2023年九年级中考数学考前冲刺练习：一次函数（含解析）

2023年中考数学考前冲刺练习：一次函数
一、单选题
1．一元二次方程有两个实数根a，b，那么一次函数的图象一定不经过的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．一次函数的图象经过点，若自变量的取值范围是，则的最小值是（ ）
A． B． C．7 D．11
3．如图，函数的图像所在坐标系的原点是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
4．通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示，当和时，图象是线段；当时，图象是反比例函数的一部分．下列结论正确的是（ ）

A．当时，y与x成正比例关系 B．点A对应的学生注意力指标
C．当时，y是x的一次函数 D．当时，函数解析式为
5．如图，平面直角坐标系中，，，点M为的中点，将绕点M顺时针旋转得到，当点O的对应点C第一次落在上时，点C的坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．已知与成正比例，且当时，．若关于的函数图象经过二、三、四象限，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．关于某个函数表达式，甲、乙、丙三位同学都正确地说出了该函数的一个特征．甲：函数图像经过点；乙：函数图像经过第四象限；丙：当时，y随x的增大而增大．则这个函数表达式可能是（ ）
A． B． C． D．
8．在平面直角坐标系中，抛物线与直线上纵坐标为的点共有个，且它们的横坐标分别为、、（、、互不相同），若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．已知变量x，y满足函数关系．现有牌面数字为3，，0，2的卡片，它们除数字外完全相同．把卡片背面朝上洗匀，然后从中随机抽取两张，则这两张卡片上所标的数字积为k的值，能使上述函数中y的值随x值的增大而增大的概率为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在平面直角坐标系中，为原点，点，，的坐标分别为，，，点，是边上的两个动点，且，要使四边形的周长最小，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，点的坐标为，直线与轴交于点，与轴交于点，点在直线上运动．当线段最短时，点B的坐标为（ ）
A． B． C． D．
12．如图，在正方形中，，动点从点出发沿方向在和上匀速移动，连接交或的延长线于，记点移动的距离为，为，则关于的函数图像大致是（ ）
A．B．C．D．
13．设备每年都需要检修，该设备使用年数n（单位：年，n为正整数且）与每年至第n年该设备检修支出的费用总和y（单位：万元）满足关系式，下列结论正确的是（ ）
A．从第2年起，每年的检修费用比上一年增加万元
B．从第2年起，每年的检修费用比上一年减少万元
C．第1年至第5年平均每年的检修费用为万元
D．第6年至第10年平均每年的检修费用为万元
14．如图，在平面直角坐标系中直线与x轴、y轴分别交于A、B两点．一个半径为的，从点开始以每秒个单位的速度沿着轴向下运动，当与直线相切时，则该圆运动的时间为（ ）
A．6秒 B．8秒 C．6秒或8秒 D．6秒或16秒
15．定义：在平面直角坐标系xOy中，若某函数的图象上存在点，满足，m为正整数，则称点P为该函数的“m倍点”．例如：时，点即为函数的“2倍点”．
①点是函数的“1倍点”；
②若函数存在唯一的“3倍点”，则b的值为；
③若函数的“m倍点”在以点为圆心，2m为半径的圆内，则m为大于1的所有整数．
上述说法正确的有（ ）
A．① B．①② C．①③ D．①②③
二、填空题
16．如图，正方形和正方形中．点C和点F的坐标分别为，，则两个正方形的位似中心的坐标是________．
17．如图，一束光线从点出发，经过y轴上的点B反射后经过点．则反射光线所在直线的解析式为______．
18．已知点在反比例函数的图像上，点A关于y轴的对称点恰好在直线上，那么k的值为_______．
19．已知反比例函数（且）的图象与一次函数的图象共有两个交点，且两交点横坐标的乘积，请写出一个满足条件的k值为______．
20．如图，已知直线，在直线l上取点，过分别向x轴，y轴作垂线，交x轴于，交y轴于，使四边形为正方形；在直线l上取点，过分别向x轴，作垂线，交x轴于A2，交于C2，使四边形为正方形；按此方法在直线l上顺次取点，依次作正方形，，…，，则的坐标为 ____________________．
21．某快递公司每天上午为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数图象如图所示，那么从开始，经过______分钟时，当两仓库快递件数相同．
22．如图，，，，…是等边三角形，直线经过它们的顶点，，，，…，点，，…在轴上，则点的横坐标是______．

三、解答题
23．已知：一次函数与反比例函数 ．
(1)当时，x取何值时，；（直接写出结果）
(2)请说明：当k取任何不为0的值时，两个函数图象总有交点．
24．某公司调研了历年市场行情和生产情况以后，对今年某种商品的销售价格和成本价格进行预测，提供了两方面的信息，如图所示．图1的图象是线段，图2的图象是部分抛物线．

(1)在3月份和6月份出售这种商品，哪个月商品的单件利润更大？
(2)从3月份到8月份，哪个月商品的单件利润最大？最大利润是多少？
25．自2022年新课程标准颁布以来，我校高度重视新课标的学习和落实，开展了信息技术与教学深度融合的“精准化教学”，学校计划购买A，B两种型号教学设备，已知A型设备价格比B型设备价格每台高，用30000元购买A型设备的数量比用15000元购买B型设备的数量多4台．
(1)求A，B型设备单价分别是多少元；
(2)我校计划购买两种设备共50台，要求A型设备数量不少于B型设备数量的．设购买a台A型设备，购买总费用为w元，求w与a的函数关系式，并设计出费用最低时的购买方案．
26．如图中的折线表示某汽车的耗油量y（单位：）与速度x（单位：）之间的函数关系（），已知线段表示的函数关系中，该汽车的速度每增加，耗油量增加．

(1)当该汽车的行驶速度为时，汽车的耗油量为______．
(2)求线段所对应的函数解析式，无需写出自变量x的取值范围．
(3)求该汽车的行驶速度是多少时，该汽车的耗油量最低？最低是多少？
27．如图，一次函数与反比例函数第一象限交于、两点，点是轴负半轴上一动点，连接，．
(1)求一次函数的表达式；
(2)若的面积为，求点的坐标；
(3)在（2）的条件下，若点为直线上一点，点为轴上一点，是否存在这样的点和点，使得四边形是平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
28．如图，在直角坐标系中，直线与反比例函数的图像交于、B两点．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)将直线向上平移后与y轴交于点C，与双曲线在第二象限内的部分交于点D，如果的面积为16，求直线向上平移的距离；
(3)E是y轴正半轴上的一点，F是平面内任意一点，使以点A，B，E，F为顶点的四边形是矩形，请求出所有符合条件的点E的坐标．
参考答案
1．C
解：由根与系数的关系可知：，，
∴一次函数解析式为：，
故一次函数的图象一定不经过第三象限．
故选：C．
2．B
解：一次函数的图象经过点，
，
，
一次函数的解析式为：，
随的增大而减小，
自变量的取值范围是，
当时，最小为，
故选：B．
3．B
解：由可得，
函数图像如下所示：
对比所给图像可知，点是坐标系的原点．
故选B．
4．D
解：A、当时，由函数图象可知y与x成一次函数关系，不是正比例关系，原结论错误，不符合题意；
B、设当时，反比例函数解析式为，把代入中得，，解得，
∴当时，，
∴当时，，即点A对应的学生注意力指标，原结论错误，不符合题意；
C、当时，y不是x的一次函数，原结论错误，不符合题意；
D、由上述计算可知当时，函数解析式为，原结论正确，符合题意；
故选D．
5．A
解：，点M为的中点，
，
，
由旋转的性质可知，，
设直线的解析式为，
，解得：，
直线的解析式为，
设点C的坐标为，
，
，
解得：或（舍），
，
点C的坐标为，
故选A．
6．C
解：∵与成正比例，
∴，
即，
当时，，
即，
∴
∵若关于的函数图象经过二、三、四象限，
∴
解得：
∵
∴
即
解得： ，
故选：C．
7．D
解：A.对于，当时，，故函数图像经过点；函数图象经过二、四象限；当时，y随x的增大而减小．故选项A不符合题意；
B.对于，当时，，故函数图像经过点；函数图象经过在一、二、三象限；当时，y随x的增大而增大．故选项B不符合题意；
C.对于，当时，，故函数图像经过点；函数图象经过在一、二象限；当时，y随x的增大而增大．故选项C不符合题意；
D.对于，当时，，故函数图像经过点；函数图象经过二、四象限；当时，y随x的增大而增大．故选项D符合题意；
故选：D
8．C
解：∵，
∴抛物线对称轴为直线，
设，在抛物线上，点在直线上，
∴，关于对称轴对称，
∴，
∴，
∴，
把代入直线，
得：，
∴，
∴，
即：．
故选：C．
9．A
解：要使函数中y的值随x值的增大而增大，则，
画树状图如下：
由树状图可知一共有12种等可能性的结果数，其中能使上述函数中y的值随x值的增大而增大的结果数有2，
∴上述函数中y的值随x值的增大而增大的概率为，
故选A．
10．C
解： 四边形的周长
，
是定值，
所以四边形的周长最小，则最小，
如图，把沿轴正方向平移个单位长度得 则
则
作关于轴的对称点 则
连接交轴于 则
所以当重合时，最小，即最小，
设的解析式为：
解得：
所以的解析式为：
令 则 则 即
故选C
11．A
解：当线段最短时，，
∵直线为，
∴当时，；当时，，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴．
作于点H，
则，
∴，
即点B的横坐标为，
把点B的横坐标代入，可得：，
∴．
故选：A．
12．C
解：①当点与点重合时，
在正方形中，，
∴与或的延长线没有交点，不符合题意；
②当点在线段之间（点不与点、点重合），
∵四边形是正方形，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∵点移动的距离为，为，
∴，，，
∴，
∴，它的图像是反比例函数图像的一部分；
②当点在线段之间（点可与点、点重合），此时点与点重合，
∵，，
又∵，
∴，它的图像是一条线段；
∴动点从点出发沿方向在和上匀速移动时所对应函数关系式为：，
故选：C．
13．D
解：由题意得，
前n年支出总费用为万元，
前年支出总费用为：万元；
前年支出总费用为：万元；
易知，前n年和前年差值为万元，前年和年差值为万元，
故第二年起，每年检修费比上一年保持不变，故A , B错误；
第一到第五年总支出费用为万元，
故平均每年检修费用为万元， 故C错误．
年总支出为万元，
年总支出为万元，
所以年平均每年检测费用为万元，故D正确．
故选D．
14．D
解：直线与轴、轴分别交于、两点，
当时，，
当时，，，
，，
，，
如图，当点在线段上时，
与相切，
，
，
又，
，
，
，
，
，
运动的时间为（秒），
当点在线段的延长线上时，同理，
，
，
则运动的时间为（秒）．
故选：D．
15．C
解：①当时，
，，
点是函数的“1倍点”；
①正确；
②当时，，
函数存在唯一的“3倍点”，
，
，
，
；
②错误；
③，
，
函数的“倍点”为，
如图所示，直线与交于点，连接，过点作轴于，
，
，
，
为正整数，
的所有整数．
③正确．
故选：C．
16．或
解：∵四边形和四边形是正方形，点C和点F的坐标分别为，，
∴，，，，
设直线的解析式为：，
把、代入得，
，解得：，
∴直线的解析式为：，
设直线的解析式为：，
把 ，代入得，
，解得：，
∴直线的解析式为：，
①直线和直线的交点即为位似中心，
∴建立方程组得，，解得：，
∴位似中心的坐标为：，
②当位似中心在正方形右侧，连接并延长，连接并延长，过点M作轴，
∵、，
∴位似比为：，
∴，即是的中线，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴点M的坐标为：
故答案为：或．
17．
解：延长交轴于，如图：
根据反射定律，与关于轴对称，
，
，
设直线解析式为
把代入得：
，
解得，
直线解析式为，
在中，令得，
，)，
设直线解析式为，
将，)代入得：
，
解得，
直线解析式为，
故答案为：．
18．
解：∵点A与点关于y轴的对称，点，
∴，
∵点恰好在直线上，
∴，
∴，
∵点在反比例函数的图象上，
∴，
故答案为：．
19．1
解：，
一次函数的图象必定经过一、三象限，
，
反比例函数图象和一次函数图象的两个交点在同一象限，
反比例函数（，且）的函数图象经过二、四象限，
，，
∴满足条件的k值可以为1，
故答案为：1（答案不唯一）．
20．
解：如图，
当，当时，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，
∴，
∵四边形为正方形，
∴，
∴，
同理可得：是的中点，
∴，，
，，
，，
故答案为：．
21．20
解：设甲仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数关系式为，
根据图象得，，
解得：，
，
设乙仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数关系式为，
根据图象得，，
解得：，
，
联立，
解得：，
经过20分钟时，当两仓库快递件数相同，
故答案为：20．
22．
解：如图所示，设直线与轴交于点，
当时，；当时，，
，，
，，
，
，
是等边三角形，
，
，，
，
，
，
，
同理，，，……，
，，
点的横坐标是，
故答案为：．
23．(1)或
(2)见解析
解：（1）（1）当时，，，
由得或，
∴两个函数图像的交点坐标为或，
图象大致如图：
由图可得：当或时，；
（2）由得，
∴，
关于x的一元二次方程的判别式
，
∵，
∴Δ≥0，即总有实数解，
∴两个函数图象总有交点
24．(1)3月
(2)8月，元
（1）解：由图可知：
3月份的单件利润为：（元），
6月份的单件利润为：（元），
在3月份和6月份出售这种商品，3月商品的单件利润更大；
（2）解：设M与t的函数关系式为：，
由图1可知，该图象经过点，，
将，代入，可得，
解得，
；
由图（2）知，Q与t的函数图象顶点为，经过点，
设Q与t的函数关系式为：，
将代入，可得，
解得，
，
设单件利润为P，
则，
P与t的函数图象的对称轴为，
，
当时，P取最大值，最大值为，
即从3月份到8月份，8月份商品的单件利润最大，最大利润是元．
25．(1)，型设备单价分别是元
(2)；当购买13台型设备，则购买型设备37台时，费用最低
（1）解：设型设备的单价为元，则型设备的单价为元，根据题意得，
，
解得，
经检验是原方程的解，
型设备的单价为元；
答：，型设备单价分别是元．
（2）解：设购买台型设备，则购买型设备台，依题意，
，
解得，
的最小整数解为，
购买总费用为元，，
，
，随的增大而增大，
时，取得最小值．
答：当购买13台型设备，则购买型设备37台时，购买费用最低．
26．(1)
(2)
(3)速度是时，该汽车的耗油量最低，最低是．
（1）解：∵线段表示的函数关系中，该汽车的速度每增加，耗油量增加，
∵，
∴速度为时，汽车的耗油量为；
故答案为：；
（2）解：设段的解析式为：，
把和代入中得：，
解得，
∴段一次函数的解析式为：，
（3）解：设的解析式为：，
把和代入中得：，
解得，
∴段一次函数的解析式为：；
联立，
解得，
答：速度是时，该汽车的耗油量最低，最低是．
27．(1)
(2)
(3)存在，
（1）解：∵点在反比例函数图像上，
∴，
∴反比例函数的表达式为，
当时，，
∴，
∵，在一次函数图像上，
∴，
解得：，
∴一次函数的表达式为；
（2）设直线交轴于点，
当时，，解得：
∴点，
设点，
∵的面积为，
∴，
∴，
解得：，
∴点的坐标为；
（3）存在，理由：
设直线的解析式为，，，
∴，
解得：，
直线的解析式为，
设点，
∵是平行四边形的边，且点向右平移个单位向下平移个单位得到点，点在轴上，
∴点向右平移个单位向下平移个单位得到点，
∴
∴，
∴点的坐标为．
28．(1)
(2)4
(3)，
（1）解：令一次函数中，则
解得：，即点A的坐标为，
∵点在反比例函数的图像上，
∴，
∴反比例函数的表达式为；
（2）解：连接、，如图所示：
设平移后直线的解析式为，
∴点，
∵直线平行直线，
∴，
∵的面积为16，
∵点A、点B关于原点对称，
∴点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴直线向上平移的距离为4．
（3）解：设，，，
则，
，
，
①如图，当为边时，此时满足，
即：，
解得，
∴；
②如图，当为对角线时，此时满足，
即，
解得（舍去），
∴；