数为练习1900在正四面体S-ABC中，SA⊥BC, E, F分别为SC、AB 的中点，那么异面直线EF 与SA 所成的角等于（ ）CD(A)300 (B)450 (C)600 (D)900练习2BG练习2（解法二）练习2
（解法三）三、解答题已知正方体的棱长为 a , M 为 AB 的中点, N 为 BB1的中点，求 A1M 与 C1 N 所成角的余弦值。解：EG如图，取AB的中点E, 连BE, 有BE∥ A1M 取CC1的中点G,连BG. 有BG∥ C1N 则∠EBG即为所求角。BG=BE= a, F C1 = a由余弦定理，cos∠EBG=2/5F取EB1的中点F，连NF,有BE∥NF则∠FNC为所求角。想一想：还有其它定角的方法吗？在△EBG中定角一般方法有：（1）平移法（常用方法）小结：1、求异面直线所成的角是把空间角转化为平面 角，体现了化归的数学思想。2、用余弦定理求异面直线所成角时，要注意角的 范围： （1） 当 cosθ ＞ 0 时，所成角为 θ（2） 当 cosθ ＜ 0 时，所成角为π－ θ（3） 当 cosθ = 0 时，所成角为 3、当异面直线垂直时，还可应用线面垂直的有 关知识解决。90o（2）补形法化归的一般步骤是：定角求角说明：异面直线所成角的范围是（0， ]，在把异面直线所成的角平移转化为平面三角形中的角，常用余弦定理求其大小，当余弦值为负值时，其对应角为钝角，这不符合两条异面直线所成角的定义，故其补角为所求的角，这一点要注意。 再见
正方体ABCD- A1B1C1D1中,AC、BD交于O,则OB1与A1C1所成的角的度数为练习1900在正四面体S-ABC中，SA⊥BC, E, F分别为SC、AB 的中点，那么异面直线EF 与SA 所成的角等于（ ）CD(A)300 (B)450 (C)600 (D)900练习2BG练习2（解法二）练习2
（解法三）三、解答题已知正方体的棱长为 a , M 为 AB 的中点, N 为 BB1的中点，求 A1M 与 C1 N 所成角的余弦值。解：EG如图，取AB的中点E, 连BE, 有BE∥ A1M 取CC1的中点G,连BG. 有BG∥ C1N 则∠EBG即为所求角。BG=BE= a, F C1 = a由余弦定理，cos∠EBG=2/5F取EB1的中点F，连NF,有BE∥NF则∠FNC为所求角。想一想：还有其它定角的方法吗？在△EBG中定角一般方法有：（1）平移法（常用方法）小结：1、求异面直线所成的角是把空间角转化为平面 角，体现了化归的数学思想。2、用余弦定理求异面直线所成角时，要注意角的 范围： （1） 当 cosθ ＞ 0 时，所成角为 θ（2） 当 cosθ ＜ 0 时，所成角为π－ θ（3） 当 cosθ = 0 时，所成角为 3、当异面直线垂直时，还可应用线面垂直的有 关知识解决。90o（2）补形法化归的一般步骤是：定角求角说明：异面直线所成角的范围是（0， ]，在把异面直线所成的角平移转化为平面三角形中的角，常用余弦定理求其大小，当余弦值为负值时，其对应角为钝角，这不符合两条异面直线所成角的定义，故其补角为所求的角，这一点要注意。 再见